随笔：《中华文化系列之八》1.八 向背分开 别的本义 中国人非常喜欢的一个数字 总觉得八和发 得财相关 但从本义分析 就显然不是 而且八发是从近代才开始的一种新民俗 尤其是广东粤语地区
2.八字 即生辰八字 人事物出生的干支历日期 即年干支 月干支 日干支 时干支 也叫四柱八字 和西方占星也会有相似的部分 都是用时间 空间关系去分析一个个体的能量场关系
那么为何人的时空信息可以反应一定人的命运呢 这就好比基因工程一样 可以通过生物学的微观角度去探索出遗传物质在生命过程中的传承关系 那么换成能量信息学角度来说也是同理 一个确定的时间 空间里的 人具有比较明显的确定性格局（能量信息场）
干支历法的依据主要是来自节气分化 所以和日常的阳历 农历都不同 我们在 前面的课程里 分享过 类似四立 二分二至它们都是在角度 相位有明显的划分以及作用 而影响的也是区域里个体的能量信息 比如我们知道满月的夜晚 对人的情绪影响波动很大 是一个道理
我们知道婚姻幸福是家庭家族幸福的基础 也是社会稳定的因素之一 但往往事与愿违 所以古时候就有八字合婚 指婚前男女双方交换庚帖 以卜八字是否相配（详细的有十几条细节来分析）
古时候结婚的三书六礼：三书为聘书（即订亲之文书 在纳吉(男女订立婚约)时 男家交予女家之书柬）礼书（即在过大礼时所用的文书 列明过大礼的物品和数量） 迎书（即迎娶新娘之文书 是亲迎接新娘过门时 男方送给女方的文书）
六礼为纳采 问名 纳吉 纳征 请期和亲迎：···纳采：男方请媒人向女方提亲 送彩礼（纳采用雁 代表忠贞 守节）
···问名：如果女方同意男方提亲后 女方家长会将女儿的姓名 排行 生辰八字等 书写在红帖子上 给男方带回 男方收到后请算命先生「合八字」问卜吉凶 决定双方八字是否适合无冲煞 或将女方「八字」放在灶君前 若太平无事的就是八字相合 合则择日送求婚帖子 否则须将「庚帖」退还女方
···纳吉：正式订婚的仪式 男方将占卜合婚的吉兆报告女家 男女双方换定帖 确定婚姻关系
···纳征：征就是成的意思 男家向女家赠送聘礼 男方向女方赠送彩礼以后 婚姻关系就宣告正式成立 男家赠予女家彩礼后 女家亦应回赠男家一些礼品 不过其数量要少得多 只要有象征意义即可 男女双方互赠的礼品都必须是双数 其中含有成双成对的意思
···请期：选择结婚日期 由男家卜得吉日 请女家商定
···迎亲：是女婿亲往女家迎娶新娘的仪式 民间俗称为“迎娶” 结婚当日 新郎依礼先往女方家 女方家长在门外迎接 进入女方庙堂之后 拜祖先 接着新娘出房门 新郎偕同新娘一起载往男方的家里 在男家完成拜天 地 祖先的仪式后 便送入洞房
六礼虽较复杂 但后世慢慢有一些都合并在用 比如1和2 3和4 且现代的很多礼数中也依然看得见过去的影子
八字核心 不过是旺衰喜忌 大运流年 空（亡）格（局）
3.八卦 这个词在近代因为 粤语地区的对小道消息 花边消息 明星绯闻的代名词 现在也用作娱乐新闻 但最初源于河洛文化 即河图 洛书 我们在前面的课程里分享过了
它是三皇五帝之首的伏羲所发明 伏羲氏在天水卦台山始画八卦 一画开天 八卦表示事物自身变化的阴阳系统 用"一"代表阳 用"- -"代表阴 用这两种符号 按照大自然的阴阳变化平行组合 组成八种不同形式 叫做八卦 八卦其实是最早的文字表述符号（其实就是数学里的排列组合 因为8=2的三次方）
乾代表天 坤代表地 巽代表风 震代表雷 坎代表水 离代表火 艮代表山 兑代表泽 伏羲八卦 也叫先天八卦 主要用在体系上的构建
八卦是从易中开始 易有太极 是生两仪 两仪生四象 四象生八卦（每一次生 就是一次变 三变 就是成八卦）它们是八种基本物象 但可广泛运用于多个领域 占卜 风水 中医 武术 音乐 军事等
先天八卦（为体）： 乾三连 坤六断 震仰盂 艮覆碗 离中虚 坎中满 兑上缺 巽下断
后天八卦（为用）： 一数坎来二数坤 三震四巽是中分 五数中宫六乾是 七兑八艮九离门
先天八卦：乾一 兑二 离三 震四 巽五 坎六 艮七 坤八
后天八卦：坎一 坤二 震三 巽四 五为中宫 乾六 兑七 艮八 离九
卦名 自然 特性 家人 肢体 动物 方位 季节 阴阳 五行
乾 天 健 父 首 马 西北 秋冬间 阳 金
兑 泽 悦 少女 口 羊 西 秋 阴 金
离 火 丽 中女 目 雉 南 夏 阴 火
震 雷 动 长男 足 龙 东 春 阳 木
巽 风 入 长女 股 鸡 东南 春夏间 阴 木
坎 水 陷 中男 耳 猪 北 冬 阳 水
艮 山 止 少男 手 狗 东北 冬春间 阳 土
坤 地 顺 母 腹 牛 西南 夏秋间 阴 土
4.数往者顺 知来者逆 是故 易逆数也（先天八卦与数序有必然关系）也因为如此 所以先天八卦可以用来做日历 以及起卦用
5.乾卦 有了文字之后才取的名字 分析一个卦要从内涵开始分析（三方面）：1.阴阳二气的运行状态 2.爻与爻的关系 3.爻位情况 乾卦就代表三个阳爻轻清向上 但是各自独立的一种状态 描述主要分两个方面：卦德为刚健 卦象为天
类象是非常重要的一个思想模型 具备相同核心特征的一类（它并非线性逻辑的推演 而是不同维度的融合）
6.坤卦：代表了三个阴爻重浊向下 但是各自独立的一种状态 卦德为柔顺 卦象为地
