每一份坚持都是成功的累积，只要相信自己，总会遇到惊喜，每一种活都有各自的轨迹，记得肯定自己，不要轻言放弃，每一个清晨都是希望的伊始，记得鼓励自己，展现自信的魅力。[每一个繁花似锦，都是经历了暗涛汹涌;你没必要去努力改变一个人，正如你无法改变明日天气，你所要做的，只是持心自守，兵来将挡，水来土掩。当你准备好自己，无论是晴是雨，都能找到一种自在新鲜。
宗萨钦哲仁波切：当你马上面临死亡，该做些什么
佛陀说过，最殊胜的正念，即记得：生命无常，死亡不可避免。如诸迹中，象迹为胜；于诸想中，无常想为胜。
有些人会直觉地知道自己的生命即将终了，虽然他们年轻健康，没有什么合乎逻辑的原因会死，但他们可以感觉到死亡就在不远处。
有些人知道他们会死，则是因为被诊断出不治之症。除非是修行人，否则大多数人会在这个时候惊慌失措，变得抑郁，失去希望。
然而，大多数修行人非但不会恐慌，反而会意识到死亡是个大好机会，让自己能够更进一步地强化佛法修行，并且逐渐淡出填满自己世俗生活的那些无意义活动。
无论是知道自己只有几个月的时间可活，或者认为自己面前还有大把的美好时光，死亡都是你迟早必须面对的现实。就佛教教法而言，你越早面对它越好。
首先要做的是说服自己，即使你不知道什么时候会发生，但你会死亡。每天都有人死去。在生命的某些时刻，大家都会发现自己正站在临终亲人的床边。
然而，有多少人真正相信死亡将会发生在自己身上呢？听到自己即将死去时，一个常见的反应是觉得自己被欺骗了，而且不公平。
潜意识里，我们会想：为什么这发生在我身上？为什么是现在？我还年轻，不是九十九岁了！如果我很老，那我能明白，因为显然那是我的大限临头。
但为什么是现在？我的生命才刚刚开始！所以对于死亡的第一个准备，就是让自己确信：虽然不知道什么时候会发生，但你将死亡是绝对肯定的事情。
其次，你不是唯一必须面对死亡的人，我们大家全都不得不死，所以没什么不公平的。迈向死亡的过程从我们出生的那一刻就开始了。
没有人期望婴儿一出娘胎就去立一份遗嘱，但是随着年龄增长，也许五十岁，或者更好的是四十岁的时候，你应该审慎思维自己在死前想要做些什么、想要达成什么目标。
试着享受你的生活，去马丘比丘或马达加斯加，或者任何你一直梦想造访的地方。对于你需要购买和拥有的东西，要实事求是。
扪心自问：我真的需要另一辆法拉利吗？我真的需要在银行里有那么多存款吗？提醒自己，照料昂贵的玩具和银行账户往往会带来更多的压力。
而不是快乐，当然，除非你极为喜爱慈善事业，正在计划善用自己的充裕现金。以这样的方式开始看待自己周遭的一切人事物，就好像这是你最后一次见到他们。
好好处理在家庭、朋友之间所有悬而未决的问题或争议，现在是厘清所有误解、解开心中芥蒂的时候。
最重要的是，对死亡的最好准备，就是过上充实的生活。享受世界上最美味的茶，要好好地泡茶并且不要用塑料杯喝茶；穿上你一直渴望穿着的衣服；读你一直想读的书。
做你一直想做的所有事情，无论那些事情是多么离谱或惹人厌。而且是现在就去做，因为你可能再也没有机会了。
我们人类热爱物质享受，而且我们人人都想要快乐，这就是为什么我们投入这么多精力囤积金钱和物品的原因。
然而，我们为图舒适安逸所做的一切，最终却全都变成无穷压力和心痛的根源。这难道不是很讽刺吗？
如果你拥有金钱财产，现在就要决定在你死后如何使用它们；做好财物方面的安排，立一份遗嘱。
或许你可以把自己的世俗物品和房子留给你的孩子、侄女或表兄弟？或者捐给救豹基金会？或者捐给癌症研究？
尽量更有觉知地行动，购物时，要头脑清醒。停止购买、囤积无用之物，不要成为一个囤积一切的人。
如果你想要做规划和长期投资，做的时候要充分了知：可能这些投资回报还没到期，你就已经死了。
对我们许多人来说，家庭关系造成的问题最多，尤其是当我们接近死亡的时候。在诸如中国之类的地方，家庭仍然是一个非常强大的社会单位。
