与超声刀、热玛吉抗衰相比，黄金热拉提区别？
超声刀聚焦能量到我们皮下的一个点上，能量不当容易造成皮肤损伤，而黄金热拉提独有的波形压缩技术和相位移动技术可以保证能量更集中、更的作用到一片区域上，舒适性会更高。
相对热玛吉，黄金热拉提的头不是耗材，银子会比热玛吉便宜挺多，疼痛感也偏低，不需要。同时，热拉提时的表皮温度控制在40℃－45℃之间，是以隔空加热的形式作用于皮肤深层，表皮的几率大大降低，性更可控。##夕夕的变美课堂#
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相对热玛吉，黄金热拉提的头不是耗材，银子会比热玛吉便宜挺多，疼痛感也偏低，不需要。同时，热拉提时的表皮温度控制在40℃－45℃之间，是以隔空加热的形式作用于皮肤深层，表皮的几率大大降低，性更可控。##夕夕的变美课堂#
2022大星象列表（必收藏）
冥王星
全年摩羯座♑️；2022.04.30- 2022.10.09冥王星由摩羯座28度36分逆行至摩羯座26度07分。其中，2022.02.15冥王三合北交，2022.05.04木星六合冥王，2022.07.20太陽衝冥王。
海王星
全年雙魚座♓️；2022.06.28- 2022.12.04海王星由雙魚座25度27分逆行至雙魚座22度39分。其中，2022.03.29海王六合北交，2022.04.13木星合海王， 5月上-6月初土星/海王十二分相，2022.09.17太陽衝海王。
天王星，
全年金牛座♉️；2021.08.20-2022.01.19天王星由金牛座14度48分逆行至金牛座10度49分，2022.08.25- 2023.01.23天王星由金牛座18度55分逆行至金牛座14度56分。其中，2022.02.18木星六合天王，2022.08.01天王合北交，2022.11.09太陽沖天王。
土星
全年水瓶座♒️；2022.06.05-2022.10.23土星由水瓶座25度15分逆行至水瓶座18度35分。其中，2022.04.06木星十二分土星，2022.04.12土星刑北交，5月上-6月初土星/海王十二分相，2022.08.15太陽衝土星。
木星
2021.12.29-2022.05.11木星順行雙魚座♓️，2022.05.11-2022.10.28木星進食白羊座♈️，2022.10.28-2022.12.21木星逆行回到雙魚座♓️，2022.12.21-2023.05.17木星順行白羊座♈️；2022.07.19-2022.11.24木星由白羊座♈️08度43分逆行回雙魚座♓️28度48分。其中，2022.01.03-04木星刑北交，2022.02.12木星十二分凱龍，2022.02.18木星六合天王，2022.04.06木星十二分土星，2022.04.08木星六合北交，2022.04.13木星合海王，2022.05.04木星六合冥王，2022.09.27太陽衝木星。
月亮交點
2022.01.19真北交點由雙子座移動到金牛座♉️，停留至2023.07.18。其中，2022.01.03-04木星刑北交，2022.02.15冥王三合北交，2022.03.29海王六合北交，2022.04.08木星六合北交，2022.04.12土星刑北交，2022.08.01天王合北交，2022.08.30/09.03/09.06/10.25/12.27凱龍十二分北交。
火星
20220820-20230326火星雙子座♊️
火星逆行：20221031-20230113雙子座25°37-雙子座08°08
火星十二分北交：06.04-09.17-12.18
火星六合凱龍：09.18-12.20-2023.02.12
火星十二分天王：09.27-12.09-2023.02.19
火星三合土星：09.28♊️♒️-11.29-2023.03.31♋️♓️
火星梅花水星：12.16-2023.01.17-2023.01.21
火星刑海王：10.12-11.20-2023.03.15
12.08太陽衝火星
金星
20211105-20220306金星摩羯座♑️
金星逆行：20211219-20220129 摩羯座26°29-摩羯座11°05
