上课与论文（二）
“韩信点兵”问题的教学设计
一、给出问题
例：“韩信点兵”问题.（07版高中新教材3，第88页例4）
韩信是汉高祖刘邦手下的大将，他英勇善战，智谋超群，为建立汉朝立下了汗马功劳。据说他在点兵的时候，为了保住军事机密，不让敌人知道部队的实力，采用了下述点兵的方法：先令士兵从1~3报数，结果最后一个士兵报2；再令士兵从1~5报数，结果最后一位士兵报到3；又令士兵从1~7报数，结果最后一个士兵报4.这样，韩信很快地就算出了部队士兵的总人数。请设计一个算法，求出士兵至少有多少人。
何为算法，粗略地讲，是为解决一个特定问题而采取的确定的有限的步骤。做任何事情都应先有解决问题的具体的思路。
下面就来讨论“韩信点兵”问题。
二、寻路求解
“韩信点兵”时采用的是循环数点名法：即士兵从1报到3,再从1又报到3,横排按顺S报数继续，……,直到最后一位士兵报出数2停止。这个报数点名的过程包含着一个简单的数学问题：若设士兵总人数为N，则N=3K1+2（K1=0,1,2,…）其中K1为报名时循环的次数。这样若是循环1到5的正整数报数点名，则士兵总人数为N=5K2+3（K2=0,1,2,…），若采用循环1到7报数点名，则士兵总人数为N=7K3+4（K3=0,1,2,…）.显然，满足上面三个条件中任意一个（或2个或3个）都不能确定士兵总人数N.理由很简单，从方程求解的角度来分析上面的三个条件，即满足
N=3K1+2（K1=0,1,2,…）(I)
N=5K2+3（K2=0,1,2,…）(II)
N=7K3+4（K3=0,1,2,…）(III)
当满足一个条件时，相当于二元一次方程求正整数解，没有确定解；当满足其中任两个条件时，相当于两个三元一次方程组求正整数解，一般情况下无定解；当满足三个条件时相当于三个四元一次方程组求正整数解，通常一般情形也无定解。通过以上的分析尽管这些条件虽不能确定具体的数，但可相应地说明该数具有的一些特点。比如满足条件I，可由小到大列出2,5,8,11,14,…一列数，至此，基本上搞清了“韩信点兵”问题揭示的一个简单的数学问题。即知余数和除数确定最小的被除数。
继续从数学的角度来探讨这个问题，即由N=3K1+2（K1=0,1,2,…）；
N=5K2+3（K2=0,1,2,…）；
N=7K3+4 (K3=0,1,2,…）可变形出(N-2)(N-3)(N-4)=3×5×7K1K2K3（*），求Nmin.由（*）可以发现求Nmin有一定的困难。但欣慰的是在对该问题的分析过程中知道，它总可以分解为五个小问题，每个小问题的解决有相应确定的步骤，这就提醒我们可设计一个算法，借助计算机来求解这个问题的解Nmin.
下面将要解决该问题具体的求解步骤问题。
三、算法设计
如何用自然语言表示该问题的算法呢？可以考虑从特殊的正整数序列中筛选出符合要求的数。
第一步易实现确定最小的除3余2的正整数为2；第二步依次加3得出除3余2的一列数（通项式N=3K1+2,K1=0 1,2,…）2,5,8,11,14…,32,35,…,53,56,…；第三步在此列数中确定最小的除以5余3的正整数为8，正整数8既满足条件I，也满足条件II且是最小的符合要求的数，进而产生一个新的正整数数列，依次加15,得到8,23,38,53,…,即可证明满足条件I和条件II，因为
N=15K4+8,（K4=0,1,2,…）
=3×5K4+3×2+2
=3×(5K4+2)+2 （其中5K4+2为正整数）
满足条件I
N=15K4+8，（K4=0,1,2,……）
=5×3K4+5×1+3
=5×(3K4+1)+3 （其中3K4+1为正整数）
满足条件II.
第四步从得到的一列数中找到满足条件III的最小正整数Nmin.这是我们要求的一个数。
在完成了上述步骤后，就找到了所求数53，这5个步骤称为解决“韩信点兵”问题的一个算法。能否在这个算法的基础上做一些优化，以便更简地获得结果呢？
四、优化方案
1.算理拟优化方案
“韩信点兵”问题的算理可从集合的角度去考虑，如附图（略）.问题的实质是求对应三个集合的交集中的最小元素问题。该思路能很好的理解“韩信点兵”做法的数学实质。有兴趣的同学可从这方面作一些尝试，找是否有可行的算法，“韩信点兵”问题的算理也可从数列的角度加以考虑，即产生三个数列：
N=3K1+2 （K1=0,1,2,…）
2,5,8,11,14,…,53,…
N=5K2+3 （K2=0,1,2,…）
3,8,13,18,23,28,…,53,…
N=7K3+4 （K4=0,1,2,…）
4,11,18,25,32,…,53,…
从这三个数列中找最小的相同项，即得到53.