7.震卦：阴卦和阳卦（阴卦的内涵分析主要看阴爻 阳卦的内涵分析主要看阳爻）的判断标准是只有一个爻是阴 即阴卦 只有一个爻是阳 即阳卦 阳正动于下 上行而能出 卦德为震动 卦象为雷
8.巽卦：代表阴气欲下 但是无路可下 此时受二阳爻吸引 且都不当位 故从上 阴从动于上 顺而改志 卦德为顺从 卦象为风
9.坎卦：代表阳爻本来上行 但是陷入两个阴爻的吸引之中 形成都不当位 不合理的一个时态 阳陷于阴中 不正而乱 卦德为陷入 乱 卦象为水 为月
10.离卦：代表阴爻本来下行 但是被动依附于阳爻 形成都当位 非常合理的时态 阴丽于阳内 大正而明 卦德为附着 明 卦象为火 为日
11.艮卦：代表阳爻上行 却上无可进 同时受到下阴爻的吸引 形成当位 合理的状态 阳止进于上 顾而成德 卦德为止 回顾 卦象为山
12.兑卦：代表阴爻下行 同时受到下阳爻的吸引 与下阳交汇 形成不当位 不合理的状态 阴不正而遇 悦而情伤 卦德为悦 伤 卦象为泽 雨
13.后天八卦：帝出乎震 齐乎巽 相见乎离 致役乎坤 说言乎兑 战乎乾 劳乎坎 成言乎艮（易传）为周文王所创 主要为应用 出生 发展 成功 稳定 衰落 调整 动乱 衰亡（正好对应 震 巽 离 坤 兑 乾 坎 艮） https://t.cn/RxBBmh3
2.八字 即生辰八字 人事物出生的干支历日期 即年干支 月干支 日干支 时干支 也叫四柱八字 和西方占星也会有相似的部分 都是用时间 空间关系去分析一个个体的能量场关系
那么为何人的时空信息可以反应一定人的命运呢 这就好比基因工程一样 可以通过生物学的微观角度去探索出遗传物质在生命过程中的传承关系 那么换成能量信息学角度来说也是同理 一个确定的时间 空间里的 人具有比较明显的确定性格局（能量信息场）
干支历法的依据主要是来自节气分化 所以和日常的阳历 农历都不同 我们在 前面的课程里 分享过 类似四立 二分二至它们都是在角度 相位有明显的划分以及作用 而影响的也是区域里个体的能量信息 比如我们知道满月的夜晚 对人的情绪影响波动很大 是一个道理
我们知道婚姻幸福是家庭家族幸福的基础 也是社会稳定的因素之一 但往往事与愿违 所以古时候就有八字合婚 指婚前男女双方交换庚帖 以卜八字是否相配（详细的有十几条细节来分析）
古时候结婚的三书六礼：三书为聘书（即订亲之文书 在纳吉(男女订立婚约)时 男家交予女家之书柬）礼书（即在过大礼时所用的文书 列明过大礼的物品和数量） 迎书（即迎娶新娘之文书 是亲迎接新娘过门时 男方送给女方的文书）
六礼为纳采 问名 纳吉 纳征 请期和亲迎：···纳采：男方请媒人向女方提亲 送彩礼（纳采用雁 代表忠贞 守节）
···问名：如果女方同意男方提亲后 女方家长会将女儿的姓名 排行 生辰八字等 书写在红帖子上 给男方带回 男方收到后请算命先生「合八字」问卜吉凶 决定双方八字是否适合无冲煞 或将女方「八字」放在灶君前 若太平无事的就是八字相合 合则择日送求婚帖子 否则须将「庚帖」退还女方
···纳吉：正式订婚的仪式 男方将占卜合婚的吉兆报告女家 男女双方换定帖 确定婚姻关系
···纳征：征就是成的意思 男家向女家赠送聘礼 男方向女方赠送彩礼以后 婚姻关系就宣告正式成立 男家赠予女家彩礼后 女家亦应回赠男家一些礼品 不过其数量要少得多 只要有象征意义即可 男女双方互赠的礼品都必须是双数 其中含有成双成对的意思
···请期：选择结婚日期 由男家卜得吉日 请女家商定
···迎亲：是女婿亲往女家迎娶新娘的仪式 民间俗称为“迎娶” 结婚当日 新郎依礼先往女方家 女方家长在门外迎接 进入女方庙堂之后 拜祖先 接着新娘出房门 新郎偕同新娘一起载往男方的家里 在男家完成拜天 地 祖先的仪式后 便送入洞房
六礼虽较复杂 但后世慢慢有一些都合并在用 比如1和2 3和4 且现代的很多礼数中也依然看得见过去的影子
八字核心 不过是旺衰喜忌 大运流年 空（亡）格（局）
3.八卦 这个词在近代因为 粤语地区的对小道消息 花边消息 明星绯闻的代名词 现在也用作娱乐新闻 但最初源于河洛文化 即河图 洛书 我们在前面的课程里分享过了
它是三皇五帝之首的伏羲所发明 伏羲氏在天水卦台山始画八卦 一画开天 八卦表示事物自身变化的阴阳系统 用"一"代表阳 用"- -"代表阴 用这两种符号 按照大自然的阴阳变化平行组合 组成八种不同形式 叫做八卦 八卦其实是最早的文字表述符号（其实就是数学里的排列组合 因为8=2的三次方）
乾代表天 坤代表地 巽代表风 震代表雷 坎代表水 离代表火 艮代表山 兑代表泽 伏羲八卦 也叫先天八卦 主要用在体系上的构建
八卦是从易中开始 易有太极 是生两仪 两仪生四象 四象生八卦（每一次生 就是一次变 三变 就是成八卦）它们是八种基本物象 但可广泛运用于多个领域 占卜 风水 中医 武术 音乐 军事等
先天八卦（为体）： 乾三连 坤六断 震仰盂 艮覆碗 离中虚 坎中满 兑上缺 巽下断
后天八卦（为用）： 一数坎来二数坤 三震四巽是中分 五数中宫六乾是 七兑八艮九离门
先天八卦：乾一 兑二 离三 震四 巽五 坎六 艮七 坤八