金星十二分土星：2021.11.14-2022.01.18-02.18
金星六合海王：2021.12.01-2022.01.06-2022.02.25
金星合冥王：2021.12.12-2021.12.26-2022.03.04
01.09太陽合金星
水星
20220115-20220204 水星由水瓶座♒️10°19-摩羯座♑️24°23逆行；
水星星座：20211214-摩羯座♑️-20220102-水瓶座♒️-20220126-摩羯座♑️-20220215-水瓶座♒️-20220310雙魚座；
水星合冥王：2021.12.30-2022.01.29-02.12
水星三合北交：01.03♒️♊️-01.27♑️♉️-02.12
水星十二分木星：01.03-01.22-02.27
01.23太陽合水星
20220510-20220603 水星由雙子座♊️04°51-金牛座♉️26°06逆行；
水星星座：20220411-金牛座♉️-20220430-雙子座♊️-20220523-金牛座♉️-20220614-雙子座♊️-20220705巨蟹座；
水星六合木星：04.27♉️♓️-05.20♊️♈️-06.20
水星三合冥王：04.29-05.26-06.11
05.22太陽合水星
20220910-20221002 水星由天秤座♎️08°55-處女座♍️24°13逆行；
水星星座：20220804-處女座♍️-20220826-天秤座♎️-20220924-處女座♍️-20221011-天秤座♎️-20221030天蠍座；
水星三合冥王：08.23-09.28-10.07
水星衝木星：09.03-09.19-10.12
09.23太陽合水星
20221229-20230119 水星由摩羯座♑️24°20-摩羯座08°09逆行；
水星20221207-20230212摩羯座♑️；
水星刑凱龍：12.15-2023.01.11-01.27
水星三合北交：12.16-2023.01.14-01.23
水星梅花火星：12.16-2023.01.17-01.21
水星三合天王：12.18-2023.01.09-01.30
水星十二分土星：12.24-2023.01.03-02.09
水星六合海王：12.25-2023.01.02-02.07
2022.01.08太陽合水星
日月食、月相和月亮交點命運格局
2021.12.31-2022.01.13 Draconic Bowl
20220103 摩羯座12°20新月
20220118 巨蟹座27°51滿月
2022.01.27-2022.02.09 Draconic Bowl
20220201 水瓶座12°20新月
20210217 獅子座27°59滿月
2022.02.23-2022.03.08 Draconic Bowl
20220303 雙魚座12°07新月
20220318 處女座27°40滿月
2022.03.22-2022.04.05 Draconic Bowl
20220401 白羊座11°31新月
20220417 天秤座26°46滿月
2022.04.19-2022.04.24 Draconic Bowl
20220501 金牛座10°28日食
20220516 天蠍座25°18月食
20220530 雙子座09°03新月
20220614 射手座23°25滿月
20220629 巨蟹座07°23新月
20220714 摩羯座21°21滿月
20220729 獅子座05°39新月
20220812 水瓶座19°22滿月
20220827 處女座04°04新月
20220910 雙魚座17°41滿月
20220926 天秤座02°49新月
20221010 白羊座16°33滿月
20221025 天蠍座01°59日食
20221109 金牛座06°01月食
20221124 射手座01°38新月
20221208 雙子座16°02滿月
20221223 摩羯座01°33新月
太陽黃道進食
♑️20211222-20220120太陽摩羯座（北半球冬至/南半球夏至）
♒️20220120-20220219太陽水瓶座
♓️20220219-20220321太陽雙魚座