迄今，关于各个家庭角色的传统观念仍然维续着僵化且往往压抑的文化期望和社会期望：父亲必须始终履行中国父亲一贯履行的职责。
孩子必须取悦父母，就像中国孩子一直以来的生活方式一样。但是这些家庭纠葛有多大的助益呢？父母肩负着必须抚养孩子的期望，无论代价为何。
但是，孩子真的需要父母一味的奉献吗？这对孩子有好处吗？投身至少二十年的时间将孩子抚养长大之后。
许多中国父母在孙辈开始出现时，又不得不接着应付另一层家庭羁绊。对于这种需要全身心投入的家庭涉入，难道不应该有某种截止期限吗？
与父母一样，中国孩子们承受着必须符合社会期望的巨大压力，包括长大后应该负担照顾父母的责任。
但实际上，任何有志成为高尚人士者都应该心甘情愿地尽力照顾自己的父母、家人和朋友。
当然，没有理由不享受家庭生活；不过，就为死亡做准备而言，应该尝试有意识地参与其中。
永远记住：迟早你会死亡，带着这样的见解，试着在你游走于家庭生活之际，观察你自己。
如果那个“观察者”始终意识到自己的行为举止、念头和行动，家庭义务与执着对你产生的限制性就会降低。
无论你做什么，永远记住：不可预知但必然会发生的死亡就在不远处；而且死亡来临的那一刻，你是独自死去。
所以，试着利用这个“观察者”帮助你避免陷入太多棘手的、情绪化的复杂家庭问题中。
佛陀说过，最殊胜的正念，即记得：生命无常，死亡不可避免。如诸迹中，象迹为胜；于诸想中，无常想为胜。
有些人会直觉地知道自己的生命即将终了，虽然他们年轻健康，没有什么合乎逻辑的原因会死，但他们可以感觉到死亡就在不远处。
有些人知道他们会死，则是因为被诊断出不治之症。除非是修行人，否则大多数人会在这个时候惊慌失措，变得抑郁，失去希望。
然而，大多数修行人非但不会恐慌，反而会意识到死亡是个大好机会，让自己能够更进一步地强化佛法修行，并且逐渐淡出填满自己世俗生活的那些无意义活动。
无论是知道自己只有几个月的时间可活，或者认为自己面前还有大把的美好时光，死亡都是你迟早必须面对的现实。就佛教教法而言，你越早面对它越好。
首先要做的是说服自己，即使你不知道什么时候会发生，但你会死亡。每天都有人死去。在生命的某些时刻，大家都会发现自己正站在临终亲人的床边。
然而，有多少人真正相信死亡将会发生在自己身上呢？听到自己即将死去时，一个常见的反应是觉得自己被欺骗了，而且不公平。
潜意识里，我们会想：为什么这发生在我身上？为什么是现在？我还年轻，不是九十九岁了！如果我很老，那我能明白，因为显然那是我的大限临头。
但为什么是现在？我的生命才刚刚开始！所以对于死亡的第一个准备，就是让自己确信：虽然不知道什么时候会发生，但你将死亡是绝对肯定的事情。
其次，你不是唯一必须面对死亡的人，我们大家全都不得不死，所以没什么不公平的。迈向死亡的过程从我们出生的那一刻就开始了。
没有人期望婴儿一出娘胎就去立一份遗嘱，但是随着年龄增长，也许五十岁，或者更好的是四十岁的时候，你应该审慎思维自己在死前想要做些什么、想要达成什么目标。
试着享受你的生活，去马丘比丘或马达加斯加，或者任何你一直梦想造访的地方。对于你需要购买和拥有的东西，要实事求是。
扪心自问：我真的需要另一辆法拉利吗？我真的需要在银行里有那么多存款吗？提醒自己，照料昂贵的玩具和银行账户往往会带来更多的压力。
而不是快乐，当然，除非你极为喜爱慈善事业，正在计划善用自己的充裕现金。以这样的方式开始看待自己周遭的一切人事物，就好像这是你最后一次见到他们。
好好处理在家庭、朋友之间所有悬而未决的问题或争议，现在是厘清所有误解、解开心中芥蒂的时候。
最重要的是，对死亡的最好准备，就是过上充实的生活。享受世界上最美味的茶，要好好地泡茶并且不要用塑料杯喝茶；穿上你一直渴望穿着的衣服；读你一直想读的书。
做你一直想做的所有事情，无论那些事情是多么离谱或惹人厌。而且是现在就去做，因为你可能再也没有机会了。
我们人类热爱物质享受，而且我们人人都想要快乐，这就是为什么我们投入这么多精力囤积金钱和物品的原因。
