【#数学的八大难题#】前七大难题是公认的七大难题，第八难题为世界三大猜想之一。
一、P（多项式算法）问题对 NP（非多项式算法）问题
在一个周六的晚上，你参加了一个盛大的晚会。由于感到局促不安，你想知道这一大厅中是否有你已经认识的人。你的主人向你提议说，你一定认识那位正在甜点盘附近角落的女士罗丝。不费一秒钟，你就能向那里扫视，并且发现你的主人是正确的。然而，如果没有这样的暗示，你就必须环顾整个大厅，一个个地审视每一个人，看是否有你认识的人。生成问题的一个解通常比验证一个给定的解时间花费要多得多。这是这种一般现象的一个例子。
与此类似的是，如果某人告诉你，数字13，717，421可以写成两个较小的数的乘积，你可能不知道是否应该相信他，但是如果他告诉你它可以因子分解为3607乘上3803，那么你就可以用一个袖珍计算器容易验证这是对的。不管我们编写程序是否灵巧，判定一个答案是可以很快利用内部知识来验证，还是没有这样的提示而需要花费大量时间来求解，被看作逻辑和计算机科学中最突出的问题之一。它是斯蒂文·考克（Stephen Cook）于1971年陈述的。
二、霍奇（Hodge）猜想
二十世纪的数学家们发现了研究复杂对象的形状的强有力的办法。基本想法是问在怎样的程度上，我们可以把给定对象的形状通过把维数不断增加的简单几何营造块粘合在一起来形成。这种技巧是变得如此有用，使得它可以用许多不同的方式来推广；最终导至一些强有力的工具，使数学家在对他们研究中所遇到的形形色色的对象进行分类时取得巨大的进展。不幸的是，在这一推广中，程序的几何出发点变得模糊起来。在某种意义下，必须加上某些没有任何几何解释的部件。霍奇猜想断言，对于所谓射影代数簇这种特别完美的空间类型来说，称作霍奇闭链的部件实际上是称作代数闭链的几何部件的（有理线性）组合。
三、庞加莱（Poincare）猜想（已经被证明）
如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点。另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的。我们说，苹果表面是“单连通的”，而轮胎面不是。大约在一百年以前，庞加莱已经知道，二维球面本质上可由单连通性来刻画，他提出三维球面（四维空间）中与原点有单位距离的点的全体的对应问题。这个问题立即变得无比困难，从那时起，数学家们就在为此奋斗。
四、黎曼（Riemann）假设
有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质，例如：2，3，5，7 等等。这样的数称为素数；它们在纯数学及其应用中都起着重要作用。在所有自然数中，这种素数的分布并不遵循任何有规则的模式；然而，德国数学家黎曼（1826~1866）观察到，素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼蔡塔函数z(s)的性态。著名的黎曼假设断言，方程z(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。这点已经对于开始的1,500,000,000个解验证过。证明它对于每一个有意义的解都成立将为围绕素数分布的许多奥秘带来光明。
五、杨－米尔斯（Yang-Mills）存在性和质量缺口
量子物理的定律是以经典力学的牛顿定律对宏观世界的方式对基本粒子世界成立的。大约半个世纪以前，杨振宁和米尔斯发现，量子物理揭示了在基本粒子物理与几何对象的数学之间的令人注目的关系。基于杨－米尔斯方程的预言已经在如下的全世界范围内的实验室中所履行的高能实验中得到证实：布罗克哈文、斯坦福、欧洲粒子物理研究所和筑波。尽管如此，他们的既描述重粒子、又在数学上严格的方程没有已知的解。特别是，被大多数物理学家所确认、并且在他们的对于“夸克”的不可见性的解释中应用的“质量缺口”假设，从来没有得到一个数学上令人满意的证实。在这一问题上的进展需要在物理上和数学上两方面引进根本上的新观念。