后天八卦：坎一 坤二 震三 巽四 五为中宫 乾六 兑七 艮八 离九
卦名 自然 特性 家人 肢体 动物 方位 季节 阴阳 五行
乾 天 健 父 首 马 西北 秋冬间 阳 金
兑 泽 悦 少女 口 羊 西 秋 阴 金
离 火 丽 中女 目 雉 南 夏 阴 火
震 雷 动 长男 足 龙 东 春 阳 木
巽 风 入 长女 股 鸡 东南 春夏间 阴 木
坎 水 陷 中男 耳 猪 北 冬 阳 水
艮 山 止 少男 手 狗 东北 冬春间 阳 土
坤 地 顺 母 腹 牛 西南 夏秋间 阴 土
4.数往者顺 知来者逆 是故 易逆数也（先天八卦与数序有必然关系）也因为如此 所以先天八卦可以用来做日历 以及起卦用
5.乾卦 有了文字之后才取的名字 分析一个卦要从内涵开始分析（三方面）：1.阴阳二气的运行状态 2.爻与爻的关系 3.爻位情况 乾卦就代表三个阳爻轻清向上 但是各自独立的一种状态 描述主要分两个方面：卦德为刚健 卦象为天
类象是非常重要的一个思想模型 具备相同核心特征的一类（它并非线性逻辑的推演 而是不同维度的融合）
6.坤卦：代表了三个阴爻重浊向下 但是各自独立的一种状态 卦德为柔顺 卦象为地
7.震卦：阴卦和阳卦（阴卦的内涵分析主要看阴爻 阳卦的内涵分析主要看阳爻）的判断标准是只有一个爻是阴 即阴卦 只有一个爻是阳 即阳卦 阳正动于下 上行而能出 卦德为震动 卦象为雷
8.巽卦：代表阴气欲下 但是无路可下 此时受二阳爻吸引 且都不当位 故从上 阴从动于上 顺而改志 卦德为顺从 卦象为风
9.坎卦：代表阳爻本来上行 但是陷入两个阴爻的吸引之中 形成都不当位 不合理的一个时态 阳陷于阴中 不正而乱 卦德为陷入 乱 卦象为水 为月
10.离卦：代表阴爻本来下行 但是被动依附于阳爻 形成都当位 非常合理的时态 阴丽于阳内 大正而明 卦德为附着 明 卦象为火 为日
11.艮卦：代表阳爻上行 却上无可进 同时受到下阴爻的吸引 形成当位 合理的状态 阳止进于上 顾而成德 卦德为止 回顾 卦象为山
12.兑卦：代表阴爻下行 同时受到下阳爻的吸引 与下阳交汇 形成不当位 不合理的状态 阴不正而遇 悦而情伤 卦德为悦 伤 卦象为泽 雨
13.后天八卦：帝出乎震 齐乎巽 相见乎离 致役乎坤 说言乎兑 战乎乾 劳乎坎 成言乎艮（易传）为周文王所创 主要为应用 出生 发展 成功 稳定 衰落 调整 动乱 衰亡（正好对应 震 巽 离 坤 兑 乾 坎 艮） https://t.cn/RxBBmh3
上课与论文（二）
“韩信点兵”问题的教学设计
一、给出问题
例：“韩信点兵”问题.（07版高中新教材3，第88页例4）
韩信是汉高祖刘邦手下的大将，他英勇善战，智谋超群，为建立汉朝立下了汗马功劳。据说他在点兵的时候，为了保住军事机密，不让敌人知道部队的实力，采用了下述点兵的方法：先令士兵从1~3报数，结果最后一个士兵报2；再令士兵从1~5报数，结果最后一位士兵报到3；又令士兵从1~7报数，结果最后一个士兵报4.这样，韩信很快地就算出了部队士兵的总人数。请设计一个算法，求出士兵至少有多少人。
何为算法，粗略地讲，是为解决一个特定问题而采取的确定的有限的步骤。做任何事情都应先有解决问题的具体的思路。
下面就来讨论“韩信点兵”问题。
二、寻路求解
“韩信点兵”时采用的是循环数点名法：即士兵从1报到3,再从1又报到3,横排按顺S报数继续，……,直到最后一位士兵报出数2停止。这个报数点名的过程包含着一个简单的数学问题：若设士兵总人数为N，则N=3K1+2（K1=0,1,2,…）其中K1为报名时循环的次数。这样若是循环1到5的正整数报数点名，则士兵总人数为N=5K2+3（K2=0,1,2,…），若采用循环1到7报数点名，则士兵总人数为N=7K3+4（K3=0,1,2,…）.显然，满足上面三个条件中任意一个（或2个或3个）都不能确定士兵总人数N.理由很简单，从方程求解的角度来分析上面的三个条件，即满足
N=3K1+2（K1=0,1,2,…）(I)
N=5K2+3（K2=0,1,2,…）(II)
N=7K3+4（K3=0,1,2,…）(III)
当满足一个条件时，相当于二元一次方程求正整数解，没有确定解；当满足其中任两个条件时，相当于两个三元一次方程组求正整数解，一般情况下无定解；当满足三个条件时相当于三个四元一次方程组求正整数解，通常一般情形也无定解。通过以上的分析尽管这些条件虽不能确定具体的数，但可相应地说明该数具有的一些特点。比如满足条件I，可由小到大列出2,5,8,11,14,…一列数，至此，基本上搞清了“韩信点兵”问题揭示的一个简单的数学问题。即知余数和除数确定最小的被除数。
继续从数学的角度来探讨这个问题，即由N=3K1+2（K1=0,1,2,…）；
N=5K2+3（K2=0,1,2,…）；
N=7K3+4 (K3=0,1,2,…）可变形出(N-2)(N-3)(N-4)=3×5×7K1K2K3（*），求Nmin.由（*）可以发现求Nmin有一定的困难。但欣慰的是在对该问题的分析过程中知道，它总可以分解为五个小问题，每个小问题的解决有相应确定的步骤，这就提醒我们可设计一个算法，借助计算机来求解这个问题的解Nmin.