然而，我们为图舒适安逸所做的一切，最终却全都变成无穷压力和心痛的根源。这难道不是很讽刺吗？
如果你拥有金钱财产，现在就要决定在你死后如何使用它们；做好财物方面的安排，立一份遗嘱。
或许你可以把自己的世俗物品和房子留给你的孩子、侄女或表兄弟？或者捐给救豹基金会？或者捐给癌症研究？
尽量更有觉知地行动，购物时，要头脑清醒。停止购买、囤积无用之物，不要成为一个囤积一切的人。
如果你想要做规划和长期投资，做的时候要充分了知：可能这些投资回报还没到期，你就已经死了。
对我们许多人来说，家庭关系造成的问题最多，尤其是当我们接近死亡的时候。在诸如中国之类的地方，家庭仍然是一个非常强大的社会单位。
迄今，关于各个家庭角色的传统观念仍然维续着僵化且往往压抑的文化期望和社会期望：父亲必须始终履行中国父亲一贯履行的职责。
孩子必须取悦父母，就像中国孩子一直以来的生活方式一样。但是这些家庭纠葛有多大的助益呢？父母肩负着必须抚养孩子的期望，无论代价为何。
但是，孩子真的需要父母一味的奉献吗？这对孩子有好处吗？投身至少二十年的时间将孩子抚养长大之后。
许多中国父母在孙辈开始出现时，又不得不接着应付另一层家庭羁绊。对于这种需要全身心投入的家庭涉入，难道不应该有某种截止期限吗？
与父母一样，中国孩子们承受着必须符合社会期望的巨大压力，包括长大后应该负担照顾父母的责任。
但实际上，任何有志成为高尚人士者都应该心甘情愿地尽力照顾自己的父母、家人和朋友。
当然，没有理由不享受家庭生活；不过，就为死亡做准备而言，应该尝试有意识地参与其中。
永远记住：迟早你会死亡，带着这样的见解，试着在你游走于家庭生活之际，观察你自己。
如果那个“观察者”始终意识到自己的行为举止、念头和行动，家庭义务与执着对你产生的限制性就会降低。
无论你做什么，永远记住：不可预知但必然会发生的死亡就在不远处；而且死亡来临的那一刻，你是独自死去。
所以，试着利用这个“观察者”帮助你避免陷入太多棘手的、情绪化的复杂家庭问题中。
思想的光辉
格罗滕迪克"收获和播种"
格罗滕迪克"收获和播种"法文版于2021年正式出版，其中最精辟的部分是第18章第5节。他是在灵魂的颤栗和悸动中挥笔写就这一章的，读者应能感受到他的激情的脉动。作者没有办法在不给出公式的情况下阐明其理念。尽管格罗滕迪克的公式比较简明，但是其思想博大精深，因此这一章的内容在翻译上不容易把握。无论如何，格罗滕迪克在本文中呈现的思想的光辉是显而易见的。
Mebkhout的双重对偶定理在某种程度上构成善神定理(对于∞-模)的一半，当这个定理以其最强形式被采用时，它肯定函子(8)是互为拟逆。这是Mebkhout于1980年1月提交的论文的核心结果。不仅如此，甚至这一半本身已经是一个全新的结果并完全出乎大家的意料。它是一个经典的结果，连接佐藤的想法和我的想法。它符合我的长期计划—以连续或微分方式(及从派生范畴的角度)制定离散系数。我认为这个结果以其精神和灵感完全避开了日本分析学派的问题。数学家柏原的可构造性定理似乎表示靠近它，而绝不是新的系数e理论的起点。正如1976年至1980年期间出版的那样毫无疑问，Mebkhout是当时唯一一个发展出这种哲学的人。
1978年1月，Mebkhout谈到他在柏原途经巴黎时会谈的结果，当时他刚写完论文。在柏原的请求下，坦率的Mebkhout很高兴终于找到一个对他要说的话感兴趣的数学家，这是把他送到普林斯顿的热门第三章—双对偶定理，那是在1978年2月。同样的结果在三年后出现在Mebkhout的一篇著名文章-693(*)中。它被重新命名为重建定理，并且丝毫没有提到某个Zoghman Mebkhout。这也是令人难忘的一年—某种新风格—694(**)正面征服(并且没有遇到丝毫阻力...)的光辉之年，在这部分数学的创建中，我有似曾相似的亲切感觉...