六、纳维叶－斯托克斯（Navier-Stokes）方程的存在性与光滑性
起伏的波浪跟随着我们的正在湖中蜿蜒穿梭的小船，湍急的气流跟随着我们的现代喷气式飞机的飞行。数学家和物理学家深信，无论是微风还是湍流，都可以通过理解纳维叶—斯托克斯方程的解，来对它们进行解释和预言。虽然这些方程是19世纪写下的，我们对它们的理解仍然极少。挑战在于对数学理论作出实质性的进展，使我们能解开隐藏在纳维叶－斯托克斯方程中的奥秘。
七、贝赫（Birch）和斯维讷通－戴尔（Swinnerton-Dyer）猜想
数学家总是被诸如x^2+y^2=z^2那样的代数方程的所有整数解的刻画问题着迷。欧几里德曾经对这一方程给出完全的解答，但是对于更为复杂的方程，这就变得极为困难。事实上，正如马蒂雅谢维奇（Yu. V. Matiyasevich）指出，希尔伯特第十问题是不可解的，即，不存在一般的方法来确定这样的方法是否有一个整数解。当解是一个阿贝尔簇的点时，贝赫和斯维讷通－戴尔猜想认为，有理点的群的大小与一个有关的蔡塔函数z(s)在点s=1附近的性态。特别是，这个有趣的猜想认为：如果z(1)等于0，那么存在无限多个有理点（解）；相反，如果z(1)不等于0，那么只存在有限多个这样的点。
八、哥德巴赫猜想
在1742年6月7日给欧拉的信中，哥德巴赫提出了以下猜想：a) 任一不小于6之偶数，都可以表示成两个奇质数之和；b) 任一不小于9之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。欧拉在回信中也提出另一等价版本，即任一大于2的偶数都可写成两个质数之和。通常把这两个命题统称为哥德巴赫猜想。把命题“任何一个大偶数都可以表示成为一个素因子个数不超过a个的数与另一个素因子不超过b个的数之和”记作“a+b”，哥氏猜想就是要证明“1+1”成立。
1966年陈景润证明了“1+2”的成立，即“任何一个大偶数都可表示成一个素数与另一个素因子不超过2个的数之和”。
#学数学有多重要#
一、P（多项式算法）问题对 NP（非多项式算法）问题
在一个周六的晚上，你参加了一个盛大的晚会。由于感到局促不安，你想知道这一大厅中是否有你已经认识的人。你的主人向你提议说，你一定认识那位正在甜点盘附近角落的女士罗丝。不费一秒钟，你就能向那里扫视，并且发现你的主人是正确的。然而，如果没有这样的暗示，你就必须环顾整个大厅，一个个地审视每一个人，看是否有你认识的人。生成问题的一个解通常比验证一个给定的解时间花费要多得多。这是这种一般现象的一个例子。
与此类似的是，如果某人告诉你，数字13，717，421可以写成两个较小的数的乘积，你可能不知道是否应该相信他，但是如果他告诉你它可以因子分解为3607乘上3803，那么你就可以用一个袖珍计算器容易验证这是对的。不管我们编写程序是否灵巧，判定一个答案是可以很快利用内部知识来验证，还是没有这样的提示而需要花费大量时间来求解，被看作逻辑和计算机科学中最突出的问题之一。它是斯蒂文·考克（Stephen Cook）于1971年陈述的。
二、霍奇（Hodge）猜想
二十世纪的数学家们发现了研究复杂对象的形状的强有力的办法。基本想法是问在怎样的程度上，我们可以把给定对象的形状通过把维数不断增加的简单几何营造块粘合在一起来形成。这种技巧是变得如此有用，使得它可以用许多不同的方式来推广；最终导至一些强有力的工具，使数学家在对他们研究中所遇到的形形色色的对象进行分类时取得巨大的进展。不幸的是，在这一推广中，程序的几何出发点变得模糊起来。在某种意义下，必须加上某些没有任何几何解释的部件。霍奇猜想断言，对于所谓射影代数簇这种特别完美的空间类型来说，称作霍奇闭链的部件实际上是称作代数闭链的几何部件的（有理线性）组合。
