【全国仅有三个！成都传媒集团“5G+教师综合评价”项目入选】1月27日，工业和信息化部信息通信发展司与教育部科学技术与信息化司对2021年“5G+智慧教育”应用试点入围项目进行联合公示。由成都传媒集团旗下上市公司博瑞传播所属四川生学教育科技有限公司发起，四川省教育评估院、中国移动通信集团共同立项的“5G+教师综合评价”项目，成功入选此次“5G+智慧教育”应用试点项目名单。https://t.cn/A6iJ2k0F
【数学】【数学史】反比例函数是大家接触最早和最熟悉的函数之一，它的函数解析式是y=k/x（k为常数，k≠0）。我们利用反比例函数的解析式，就可以画出它的图像，如下图所示：
根据函数的图像可知，在k＞0情况下的第一象限内，反比例函数中x的值无限变大，大到无穷的时候，曲线就不断向x轴靠近，换句话说y的值逐渐向“0”靠近；或者是y的值无限变大，曲线就不断向y轴靠近，x的值逐渐向“0”靠近。
此时，有些人就会产生一些疑问，当这个x的值取到非常大、非常大、非常大的时候，y的的值和“0”之间存在什么样的关系呢？会相等吗？
对于类似这样的疑惑，我们从现代数学“极限”的角度出发，就很好回答，但在几百年前，像这样的问题在当时却属于一个世界性的难题。
我们知道，对于某一个函数，假设其中的某一个变量x，它在无限变大（或者变小）的这一变化过程中，导致另一个变量y逐渐向某一个确定的数值m不断地靠近，不过最终的结局只能是不断的接近“m”，却永远都无法跟“m”重合。
简而言之，某一变量x处于无限变大或无限变小这一变化过程，那么另一个变量y的值永远都不会等于m，但只要变量x一直处于无限变大或无限变小中，那么y的值可以取等于m，这就是极限的思想。
因此，如果一个人要想理解“极限”这一抽象数学概念，那么就需要学会接受和明确知道极限是一种“变化状态”的描述，变量y有不断地努力靠近m点的趋势。此时，变量y永远趋近的值m就叫做“极限值”。
极限作为微积分、数学分析等重要内容的基础，可以说是初等数学迈入高等数学一个关键门槛。正如所有的数学知识概念出现的背景一样，极限也是属于社会经济发展和科学技术之间产生的“矛盾”产物。
在早期16世纪的欧洲，一些国家开始进入资本主义萌芽阶段，整个社会处于快速变革状态，生产力得到极大的发展，出现一些最基本的工业化。人们在发展过程中，发现很多生产技术都出现问题，跟不上社会发展的速度，当时的数学知识已经无法顺利解决一些“变化的量”，如运动变化、天文学、机械化、航海、采矿、大坝建造等，都需要新的数学知识才能解决。
初等数学很多时候只能解决一些相对“稳定”的量，但在现实工作生活中，充满了大量“变化的量”，这就要求数学必须突破现有的知识壁垒，能够找到一种可以描述和研究运动、变化过程的新数学知识，最终解决这些“变量”问题。基于当时这样的社会发展背景，数学家都努力尝试突破传统的思维模式，直接促进“极限”思维的形成和发展，从而建立微积分等重要数学分支。
最早的时候，牛顿和莱布尼茨在各自的领域创立了微积分，让“极限”的发展拥有了正是展开拳脚的舞台。在当时，微积分一经创立诞生，就帮助很多人顺利解决了以往在运动变化、力学、天文学等中认为束手无策的难题，数学也迎来了新的发展。
不过，牛顿和莱布尼茨所创立的微积分并不是十分完善，特别是在一些关键疑难点没有讲清楚，如“无穷小量”的解释，逻辑上存在着很多混乱，尽管当时的“初始微积分”已经能轻而易举解决一些实际工作中的难题。
就像牛顿的瞬和流数或是莱布尼茨的dx和dy，都需要解决和讲清楚“无穷小量”这一特殊概念，但这两位伟人都没有给出明确、严谨的定义。
为什么“无穷小量”会这么重要呢？
我们都知道，在微积分的推导或运算过程中，常常需要先用“无穷小量”作为分母进行除法，然后又把“无穷小量”当作零来处理，以消除那些包含有它的项。
那么问题就来了，“无穷小量”究竟是零还是非零呢？
因为如果它是零，怎么能用它去作除数呢？如果它不是零，又怎么能把包含它的那些项消除掉呢？这种逻辑上的矛盾，直接或间接影响微积分的发展，更让所有数学家不仅意识到“极限”这一概念的重要性，更明白极限思想的进一步发展是与微积分的建立紧密相联系的。
当时的人们束缚于狭小的观念里，还是以传统的数学思维方式去看待“极限”，试图用“零误差”去进行变量计算，这样的思维方式只能导致悖论的发生，这就是数学史上所说的“无穷小量”悖论产生的原因。
牛顿和莱布尼茨在晚期都不同程度地接受了极限思想，也都努力去尝试解决这一“神秘”概念，试图以极限概念作为微积分的基础。