(c)第五张快照(在"pro"中)(5月21日)双对偶定理(9)是1977年的。为了证明∞-Modules的善神定理的另一半，因此相当于证明函子δ∞本质上为满射，第一个困难在于证明如下：对于Cons∗中的F，根据第一个公式定义∞-Modules C = Δ_{∞}(F)的复数(8)，它能通过函子 i获得，至少在X的局部使用-Modules的复向量(完整和正则)获得。在先验上，根据Mebkhout的想法(即遵循善神对偶定理)，它暗示(5)中的函子i是等价的，后者必须是唯一的，直到唯一的拟同构。
我没有试图理解Mebkhout最终如何在其论文中成功构建这个-Module的。我认为这里的情形必须通过使用与可构造ℂ-vectorials F - 695(*)集束相关的前相干(pro-集束的德利涅概念进行澄清。这个想法是他在上代数簇的背景下发展起来的，但必须能在可能对或的每个紧凑体上局部工作的条件下进行必要修改以适应分析情况。与F相关的前相干层(pro-coherent sheaf)，因此(至少在的每个紧集K上)是相干层(定义在K的邻域中)的射影系统(Fi)，能很简单地定义为前表示函子。
G ⟼ Hom_{ℂ}(F, G);
在(K附近...)上的相干O_{}-Modules G的范畴上，该函子在保持精确的情况下确实是前表示的。例如，如果 F是的封闭解析子空间Y上的常数层C_{Y}、在所有上由零扩展，那么我们发现由Y在中的O_{Xn}个无穷小邻域形成的前层(NB La这个射影系统的射影极限是沿Y的 O_{}的正式完成)。我们注意到(回到一般情况)前层(Fi)配备规范分层 - 696(**)。德利涅持如下观点：德利涅的函子来自上的可构造C(复)向量层的范畴，对于分层的前相干层的范畴，它是完全忠实的，因此能根据分层前相干层范畴的完整子范畴解释第一个范畴(超越性质)。后者具有纯粹的代数意义，并且能用纯粹的代数术语定义所讨论的完整子范畴(或多或少重言式*))。这是我要注意的范畴：
DRD*() 或 Del*() , (10);
这构成我昨天不想解释的第五张快照698(**)。此外，我似乎还记得，德利涅费竭尽全力把他的解释(及前面完全忠实的陈述)发展成派生范畴(当时我还没有一致决定)上同调的学生，以德利涅为首，还没有决定要否定后者)，当然，它确实是我用符号(10)指定的派生范畴版本。
换言之，RHom_{C}(F,O_{}) 中的代数部分必须能以很自然的方式定义为RHom_{O_{}}的归纳极限(在适当的意义上)((Fi, O_{}) - 特别是(传递给上同调层)，我们把规范箭头描述如下。
lim_{i} Ext^d_{O_{X}(Fi, O_{}) → Ext^d_{O_{}}), (11)
通过使用前对象(Fi)的分层和第二个参数O_{}的重言式分层，我们必须能在(11)的第一个成员上定义一个分层—即-Module的结构，因此(11)与算子环的同态(对应 → ∞)兼容。换言之，必须澄清Mebkhout的善神定理，通过说(11)确定∞-Moule的第二个成员通过标量的扩展从第一个推导出来 - 699(*) - 这特别意味着箭头是一个包含关系。因此左边的成员必须被可视化为一种代数或亚纯部分在右成员中(具有超越性质)。
在前面的特定示例F = I*(C_{Y}) 上，在一般情形变得相当清楚，其中i : Y → 包含的封闭分析子空间。接着(11)的右侧是一束局部上同调，在y中具有支撑，其中y是一个超越不变量，而第一个成员是我在示意图框架中为局部上同调引入的众所周知的表达式。这个丛在点x ∈ Y 处的纤维只不过是局部上同调，在结构丛O的谱Xx上，在x上的Y的迹Yx 中有支撑。
lim_{n→} 分机^d_{O_{}_{n}}, O_{}}};