2.算法拟优化方案
由(N-2)(N-3)(N-4)=3×5×7K1K2K3知任意改变3,5,7因数的顺序，上面式子不变，因而任取3,5,7的一个排列，就产生类似于上面算法的一个算法，比如，按由大到小即7,5,3步骤也可实现（见教材第89页算法），可见由教材的算理可以有类似的6个元素的全排列种算法。但从本质上说并未真正地优化了算法。但却丰富了该问题的算法。优化算法的思想意识任何时候都应该有。
五、引思启示
（1）“韩信点兵”问题的符合要求的最小正整数53已得到。若要再问还有没有符合要求的其它数？若有第二个数应该是多少？能否找到答案的一个通式来验证。通过“韩信点兵”问题从数学角度加以分析，很快可以得到下面的一个公式，即N=3×5×7K5+53(K5=0,1,2,…)，该公式是满足条件I，II，III的通解。可仿上面类似证明。这也说明了用韩信的方法点兵得到的士兵人数是些正整数的集合，因而一个答案是求至少有多少个士兵。从这个例子的分析再次说明了算法是解决某类问题的一系列具体步骤或子程序，只要按这些步骤执行，就能使问题得到解决。
（2）对任何一个数学问题用算法解决都存在一个优化算法的步骤在内。针对某一具体问题的算法，可以通过交流思考，从中去粗取优，存精取巧，做求优求简的改进。寻求新的算法，掌握较成熟的少数算法，将是利用计算机解决问题所需不懈努力的目标。通过例子进一步体会算法的基本思想，体会到一个问题的解决可能存在多种算法，有优劣之分。深切地感受到算法思想在解决一些问题时的优越性、工具性。
杨宏联2019年7月28日该文章发表于《中学数学教学参考》2007年第10期下旬刊
说明：
2007年新版高中数学教材还未试行，那时才开始全员培训高中教师，2007年8月初在宝鸡培训结束后在那个暑假里用一个下午立即写的论文《“韩信点兵”问题的教学设计》，与之相关的各种数学教辅资料还没有出现呢！写论文也是出于当时评审中学数学一级教师的需要。
杨宏联2019年7月31日
上课与论文
教师正式发表了文章是有用的，工作多年来，都不曾下功夫写论文，除非非作不可，才勉强成篇。以现在看来，若以当初高中上过数学课来说，大致每一节课都可以成为写论文的材料，如今不作课堂有关的话题，主要是为写的真实，曾经上过的课绝不是纸上谈兵，有不实造作之嫌，当初上课可不是写文章，可以随时修改，特别是数学课讲究最初概念的正确建立，严密、严谨是必须的。对学生上课可谓不遗余力，知识是满满的货真价实，不缩水，每一节课不是完全备在教案上，而是备在脑子里，备在学生求知的欲望上，上过的每一节课不是技巧的填充，不是动听言辞的修饰，不是课堂不当的掩饰。那时上课是且纯且高的。如今那些场景依然历历在目，只是已经离开了讲台，便不做那方面的文章。
杨宏联2019年7月8日 https://t.cn/A6Ut1FIE
“韩信点兵”问题的教学设计
一、给出问题
例：“韩信点兵”问题.（07版高中新教材3，第88页例4）
韩信是汉高祖刘邦手下的大将，他英勇善战，智谋超群，为建立汉朝立下了汗马功劳。据说他在点兵的时候，为了保住军事机密，不让敌人知道部队的实力，采用了下述点兵的方法：先令士兵从1~3报数，结果最后一个士兵报2；再令士兵从1~5报数，结果最后一位士兵报到3；又令士兵从1~7报数，结果最后一个士兵报4.这样，韩信很快地就算出了部队士兵的总人数。请设计一个算法，求出士兵至少有多少人。
何为算法，粗略地讲，是为解决一个特定问题而采取的确定的有限的步骤。做任何事情都应先有解决问题的具体的思路。
下面就来讨论“韩信点兵”问题。
二、寻路求解
“韩信点兵”时采用的是循环数点名法：即士兵从1报到3,再从1又报到3,横排按顺S报数继续，……,直到最后一位士兵报出数2停止。这个报数点名的过程包含着一个简单的数学问题：若设士兵总人数为N，则N=3K1+2（K1=0,1,2,…）其中K1为报名时循环的次数。这样若是循环1到5的正整数报数点名，则士兵总人数为N=5K2+3（K2=0,1,2,…），若采用循环1到7报数点名，则士兵总人数为N=7K3+4（K3=0,1,2,…）.显然，满足上面三个条件中任意一个（或2个或3个）都不能确定士兵总人数N.理由很简单，从方程求解的角度来分析上面的三个条件，即满足
N=3K1+2（K1=0,1,2,…）(I)
N=5K2+3（K2=0,1,2,…）(II)
N=7K3+4（K3=0,1,2,…）(III)
当满足一个条件时，相当于二元一次方程求正整数解，没有确定解；当满足其中任两个条件时，相当于两个三元一次方程组求正整数解，一般情况下无定解；当满足三个条件时相当于三个四元一次方程组求正整数解，通常一般情形也无定解。通过以上的分析尽管这些条件虽不能确定具体的数，但可相应地说明该数具有的一些特点。比如满足条件I，可由小到大列出2,5,8,11,14,…一列数，至此，基本上搞清了“韩信点兵”问题揭示的一个简单的数学问题。即知余数和除数确定最小的被除数。
继续从数学的角度来探讨这个问题，即由N=3K1+2（K1=0,1,2,…）；
N=5K2+3（K2=0,1,2,…）；
N=7K3+4 (K3=0,1,2,…）可变形出(N-2)(N-3)(N-4)=3×5×7K1K2K3（*），求Nmin.由（*）可以发现求Nmin有一定的困难。但欣慰的是在对该问题的分析过程中知道，它总可以分解为五个小问题，每个小问题的解决有相应确定的步骤，这就提醒我们可设计一个算法，借助计算机来求解这个问题的解Nmin.