很多可惜，牛顿和莱布尼茨为都无法完整得出极限的严格表述。
虽然当时的人们没有弄清楚“极限”这一概念，但微积分的出现，确实促进社会的发展。随着微积分应用的更加广泛和深入，大家都意识到需要解决“极限”这一问题，要有严谨、逻辑的数学语言对其进行完整描述。
加上人类文明不断向前进步，遇到的问题越来越复杂，这就要求数学必须推出明确的概念、合乎逻辑的推理和运算法则。
进入19世纪之后，法国著名数学家柯西比较完整地阐述了“极限”的概念，以及相关的理论。柯西在《分析教程》中指出：当一个变量逐次所取的值无限趋于一个定值，最终使变量的值和该定值之差要多小就多小，这个定值就叫做所有其他值的极限值，特别地，当一个变量的数值（绝对值）无限地减小使之收敛到极限0，就说这个变量成为“无穷小量”。
柯西把“无穷小量”视为“以0为极限的变量”，这就准确地确立了“无穷小量”概念，“无穷小量”就是极限为“0”的变量，在变化过程中，它可以是“非零”，但它的变化趋向是“0“，无限地接近于“0”，可以人为用等于0方式去处理。
直白地讲，在变量的变化过程中，它的值实际上不等于“0”，但它变化的趋向是向“0”，可以无限地接近于“0”，那么人们就可以用“等于0”的方式来处理，就不会产生错误的结果。
极限论正是从变化趋向上说明了“无穷小量“与“0“的内在联系，从而澄清了逻辑上的混乱，完善了微积分的发展。
柯西在《分析教程》中，不仅对极限概念进行基本明确的叙述，并以极限概念为基础，对“无穷小量“、无穷级数的“和”等概念给出了比较明确的定义。
“极限”这一重要理论之后又经过波尔察诺、魏尔斯特拉斯、戴德金、康托等人的努力工作，进一步把极限论建立在严格的实数理论基础上，并且形成了描述极限过程的ε-δ语言。
要想学好高等数学，就要弄清楚“极限”这一重要概念，认识到它是一个动态无限变化的过程，这样变化的趋势可以等于某一个常量。这一极限思想是建立微积分理论的重要思想基础，对数学等众多学科的发展有着重大意义。
https://t.cn/A6Jp5ITG
根据函数的图像可知，在k＞0情况下的第一象限内，反比例函数中x的值无限变大，大到无穷的时候，曲线就不断向x轴靠近，换句话说y的值逐渐向“0”靠近；或者是y的值无限变大，曲线就不断向y轴靠近，x的值逐渐向“0”靠近。
此时，有些人就会产生一些疑问，当这个x的值取到非常大、非常大、非常大的时候，y的的值和“0”之间存在什么样的关系呢？会相等吗？
对于类似这样的疑惑，我们从现代数学“极限”的角度出发，就很好回答，但在几百年前，像这样的问题在当时却属于一个世界性的难题。
我们知道，对于某一个函数，假设其中的某一个变量x，它在无限变大（或者变小）的这一变化过程中，导致另一个变量y逐渐向某一个确定的数值m不断地靠近，不过最终的结局只能是不断的接近“m”，却永远都无法跟“m”重合。
简而言之，某一变量x处于无限变大或无限变小这一变化过程，那么另一个变量y的值永远都不会等于m，但只要变量x一直处于无限变大或无限变小中，那么y的值可以取等于m，这就是极限的思想。
因此，如果一个人要想理解“极限”这一抽象数学概念，那么就需要学会接受和明确知道极限是一种“变化状态”的描述，变量y有不断地努力靠近m点的趋势。此时，变量y永远趋近的值m就叫做“极限值”。
极限作为微积分、数学分析等重要内容的基础，可以说是初等数学迈入高等数学一个关键门槛。正如所有的数学知识概念出现的背景一样，极限也是属于社会经济发展和科学技术之间产生的“矛盾”产物。
在早期16世纪的欧洲，一些国家开始进入资本主义萌芽阶段，整个社会处于快速变革状态，生产力得到极大的发展，出现一些最基本的工业化。人们在发展过程中，发现很多生产技术都出现问题，跟不上社会发展的速度，当时的数学知识已经无法顺利解决一些“变化的量”，如运动变化、天文学、机械化、航海、采矿、大坝建造等，都需要新的数学知识才能解决。
初等数学很多时候只能解决一些相对“稳定”的量，但在现实工作生活中，充满了大量“变化的量”，这就要求数学必须突破现有的知识壁垒，能够找到一种可以描述和研究运动、变化过程的新数学知识，最终解决这些“变量”问题。基于当时这样的社会发展背景，数学家都努力尝试突破传统的思维模式，直接促进“极限”思维的形成和发展，从而建立微积分等重要数学分支。
最早的时候，牛顿和莱布尼茨在各自的领域创立了微积分，让“极限”的发展拥有了正是展开拳脚的舞台。在当时，微积分一经创立诞生，就帮助很多人顺利解决了以往在运动变化、力学、天文学等中认为束手无策的难题，数学也迎来了新的发展。