三、庞加莱（Poincare）猜想（已经被证明）
如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点。另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的。我们说，苹果表面是“单连通的”，而轮胎面不是。大约在一百年以前，庞加莱已经知道，二维球面本质上可由单连通性来刻画，他提出三维球面（四维空间）中与原点有单位距离的点的全体的对应问题。这个问题立即变得无比困难，从那时起，数学家们就在为此奋斗。
四、黎曼（Riemann）假设
有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质，例如：2，3，5，7 等等。这样的数称为素数；它们在纯数学及其应用中都起着重要作用。在所有自然数中，这种素数的分布并不遵循任何有规则的模式；然而，德国数学家黎曼（1826~1866）观察到，素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼蔡塔函数z(s)的性态。著名的黎曼假设断言，方程z(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。这点已经对于开始的1,500,000,000个解验证过。证明它对于每一个有意义的解都成立将为围绕素数分布的许多奥秘带来光明。
五、杨－米尔斯（Yang-Mills）存在性和质量缺口
量子物理的定律是以经典力学的牛顿定律对宏观世界的方式对基本粒子世界成立的。大约半个世纪以前，杨振宁和米尔斯发现，量子物理揭示了在基本粒子物理与几何对象的数学之间的令人注目的关系。基于杨－米尔斯方程的预言已经在如下的全世界范围内的实验室中所履行的高能实验中得到证实：布罗克哈文、斯坦福、欧洲粒子物理研究所和筑波。尽管如此，他们的既描述重粒子、又在数学上严格的方程没有已知的解。特别是，被大多数物理学家所确认、并且在他们的对于“夸克”的不可见性的解释中应用的“质量缺口”假设，从来没有得到一个数学上令人满意的证实。在这一问题上的进展需要在物理上和数学上两方面引进根本上的新观念。
六、纳维叶－斯托克斯（Navier-Stokes）方程的存在性与光滑性
起伏的波浪跟随着我们的正在湖中蜿蜒穿梭的小船，湍急的气流跟随着我们的现代喷气式飞机的飞行。数学家和物理学家深信，无论是微风还是湍流，都可以通过理解纳维叶—斯托克斯方程的解，来对它们进行解释和预言。虽然这些方程是19世纪写下的，我们对它们的理解仍然极少。挑战在于对数学理论作出实质性的进展，使我们能解开隐藏在纳维叶－斯托克斯方程中的奥秘。
七、贝赫（Birch）和斯维讷通－戴尔（Swinnerton-Dyer）猜想
数学家总是被诸如x^2+y^2=z^2那样的代数方程的所有整数解的刻画问题着迷。欧几里德曾经对这一方程给出完全的解答，但是对于更为复杂的方程，这就变得极为困难。事实上，正如马蒂雅谢维奇（Yu. V. Matiyasevich）指出，希尔伯特第十问题是不可解的，即，不存在一般的方法来确定这样的方法是否有一个整数解。当解是一个阿贝尔簇的点时，贝赫和斯维讷通－戴尔猜想认为，有理点的群的大小与一个有关的蔡塔函数z(s)在点s=1附近的性态。特别是，这个有趣的猜想认为：如果z(1)等于0，那么存在无限多个有理点（解）；相反，如果z(1)不等于0，那么只存在有限多个这样的点。
八、哥德巴赫猜想