下面将要解决该问题具体的求解步骤问题。
三、算法设计
如何用自然语言表示该问题的算法呢？可以考虑从特殊的正整数序列中筛选出符合要求的数。
第一步易实现确定最小的除3余2的正整数为2；第二步依次加3得出除3余2的一列数（通项式N=3K1+2,K1=0 1,2,…）2,5,8,11,14…,32,35,…,53,56,…；第三步在此列数中确定最小的除以5余3的正整数为8，正整数8既满足条件I，也满足条件II且是最小的符合要求的数，进而产生一个新的正整数数列，依次加15,得到8,23,38,53,…,即可证明满足条件I和条件II，因为
N=15K4+8,（K4=0,1,2,…）
=3×5K4+3×2+2
=3×(5K4+2)+2 （其中5K4+2为正整数）
满足条件I
N=15K4+8，（K4=0,1,2,……）
=5×3K4+5×1+3
=5×(3K4+1)+3 （其中3K4+1为正整数）
满足条件II.
第四步从得到的一列数中找到满足条件III的最小正整数Nmin.这是我们要求的一个数。
在完成了上述步骤后，就找到了所求数53，这5个步骤称为解决“韩信点兵”问题的一个算法。能否在这个算法的基础上做一些优化，以便更简地获得结果呢？
四、优化方案
1.算理拟优化方案
“韩信点兵”问题的算理可从集合的角度去考虑，如附图（略）.问题的实质是求对应三个集合的交集中的最小元素问题。该思路能很好的理解“韩信点兵”做法的数学实质。有兴趣的同学可从这方面作一些尝试，找是否有可行的算法，“韩信点兵”问题的算理也可从数列的角度加以考虑，即产生三个数列：
N=3K1+2 （K1=0,1,2,…）
2,5,8,11,14,…,53,…
N=5K2+3 （K2=0,1,2,…）
3,8,13,18,23,28,…,53,…
N=7K3+4 （K4=0,1,2,…）
4,11,18,25,32,…,53,…
从这三个数列中找最小的相同项，即得到53.
2.算法拟优化方案
由(N-2)(N-3)(N-4)=3×5×7K1K2K3知任意改变3,5,7因数的顺序，上面式子不变，因而任取3,5,7的一个排列，就产生类似于上面算法的一个算法，比如，按由大到小即7,5,3步骤也可实现（见教材第89页算法），可见由教材的算理可以有类似的6个元素的全排列种算法。但从本质上说并未真正地优化了算法。但却丰富了该问题的算法。优化算法的思想意识任何时候都应该有。
五、引思启示
（1）“韩信点兵”问题的符合要求的最小正整数53已得到。若要再问还有没有符合要求的其它数？若有第二个数应该是多少？能否找到答案的一个通式来验证。通过“韩信点兵”问题从数学角度加以分析，很快可以得到下面的一个公式，即N=3×5×7K5+53(K5=0,1,2,…)，该公式是满足条件I，II，III的通解。可仿上面类似证明。这也说明了用韩信的方法点兵得到的士兵人数是些正整数的集合，因而一个答案是求至少有多少个士兵。从这个例子的分析再次说明了算法是解决某类问题的一系列具体步骤或子程序，只要按这些步骤执行，就能使问题得到解决。
（2）对任何一个数学问题用算法解决都存在一个优化算法的步骤在内。针对某一具体问题的算法，可以通过交流思考，从中去粗取优，存精取巧，做求优求简的改进。寻求新的算法，掌握较成熟的少数算法，将是利用计算机解决问题所需不懈努力的目标。通过例子进一步体会算法的基本思想，体会到一个问题的解决可能存在多种算法，有优劣之分。深切地感受到算法思想在解决一些问题时的优越性、工具性。
杨宏联2019年7月28日该文章发表于《中学数学教学参考》2007年第10期下旬刊
说明：
2007年新版高中数学教材还未试行，那时才开始全员培训高中教师，2007年8月初在宝鸡培训结束后在那个暑假里用一个下午立即写的论文《“韩信点兵”问题的教学设计》，与之相关的各种数学教辅资料还没有出现呢！写论文也是出于当时评审中学数学一级教师的需要。
杨宏联2019年7月31日
上课与论文