这个实例显示德利涅的想法与我在1960年代早期就局部上同调主题发展起来的想法有多么接近 - 700(**)。尽管如此，Mebkhout在1972~1976年间工作的主题正是在这个关键案例中研究箭头(11)。
lim_{n→} Ext^d_{O_{}n}, }} =(定义) H^d_{Y} (O_{}})_{alg} → H^d_{Y}(O_{ }})，(12);
在这种情形下，它证明上面宣布的关系，并且比(12)-Module的第一个成员(我之前在陈述中省略的内容)模相关、甚至是完整的和正则的。从那里开始，(11)的类似陈述必须是旋开 - 701(**)的直接结果(包括F不是可构造的C向量的一个丛，而是Cons*( , C)中复数情形。除了德利涅函子的形状构造之外，del的唯一颗粒是在分层前模复形的Homs_{O_{}}}的定义中，其值在复形中分层模，即在-Modules的复形中(在此情况下O_{}})作为-Modules的复形(及作为派生范畴的对象)。
对这颗粒盐(指上述颗粒)取模，我们找到对代数善神函子M(与超越善神函子M∞相反)的非常简单和概念性的描述，或更确切地说，通过复述(8)的双公式描述相关的反函子Δ及其拟逆 δ。然而，为了编写它，这里使用德利涅的等价性，我们宁愿查看DRD*()和DRM*()之间的对应函子Δ^和δ^，其中符号^提醒我们要在前对象上工作(在"可构造"方面)。接着，我们找到一个非平凡公式(它在概念上包含在(8)中，但这次把代数性质的系数相互联系起来，这也是通过代数性质的公式实现的):
∆ = MD = DM, δ = mD = Dm, (13)
Del: Cons*(, C) →(≈) ERD*(), (14)
∆ˆ(C′) = RHOm_{O_{X}} (C′, O_{}),
δˆ(C′) = RHOm_{O_{}} (C′, O_{}), (15)
因此，我们在这里有两次相同的公式，唯一的区别是C'在这里是分层的前相干集束的复形(或等同于 - 702(*)，模前相干晶体的复形)，而C是-Modules的复形(它在概念上可作为O_{}本质上相同函子的复形，从一个到另一个，即对偶函子普通连续，显而易见，它是我50年代的老朋友…，当然，这个必须交换前对象和ind对象，即使这意味着要达到后者的归纳极限…
当然，有一项基础工作要做以便为这些公式赋予精确的含义，德利涅在著名的凿沉研讨会上所做的工作，或Jouanolou在其著名论文中所做的那种类型的工作也被凿沉(每个人都引用，自Colloque Pervers以来，没有人掌握在他的手中...这是一部作品，我敢肯定：它或许有点长，但本质上是sorital。它的困难部分包含在Mebkhout的善神定理中，辅以Mebkhout(8)的称为对偶性的公式。另一方面，它们的代数转换，确认两个函子(15)互为拟逆，它从概念上讲是O_{} 一致系数的普通对偶定理，放入ind-pro酱汁中，并以分层作为键(在对偶函子中必须通过而没有问题)。
就微分算子的复形而言，这两种类型的对偶对象之间的对应关系被完美地可视化(不涉及任何基础工作)。此外，在这种对偶中，完整条件(更何况正则性条件)不起作用。在这样的复形L处，昨天考虑的函子F ⟼ Hom_{O_{}}(F, Dd)(逆变)把-Modules的复形与有限类型C。另一方面，这个复形L的形式化，传递到无限阶P∞(L^i)的主要部分(被认为是分层的前模)产生一个复形C' = P ∞(L^i)的分层pro-modules。换言之，我们看到这两个复形对应于公式(15)，其中，RHom显然简化为Hom(只需逐项验证分量L^i的对偶项，接着它减少或多或少的重言式事实，即连续线性同态P∞(L^i) → O_{}与线性同态L^i → 完全对应于微分算子 L^i → O_{ }，分别使用万有微分算子(无限阶)L^i → P∞(L^i)及由θ ⟼ θ(1)给出的l增加 → O_{})。至少在上，Cris*_{coh}()的任何对象(即具有相干上同调的-Modules的任何复形)都能使用微分算子L·的复形描述，我们认为：对于所有实际目的，在对C和C'做出适当的-一致性和-pro-consistency假设的条件下，这种特殊情形完美地掌握两种范畴系数之间的对偶性(15)，它们彼此互为对偶。因此，它发展为我提到的sorite就足够，把我们自己限制在C'或"pro"方面，仅限于前相干丛的复形P∞(L·)，分层可在局部作为拟近同构)进行描述。