♈️20220321-20220420太陽白羊座（春分點進食，北半球春分/南半球秋分）
♉️20220420-20220521太陽金牛座
♊️20220521-20220621太陽雙子座
♋️20220621-20220723太陽巨蟹座（北半球夏至/南半球冬至）
♌️20220723-20220823太陽獅子座
♍️20220823-20220923太陽處女座
♎️20220923-20221023太陽天秤座（北半球秋分/南半球春分）
♏️20221023-20221122太陽天蠍座
♐️20221122-20221222太陽射手座
♑️20221222-20230120太陽摩羯座（北半球冬至/南半球夏至）
十二星座基本相位
白羊座♈️
刑冥王/ 十二分海王/ 十二分天王/ 六合土星/ 5-10月合木星、其餘時間十二分木星；
金牛座♉️
三合冥王/ 六合海王/ 合天王/ 刑土星/ 5-10月十二分木星、其餘時間六合木星；
雙子座♊️
梅花冥王/ 刑海王/ 十二分天王/ 三合土星/ 5-10月六合木星、其餘時間刑木星；
巨蟹座♋️
衝冥王/ 三合海王/ 六合天王/ 梅花土星/ 5-10月刑木星、其餘時間三合木星；
獅子座♌️
梅花冥王/ 梅花海王/ 刑天王/ 刑土星/ 5-10月三合木星、其餘時間梅花木星；
處女座♍️
三合冥王/ 衝海王/ 三合天王/ 梅花土星/ 5-10月梅花木星、其餘時間衝木星；
天秤座♎️
刑冥王/ 梅花海王/ 梅花天王/ 三合土星/ 5-10月衝木星、其餘時間梅花木星；
天蠍座♏️
六合冥王/ 三合海王/ 沖天王/ 刑土星/ 5-10月梅花木星、其餘時間三合木星；
射手座♐️
十二分冥王/ 刑海王/ 梅花天王/ 六合土星/ 5-10月三合木星、其餘時間刑木星；
摩羯座♑️
合冥王/ 六合海王/ 三合天王/ 十二分土星/ 5-10月刑木星、其餘時間六合木星；
水瓶座♒️
十二分冥王/ 十二分海王/ 刑天王/ 合土星/ 5-10月六合木星、其餘時間十二分木星；
雙魚座♓️
六合冥王/ 合海王/ 六合天王/ 十二分土星/ 5-10月十二分木星、其餘時間合木星。
（需要參考整張星盤，不是太陽星座，不懂占星的小寶貝請咨詢占星師）
再見2021，你好2022！
#给2022捎个话##占星# https://t.cn/RU1UwWJ
冥王星
全年摩羯座♑️；2022.04.30- 2022.10.09冥王星由摩羯座28度36分逆行至摩羯座26度07分。其中，2022.02.15冥王三合北交，2022.05.04木星六合冥王，2022.07.20太陽衝冥王。
海王星
全年雙魚座♓️；2022.06.28- 2022.12.04海王星由雙魚座25度27分逆行至雙魚座22度39分。其中，2022.03.29海王六合北交，2022.04.13木星合海王， 5月上-6月初土星/海王十二分相，2022.09.17太陽衝海王。
天王星，
全年金牛座♉️；2021.08.20-2022.01.19天王星由金牛座14度48分逆行至金牛座10度49分，2022.08.25- 2023.01.23天王星由金牛座18度55分逆行至金牛座14度56分。其中，2022.02.18木星六合天王，2022.08.01天王合北交，2022.11.09太陽沖天王。
土星
全年水瓶座♒️；2022.06.05-2022.10.23土星由水瓶座25度15分逆行至水瓶座18度35分。其中，2022.04.06木星十二分土星，2022.04.12土星刑北交，5月上-6月初土星/海王十二分相，2022.08.15太陽衝土星。
木星
2021.12.29-2022.05.11木星順行雙魚座♓️，2022.05.11-2022.10.28木星進食白羊座♈️，2022.10.28-2022.12.21木星逆行回到雙魚座♓️，2022.12.21-2023.05.17木星順行白羊座♈️；2022.07.19-2022.11.24木星由白羊座♈️08度43分逆行回雙魚座♓️28度48分。其中，2022.01.03-04木星刑北交，2022.02.12木星十二分凱龍，2022.02.18木星六合天王，2022.04.06木星十二分土星，2022.04.08木星六合北交，2022.04.13木星合海王，2022.05.04木星六合冥王，2022.09.27太陽衝木星。