在1742年6月7日给欧拉的信中，哥德巴赫提出了以下猜想：a) 任一不小于6之偶数，都可以表示成两个奇质数之和；b) 任一不小于9之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。欧拉在回信中也提出另一等价版本，即任一大于2的偶数都可写成两个质数之和。通常把这两个命题统称为哥德巴赫猜想。把命题“任何一个大偶数都可以表示成为一个素因子个数不超过a个的数与另一个素因子不超过b个的数之和”记作“a+b”，哥氏猜想就是要证明“1+1”成立。
1966年陈景润证明了“1+2”的成立，即“任何一个大偶数都可表示成一个素数与另一个素因子不超过2个的数之和”。
#学数学有多重要#
【净土资粮】生信(3) - 信因。信果。（黄念祖居士）
[桃花]信因。信果。
因和果也是一对。因果问题很重要，一个人若真深信了因果，就不同于普通人了。若真信善因得善果，恶因得恶果，便知一切皆有前因，用不着贪求、计较、分别和营谋，便减少无穷的烦恼与过失。欲深知因果，必须明三世因果。三世即过去世、现在世、未来世。佛经说：“欲知过去因，现在受者是。欲知将来果，现在作者是。”现在我们都得人身，这是由于过去生中，曾种持五戒之类的善因。至补在座诸位，能来参加当前殊胜的”念佛七”道场，其中许多位还是久修居士、出家大德、寺院长老，这都是过去多生的善因，不于三四五佛而种善根，已于无量佛所种诸善根。这说明欲知过去所种的因，只看当前所受的果，就清楚了。至于将来的果呢？那只看现在所种的因。现在大家从发菩提心，打七念佛为因，所得之果就是往生极乐，莲池化生，证不退转，都是阿鞞跋致，并且等同在兜率内院的弥勒大士。可见三世因果极为重要。
但世人对此很难生信。所幸当前国内外有识之士，重视了这个问题，做了大量的调查研究，发现许多能记忆前生的实例，并且已有用英文写出的专题报导。至于我自己最近也听到青海省会附近所出现的一件实例。该地村中有一个幼童在初能说话后，即向父母说，我不是你们的孩子，我父是××，我母是××，我名××，我村是×××。于是这一奇闻立即传播出去。所巧者这幼童所说其前生父母，离开他的家只十几个村。听到后即去访问，相见之下，证实无误。孩子认识来者正是前世父母，父母证明童子即是已故爱子。于是这一幼童就有了两套父母。这一事实很能说明问题。更有趣的是：上海某居士（电机工程师）最近亲自在各地调查，在我国西南发现了另一实例，与上述者如出一辙。
至于人死如灯灭之说，看来要站不住脚了。大科学家们，已有了新的体会，例如大科学家薛定鄂，是量子力学的权威，近来研究生命科学，薛氏说：“我在母胎时，并不是我生命的开始，我是依照了过去的蓝图，而出现我的生命。我的死亡，也并非我生命的结束。”薛氏之说生前已有蓝图，死后生命并不结束，恰恰否定了人死灯灭之俗论。至于”蓝图”等。则相似补我教所说阿赖耶识，即第八识。此识含藏一切种子，我们的现在世与将来世都决定于此识中的种子。所以我常说佛教是极科学的。我是学自然科学的，我了解科学，我敢这样说。
因果不虚，欲免恶果，必须不造恶因。欲求善果，务要先种善因。故云”菩萨畏因”，先从因上努力。众生颠倒，不明因果之理，例如恶徒行凶，当宣布立即枪决时，吓得双腿都软了，这就叫众生畏果。遇到恶果，便害怕了。他如知道畏因，便不至于行凶作恶，肆无忌惮，当然也就是避免死刑的恶果。
在信因之中，最殊胜之因，莫过于《要解》所说：“深信散乱持名犹为成佛种子，况一心不乱，安得不生净土？” 散乱心中念佛，都会成了成佛的种子。例如经典中说，佛在世时有一老人来求出家，舍利弗用慧眼观察，看出老人八万劫以来，未种善因，不准出家。老人大哭，佛听到后，叫舍利弗准他出家。因为老人在八万劫前是一樵夫，一次在山中打柴遇虎，逃避上树。虎过后，放心了，念了一声”南无佛”。此一老人在八万劫前，在惊乱中念了一声佛，八万劫后，凭此善因，遇佛出家，后证阿罗汉果。又如《法华经》说：“若人散乱心，入于塔庙中，一称南无佛，皆已成佛道。”由上可见，散乱之心，称佛名号，尚有这样殊胜功德，何况一心念佛，能念到一心不乱的境界，焉有不能往生之理？信愿持名是往生的亲因，从此妙因必得往生的妙果。