下面将要解决该问题具体的求解步骤问题。
三、算法设计
如何用自然语言表示该问题的算法呢？可以考虑从特殊的正整数序列中筛选出符合要求的数。
第一步易实现确定最小的除3余2的正整数为2；第二步依次加3得出除3余2的一列数（通项式N=3K1+2,K1=0 1,2,…）2,5,8,11,14…,32,35,…,53,56,…；第三步在此列数中确定最小的除以5余3的正整数为8，正整数8既满足条件I，也满足条件II且是最小的符合要求的数，进而产生一个新的正整数数列，依次加15,得到8,23,38,53,…,即可证明满足条件I和条件II，因为
N=15K4+8,（K4=0,1,2,…）
=3×5K4+3×2+2
=3×(5K4+2)+2 （其中5K4+2为正整数）
满足条件I
N=15K4+8，（K4=0,1,2,……）
=5×3K4+5×1+3
=5×(3K4+1)+3 （其中3K4+1为正整数）
满足条件II.
第四步从得到的一列数中找到满足条件III的最小正整数Nmin.这是我们要求的一个数。
在完成了上述步骤后，就找到了所求数53，这5个步骤称为解决“韩信点兵”问题的一个算法。能否在这个算法的基础上做一些优化，以便更简地获得结果呢？
四、优化方案
1.算理拟优化方案
“韩信点兵”问题的算理可从集合的角度去考虑，如附图（略）.问题的实质是求对应三个集合的交集中的最小元素问题。该思路能很好的理解“韩信点兵”做法的数学实质。有兴趣的同学可从这方面作一些尝试，找是否有可行的算法，“韩信点兵”问题的算理也可从数列的角度加以考虑，即产生三个数列：
N=3K1+2 （K1=0,1,2,…）
2,5,8,11,14,…,53,…
N=5K2+3 （K2=0,1,2,…）
3,8,13,18,23,28,…,53,…
N=7K3+4 （K4=0,1,2,…）
4,11,18,25,32,…,53,…
从这三个数列中找最小的相同项，即得到53.
2.算法拟优化方案
由(N-2)(N-3)(N-4)=3×5×7K1K2K3知任意改变3,5,7因数的顺序，上面式子不变，因而任取3,5,7的一个排列，就产生类似于上面算法的一个算法，比如，按由大到小即7,5,3步骤也可实现（见教材第89页算法），可见由教材的算理可以有类似的6个元素的全排列种算法。但从本质上说并未真正地优化了算法。但却丰富了该问题的算法。优化算法的思想意识任何时候都应该有。
五、引思启示
（1）“韩信点兵”问题的符合要求的最小正整数53已得到。若要再问还有没有符合要求的其它数？若有第二个数应该是多少？能否找到答案的一个通式来验证。通过“韩信点兵”问题从数学角度加以分析，很快可以得到下面的一个公式，即N=3×5×7K5+53(K5=0,1,2,…)，该公式是满足条件I，II，III的通解。可仿上面类似证明。这也说明了用韩信的方法点兵得到的士兵人数是些正整数的集合，因而一个答案是求至少有多少个士兵。从这个例子的分析再次说明了算法是解决某类问题的一系列具体步骤或子程序，只要按这些步骤执行，就能使问题得到解决。
（2）对任何一个数学问题用算法解决都存在一个优化算法的步骤在内。针对某一具体问题的算法，可以通过交流思考，从中去粗取优，存精取巧，做求优求简的改进。寻求新的算法，掌握较成熟的少数算法，将是利用计算机解决问题所需不懈努力的目标。通过例子进一步体会算法的基本思想，体会到一个问题的解决可能存在多种算法，有优劣之分。深切地感受到算法思想在解决一些问题时的优越性、工具性。
杨宏联2019年7月28日该文章发表于《中学数学教学参考》2007年第10期下旬刊
说明：
2007年新版高中数学教材还未试行，那时才开始全员培训高中教师，2007年8月初在宝鸡培训结束后在那个暑假里用一个下午立即写的论文《“韩信点兵”问题的教学设计》，与之相关的各种数学教辅资料还没有出现呢！写论文也是出于当时评审中学数学一级教师的需要。
杨宏联2019年7月31日
上课与论文
教师正式发表了文章是有用的，工作多年来，都不曾下功夫写论文，除非非作不可，才勉强成篇。以现在看来，若以当初高中上过数学课来说，大致每一节课都可以成为写论文的材料，如今不作课堂有关的话题，主要是为写的真实，曾经上过的课绝不是纸上谈兵，有不实造作之嫌，当初上课可不是写文章，可以随时修改，特别是数学课讲究最初概念的正确建立，严密、严谨是必须的。对学生上课可谓不遗余力，知识是满满的货真价实，不缩水，每一节课不是完全备在教案上，而是备在脑子里，备在学生求知的欲望上，上过的每一节课不是技巧的填充，不是动听言辞的修饰，不是课堂不当的掩饰。那时上课是且纯且高的。如今那些场景依然历历在目，只是已经离开了讲台，便不做那方面的文章。