月亮交點
2022.01.19真北交點由雙子座移動到金牛座♉️，停留至2023.07.18。其中，2022.01.03-04木星刑北交，2022.02.15冥王三合北交，2022.03.29海王六合北交，2022.04.08木星六合北交，2022.04.12土星刑北交，2022.08.01天王合北交，2022.08.30/09.03/09.06/10.25/12.27凱龍十二分北交。
火星
20220820-20230326火星雙子座♊️
火星逆行：20221031-20230113雙子座25°37-雙子座08°08
火星十二分北交：06.04-09.17-12.18
火星六合凱龍：09.18-12.20-2023.02.12
火星十二分天王：09.27-12.09-2023.02.19
火星三合土星：09.28♊️♒️-11.29-2023.03.31♋️♓️
火星梅花水星：12.16-2023.01.17-2023.01.21
火星刑海王：10.12-11.20-2023.03.15
12.08太陽衝火星
金星
20211105-20220306金星摩羯座♑️
金星逆行：20211219-20220129 摩羯座26°29-摩羯座11°05
金星十二分土星：2021.11.14-2022.01.18-02.18
金星六合海王：2021.12.01-2022.01.06-2022.02.25
金星合冥王：2021.12.12-2021.12.26-2022.03.04
01.09太陽合金星
水星
20220115-20220204 水星由水瓶座♒️10°19-摩羯座♑️24°23逆行；
水星星座：20211214-摩羯座♑️-20220102-水瓶座♒️-20220126-摩羯座♑️-20220215-水瓶座♒️-20220310雙魚座；
水星合冥王：2021.12.30-2022.01.29-02.12
水星三合北交：01.03♒️♊️-01.27♑️♉️-02.12
水星十二分木星：01.03-01.22-02.27
01.23太陽合水星
20220510-20220603 水星由雙子座♊️04°51-金牛座♉️26°06逆行；
水星星座：20220411-金牛座♉️-20220430-雙子座♊️-20220523-金牛座♉️-20220614-雙子座♊️-20220705巨蟹座；
水星六合木星：04.27♉️♓️-05.20♊️♈️-06.20
水星三合冥王：04.29-05.26-06.11
05.22太陽合水星
20220910-20221002 水星由天秤座♎️08°55-處女座♍️24°13逆行；
水星星座：20220804-處女座♍️-20220826-天秤座♎️-20220924-處女座♍️-20221011-天秤座♎️-20221030天蠍座；
水星三合冥王：08.23-09.28-10.07
水星衝木星：09.03-09.19-10.12
09.23太陽合水星
20221229-20230119 水星由摩羯座♑️24°20-摩羯座08°09逆行；
水星20221207-20230212摩羯座♑️；
水星刑凱龍：12.15-2023.01.11-01.27
水星三合北交：12.16-2023.01.14-01.23
水星梅花火星：12.16-2023.01.17-01.21
水星三合天王：12.18-2023.01.09-01.30
水星十二分土星：12.24-2023.01.03-02.09
水星六合海王：12.25-2023.01.02-02.07
2022.01.08太陽合水星
日月食、月相和月亮交點命運格局
2021.12.31-2022.01.13 Draconic Bowl
20220103 摩羯座12°20新月
20220118 巨蟹座27°51滿月
2022.01.27-2022.02.09 Draconic Bowl
20220201 水瓶座12°20新月
20210217 獅子座27°59滿月
2022.02.23-2022.03.08 Draconic Bowl