教师正式发表了文章是有用的，工作多年来，都不曾下功夫写论文，除非非作不可，才勉强成篇。以现在看来，若以当初高中上过数学课来说，大致每一节课都可以成为写论文的材料，如今不作课堂有关的话题，主要是为写的真实，曾经上过的课绝不是纸上谈兵，有不实造作之嫌，当初上课可不是写文章，可以随时修改，特别是数学课讲究最初概念的正确建立，严密、严谨是必须的。对学生上课可谓不遗余力，知识是满满的货真价实，不缩水，每一节课不是完全备在教案上，而是备在脑子里，备在学生求知的欲望上，上过的每一节课不是技巧的填充，不是动听言辞的修饰，不是课堂不当的掩饰。那时上课是且纯且高的。如今那些场景依然历历在目，只是已经离开了讲台，便不做那方面的文章。
杨宏联2019年7月8日 https://t.cn/A6Ut1FIE
天上天下無如佛 十方世界亦無比
世間所有我盡見 一切無有如佛者
農曆十二月八日是釋迦牟尼佛成道日，亦名臘八節，紀念釋迦牟尼佛在菩提樹下悟道成佛的節日。
臘八節即仿牧羊女供乳糜供佛的典故，該日以諸果品、五穀煮粥，俗稱為臘八粥，並以粥供佛後，分送給信眾，同沾佛陀成道的吉祥氣息。
釋迦漢譯能仁，能以仁愛的心來憫念眾生，也就是佛教所說的大慈大悲心。這就是佛所具足的悲德。
牟尼漢譯為寂默，是指佛在因地修行的時候，以自己心中本具的智慧光明，迴光返照，斷除煩惱，智慧圓滿，這就是佛所具足的智德。
佛具足能仁寂默，自利利他的智德與悲德，所以他的名字就叫做釋迦牟尼佛。
大約在兩千五百多年前的一個四月初八日，釋迦牟尼佛(佛陀)在印度迦毗羅城的釋迦族中誕生。該城的國王淨飯王，也就是佛陀的父親，摩耶夫人為佛陀的母親；該城位在今天的尼泊爾南境。
摩耶夫人四十四歲時，誕生太子─悉達多王子。悉達多太子誕生時有種種瑞相。長大後不但是文章蓋世，而且是武藝超群。
悉達多太子在十七歲的時候，淨飯王就為他選擇了一個德貌雙全的女子，名叫耶輸陀羅與他結婚，但是太子多生多世勤修戒定慧三學，息滅貪瞋癡三毒，所以他雖然身處塵勞之中，心常清淨無染，真是和蓮華一樣，生在污泥之中，而不染汙。
到了十九歲時候悉達多太子想知道一般老百姓的生活是怎樣的情形，是以出城郊遊，遊了四門後，見到人生中，生、老、病、死的慘狀，於是發心離宮出家求道。
到了二月初八的深夜裏，太子半夜裏飛出王宮。出了北門，回顧巍峨的宮城，發誓說：我若不能求得正覺，度眾生離生死海，誓不再回迦毗羅城。
悉達多太子，經過五載參訪和六年苦修，都沒有找到宇宙人生的真理。如仍受到生、老、病、死的束縛，不能算是離苦得樂的真實覺道。
於是太子決定放棄苦行，前往菩提伽耶附近的尼連禪河畔，準備讓清淨的流水，先洗去身上的積垢，再從事心理的清潔。
因為太子的身體經過長時間的苦行後，已非常虛弱了，當浴罷起身的時候，竟因過分的疲勞而倒在尼連禪河的沙灘上。
幸而碰上二位叫做難陀和波羅的牧羊女正巧路過，供養乳糜，太子因而恢復了氣力。渡過尼連禪河，走到伽耶山旁，獨自端坐於菩提樹下，思維解脫之道，並誓言：不成佛道，不起此座。
悉達多這種驚天動地的誓言，當時大地六種震動起來。頓時天搖地動，連天上第六層寄居天的波旬魔王宮殿，也震動得非常厲害。魔王有神通，用天眼一看，知道悉達多太子在對菩提寶座發出誓願要決定成佛。因此心生瞋恨，堅決要去破壞，他先派了三個魔女，用種種媚態來惱亂迷惑太子，但太子不但不為魔女所動，反而令魔女對佛懺悔，求佛慈悲救度。
波旬魔王知道他的魔女美人計失敗之後，心裏更加忿怒，就親自帶領許多魔兵魔將，用刀槍劍戟種種武器，前來興師問罪。
太子再次顯神力，以手指著波旬魔王說：我過去久遠劫來，廣修功德，供養無量諸佛聖賢，福德智慧不可思議，並不是波旬你的魔力所能摧毀的。
話音落地，只聽到一聲巨響，煞時間魔王就應聲倒在地上，如癡如醉。
其他魔王魔兵看到這種可怕情景，都一齊跪了下來，誠誠懇懇地對佛哀求懺悔，愍念彼等癡昧無知。
佛心是慈悲仁愛，看到魔王父女既知改惡從善，當下就使他們恢復了健康。端正了容貌。
佛是大慈大悲，普度眾生，而又是大雄大力，降伏魔怨。所以寺廟裏的佛殿，就叫大雄寶殿。
釋迦牟尼佛在菩提樹下，打坐入定，精進修行。所修的內容，就是把自己心中本具的智慧光明，來個迴光返照，徹悟心源。
就是寂而常照，照而常寂，靈光獨耀，湛寂澄清的境界。
正像寒潭清水，皓月當空那樣惺惺寂寂，寂寂惺惺。寒潭清水，是寂靜無波，就是寂而常照的境界。
