2022倒计时3天

回首2021珍贵记忆——TI10线下赛开幕

TI10是我们2021年DOTA2队伍唯一一次线下赛，Ceb成功接受眼疾手术，临赛前火线归队

作为队内4名冠军成员，我们参与了开幕式的冠军神盾交接仪式，很遗憾没能再次把他带回来[泪] 但是2022年，TI11，我们不会等待太久

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《薇娅发文道歉，称会补交十几亿罚款，夫妇二人身价高达90亿》这件事发生之后，薇娅的直播暂时也取消了，这次她也知道严重性，及时发文道歉，并表示自己承担责任，会积极配合有关部门调查，并在规定时间内补缴税款和罚金.https://ms.mbd.baidu.com/r/yp9DnJ06Mo?f=wb&rs=3922390438&ruk=Ggrl9wI4AWQ0BRBJ8J16aw&u=241de9ceb558e13b

一道几何题的探讨
大罕

下面这道平面几何题属于常规题。此题的条件和结论十分优美，且有趣，但解决它有一点难度。兹介绍于后。有两种纯几何的解法，供品尝和参考。

【题目】如图1，AB=AC，CD=DE，∠BAC+∠CDE=180°，P为BE中点，求证：AP⊥DP
【证明一】延长AP至F，使PF=AP，连接EF、DF、AD，如图2，
由P为BE的中点，易知△ABP≌△FEP (ASA).
∴AC= AB=EF，∠ABP=∠FEP，∴AB∥EF.
设∠ABC=∠1，∠ACB=∠2，∠DCE=∠3，∠DEC=∠4，
由已知∠BAC+∠CDE=180°，可得∠1+∠4＝∠2+∠3＝90°.
∵∠ACD=360°-(∠2+∠3+∠BCE) =360°-(90°+∠BCE)=270°-∠BCE
而∠DEF=∠4+∠CEB+∠PEF=∠4+∠CEB+∠1+∠CBE=90°+180°-∠BCE
=270°-∠BCE，
∴∠ACD=∠DEF，
∴△ACD≌△FED(SAS)，∴DA=DF，
∴△DAF为等腰三角形，
∵P为AF的中点，∴PD⊥AP.

【证明二】分别取BC、CE中点M、N，连接AM、MP、MN，
已知∠BAC+∠CDE=180°，∴∠MAC+∠CDN=90°，
又∵∠MAC+∠MCA=90°，∴∠MCA=∠CDN，
∴△MAC∽△NCD，∴AM/CN=MC/ND.
在口MPNC中，MC=PN，CN=MP，且∠CMP=∠CNP，
于是有：AM/MP=PN/ND，且∠AMP=∠DNP，
∴△AMP∽△DNP，.
令∠MPA=∠NDP=x，∠MAP=∠NPD=y，又∠CMP=z，
在△MAP中，x+y+z=90°,
延长MP到F，使PF>0，由MC∥PN，知∠NPF= z.
由∠MPA+∠APD+∠DPN+∠NPF=180°，
即x+∠APD+y+z=180°，知∠APD=90°，即AP⊥DP.

【小结】解法一是通过构造全等三角形，利用等腰三角形“三线合一”，证得AP⊥DP.
解法二是通过构造相似三角形和平行四边形，把∠APD放在平角之中，证得它为直角.
两种解法都有一定难度。故本题应作为提高题使用。读本文时要细心，不要看错字母。

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