杨宏联2019年7月8日 https://t.cn/A6Ut1FIE
“韩信点兵”问题的教学设计
一、给出问题
例：“韩信点兵”问题.（07版高中新教材3，第88页例4）
韩信是汉高祖刘邦手下的大将，他英勇善战，智谋超群，为建立汉朝立下了汗马功劳。据说他在点兵的时候，为了保住军事机密，不让敌人知道部队的实力，采用了下述点兵的方法：先令士兵从1~3报数，结果最后一个士兵报2；再令士兵从1~5报数，结果最后一位士兵报到3；又令士兵从1~7报数，结果最后一个士兵报4.这样，韩信很快地就算出了部队士兵的总人数。请设计一个算法，求出士兵至少有多少人。
何为算法，粗略地讲，是为解决一个特定问题而采取的确定的有限的步骤。做任何事情都应先有解决问题的具体的思路。
下面就来讨论“韩信点兵”问题。
二、寻路求解
“韩信点兵”时采用的是循环数点名法：即士兵从1报到3,再从1又报到3,横排按顺S报数继续，……,直到最后一位士兵报出数2停止。这个报数点名的过程包含着一个简单的数学问题：若设士兵总人数为N，则N=3K1+2（K1=0,1,2,…）其中K1为报名时循环的次数。这样若是循环1到5的正整数报数点名，则士兵总人数为N=5K2+3（K2=0,1,2,…），若采用循环1到7报数点名，则士兵总人数为N=7K3+4（K3=0,1,2,…）.显然，满足上面三个条件中任意一个（或2个或3个）都不能确定士兵总人数N.理由很简单，从方程求解的角度来分析上面的三个条件，即满足
N=3K1+2（K1=0,1,2,…）(I)
N=5K2+3（K2=0,1,2,…）(II)
N=7K3+4（K3=0,1,2,…）(III)
当满足一个条件时，相当于二元一次方程求正整数解，没有确定解；当满足其中任两个条件时，相当于两个三元一次方程组求正整数解，一般情况下无定解；当满足三个条件时相当于三个四元一次方程组求正整数解，通常一般情形也无定解。通过以上的分析尽管这些条件虽不能确定具体的数，但可相应地说明该数具有的一些特点。比如满足条件I，可由小到大列出2,5,8,11,14,…一列数，至此，基本上搞清了“韩信点兵”问题揭示的一个简单的数学问题。即知余数和除数确定最小的被除数。
继续从数学的角度来探讨这个问题，即由N=3K1+2（K1=0,1,2,…）；
N=5K2+3（K2=0,1,2,…）；
N=7K3+4 (K3=0,1,2,…）可变形出(N-2)(N-3)(N-4)=3×5×7K1K2K3（*），求Nmin.由（*）可以发现求Nmin有一定的困难。但欣慰的是在对该问题的分析过程中知道，它总可以分解为五个小问题，每个小问题的解决有相应确定的步骤，这就提醒我们可设计一个算法，借助计算机来求解这个问题的解Nmin.
下面将要解决该问题具体的求解步骤问题。
三、算法设计
如何用自然语言表示该问题的算法呢？可以考虑从特殊的正整数序列中筛选出符合要求的数。
第一步易实现确定最小的除3余2的正整数为2；第二步依次加3得出除3余2的一列数（通项式N=3K1+2,K1=0 1,2,…）2,5,8,11,14…,32,35,…,53,56,…；第三步在此列数中确定最小的除以5余3的正整数为8，正整数8既满足条件I，也满足条件II且是最小的符合要求的数，进而产生一个新的正整数数列，依次加15,得到8,23,38,53,…,即可证明满足条件I和条件II，因为
N=15K4+8,（K4=0,1,2,…）
=3×5K4+3×2+2
=3×(5K4+2)+2 （其中5K4+2为正整数）
满足条件I
N=15K4+8，（K4=0,1,2,……）
=5×3K4+5×1+3
=5×(3K4+1)+3 （其中3K4+1为正整数）
满足条件II.
第四步从得到的一列数中找到满足条件III的最小正整数Nmin.这是我们要求的一个数。
在完成了上述步骤后，就找到了所求数53，这5个步骤称为解决“韩信点兵”问题的一个算法。能否在这个算法的基础上做一些优化，以便更简地获得结果呢？
四、优化方案
1.算理拟优化方案
“韩信点兵”问题的算理可从集合的角度去考虑，如附图（略）.问题的实质是求对应三个集合的交集中的最小元素问题。该思路能很好的理解“韩信点兵”做法的数学实质。有兴趣的同学可从这方面作一些尝试，找是否有可行的算法，“韩信点兵”问题的算理也可从数列的角度加以考虑，即产生三个数列：
N=3K1+2 （K1=0,1,2,…）
2,5,8,11,14,…,53,…
N=5K2+3 （K2=0,1,2,…）
3,8,13,18,23,28,…,53,…
N=7K3+4 （K4=0,1,2,…）
4,11,18,25,32,…,53,…
从这三个数列中找最小的相同项，即得到53.