20220303 雙魚座12°07新月
20220318 處女座27°40滿月
2022.03.22-2022.04.05 Draconic Bowl
20220401 白羊座11°31新月
20220417 天秤座26°46滿月
2022.04.19-2022.04.24 Draconic Bowl
20220501 金牛座10°28日食
20220516 天蠍座25°18月食
20220530 雙子座09°03新月
20220614 射手座23°25滿月
20220629 巨蟹座07°23新月
20220714 摩羯座21°21滿月
20220729 獅子座05°39新月
20220812 水瓶座19°22滿月
20220827 處女座04°04新月
20220910 雙魚座17°41滿月
20220926 天秤座02°49新月
20221010 白羊座16°33滿月
20221025 天蠍座01°59日食
20221109 金牛座06°01月食
20221124 射手座01°38新月
20221208 雙子座16°02滿月
20221223 摩羯座01°33新月
太陽黃道進食
♑️20211222-20220120太陽摩羯座（北半球冬至/南半球夏至）
♒️20220120-20220219太陽水瓶座
♓️20220219-20220321太陽雙魚座
♈️20220321-20220420太陽白羊座（春分點進食，北半球春分/南半球秋分）
♉️20220420-20220521太陽金牛座
♊️20220521-20220621太陽雙子座
♋️20220621-20220723太陽巨蟹座（北半球夏至/南半球冬至）
♌️20220723-20220823太陽獅子座
♍️20220823-20220923太陽處女座
♎️20220923-20221023太陽天秤座（北半球秋分/南半球春分）
♏️20221023-20221122太陽天蠍座
♐️20221122-20221222太陽射手座
♑️20221222-20230120太陽摩羯座（北半球冬至/南半球夏至）
十二星座基本相位
白羊座♈️
刑冥王/ 十二分海王/ 十二分天王/ 六合土星/ 5-10月合木星、其餘時間十二分木星；
金牛座♉️
三合冥王/ 六合海王/ 合天王/ 刑土星/ 5-10月十二分木星、其餘時間六合木星；
雙子座♊️
梅花冥王/ 刑海王/ 十二分天王/ 三合土星/ 5-10月六合木星、其餘時間刑木星；
巨蟹座♋️
衝冥王/ 三合海王/ 六合天王/ 梅花土星/ 5-10月刑木星、其餘時間三合木星；
獅子座♌️
梅花冥王/ 梅花海王/ 刑天王/ 刑土星/ 5-10月三合木星、其餘時間梅花木星；
處女座♍️
三合冥王/ 衝海王/ 三合天王/ 梅花土星/ 5-10月梅花木星、其餘時間衝木星；
天秤座♎️
刑冥王/ 梅花海王/ 梅花天王/ 三合土星/ 5-10月衝木星、其餘時間梅花木星；
天蠍座♏️
六合冥王/ 三合海王/ 沖天王/ 刑土星/ 5-10月梅花木星、其餘時間三合木星；
射手座♐️
十二分冥王/ 刑海王/ 梅花天王/ 六合土星/ 5-10月三合木星、其餘時間刑木星；
摩羯座♑️
合冥王/ 六合海王/ 三合天王/ 十二分土星/ 5-10月刑木星、其餘時間六合木星；
水瓶座♒️
十二分冥王/ 十二分海王/ 刑天王/ 合土星/ 5-10月六合木星、其餘時間十二分木星；
雙魚座♓️
六合冥王/ 合海王/ 六合天王/ 十二分土星/ 5-10月十二分木星、其餘時間合木星。
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随机矩阵(Stochastic Matrix)或转移矩阵(Transition Matrix)
右随机矩阵—每个行总和为1
在数学中，随机矩阵是用于描述马尔可夫链的转换方阵。其每个项(或条目)是表示概率的非负实数。它也被称为概率矩阵、转移矩阵、置换矩阵或马尔可夫矩阵。随机矩阵最初是由Andrey Markov在20世纪初开发的且已广泛应用于各种科学领域，包括概率论、统计学、数学金融学和线性代数以及计算机科学和群体遗传学。随机矩阵有几种不同的定义和类型：