皓月當空，天上一輪月，清光皎潔，當空普照，這就是照而常寂的境界。
佛經過六年的修行，終於把心中的粗塵細垢，妄想執著，滅得一乾二淨。
到了煩惱斷盡，智慧圓滿的時刻，把心中的黑暗完全消滅了，心中的智慧光明，完全顯現出來了。
定境現前，機緣成熟，因此就在三十歲那年的十二月初八日半夜裏，看到天上一顆明星出現，觸景會心，剎那之間頓然大悟，隨云：
奇哉！奇哉！眾生本具如來智慧德相，但因妄想執著而不能證得。
世間所有我盡見 一切無有如佛者
農曆十二月八日是釋迦牟尼佛成道日，亦名臘八節，紀念釋迦牟尼佛在菩提樹下悟道成佛的節日。
臘八節即仿牧羊女供乳糜供佛的典故，該日以諸果品、五穀煮粥，俗稱為臘八粥，並以粥供佛後，分送給信眾，同沾佛陀成道的吉祥氣息。
釋迦漢譯能仁，能以仁愛的心來憫念眾生，也就是佛教所說的大慈大悲心。這就是佛所具足的悲德。
牟尼漢譯為寂默，是指佛在因地修行的時候，以自己心中本具的智慧光明，迴光返照，斷除煩惱，智慧圓滿，這就是佛所具足的智德。
佛具足能仁寂默，自利利他的智德與悲德，所以他的名字就叫做釋迦牟尼佛。
大約在兩千五百多年前的一個四月初八日，釋迦牟尼佛(佛陀)在印度迦毗羅城的釋迦族中誕生。該城的國王淨飯王，也就是佛陀的父親，摩耶夫人為佛陀的母親；該城位在今天的尼泊爾南境。
摩耶夫人四十四歲時，誕生太子─悉達多王子。悉達多太子誕生時有種種瑞相。長大後不但是文章蓋世，而且是武藝超群。
悉達多太子在十七歲的時候，淨飯王就為他選擇了一個德貌雙全的女子，名叫耶輸陀羅與他結婚，但是太子多生多世勤修戒定慧三學，息滅貪瞋癡三毒，所以他雖然身處塵勞之中，心常清淨無染，真是和蓮華一樣，生在污泥之中，而不染汙。
到了十九歲時候悉達多太子想知道一般老百姓的生活是怎樣的情形，是以出城郊遊，遊了四門後，見到人生中，生、老、病、死的慘狀，於是發心離宮出家求道。
到了二月初八的深夜裏，太子半夜裏飛出王宮。出了北門，回顧巍峨的宮城，發誓說：我若不能求得正覺，度眾生離生死海，誓不再回迦毗羅城。
悉達多太子，經過五載參訪和六年苦修，都沒有找到宇宙人生的真理。如仍受到生、老、病、死的束縛，不能算是離苦得樂的真實覺道。
於是太子決定放棄苦行，前往菩提伽耶附近的尼連禪河畔，準備讓清淨的流水，先洗去身上的積垢，再從事心理的清潔。
因為太子的身體經過長時間的苦行後，已非常虛弱了，當浴罷起身的時候，竟因過分的疲勞而倒在尼連禪河的沙灘上。
幸而碰上二位叫做難陀和波羅的牧羊女正巧路過，供養乳糜，太子因而恢復了氣力。渡過尼連禪河，走到伽耶山旁，獨自端坐於菩提樹下，思維解脫之道，並誓言：不成佛道，不起此座。
悉達多這種驚天動地的誓言，當時大地六種震動起來。頓時天搖地動，連天上第六層寄居天的波旬魔王宮殿，也震動得非常厲害。魔王有神通，用天眼一看，知道悉達多太子在對菩提寶座發出誓願要決定成佛。因此心生瞋恨，堅決要去破壞，他先派了三個魔女，用種種媚態來惱亂迷惑太子，但太子不但不為魔女所動，反而令魔女對佛懺悔，求佛慈悲救度。
波旬魔王知道他的魔女美人計失敗之後，心裏更加忿怒，就親自帶領許多魔兵魔將，用刀槍劍戟種種武器，前來興師問罪。
太子再次顯神力，以手指著波旬魔王說：我過去久遠劫來，廣修功德，供養無量諸佛聖賢，福德智慧不可思議，並不是波旬你的魔力所能摧毀的。
話音落地，只聽到一聲巨響，煞時間魔王就應聲倒在地上，如癡如醉。
其他魔王魔兵看到這種可怕情景，都一齊跪了下來，誠誠懇懇地對佛哀求懺悔，愍念彼等癡昧無知。
佛心是慈悲仁愛，看到魔王父女既知改惡從善，當下就使他們恢復了健康。端正了容貌。
佛是大慈大悲，普度眾生，而又是大雄大力，降伏魔怨。所以寺廟裏的佛殿，就叫大雄寶殿。
釋迦牟尼佛在菩提樹下，打坐入定，精進修行。所修的內容，就是把自己心中本具的智慧光明，來個迴光返照，徹悟心源。
就是寂而常照，照而常寂，靈光獨耀，湛寂澄清的境界。
正像寒潭清水，皓月當空那樣惺惺寂寂，寂寂惺惺。寒潭清水，是寂靜無波，就是寂而常照的境界。
皓月當空，天上一輪月，清光皎潔，當空普照，這就是照而常寂的境界。
佛經過六年的修行，終於把心中的粗塵細垢，妄想執著，滅得一乾二淨。