正果老法师在起香日开示大众” 克期取证”，可见这个道场不是通常地随喜结缘，而是要在这七天之内达到一心不乱。念佛达到一心不乱就决定往生。曾有人问蕅益大师说：“人若在念佛七日念得一心不乱之后，又造恶业，仍能往生否？” 大师答得好，大师说：“果得一心不乱之人，更无起惑造业之事。” 我现在做个比喻，例如烧开水，水烧开后，便已消毒，可以放心饮用。纵然放凉了，也是凉开水，依然可以食用。反之，这一壶水，今天放在炉上，烧五分钟，拿下来放凉，明天又放在炉上烧五分钟。这样烧一百年，始终不能当开水用。大家蒸饭，也是同样道理，要一口气成功，免成夹生饭。我们用功，也正是这个道理。现在的道场就是希望在这几天之内把水烧开，这就是克期取证。经中所说的一日，是指二十四小时。所以在道场内要一心念佛，出道场回到家中仍应一心念佛。不要回家就看电视等，心就乱了。家务尽量安排好，可以在七日之内，下至只是一日，专心持念。
我们现在所念这本《阿弥陀经》是姚秦时代罗什大师所译，要求念到一心不乱，唐玄奘大师所译此经中则把这一心不乱译为”系念不乱”，两译合参便知罗什大师的”一心”才相当于玄奘大师的”系念”，就是说一心是指专心持念心不散乱。不是指事一心与理一心。因事一心则消除了见思二惑，理一心则可破无明，都是甚深境界。现在合参两译，知道"一心"同于"系念"，所以我们真实发心，老实念佛，绵绵密密，精进不已，以此为因，必得往生极乐的妙果。至于现在达到一心不乱也是可能的。往生时品位就更高了。
[桃花]信因。信果。
因和果也是一对。因果问题很重要，一个人若真深信了因果，就不同于普通人了。若真信善因得善果，恶因得恶果，便知一切皆有前因，用不着贪求、计较、分别和营谋，便减少无穷的烦恼与过失。欲深知因果，必须明三世因果。三世即过去世、现在世、未来世。佛经说：“欲知过去因，现在受者是。欲知将来果，现在作者是。”现在我们都得人身，这是由于过去生中，曾种持五戒之类的善因。至补在座诸位，能来参加当前殊胜的”念佛七”道场，其中许多位还是久修居士、出家大德、寺院长老，这都是过去多生的善因，不于三四五佛而种善根，已于无量佛所种诸善根。这说明欲知过去所种的因，只看当前所受的果，就清楚了。至于将来的果呢？那只看现在所种的因。现在大家从发菩提心，打七念佛为因，所得之果就是往生极乐，莲池化生，证不退转，都是阿鞞跋致，并且等同在兜率内院的弥勒大士。可见三世因果极为重要。
但世人对此很难生信。所幸当前国内外有识之士，重视了这个问题，做了大量的调查研究，发现许多能记忆前生的实例，并且已有用英文写出的专题报导。至于我自己最近也听到青海省会附近所出现的一件实例。该地村中有一个幼童在初能说话后，即向父母说，我不是你们的孩子，我父是××，我母是××，我名××，我村是×××。于是这一奇闻立即传播出去。所巧者这幼童所说其前生父母，离开他的家只十几个村。听到后即去访问，相见之下，证实无误。孩子认识来者正是前世父母，父母证明童子即是已故爱子。于是这一幼童就有了两套父母。这一事实很能说明问题。更有趣的是：上海某居士（电机工程师）最近亲自在各地调查，在我国西南发现了另一实例，与上述者如出一辙。
至于人死如灯灭之说，看来要站不住脚了。大科学家们，已有了新的体会，例如大科学家薛定鄂，是量子力学的权威，近来研究生命科学，薛氏说：“我在母胎时，并不是我生命的开始，我是依照了过去的蓝图，而出现我的生命。我的死亡，也并非我生命的结束。”薛氏之说生前已有蓝图，死后生命并不结束，恰恰否定了人死灯灭之俗论。至于”蓝图”等。则相似补我教所说阿赖耶识，即第八识。此识含藏一切种子，我们的现在世与将来世都决定于此识中的种子。所以我常说佛教是极科学的。我是学自然科学的，我了解科学，我敢这样说。