1). 右随机矩阵(right stochastic matrix )是一个真正的方阵，每个行总和为1。
2). 左随机矩阵(left stochastic matrix)是一个真正的方阵，每个列求和为1。
3). 双随机矩阵(doubly stochastic matrix)与每个行和列求和，以1的非负实数的平方矩阵。
同样，我们能把随机向量(也称为概率向量)定义为向量，其元素是非负实数，其总和为1>因此，右随机矩阵的每一行(或左随机矩阵的每一列)是随机向量。英语数学文献中的一个常见惯例是使用概率和右随机矩阵的行向量而不是概率和左随机矩阵的列向量 ; 本文遵循该惯例。
1. 历史
随机矩阵是由马尔科夫链与俄罗斯数学家和圣彼得堡大学教授安德烈·马尔科夫一起开发的，他于1906年首次发表该主题。他最初的预期用途是用于语言分析和其他数学科目一样，如洗牌，但马尔可夫链和矩阵在其它领域迅速得到应用。
随机矩阵由Andrey Kolmogorov等进一步发展，他们通过允许连续时间马尔可夫过程扩展它们的可能性。到20世纪50年代，使用随机矩阵的文章出现在计量经济学和电路理论领域。在20世纪60年代，随机矩阵出现在更广泛的科学着作中，从行为科学到地质学到住宅规划。此外，在这几十年中还进行大量的数学工作，以更广泛地改进随机矩阵和马尔可夫过程的使用范围和功能。
从20世纪70年代到现在，随机矩阵几乎在每个需要形式分析的领域都有用，从结构科学到医学诊断再到人事管理。此外，随机矩阵已广泛应用于土地变化建模，通常在术语马尔可夫矩阵下。
2. 定义和属性
随机矩阵描述马尔可夫链{X}在有限 状态空间S上有基数S小号。如果从i到j移动的概率 在一个时间步长是Pr(j|i）= P_{i,j}，随机矩阵P通过使用 P_{i,j}被给出i是指第i行元素，j是指第j列元素，参见附件一，从i到所有状态(state)的概率和必须为1，因此它是一个右随机矩阵。
通常，由随机矩阵给出的有限马尔可夫链中从任何状态到另一个状态的概率转变P以k步给出，显示为P^{k}。指定系统初始位置和概率的状态的初始概率分布作为行向量给出。
一个固定概率向量π被定义为分布，写为行向量，在转换矩阵的应用下不会改变; 也就是说，它被定义为集合上的概率分布{1,...,N}，它也是概率矩阵的行特征向量，与特征值 1相关联：
πP = π;
通过Gershgorin圆定理，每个右随机矩阵的右光谱半径最多为1 。另外，每个右随机矩阵具有与特征值1相关联的明显列特征向量：向量1，其坐标都等于1(只需观察乘以一行的坐标A时1等于行的项的总和，因此，它等于1)。由于方阵的左右特征值相同，每个随机矩阵至少具有与特征值1相关联的行特征向量且其所有特征值的最大绝对值也是1。最后，Brouwer不动点定理(应用于有限集的所有概率分布的紧致凸集{1,...,n}暗示存在一些左特征向量，它是一个静态概率向量。
另一方面，Perron-Frobenius定理确保每个不可约( irreducible)随机矩阵都具有这样的静止向量且特征值的最大绝对值总是为1；然而，这个定理不能直接应用于这样的矩阵，因为它们不必不可约。
通常，可能存在几个这样的载体。然而，对于具有严格正条目的矩阵或者更一般地，对于不可约的非周期性随机矩阵(请注意遍历是不可约、非周期和常返)，该向量是唯一且能通过观察任何对象计算i，我们有以下限制，参见附件三。
在π_ {j}是行向量π的第j个行向量。除此之外，这说明在一个状态j的长期概率独立于初始状i。这两种计算给出相同的静止向量是遍历定理的一种形式，这在各种耗散动力系统中通常是正确的：系统随着时间的推移演变为静止状态。
直观上，随机矩阵表示马尔科夫链；把随机矩阵应用于概率分布，在保持原分布的总质量的同时重新分布原分布的概率质量。如果重复应用这个过程，分布收敛于马尔可夫链的平稳分布。
3. 例子：
猫和老鼠
假设有一个计时器和一行五个相邻的盒子，第一个盒子里有一只猫，第五个盒子里有一只鼠标，时间为0。当计时器前进时，猫和鼠标都跳到一个随机相邻的盒子。例如，如果猫在第二个盒子里，鼠标在第四个盒子里，那么在定时器前进后，猫在第一个盒子里，鼠标在第五个盒子里的概率是四分之一。如果猫在第一个盒子里，鼠标在第五个盒子里，那么在计时器前进后，猫在第二个盒子里，鼠标在第四个盒子里的概率是1。如果猫和老鼠都在同一个盒子里，那么猫就会吃掉老鼠，这时游戏就结束。随机变量K给出鼠标在游戏中停留的时间步数。