不过，牛顿和莱布尼茨所创立的微积分并不是十分完善，特别是在一些关键疑难点没有讲清楚，如“无穷小量”的解释，逻辑上存在着很多混乱，尽管当时的“初始微积分”已经能轻而易举解决一些实际工作中的难题。
就像牛顿的瞬和流数或是莱布尼茨的dx和dy，都需要解决和讲清楚“无穷小量”这一特殊概念，但这两位伟人都没有给出明确、严谨的定义。
为什么“无穷小量”会这么重要呢？
我们都知道，在微积分的推导或运算过程中，常常需要先用“无穷小量”作为分母进行除法，然后又把“无穷小量”当作零来处理，以消除那些包含有它的项。
那么问题就来了，“无穷小量”究竟是零还是非零呢？
因为如果它是零，怎么能用它去作除数呢？如果它不是零，又怎么能把包含它的那些项消除掉呢？这种逻辑上的矛盾，直接或间接影响微积分的发展，更让所有数学家不仅意识到“极限”这一概念的重要性，更明白极限思想的进一步发展是与微积分的建立紧密相联系的。
当时的人们束缚于狭小的观念里，还是以传统的数学思维方式去看待“极限”，试图用“零误差”去进行变量计算，这样的思维方式只能导致悖论的发生，这就是数学史上所说的“无穷小量”悖论产生的原因。
牛顿和莱布尼茨在晚期都不同程度地接受了极限思想，也都努力去尝试解决这一“神秘”概念，试图以极限概念作为微积分的基础。
很多可惜，牛顿和莱布尼茨为都无法完整得出极限的严格表述。
虽然当时的人们没有弄清楚“极限”这一概念，但微积分的出现，确实促进社会的发展。随着微积分应用的更加广泛和深入，大家都意识到需要解决“极限”这一问题，要有严谨、逻辑的数学语言对其进行完整描述。
加上人类文明不断向前进步，遇到的问题越来越复杂，这就要求数学必须推出明确的概念、合乎逻辑的推理和运算法则。
进入19世纪之后，法国著名数学家柯西比较完整地阐述了“极限”的概念，以及相关的理论。柯西在《分析教程》中指出：当一个变量逐次所取的值无限趋于一个定值，最终使变量的值和该定值之差要多小就多小，这个定值就叫做所有其他值的极限值，特别地，当一个变量的数值（绝对值）无限地减小使之收敛到极限0，就说这个变量成为“无穷小量”。
柯西把“无穷小量”视为“以0为极限的变量”，这就准确地确立了“无穷小量”概念，“无穷小量”就是极限为“0”的变量，在变化过程中，它可以是“非零”，但它的变化趋向是“0“，无限地接近于“0”，可以人为用等于0方式去处理。
直白地讲，在变量的变化过程中，它的值实际上不等于“0”，但它变化的趋向是向“0”，可以无限地接近于“0”，那么人们就可以用“等于0”的方式来处理，就不会产生错误的结果。
极限论正是从变化趋向上说明了“无穷小量“与“0“的内在联系，从而澄清了逻辑上的混乱，完善了微积分的发展。
柯西在《分析教程》中，不仅对极限概念进行基本明确的叙述，并以极限概念为基础，对“无穷小量“、无穷级数的“和”等概念给出了比较明确的定义。
“极限”这一重要理论之后又经过波尔察诺、魏尔斯特拉斯、戴德金、康托等人的努力工作，进一步把极限论建立在严格的实数理论基础上，并且形成了描述极限过程的ε-δ语言。
要想学好高等数学，就要弄清楚“极限”这一重要概念，认识到它是一个动态无限变化的过程，这样变化的趋势可以等于某一个常量。这一极限思想是建立微积分理论的重要思想基础，对数学等众多学科的发展有着重大意义。
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《亚太教育》G4教育专刊
主办单位：科幻世界杂志社
出版周期：月刊
ISSN：2095-9214
CN：51-1757/G4
《亚太教育》 杂志于2005年创始，是由四川省科学技术协会主管，科幻世界杂志社主办，中华人民共和国新闻出版总署批准国内公开出版发行的省一级纯教育类学术性期刊。
主要栏目：
卷首语、资讯、幼教教育、基础教育、高等教育、职业教育、德育教育、学校管理、学生管理、教育前沿。
主办单位：科幻世界杂志社
出版周期：月刊
ISSN：2095-9214
CN：51-1757/G4
《亚太教育》 杂志于2005年创始，是由四川省科学技术协会主管，科幻世界杂志社主办，中华人民共和国新闻出版总署批准国内公开出版发行的省一级纯教育类学术性期刊。
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卷首语、资讯、幼教教育、基础教育、高等教育、职业教育、德育教育、学校管理、学生管理、教育前沿。
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