已经被针锋对决漫画操控了。。。

x6号:更新啦!冲——
x7-x9号:反刍、香香、嘿嘿嘿。。。
x0号:嗨累了。。开始emo。。不想说话。。。
x1-x3号:不行啊尼树!你要振作起来啊!!!一定还有什么可以拿来造谣的!!!
x4号:撑不下去了。。怎么还不更新。。。。
x5号:黎明。。黑暗。。。早点睡觉。。

x6号:更新啦!冲——

「乙卷21题」二次分析
上一条并没有讲出这题的最酷的部分 —— a<-1,在-1<x<0时,f(x)为什么有且只有一个零点!
为什么不能在f(x→-1)→-∞与f(0)=a+1<0的约束下直接判定结论?而是哼哧哼哧地求g"(x),g'(x),g(x),f(x)?
直接上图吧,取的a=-2。
图1:f(x)
图2:f'(x)
图3:g(x)
图4:g'(x)
图5:g"(x)
因为这两个条件只能推出有零点,却不能推出只有一个零点!
那么怎样才能保证只有一个零点?
看图1,函数要保证一个零点只有这种画法(不考虑凹凸性)。
很自然,如图2所示,在(-1,0)上它的导数只能是从+∞→某个负数→继续随着x→0负数可能变大可能变小但一定还是负数。
切换到g(x),也就是图3,会发现同样是+∞→负数→负数变大但还是负数,与图2性质一样。
此时图1的极值点,图2图3与x轴的交点就是答案中的x1。
接着,要满足图3的样子,g'(x)只能是图4的样子。
要满足图4的样子,g"(x)只能是图5的样子。
图3的极值点,图4与x轴的交点就是答案中的x0。
为什么要求到g"(x)?
这个问题是这道题真正的核心所在!
答案是图5代表的g"(x)>0是一整个式子都大于0,而不是像g'(x),g(x),f(x)那样只能判断端点正负!
有了图5才能判别图4代表的g'(x)单调递增,再结合g'(-1)<0,g(0)>0,才能固定出图4,也就是g'(x)的图形,进而展开后续的连锁证明。
差不多,这题只能到这里了,蛮神奇的,居然能用三阶导数证明极值点唯一,我也是第一次碰到。

图1为乙卷21题第二问答案。
其实{「a≥0」与「-1≤a<0」都不成立,甚至「a<-1且x>0」时成立 }这三点都不难证,难点在于「a<0且-1<x<0」时的证明。
第一个问题是:这个-1是怎么来的,为什么要拿a与-1比?
回答这个问题需要画图分析(图2,没考虑凹凸性),大致过程就是一顿操作后能排除1,2,3,,5,最后只剩4,显然f'(0)=a+1<0,由此推出a<-1,但要注意的是此时的a<-1还只是一个必要条件。
于是第二个问题出现了:怎么保证x<0时只有一个零点?
由于f(x→-1)→-∞,所以答案是需要有且只有一个x0,使f'(x0)=0,且f(x0)>0。
挺麻烦的,之前花了很多时间去想怎么证f(x0)>0。
而且虽然只写了这些,但中间要考虑的问题其实非常多,错一个基本就崩了。
非常有深度的一道题,但确实有点过了。


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