表示此游戏的马尔科夫链包含由位置组合(猫、鼠标)指定的以下五种状态。注意,而天真的枚举州将列出25个州,很多是不可能的因为鼠标可以从未指数低于猫(这意味着鼠标占领了猫的盒子和幸存下来搬过去),或者因为两个指标之和总是甚至平价。另外，将导致老鼠死亡的三种可能状态合并为一种，参见图四。
们使用随机矩阵P(下面)，表示该系统的转移概率，该矩阵中的行和列由上面列出的可能状态索引，其中转换前状态为行和转换后状态为列。例如，从状态1 - 第1行开始 - 系统不可能保持这种状态，因此P_{11} = 0; 系统无法过渡到状态2 - 因为猫会留在同一个盒子里，因此P_{12} = 0以及鼠标的类似论点P_{14} = 0。允许转换到状态3或5，因此P_{13}≠ 0且P_{15} ≠ 0。
长期平均值：
无论初始状态如何，猫最终会抓住鼠标(概率为1)且静止状态π=(0,0,0,0,1)接近极限。为计算变量随机Y的长期平均值(或期望值)，对每个状态Sj和时间tk，存在Y_{j,k}·P的贡献(S=Sj,t=tk)。 其生存被视为二元变量，幸存状态Y = 1；终止状态Y = 0。 Y=0的状态对长期平均值没有贡献。
相位表示：
由于状态5是吸收状态，吸收时间的分布是离散型相位型分布。假设系统在状态2中启动，由向量表示[0,1,0,0,0]。老鼠的死亡状态对生存平均值没有贡献，因此可忽略状态五。初始状态和转换矩阵可减少，其结果参见附件五，I是单位矩阵，1表示作为状态总和的所有1的列矩阵。由于每个状态被占用一段时间，因此鼠标生存的预期时间只是占用所有幸存状态概率和时间步长的总和，
右随机矩阵—每个行总和为1
在数学中，随机矩阵是用于描述马尔可夫链的转换方阵。其每个项(或条目)是表示概率的非负实数。它也被称为概率矩阵、转移矩阵、置换矩阵或马尔可夫矩阵。随机矩阵最初是由Andrey Markov在20世纪初开发的且已广泛应用于各种科学领域，包括概率论、统计学、数学金融学和线性代数以及计算机科学和群体遗传学。随机矩阵有几种不同的定义和类型：
1). 右随机矩阵(right stochastic matrix )是一个真正的方阵，每个行总和为1。
2). 左随机矩阵(left stochastic matrix)是一个真正的方阵，每个列求和为1。
3). 双随机矩阵(doubly stochastic matrix)与每个行和列求和，以1的非负实数的平方矩阵。
同样，我们能把随机向量(也称为概率向量)定义为向量，其元素是非负实数，其总和为1>因此，右随机矩阵的每一行(或左随机矩阵的每一列)是随机向量。英语数学文献中的一个常见惯例是使用概率和右随机矩阵的行向量而不是概率和左随机矩阵的列向量 ; 本文遵循该惯例。
1. 历史
随机矩阵是由马尔科夫链与俄罗斯数学家和圣彼得堡大学教授安德烈·马尔科夫一起开发的，他于1906年首次发表该主题。他最初的预期用途是用于语言分析和其他数学科目一样，如洗牌，但马尔可夫链和矩阵在其它领域迅速得到应用。
随机矩阵由Andrey Kolmogorov等进一步发展，他们通过允许连续时间马尔可夫过程扩展它们的可能性。到20世纪50年代，使用随机矩阵的文章出现在计量经济学和电路理论领域。在20世纪60年代，随机矩阵出现在更广泛的科学着作中，从行为科学到地质学到住宅规划。此外，在这几十年中还进行大量的数学工作，以更广泛地改进随机矩阵和马尔可夫过程的使用范围和功能。
从20世纪70年代到现在，随机矩阵几乎在每个需要形式分析的领域都有用，从结构科学到医学诊断再到人事管理。此外，随机矩阵已广泛应用于土地变化建模，通常在术语马尔可夫矩阵下。
2. 定义和属性
随机矩阵描述马尔可夫链{X}在有限 状态空间S上有基数S小号。如果从i到j移动的概率 在一个时间步长是Pr(j|i）= P_{i,j}，随机矩阵P通过使用 P_{i,j}被给出i是指第i行元素，j是指第j列元素，参见附件一，从i到所有状态(state)的概率和必须为1，因此它是一个右随机矩阵。