2.算法拟优化方案
由(N-2)(N-3)(N-4)=3×5×7K1K2K3知任意改变3,5,7因数的顺序，上面式子不变，因而任取3,5,7的一个排列，就产生类似于上面算法的一个算法，比如，按由大到小即7,5,3步骤也可实现（见教材第89页算法），可见由教材的算理可以有类似的6个元素的全排列种算法。但从本质上说并未真正地优化了算法。但却丰富了该问题的算法。优化算法的思想意识任何时候都应该有。
五、引思启示
（1）“韩信点兵”问题的符合要求的最小正整数53已得到。若要再问还有没有符合要求的其它数？若有第二个数应该是多少？能否找到答案的一个通式来验证。通过“韩信点兵”问题从数学角度加以分析，很快可以得到下面的一个公式，即N=3×5×7K5+53(K5=0,1,2,…)，该公式是满足条件I，II，III的通解。可仿上面类似证明。这也说明了用韩信的方法点兵得到的士兵人数是些正整数的集合，因而一个答案是求至少有多少个士兵。从这个例子的分析再次说明了算法是解决某类问题的一系列具体步骤或子程序，只要按这些步骤执行，就能使问题得到解决。
（2）对任何一个数学问题用算法解决都存在一个优化算法的步骤在内。针对某一具体问题的算法，可以通过交流思考，从中去粗取优，存精取巧，做求优求简的改进。寻求新的算法，掌握较成熟的少数算法，将是利用计算机解决问题所需不懈努力的目标。通过例子进一步体会算法的基本思想，体会到一个问题的解决可能存在多种算法，有优劣之分。深切地感受到算法思想在解决一些问题时的优越性、工具性。
杨宏联2019年7月28日该文章发表于《中学数学教学参考》2007年第10期下旬刊
说明：
2007年新版高中数学教材还未试行，那时才开始全员培训高中教师，2007年8月初在宝鸡培训结束后在那个暑假里用一个下午立即写的论文《“韩信点兵”问题的教学设计》，与之相关的各种数学教辅资料还没有出现呢！写论文也是出于当时评审中学数学一级教师的需要。
杨宏联2019年7月31日
上课与论文
教师正式发表了文章是有用的，工作多年来，都不曾下功夫写论文，除非非作不可，才勉强成篇。以现在看来，若以当初高中上过数学课来说，大致每一节课都可以成为写论文的材料，如今不作课堂有关的话题，主要是为写的真实，曾经上过的课绝不是纸上谈兵，有不实造作之嫌，当初上课可不是写文章，可以随时修改，特别是数学课讲究最初概念的正确建立，严密、严谨是必须的。对学生上课可谓不遗余力，知识是满满的货真价实，不缩水，每一节课不是完全备在教案上，而是备在脑子里，备在学生求知的欲望上，上过的每一节课不是技巧的填充，不是动听言辞的修饰，不是课堂不当的掩饰。那时上课是且纯且高的。如今那些场景依然历历在目，只是已经离开了讲台，便不做那方面的文章。
杨宏联2019年7月8日 https://t.cn/A6Ut1FIE
【民法典来了|关于继承，您需要知道的知识在这里!】民法典来啦2020年5月28日下午，十三届全国人大三次会议表决通过了《中华人民共和国民法典》。这部法律自2021年1月1日起施行。作为新中国成立以来的首部法典，民法典从编纂到颁行都具有划时代的里程碑意义，它标志着我国民法体系进入新的阶段，我国公民民事权利保护开启新的征程。
继承，关系着自然人死亡后财产的传承，事关千家万户。2021年1月1日民法典正式施行后，从1985年起施行的继承法将被替代。从妥善管理遗产，到减少遗产纠纷，民法典在继承编中作出了一系列新的规定。新增打印、录像两种法定遗嘱形式
王大爷和张大妈夫妇二人决定各自订立遗嘱处分自己的财产。一日，二人分别找来了两位见证人在场见证，王大爷通过电脑输入了遗嘱内容并打印纸质文件，其本人和两位见证人在打印遗嘱的每一页上都签了名并且注明年月日。张大妈则通过手机录音录像的方式订立了遗嘱，两位见证人也在录像中记录了他们的姓名及年月日。王大爷和张大妈的遗嘱有效吗?第一千一百三十六条 打印遗嘱应当有两个以上见证人在场见证。遗嘱人和见证人应当在遗嘱每一页签名，注明年、月、日。第一千一百三十七条 以录音录像形式立的遗嘱，应当有两个以上见证人在场见证。遗嘱人和见证人应当在录音录像中记录其姓名或者肖像，以及年、月、日。答:有效。民法典继承编保留了继承法原有的五种遗嘱形式:自书遗嘱、代书遗嘱、录音遗嘱、口头遗嘱和公证遗嘱，新增两种法定遗嘱形式，打印遗嘱和录像遗嘱，并对两种遗嘱的法定形式要件予以了明确规定。公证遗嘱效力不再优先
张大爷曾公证了一份遗嘱，其房屋由两个儿子共同继承。但是在张大爷晚年病重期间，大儿子一直在医院陪护照料，小儿子对其不管不问。张大爷在其去世前又立了一份自书遗嘱，决定其房屋由大儿子一人继承。张大爷去世后，大儿子主张依据张大爷生前立的最后一份自书遗嘱继承房屋。小儿子则主张公证遗嘱效力优先，应依据公证遗嘱平分房屋。张大爷的房屋到底归谁?第一千一百四十二条 遗嘱人可以撤回、变更自己所立的遗嘱。立遗嘱后，遗嘱人实施与遗嘱内容相反的民事法律行为的，视为对遗嘱相关内容的撤回。立有数份遗嘱，内容相抵触的，以最后的遗嘱为准。答:房屋的继承问题应当依据张大爷生前立的最后一份自书遗嘱为准，由张大爷的大儿子继承。现实生活中经常出现一个人立有多份遗嘱的情况，现行继承法规定如有公证遗嘱，以公证遗嘱为准，民法典对此作出修改，删除了公证遗嘱效力优先的规定。扩大代位继承人范围