与德利涅的原始方法相比，他介绍的前相干复模能通过微分算子复形局部实现，并且它是Mebkhout理论带来的完全出乎意料的现象。在我看来，关于集束D相干性HY^d(O_{ })_{alg}(出现在上述(12)中)是一个深刻的定理，它是四年来工作的结晶，并使用了解决Hironaka奇点的所有力量，更不用说识别和证明它的创作者的勇气，从而反击业界普遍的冷漠。我刚刚宣布的703(*)是德拉姆系数(例如我从1966年看到的)和微分算子复形之间的深层关系，这是我从未设想过的关系。当开发出第一种方法处理德拉姆关系时，德利涅也没有想到。至于考虑的微分算子复形上的完整正则条件，它必须等价于(后验，感谢善神定理)德利涅的有限性(加上正则性)条件。我之前省略了其解释，通过引入范畴DRD*() = Del*())如下： P∞(L·)的上同调的前层通过组合序列在局部"拧开"，这样连续的因子能通过C-的系统前提描述(通过德利涅函子)的子空间Y - Z上的向量(其中Z ⊂ Y ⊂ 是的封闭解析子空间)。为完成给这个标准一个代数方面，只需在Y - Z上用分层的相干层替换C向量的局部系统就足够，条件是表示分层的连接(请注意可假设Y - Z平滑)或Z附近的正则，在德利涅-704(**)的意义上。请注意: 相关的前集束是通过在T的无穷小邻域上生长Y−Z = T上的晶体获得的，并通过沿Z的压碎，在任何地方都有连贯的丛(bundle)，而不仅仅是在补集Z上…
格罗滕迪克"收获和播种"
格罗滕迪克"收获和播种"法文版于2021年正式出版，其中最精辟的部分是第18章第5节。他是在灵魂的颤栗和悸动中挥笔写就这一章的，读者应能感受到他的激情的脉动。作者没有办法在不给出公式的情况下阐明其理念。尽管格罗滕迪克的公式比较简明，但是其思想博大精深，因此这一章的内容在翻译上不容易把握。无论如何，格罗滕迪克在本文中呈现的思想的光辉是显而易见的。
Mebkhout的双重对偶定理在某种程度上构成善神定理(对于∞-模)的一半，当这个定理以其最强形式被采用时，它肯定函子(8)是互为拟逆。这是Mebkhout于1980年1月提交的论文的核心结果。不仅如此，甚至这一半本身已经是一个全新的结果并完全出乎大家的意料。它是一个经典的结果，连接佐藤的想法和我的想法。它符合我的长期计划—以连续或微分方式(及从派生范畴的角度)制定离散系数。我认为这个结果以其精神和灵感完全避开了日本分析学派的问题。数学家柏原的可构造性定理似乎表示靠近它，而绝不是新的系数e理论的起点。正如1976年至1980年期间出版的那样毫无疑问，Mebkhout是当时唯一一个发展出这种哲学的人。
1978年1月，Mebkhout谈到他在柏原途经巴黎时会谈的结果，当时他刚写完论文。在柏原的请求下，坦率的Mebkhout很高兴终于找到一个对他要说的话感兴趣的数学家，这是把他送到普林斯顿的热门第三章—双对偶定理，那是在1978年2月。同样的结果在三年后出现在Mebkhout的一篇著名文章-693(*)中。它被重新命名为重建定理，并且丝毫没有提到某个Zoghman Mebkhout。这也是令人难忘的一年—某种新风格—694(**)正面征服(并且没有遇到丝毫阻力...)的光辉之年，在这部分数学的创建中，我有似曾相似的亲切感觉...