通常，由随机矩阵给出的有限马尔可夫链中从任何状态到另一个状态的概率转变P以k步给出，显示为P^{k}。指定系统初始位置和概率的状态的初始概率分布作为行向量给出。
一个固定概率向量π被定义为分布，写为行向量，在转换矩阵的应用下不会改变; 也就是说，它被定义为集合上的概率分布{1,...,N}，它也是概率矩阵的行特征向量，与特征值 1相关联：
πP = π;
通过Gershgorin圆定理，每个右随机矩阵的右光谱半径最多为1 。另外，每个右随机矩阵具有与特征值1相关联的明显列特征向量：向量1，其坐标都等于1(只需观察乘以一行的坐标A时1等于行的项的总和，因此，它等于1)。由于方阵的左右特征值相同，每个随机矩阵至少具有与特征值1相关联的行特征向量且其所有特征值的最大绝对值也是1。最后，Brouwer不动点定理(应用于有限集的所有概率分布的紧致凸集{1,...,n}暗示存在一些左特征向量，它是一个静态概率向量。
另一方面，Perron-Frobenius定理确保每个不可约( irreducible)随机矩阵都具有这样的静止向量且特征值的最大绝对值总是为1；然而，这个定理不能直接应用于这样的矩阵，因为它们不必不可约。
通常，可能存在几个这样的载体。然而，对于具有严格正条目的矩阵或者更一般地，对于不可约的非周期性随机矩阵(请注意遍历是不可约、非周期和常返)，该向量是唯一且能通过观察任何对象计算i，我们有以下限制，参见附件三。
在π_ {j}是行向量π的第j个行向量。除此之外，这说明在一个状态j的长期概率独立于初始状i。这两种计算给出相同的静止向量是遍历定理的一种形式，这在各种耗散动力系统中通常是正确的：系统随着时间的推移演变为静止状态。
直观上，随机矩阵表示马尔科夫链；把随机矩阵应用于概率分布，在保持原分布的总质量的同时重新分布原分布的概率质量。如果重复应用这个过程，分布收敛于马尔可夫链的平稳分布。
3. 例子：
猫和老鼠
假设有一个计时器和一行五个相邻的盒子，第一个盒子里有一只猫，第五个盒子里有一只鼠标，时间为0。当计时器前进时，猫和鼠标都跳到一个随机相邻的盒子。例如，如果猫在第二个盒子里，鼠标在第四个盒子里，那么在定时器前进后，猫在第一个盒子里，鼠标在第五个盒子里的概率是四分之一。如果猫在第一个盒子里，鼠标在第五个盒子里，那么在计时器前进后，猫在第二个盒子里，鼠标在第四个盒子里的概率是1。如果猫和老鼠都在同一个盒子里，那么猫就会吃掉老鼠，这时游戏就结束。随机变量K给出鼠标在游戏中停留的时间步数。
表示此游戏的马尔科夫链包含由位置组合(猫、鼠标)指定的以下五种状态。注意,而天真的枚举州将列出25个州,很多是不可能的因为鼠标可以从未指数低于猫(这意味着鼠标占领了猫的盒子和幸存下来搬过去),或者因为两个指标之和总是甚至平价。另外，将导致老鼠死亡的三种可能状态合并为一种，参见图四。
们使用随机矩阵P(下面)，表示该系统的转移概率，该矩阵中的行和列由上面列出的可能状态索引，其中转换前状态为行和转换后状态为列。例如，从状态1 - 第1行开始 - 系统不可能保持这种状态，因此P_{11} = 0; 系统无法过渡到状态2 - 因为猫会留在同一个盒子里，因此P_{12} = 0以及鼠标的类似论点P_{14} = 0。允许转换到状态3或5，因此P_{13}≠ 0且P_{15} ≠ 0。
长期平均值：
无论初始状态如何，猫最终会抓住鼠标(概率为1)且静止状态π=(0,0,0,0,1)接近极限。为计算变量随机Y的长期平均值(或期望值)，对每个状态Sj和时间tk，存在Y_{j,k}·P的贡献(S=Sj,t=tk)。 其生存被视为二元变量，幸存状态Y = 1；终止状态Y = 0。 Y=0的状态对长期平均值没有贡献。
相位表示：
由于状态5是吸收状态，吸收时间的分布是离散型相位型分布。假设系统在状态2中启动，由向量表示[0,1,0,0,0]。老鼠的死亡状态对生存平均值没有贡献，因此可忽略状态五。初始状态和转换矩阵可减少，其结果参见附件五，I是单位矩阵，1表示作为状态总和的所有1的列矩阵。由于每个状态被占用一段时间，因此鼠标生存的预期时间只是占用所有幸存状态概率和时间步长的总和，
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