到了煩惱斷盡，智慧圓滿的時刻，把心中的黑暗完全消滅了，心中的智慧光明，完全顯現出來了。
定境現前，機緣成熟，因此就在三十歲那年的十二月初八日半夜裏，看到天上一顆明星出現，觸景會心，剎那之間頓然大悟，隨云：
奇哉！奇哉！眾生本具如來智慧德相，但因妄想執著而不能證得。
《黄帝宅经》曰：“地善，苗茂盛；宅吉，人兴隆。“短短十个字就完全道出风水学的精髓。这说明好房子首重善地，先看外部环境，再讲内部格局。
那么现在房地产公司大量的开发新的楼盘住宅，而大家为了居住更好的生活坏境和房屋，去购买房子，那么在购买当中，往往会碰到，这个楼盘的风水好吗？房屋的套型好吗？这个房屋朝向好么？房屋旺财旺运吗？居住对身体健康好么？
住宅风水与健康密切相关，如果你哪个地方不舒服了，在查不出原因的情况下，不防看看你家的住宅风水是不是犯了忌。健康是发展的前提条件，好的风水有助于促进自身的健康发展，下面让我们了解自己所处的风水吉凶吧。
外部环境宜居
藏风聚气；买房时，最好实地体验一下，第一感觉风柔气聚，便说明这个地方环境是良性的。 “风”是衡量风水优劣的的一个重要指数。重视“藏风聚气”才是风水之道。山环水抱之地就是藏风聚气最理想的格局，所谓“仁者乐山、智者乐水”，山环水抱同样也是生态建筑学中理想的居住之地：空气流通、光照合度，负氧离子充足，对人的身心健康极其有利。
建地本身形状要规则，以方正及矩形为佳；地形以方正为佳，有利气的正常流动。不规则地形如T型，三角形，十字形，圆形都不适合盖房子。比如说：T形和十字形建地象征坎坷不平，圆形建地象征封闭没发展，三角形建地在风水上是最凶，必须加以处理才可，否则事业必败，是非纷至。
方位宜正向；何谓正向呢？就是正南正北、正东正西、正西北东南、正东北西南。
附近没有以下几种情形：曾经发生过重大灾难事故的地方；发生过火灾的土壤变质，没有地气，居住其中不利健康；处决人犯之处，或是秘密坟场，土壤不干净，容易对身体健康产生不利影响。水气多之低地；吉地宜高，不可在低洼地区。一是低地湿气较重，对居住者健康不利；二低地易积水，总比地势高处易淹水，造成不便和损失。近处有坟；附近有坟墓，气场不好，凶。
风大不宜：首先应该注意风势，倘若发觉房屋附近风大，十分急劲那便不宜选购了。因为即使那门房屋真的旺气凝聚，也会被疾风吹散无遗。风水学是最重视“藏风聚气”，这表示风势强劲的地方肯定不会是旺地！但要留意一点，风势过大固然不妙，但倘若风势过缓，空气不大流通，那亦绝非所宜，最理想的居住环境，是有柔和的轻风徐徐吹来，清风送爽，这才符合风水之道。
阳光充足：阳宅风水最讲究阳光空气，所以选择房屋居住，非但要空气清爽，而且还要阳光充足！若是阳光不足的房屋，便往往阴气过重，会导致家宅不宁，实在不宜居住。举例来说，有一间阳光不足的房屋，过门便是一条既窄又长的走廊，而客厅及饭厅似乎没有窗，室外的阳光因而难以透入，这样的房屋，不论是空气与阳光均嫌不足，可说是一泓阴沉的死水，全无生机。
地势宜平：倘若房屋位于斜坡之上，不应选作居所，有家财散尽、家人离散的可能。倘若房屋位于斜坡之上，那么在选购时便要特别小心视察周围环境，因为从风水角度来看，地势平坦的房屋较为平稳，而斜坡则颇多凶险！例房屋的大门对正一条甚为倾斜的山坡，那便不应选作居所，因为不单家财泻漏，而且还会家人离散，一去不回。一般来说，斜坡上的房屋易漏财，而斜坡下的房屋则易损丁。房屋位于急冲而下的斜坡底，因煞气太急太劲，往往会导致人口伤亡。
街道反弓：所谓街道“反弓”，是指房屋前面的街道弯曲，而弯曲位直冲大门，风水学称之为“镰刀割腰”，这样的房屋不宜选购，避之则吉。倘若门前街道反弓，“阳宅十书”认为家中往往发生人口伤亡及失火、顽疾等事；而“入宅明镜”亦有云：“街反出如弓背者，凶。”
忌天斩煞：所谓“天斩煞”是指两撞高楼大厦之间的那条狭窄的空隙，空隙愈窄长便愈凶，但若是在其背后有另一建筑物填补空隙则无妨。所谓“天斩煞”是指两幢高楼大厦之间的一条狭窄空隙，因为仿如用刀从半空斩成两半，故此称为天斩煞。倘若房屋面对“天斩煞”，很可能会有血光之灾，空隙愈窄长便愈凶，距离愈近便愈险！故此不宜选择面对天斩煞的房屋居住，但若是在其背后有另一建筑物填补空隙则不妨。