(c)第五张快照(在"pro"中)(5月21日)双对偶定理(9)是1977年的。为了证明∞-Modules的善神定理的另一半，因此相当于证明函子δ∞本质上为满射，第一个困难在于证明如下：对于Cons∗中的F，根据第一个公式定义∞-Modules C = Δ_{∞}(F)的复数(8)，它能通过函子 i获得，至少在X的局部使用-Modules的复向量(完整和正则)获得。在先验上，根据Mebkhout的想法(即遵循善神对偶定理)，它暗示(5)中的函子i是等价的，后者必须是唯一的，直到唯一的拟同构。
我没有试图理解Mebkhout最终如何在其论文中成功构建这个-Module的。我认为这里的情形必须通过使用与可构造ℂ-vectorials F - 695(*)集束相关的前相干(pro-集束的德利涅概念进行澄清。这个想法是他在上代数簇的背景下发展起来的，但必须能在可能对或的每个紧凑体上局部工作的条件下进行必要修改以适应分析情况。与F相关的前相干层(pro-coherent sheaf)，因此(至少在的每个紧集K上)是相干层(定义在K的邻域中)的射影系统(Fi)，能很简单地定义为前表示函子。
G ⟼ Hom_{ℂ}(F, G);
在(K附近...)上的相干O_{}-Modules G的范畴上，该函子在保持精确的情况下确实是前表示的。例如，如果 F是的封闭解析子空间Y上的常数层C_{Y}、在所有上由零扩展，那么我们发现由Y在中的O_{Xn}个无穷小邻域形成的前层(NB La这个射影系统的射影极限是沿Y的 O_{}的正式完成)。我们注意到(回到一般情况)前层(Fi)配备规范分层 - 696(**)。德利涅持如下观点：德利涅的函子来自上的可构造C(复)向量层的范畴，对于分层的前相干层的范畴，它是完全忠实的，因此能根据分层前相干层范畴的完整子范畴解释第一个范畴(超越性质)。后者具有纯粹的代数意义，并且能用纯粹的代数术语定义所讨论的完整子范畴(或多或少重言式*))。这是我要注意的范畴：
DRD*() 或 Del*() , (10);
这构成我昨天不想解释的第五张快照698(**)。此外，我似乎还记得，德利涅费竭尽全力把他的解释(及前面完全忠实的陈述)发展成派生范畴(当时我还没有一致决定)上同调的学生，以德利涅为首，还没有决定要否定后者)，当然，它确实是我用符号(10)指定的派生范畴版本。
换言之，RHom_{C}(F,O_{}) 中的代数部分必须能以很自然的方式定义为RHom_{O_{}}的归纳极限(在适当的意义上)((Fi, O_{}) - 特别是(传递给上同调层)，我们把规范箭头描述如下。
lim_{i} Ext^d_{O_{X}(Fi, O_{}) → Ext^d_{O_{}}), (11)
通过使用前对象(Fi)的分层和第二个参数O_{}的重言式分层，我们必须能在(11)的第一个成员上定义一个分层—即-Module的结构，因此(11)与算子环的同态(对应 → ∞)兼容。换言之，必须澄清Mebkhout的善神定理，通过说(11)确定∞-Moule的第二个成员通过标量的扩展从第一个推导出来 - 699(*) - 这特别意味着箭头是一个包含关系。因此左边的成员必须被可视化为一种代数或亚纯部分在右成员中(具有超越性质)。
在前面的特定示例F = I*(C_{Y}) 上，在一般情形变得相当清楚，其中i : Y → 包含的封闭分析子空间。接着(11)的右侧是一束局部上同调，在y中具有支撑，其中y是一个超越不变量，而第一个成员是我在示意图框架中为局部上同调引入的众所周知的表达式。这个丛在点x ∈ Y 处的纤维只不过是局部上同调，在结构丛O的谱Xx上，在x上的Y的迹Yx 中有支撑。
lim_{n→} 分机^d_{O_{}_{n}}, O_{}}};
这个实例显示德利涅的想法与我在1960年代早期就局部上同调主题发展起来的想法有多么接近 - 700(**)。尽管如此，Mebkhout在1972~1976年间工作的主题正是在这个关键案例中研究箭头(11)。
lim_{n→} Ext^d_{O_{}n}, }} =(定义) H^d_{Y} (O_{}})_{alg} → H^d_{Y}(O_{ }})，(12);
在这种情形下，它证明上面宣布的关系，并且比(12)-Module的第一个成员(我之前在陈述中省略的内容)模相关、甚至是完整的和正则的。从那里开始，(11)的类似陈述必须是旋开 - 701(**)的直接结果(包括F不是可构造的C向量的一个丛，而是Cons*( , C)中复数情形。除了德利涅函子的形状构造之外，del的唯一颗粒是在分层前模复形的Homs_{O_{}}}的定义中，其值在复形中分层模，即在-Modules的复形中(在此情况下O_{}})作为-Modules的复形(及作为派生范畴的对象)。