因果不虚，欲免恶果，必须不造恶因。欲求善果，务要先种善因。故云”菩萨畏因”，先从因上努力。众生颠倒，不明因果之理，例如恶徒行凶，当宣布立即枪决时，吓得双腿都软了，这就叫众生畏果。遇到恶果，便害怕了。他如知道畏因，便不至于行凶作恶，肆无忌惮，当然也就是避免死刑的恶果。
在信因之中，最殊胜之因，莫过于《要解》所说：“深信散乱持名犹为成佛种子，况一心不乱，安得不生净土？” 散乱心中念佛，都会成了成佛的种子。例如经典中说，佛在世时有一老人来求出家，舍利弗用慧眼观察，看出老人八万劫以来，未种善因，不准出家。老人大哭，佛听到后，叫舍利弗准他出家。因为老人在八万劫前是一樵夫，一次在山中打柴遇虎，逃避上树。虎过后，放心了，念了一声”南无佛”。此一老人在八万劫前，在惊乱中念了一声佛，八万劫后，凭此善因，遇佛出家，后证阿罗汉果。又如《法华经》说：“若人散乱心，入于塔庙中，一称南无佛，皆已成佛道。”由上可见，散乱之心，称佛名号，尚有这样殊胜功德，何况一心念佛，能念到一心不乱的境界，焉有不能往生之理？信愿持名是往生的亲因，从此妙因必得往生的妙果。
正果老法师在起香日开示大众” 克期取证”，可见这个道场不是通常地随喜结缘，而是要在这七天之内达到一心不乱。念佛达到一心不乱就决定往生。曾有人问蕅益大师说：“人若在念佛七日念得一心不乱之后，又造恶业，仍能往生否？” 大师答得好，大师说：“果得一心不乱之人，更无起惑造业之事。” 我现在做个比喻，例如烧开水，水烧开后，便已消毒，可以放心饮用。纵然放凉了，也是凉开水，依然可以食用。反之，这一壶水，今天放在炉上，烧五分钟，拿下来放凉，明天又放在炉上烧五分钟。这样烧一百年，始终不能当开水用。大家蒸饭，也是同样道理，要一口气成功，免成夹生饭。我们用功，也正是这个道理。现在的道场就是希望在这几天之内把水烧开，这就是克期取证。经中所说的一日，是指二十四小时。所以在道场内要一心念佛，出道场回到家中仍应一心念佛。不要回家就看电视等，心就乱了。家务尽量安排好，可以在七日之内，下至只是一日，专心持念。
我们现在所念这本《阿弥陀经》是姚秦时代罗什大师所译，要求念到一心不乱，唐玄奘大师所译此经中则把这一心不乱译为”系念不乱”，两译合参便知罗什大师的”一心”才相当于玄奘大师的”系念”，就是说一心是指专心持念心不散乱。不是指事一心与理一心。因事一心则消除了见思二惑，理一心则可破无明，都是甚深境界。现在合参两译，知道"一心"同于"系念"，所以我们真实发心，老实念佛，绵绵密密，精进不已，以此为因，必得往生极乐的妙果。至于现在达到一心不乱也是可能的。往生时品位就更高了。
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较好及以上路必hui，
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做有用的事，说勇敢的话，想美好的事，睡安稳的觉。把时间用在进步上，而不是抱怨上。请相信，这个世界上真的有人在过着你想要的生活。也请明白，那些人大都曾隐忍过你尚未经历的挫折。
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做有用的事，说勇敢的话，想美好的事，睡安稳的觉。把时间用在进步上，而不是抱怨上。请相信，这个世界上真的有人在过着你想要的生活。也请明白，那些人大都曾隐忍过你尚未经历的挫折。
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