远离烟囱：风水学古籍《阳宅撮要》有“烟囱对床主难产”之说，由此可知烟囱对健康有损。烟囱不宜——风水学古籍“阳宅撮要”有云：“烟囱对床主难产”，由此可知烟囱对健康有损！睡房窗外多烟囱，这些房屋便不宜选作栖身的安居之所了。就算没有风水方面的问题靠近烟囱的小区空气质量也不好，会影响人们的呼吸道。
内部布局合理
吉位充分利用；户型中的吉凶方位，如能按照居住的不同需求各安本位，当为最佳的布局。比方说，主卧室位于合星位，有利于夫妻感情；卫生间位于衰星位正好可以压制凶星等等。
户型形状不要太怪异；自古就有“天圆地方”的说法，方正的户型比较符合风水理论，而诸如三角形、金字塔型等等，都不是理想的户型，可能形成某些煞气，对居住者健康有极大影响，若是本命所忌方位，则为大凶。
中心太极点受污是风水大忌，卫生间位置至关重要；厕所为家庭污秽之源泉，如果处于屋子的中心地带、西北角者，为最大的不吉。而对家中有男孩的家庭来说，厕所位于正东方也为不吉。 中心五行属土，土生万物。如果屋子的中心是卫生间，则卫生间所产生的污秽之气会令太极受污，严重影响家人的健康和运势。
户型缺角影响家人；户型以方正为最佳，若有缺角，则为有缺憾。哪个方位缺角，就可能会对家中相对应的人产生相应的影响。特别是家居中最重要的几个方位：西北、东北和正东这三个位置是不能缺的。
室内最好不要出现两门相对的情况；门门相对，在风水上有“门冲”之说，不利藏风聚气、财运、健康等方面，且两门相对谓之骂也，多主口舌。 户型中长走廊对着入户门、入户门正对厨房门、开门即见厨房餐厅，厕所或正对卫生间的，这几种户型都属于犯“门冲”。
室内应尽量避免横梁压顶现象；横梁压顶，容易使居者长期受无形压力，有志难伸。尤其是在餐桌、沙发及睡床上有横梁压顶的话，均更易生凶险。
户型中客厅、卧室等的位置要合理，面积要比例恰；户型布局中讲究“前厅后卧”。客厅是招待客人、家人休闲、聚居之所，应具有独立性、完整性。客厅形状上不宜过分狭长，以聚财为好，太狭窄了不聚财、不聚气。 卧室应是具有充足日照和良好通风的私密空间，和客厅之间最好能有空间过渡。卧室的面积不宜过小，主卧室和次卧室的面积一定要合理宜居。
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那么现在房地产公司大量的开发新的楼盘住宅，而大家为了居住更好的生活坏境和房屋，去购买房子，那么在购买当中，往往会碰到，这个楼盘的风水好吗？房屋的套型好吗？这个房屋朝向好么？房屋旺财旺运吗？居住对身体健康好么？
住宅风水与健康密切相关，如果你哪个地方不舒服了，在查不出原因的情况下，不防看看你家的住宅风水是不是犯了忌。健康是发展的前提条件，好的风水有助于促进自身的健康发展，下面让我们了解自己所处的风水吉凶吧。
外部环境宜居
藏风聚气；买房时，最好实地体验一下，第一感觉风柔气聚，便说明这个地方环境是良性的。 “风”是衡量风水优劣的的一个重要指数。重视“藏风聚气”才是风水之道。山环水抱之地就是藏风聚气最理想的格局，所谓“仁者乐山、智者乐水”，山环水抱同样也是生态建筑学中理想的居住之地：空气流通、光照合度，负氧离子充足，对人的身心健康极其有利。
建地本身形状要规则，以方正及矩形为佳；地形以方正为佳，有利气的正常流动。不规则地形如T型，三角形，十字形，圆形都不适合盖房子。比如说：T形和十字形建地象征坎坷不平，圆形建地象征封闭没发展，三角形建地在风水上是最凶，必须加以处理才可，否则事业必败，是非纷至。
方位宜正向；何谓正向呢？就是正南正北、正东正西、正西北东南、正东北西南。
附近没有以下几种情形：曾经发生过重大灾难事故的地方；发生过火灾的土壤变质，没有地气，居住其中不利健康；处决人犯之处，或是秘密坟场，土壤不干净，容易对身体健康产生不利影响。水气多之低地；吉地宜高，不可在低洼地区。一是低地湿气较重，对居住者健康不利；二低地易积水，总比地势高处易淹水，造成不便和损失。近处有坟；附近有坟墓，气场不好，凶。