李某一生未婚，无子女。早年父母去世后，李某便一直同哥哥一家人共同生活。哥哥去世后，李某晚年一直由哥哥的儿子小明照料。李某因意外去世，未留有遗嘱，侄子小明能否继承李某留下的财产?第一千一百二十八条 被继承人的子女先于被继承人死亡的，由被继承人的子女的直系晚辈血亲代位继承。被继承人的兄弟姐妹先于被继承人死亡的，由被继承人的兄弟姐妹的子女代位继承。代位继承人一般只能继承被代位继承人有权继承的遗产份额。答:小明有权继承李某留下的财产。按照继承法的规定，法定继承的第一顺序是配偶、子女、父母。在没有第一顺序继承人时，由第二顺序兄弟姐妹、祖父母、外祖父母继承。在被继承人的子女先于被继承人死亡时，也只有被继承人的子女的晚辈直系血亲享有代位继承的权利。此次民法典继承编，扩大代位继承人范围，即被继承人的兄弟姐妹先于被继承人死亡的，由被继承人的兄弟姐妹的子女代位继承。新增遗产管理人制度
王某是一家上市公司的大股东，其拥有财产数额较大、种类繁多，同时也有一定数额的债权与债务。王某膝下有一子一女，如何更好地处理自己的身后事，避免子女争夺遗产，成了困扰王某的一大难题。一日，王某看到电视剧中某公司董事长指定律师作为其遗产管理人，对遗产进行管理。王某也想这么做，可以吗?第一千一百四十五条 继承开始后，遗嘱执行人为遗产管理人;没有遗嘱执行人的，继承人应当及时推选遗产管理人;继承人未推选的，由继承人共同担任遗产管理人;没有继承人或者继承人均放弃继承的，由被继承人生前住所地的民政部门或者村民委员会担任遗产管理人。第一千一百四十六条 对遗产管理人的确定有争议的，利害关系人可以向人民法院申请指定遗产管理人。第一千一百四十七条 遗产管理人应当履行下列职责:(一)清理遗产并制作遗产清单;(二)向继承人报告遗产情况;(三)采取必要措施防止遗产毁损、灭失;(四)处理被继承人的债权债务;(五)按照遗嘱或者依照法律规定分割遗产;(六)实施与管理遗产有关的其他必要行为。第一千一百四十八条 遗产管理人应当依法履行职责，因故意或者重大过失造成继承人、受遗赠人、债权人损害的，应当承担民事责任。第一千一百四十九条 遗产管理人可以依照法律规定或者按照约定获得报酬。答:可以。实践中，在遗产数额较多、种类庞杂，且债权债务并存的情况下，常常会出现继承人之间争夺遗产控制权与遗产债权人诉求利益保护交织的情形。此次民法典继承编新增遗产管理人制度，并对遗产管理人的选任、指定以及职责等均进行了明确规定。遗产管理人的协调可以有效减少各方争执，满足多元化遗产分配需求，利于社会稳定。新增继承人宽恕制度隐匿遗嘱也将丧失继承权
王大爷有一儿一女。王大爷年迈后一直随女儿生活，女儿平日里对王大爷照顾有加，十分孝顺，王大爷便立了一份自书遗嘱，决定名下房屋由女儿继承。其儿子听说此事后非常生气，以暴力方式抢夺并藏匿自书遗嘱。儿子的这一行为是否造成其继承权丧失?若儿子随后认识到自己的错误，王大爷对儿子的行为也表示了原谅和宽恕，王大爷再次订立了遗嘱，决定房屋由儿子和女儿共同人继承，这种情况下，其儿子还有权继承房屋吗?第一千一百二十五条 继承人有下列行为之一的，丧失继承权:(一)故意杀害被继承人;(二)为争夺遗产而杀害其他继承人;(三)遗弃被继承人，或者虐待被继承人，情节严重;(四)伪造、篡改、隐匿或者销毁遗嘱，情节严重;(五)以欺诈、胁迫手段迫使或者妨碍被继承人设立、变更或者撤回遗嘱，情节严重。继承人有前款第三项至第五项行为，确有悔改表现，被继承人表示宽恕或者事后在遗嘱中将其列为继承人的，该继承人不丧失继承权。受遗赠人有本条第一款规定行为的，丧失受遗赠权。答:王大爷儿子隐匿遗嘱的行为，导致其丧失继承权。儿子随后认识到自己的错误，王大爷对儿子的行为也表示了原谅和宽恕，并重新订立遗嘱将其列为继承人，其儿子不丧失继承权，有权继承房屋。继承法第七条第一款第四项规定伪造、篡改或者销毁遗嘱，情节严重的，继承人丧失继承权。此次民法典继承编针对该项规定，新增了“隐匿”行为，即伪造、篡改、隐匿或者销毁遗嘱，情节严重的，继承人丧失继承权。此外，民法典继承编此次新增了继承人宽恕制度，除了故意杀害被继承人和为争夺遗产而杀害其他继承人两种极其严重的行为外，对于其他行为，继承人确有悔改表现，被继承人表示宽恕或者事后在遗嘱中将其列为继承人的，该继承人不丧失继承权。该条文有助于缓和父母与子女之间的矛盾，也给存在不当行为的继承人一个悔改的机会。撰稿:韩 琳原标题:《民法典来了|关于继承，您需要知道的知识在这里!》
继承，关系着自然人死亡后财产的传承，事关千家万户。2021年1月1日民法典正式施行后，从1985年起施行的继承法将被替代。从妥善管理遗产，到减少遗产纠纷，民法典在继承编中作出了一系列新的规定。新增打印、录像两种法定遗嘱形式
王大爷和张大妈夫妇二人决定各自订立遗嘱处分自己的财产。一日，二人分别找来了两位见证人在场见证，王大爷通过电脑输入了遗嘱内容并打印纸质文件，其本人和两位见证人在打印遗嘱的每一页上都签了名并且注明年月日。张大妈则通过手机录音录像的方式订立了遗嘱，两位见证人也在录像中记录了他们的姓名及年月日。王大爷和张大妈的遗嘱有效吗?第一千一百三十六条 打印遗嘱应当有两个以上见证人在场见证。遗嘱人和见证人应当在遗嘱每一页签名，注明年、月、日。第一千一百三十七条 以录音录像形式立的遗嘱，应当有两个以上见证人在场见证。遗嘱人和见证人应当在录音录像中记录其姓名或者肖像，以及年、月、日。答:有效。民法典继承编保留了继承法原有的五种遗嘱形式:自书遗嘱、代书遗嘱、录音遗嘱、口头遗嘱和公证遗嘱，新增两种法定遗嘱形式，打印遗嘱和录像遗嘱，并对两种遗嘱的法定形式要件予以了明确规定。公证遗嘱效力不再优先