对这颗粒盐(指上述颗粒)取模，我们找到对代数善神函子M(与超越善神函子M∞相反)的非常简单和概念性的描述，或更确切地说，通过复述(8)的双公式描述相关的反函子Δ及其拟逆 δ。然而，为了编写它，这里使用德利涅的等价性，我们宁愿查看DRD*()和DRM*()之间的对应函子Δ^和δ^，其中符号^提醒我们要在前对象上工作(在"可构造"方面)。接着，我们找到一个非平凡公式(它在概念上包含在(8)中，但这次把代数性质的系数相互联系起来，这也是通过代数性质的公式实现的):
∆ = MD = DM, δ = mD = Dm, (13)
Del: Cons*(, C) →(≈) ERD*(), (14)
∆ˆ(C′) = RHOm_{O_{X}} (C′, O_{}),
δˆ(C′) = RHOm_{O_{}} (C′, O_{}), (15)
因此，我们在这里有两次相同的公式，唯一的区别是C'在这里是分层的前相干集束的复形(或等同于 - 702(*)，模前相干晶体的复形)，而C是-Modules的复形(它在概念上可作为O_{}本质上相同函子的复形，从一个到另一个，即对偶函子普通连续，显而易见，它是我50年代的老朋友…，当然，这个必须交换前对象和ind对象，即使这意味着要达到后者的归纳极限…
当然，有一项基础工作要做以便为这些公式赋予精确的含义，德利涅在著名的凿沉研讨会上所做的工作，或Jouanolou在其著名论文中所做的那种类型的工作也被凿沉(每个人都引用，自Colloque Pervers以来，没有人掌握在他的手中...这是一部作品，我敢肯定：它或许有点长，但本质上是sorital。它的困难部分包含在Mebkhout的善神定理中，辅以Mebkhout(8)的称为对偶性的公式。另一方面，它们的代数转换，确认两个函子(15)互为拟逆，它从概念上讲是O_{} 一致系数的普通对偶定理，放入ind-pro酱汁中，并以分层作为键(在对偶函子中必须通过而没有问题)。
就微分算子的复形而言，这两种类型的对偶对象之间的对应关系被完美地可视化(不涉及任何基础工作)。此外，在这种对偶中，完整条件(更何况正则性条件)不起作用。在这样的复形L处，昨天考虑的函子F ⟼ Hom_{O_{}}(F, Dd)(逆变)把-Modules的复形与有限类型C。另一方面，这个复形L的形式化，传递到无限阶P∞(L^i)的主要部分(被认为是分层的前模)产生一个复形C' = P ∞(L^i)的分层pro-modules。换言之，我们看到这两个复形对应于公式(15)，其中，RHom显然简化为Hom(只需逐项验证分量L^i的对偶项，接着它减少或多或少的重言式事实，即连续线性同态P∞(L^i) → O_{}与线性同态L^i → 完全对应于微分算子 L^i → O_{ }，分别使用万有微分算子(无限阶)L^i → P∞(L^i)及由θ ⟼ θ(1)给出的l增加 → O_{})。至少在上，Cris*_{coh}()的任何对象(即具有相干上同调的-Modules的任何复形)都能使用微分算子L·的复形描述，我们认为：对于所有实际目的，在对C和C'做出适当的-一致性和-pro-consistency假设的条件下，这种特殊情形完美地掌握两种范畴系数之间的对偶性(15)，它们彼此互为对偶。因此，它发展为我提到的sorite就足够，把我们自己限制在C'或"pro"方面，仅限于前相干丛的复形P∞(L·)，分层可在局部作为拟近同构)进行描述。
与德利涅的原始方法相比，他介绍的前相干复模能通过微分算子复形局部实现，并且它是Mebkhout理论带来的完全出乎意料的现象。在我看来，关于集束D相干性HY^d(O_{ })_{alg}(出现在上述(12)中)是一个深刻的定理，它是四年来工作的结晶，并使用了解决Hironaka奇点的所有力量，更不用说识别和证明它的创作者的勇气，从而反击业界普遍的冷漠。我刚刚宣布的703(*)是德拉姆系数(例如我从1966年看到的)和微分算子复形之间的深层关系，这是我从未设想过的关系。当开发出第一种方法处理德拉姆关系时，德利涅也没有想到。至于考虑的微分算子复形上的完整正则条件，它必须等价于(后验，感谢善神定理)德利涅的有限性(加上正则性)条件。我之前省略了其解释，通过引入范畴DRD*() = Del*())如下： P∞(L·)的上同调的前层通过组合序列在局部"拧开"，这样连续的因子能通过C-的系统前提描述(通过德利涅函子)的子空间Y - Z上的向量(其中Z ⊂ Y ⊂ 是的封闭解析子空间)。为完成给这个标准一个代数方面，只需在Y - Z上用分层的相干层替换C向量的局部系统就足够，条件是表示分层的连接(请注意可假设Y - Z平滑)或Z附近的正则，在德利涅-704(**)的意义上。请注意: 相关的前集束是通过在T的无穷小邻域上生长Y−Z = T上的晶体获得的，并通过沿Z的压碎，在任何地方都有连贯的丛(bundle)，而不仅仅是在补集Z上…
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