风大不宜：首先应该注意风势，倘若发觉房屋附近风大，十分急劲那便不宜选购了。因为即使那门房屋真的旺气凝聚，也会被疾风吹散无遗。风水学是最重视“藏风聚气”，这表示风势强劲的地方肯定不会是旺地！但要留意一点，风势过大固然不妙，但倘若风势过缓，空气不大流通，那亦绝非所宜，最理想的居住环境，是有柔和的轻风徐徐吹来，清风送爽，这才符合风水之道。
阳光充足：阳宅风水最讲究阳光空气，所以选择房屋居住，非但要空气清爽，而且还要阳光充足！若是阳光不足的房屋，便往往阴气过重，会导致家宅不宁，实在不宜居住。举例来说，有一间阳光不足的房屋，过门便是一条既窄又长的走廊，而客厅及饭厅似乎没有窗，室外的阳光因而难以透入，这样的房屋，不论是空气与阳光均嫌不足，可说是一泓阴沉的死水，全无生机。
地势宜平：倘若房屋位于斜坡之上，不应选作居所，有家财散尽、家人离散的可能。倘若房屋位于斜坡之上，那么在选购时便要特别小心视察周围环境，因为从风水角度来看，地势平坦的房屋较为平稳，而斜坡则颇多凶险！例房屋的大门对正一条甚为倾斜的山坡，那便不应选作居所，因为不单家财泻漏，而且还会家人离散，一去不回。一般来说，斜坡上的房屋易漏财，而斜坡下的房屋则易损丁。房屋位于急冲而下的斜坡底，因煞气太急太劲，往往会导致人口伤亡。
街道反弓：所谓街道“反弓”，是指房屋前面的街道弯曲，而弯曲位直冲大门，风水学称之为“镰刀割腰”，这样的房屋不宜选购，避之则吉。倘若门前街道反弓，“阳宅十书”认为家中往往发生人口伤亡及失火、顽疾等事；而“入宅明镜”亦有云：“街反出如弓背者，凶。”
忌天斩煞：所谓“天斩煞”是指两撞高楼大厦之间的那条狭窄的空隙，空隙愈窄长便愈凶，但若是在其背后有另一建筑物填补空隙则无妨。所谓“天斩煞”是指两幢高楼大厦之间的一条狭窄空隙，因为仿如用刀从半空斩成两半，故此称为天斩煞。倘若房屋面对“天斩煞”，很可能会有血光之灾，空隙愈窄长便愈凶，距离愈近便愈险！故此不宜选择面对天斩煞的房屋居住，但若是在其背后有另一建筑物填补空隙则不妨。
远离烟囱：风水学古籍《阳宅撮要》有“烟囱对床主难产”之说，由此可知烟囱对健康有损。烟囱不宜——风水学古籍“阳宅撮要”有云：“烟囱对床主难产”，由此可知烟囱对健康有损！睡房窗外多烟囱，这些房屋便不宜选作栖身的安居之所了。就算没有风水方面的问题靠近烟囱的小区空气质量也不好，会影响人们的呼吸道。
内部布局合理
吉位充分利用；户型中的吉凶方位，如能按照居住的不同需求各安本位，当为最佳的布局。比方说，主卧室位于合星位，有利于夫妻感情；卫生间位于衰星位正好可以压制凶星等等。
户型形状不要太怪异；自古就有“天圆地方”的说法，方正的户型比较符合风水理论，而诸如三角形、金字塔型等等，都不是理想的户型，可能形成某些煞气，对居住者健康有极大影响，若是本命所忌方位，则为大凶。
中心太极点受污是风水大忌，卫生间位置至关重要；厕所为家庭污秽之源泉，如果处于屋子的中心地带、西北角者，为最大的不吉。而对家中有男孩的家庭来说，厕所位于正东方也为不吉。 中心五行属土，土生万物。如果屋子的中心是卫生间，则卫生间所产生的污秽之气会令太极受污，严重影响家人的健康和运势。
户型缺角影响家人；户型以方正为最佳，若有缺角，则为有缺憾。哪个方位缺角，就可能会对家中相对应的人产生相应的影响。特别是家居中最重要的几个方位：西北、东北和正东这三个位置是不能缺的。
室内最好不要出现两门相对的情况；门门相对，在风水上有“门冲”之说，不利藏风聚气、财运、健康等方面，且两门相对谓之骂也，多主口舌。 户型中长走廊对着入户门、入户门正对厨房门、开门即见厨房餐厅，厕所或正对卫生间的，这几种户型都属于犯“门冲”。
室内应尽量避免横梁压顶现象；横梁压顶，容易使居者长期受无形压力，有志难伸。尤其是在餐桌、沙发及睡床上有横梁压顶的话，均更易生凶险。
户型中客厅、卧室等的位置要合理，面积要比例恰；户型布局中讲究“前厅后卧”。客厅是招待客人、家人休闲、聚居之所，应具有独立性、完整性。客厅形状上不宜过分狭长，以聚财为好，太狭窄了不聚财、不聚气。 卧室应是具有充足日照和良好通风的私密空间，和客厅之间最好能有空间过渡。卧室的面积不宜过小，主卧室和次卧室的面积一定要合理宜居。
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