张大爷曾公证了一份遗嘱，其房屋由两个儿子共同继承。但是在张大爷晚年病重期间，大儿子一直在医院陪护照料，小儿子对其不管不问。张大爷在其去世前又立了一份自书遗嘱，决定其房屋由大儿子一人继承。张大爷去世后，大儿子主张依据张大爷生前立的最后一份自书遗嘱继承房屋。小儿子则主张公证遗嘱效力优先，应依据公证遗嘱平分房屋。张大爷的房屋到底归谁?第一千一百四十二条 遗嘱人可以撤回、变更自己所立的遗嘱。立遗嘱后，遗嘱人实施与遗嘱内容相反的民事法律行为的，视为对遗嘱相关内容的撤回。立有数份遗嘱，内容相抵触的，以最后的遗嘱为准。答:房屋的继承问题应当依据张大爷生前立的最后一份自书遗嘱为准，由张大爷的大儿子继承。现实生活中经常出现一个人立有多份遗嘱的情况，现行继承法规定如有公证遗嘱，以公证遗嘱为准，民法典对此作出修改，删除了公证遗嘱效力优先的规定。扩大代位继承人范围
李某一生未婚，无子女。早年父母去世后，李某便一直同哥哥一家人共同生活。哥哥去世后，李某晚年一直由哥哥的儿子小明照料。李某因意外去世，未留有遗嘱，侄子小明能否继承李某留下的财产?第一千一百二十八条 被继承人的子女先于被继承人死亡的，由被继承人的子女的直系晚辈血亲代位继承。被继承人的兄弟姐妹先于被继承人死亡的，由被继承人的兄弟姐妹的子女代位继承。代位继承人一般只能继承被代位继承人有权继承的遗产份额。答:小明有权继承李某留下的财产。按照继承法的规定，法定继承的第一顺序是配偶、子女、父母。在没有第一顺序继承人时，由第二顺序兄弟姐妹、祖父母、外祖父母继承。在被继承人的子女先于被继承人死亡时，也只有被继承人的子女的晚辈直系血亲享有代位继承的权利。此次民法典继承编，扩大代位继承人范围，即被继承人的兄弟姐妹先于被继承人死亡的，由被继承人的兄弟姐妹的子女代位继承。新增遗产管理人制度
王某是一家上市公司的大股东，其拥有财产数额较大、种类繁多，同时也有一定数额的债权与债务。王某膝下有一子一女，如何更好地处理自己的身后事，避免子女争夺遗产，成了困扰王某的一大难题。一日，王某看到电视剧中某公司董事长指定律师作为其遗产管理人，对遗产进行管理。王某也想这么做，可以吗?第一千一百四十五条 继承开始后，遗嘱执行人为遗产管理人;没有遗嘱执行人的，继承人应当及时推选遗产管理人;继承人未推选的，由继承人共同担任遗产管理人;没有继承人或者继承人均放弃继承的，由被继承人生前住所地的民政部门或者村民委员会担任遗产管理人。第一千一百四十六条 对遗产管理人的确定有争议的，利害关系人可以向人民法院申请指定遗产管理人。第一千一百四十七条 遗产管理人应当履行下列职责:(一)清理遗产并制作遗产清单;(二)向继承人报告遗产情况;(三)采取必要措施防止遗产毁损、灭失;(四)处理被继承人的债权债务;(五)按照遗嘱或者依照法律规定分割遗产;(六)实施与管理遗产有关的其他必要行为。第一千一百四十八条 遗产管理人应当依法履行职责，因故意或者重大过失造成继承人、受遗赠人、债权人损害的，应当承担民事责任。第一千一百四十九条 遗产管理人可以依照法律规定或者按照约定获得报酬。答:可以。实践中，在遗产数额较多、种类庞杂，且债权债务并存的情况下，常常会出现继承人之间争夺遗产控制权与遗产债权人诉求利益保护交织的情形。此次民法典继承编新增遗产管理人制度，并对遗产管理人的选任、指定以及职责等均进行了明确规定。遗产管理人的协调可以有效减少各方争执，满足多元化遗产分配需求，利于社会稳定。新增继承人宽恕制度隐匿遗嘱也将丧失继承权
王大爷有一儿一女。王大爷年迈后一直随女儿生活，女儿平日里对王大爷照顾有加，十分孝顺，王大爷便立了一份自书遗嘱，决定名下房屋由女儿继承。其儿子听说此事后非常生气，以暴力方式抢夺并藏匿自书遗嘱。儿子的这一行为是否造成其继承权丧失?若儿子随后认识到自己的错误，王大爷对儿子的行为也表示了原谅和宽恕，王大爷再次订立了遗嘱，决定房屋由儿子和女儿共同人继承，这种情况下，其儿子还有权继承房屋吗?第一千一百二十五条 继承人有下列行为之一的，丧失继承权:(一)故意杀害被继承人;(二)为争夺遗产而杀害其他继承人;(三)遗弃被继承人，或者虐待被继承人，情节严重;(四)伪造、篡改、隐匿或者销毁遗嘱，情节严重;(五)以欺诈、胁迫手段迫使或者妨碍被继承人设立、变更或者撤回遗嘱，情节严重。继承人有前款第三项至第五项行为，确有悔改表现，被继承人表示宽恕或者事后在遗嘱中将其列为继承人的，该继承人不丧失继承权。受遗赠人有本条第一款规定行为的，丧失受遗赠权。答:王大爷儿子隐匿遗嘱的行为，导致其丧失继承权。儿子随后认识到自己的错误，王大爷对儿子的行为也表示了原谅和宽恕，并重新订立遗嘱将其列为继承人，其儿子不丧失继承权，有权继承房屋。继承法第七条第一款第四项规定伪造、篡改或者销毁遗嘱，情节严重的，继承人丧失继承权。此次民法典继承编针对该项规定，新增了“隐匿”行为，即伪造、篡改、隐匿或者销毁遗嘱，情节严重的，继承人丧失继承权。此外，民法典继承编此次新增了继承人宽恕制度，除了故意杀害被继承人和为争夺遗产而杀害其他继承人两种极其严重的行为外，对于其他行为，继承人确有悔改表现，被继承人表示宽恕或者事后在遗嘱中将其列为继承人的，该继承人不丧失继承权。该条文有助于缓和父母与子女之间的矛盾，也给存在不当行为的继承人一个悔改的机会。撰稿:韩 琳原标题:《民法典来了|关于继承，您需要知道的知识在这里!》
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