1979年，伊利诺伊斯大学的数学家肯尼斯٠阿佩尔和沃尔夫冈٠哈肯借用大学的计算机证明

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—— 近代三大数学难题之一的四色定理

在马克٠吐温的小说《汤姆٠索亚历险记》中，汤姆和他的小伙伴费恩在乘坐热气球从圣路易斯向东飞行时，为他们现在到底在哪里发生了争论。汤姆根据风速认为他们已经在印第安纳州的上空，但费恩不同意汤姆的看法。费恩指着地图说，“你看地图上标明印第安纳州是粉红色，伊利诺伊斯州是绿色。你给我指指看，下面哪里是粉红色的。”

小说中汤姆和费恩的争执是作家用来表示孩子们的童真的一种描写，但一般人都会认为用色彩标识地图上的不同区域可以减少误解和让地图变得更加清晰明确一目了然。19世纪彩色印刷技术发展起来以后，制图师们就开始思考到底一幅地图需要用最少几种颜色就可以将相邻的不同地区标识出来。在直觉和不断试错的努力下，制图师们终于发现，最多只需要四种颜色就可以把无论多复杂的地图清楚地表示出来，而不会出现相邻区域颜色重复的情况发生。

1852年，英国数学家弗南西斯٠格恩里觉得制图师们的经验里应该包含着一定的数学原理，为什么四色是最少的可以表达地图的颜色，数学上一定应该有说法。于是，他将地图看作是图论里的图，区域为面，边界为边，顶点为不同区域相交的地方，提出了著名的四色问题又称四色猜想或四色定理，成为了世界近代三大数学难题之一。

这个定理能不能从数学上加以严格证明呢？他和他正在读大学的弟弟决心试一试，但是绞尽脑汁稿纸已经用了一大叠，研究工作却是没有任何进展。他的弟弟只好去请教他的老师、著名数学家德·摩尔根。摩尔根也没有能找到解决这个问题的办法，于是又写信向自己的好友、著名数学家哈密顿爵士请教。但直到1865年哈密顿逝世为止，问题也没有能够解决。

1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题，世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战。1878年到1880年两年间，著名的律师兼数学家肯普和泰勒两人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布他们证明了四色定理。

大家也都认为四色猜想从此就解决了。但 11年后，即1890年，在牛津大学就读的年仅29岁的赫伍德，以自己的精确计算指出了肯普在证明上的漏洞。他指出肯普说没有极小五色地图能有一国具有五个邻国的理由有破绽。不久泰勒的证明也被人们否定了。人们发现他们实际上证明了一个较弱的命题即五色定理。就是说对地图着色，用五种颜色就够了。

肯普是用归谬法来证明的，大意是如果有一张正规的五色地图，就会存在一张国数最少的“极小正规五色地图”，如果极小正规五色地图中有一个国家的邻国数少于六个，就会存在一张国数较少的正规地图仍为五色的，这样一来就不会有极小五色地图的国数，也就不存在正规五色地图了。这样肯普就认为他已经证明了“四色问题”，但是后来人们发现他错了。

不过肯普的证明阐明了两个重要的概念，对以后问题的解决提供了途径。第一个概念是“构形”。他证明了，在每一张正规地图中至少有一国具有两个、三个、四个或五个邻国，不存在每个国家都有六个或更多个邻国的正规地图，也就是说，由两个邻国，三个邻国、四个或五个邻国组成的一组“构形”是不可避免的，每张地图至少含有这四种构形中的一个。

肯普提出的另一个概念是“可约”性。“可约”这个词的使用是来自肯普的论证。他证明了只要五色地图中有一国具有四个邻国，就会有国数减少的五色地图。自从引入“构形”，“可约”概念后，逐步发展了检查构形以决定是否可约的一些标准方法，能够寻求可约构形的不可避免组，是证明“四色问题”的重要依据。但要证明大的构形可约，需要检查大量的细节，这是相当复杂的。

不管怎么说数学家们还是对肯普的证明感到欣慰的，因为郝伍德没有彻底否定肯普论文的价值。运用肯普发明的方法，郝伍德证明了较弱的五色定理。这即是打了肯普一记闷棍，又是将其表扬了一番。一方面，五种颜色被证明是足够的，另一方面，确实有例子表明三种颜色是不够。那为什么制图师们用四种颜色就完全可以区分任何地图上的所有区域了，四色到底够不够呢？这个问题始终没有能够证明。

故事最终还是要回到汤姆和他的小伙伴费恩发生争论的绿色的伊利诺伊斯州。1979年，伊利诺伊斯大学的数学家肯尼斯٠阿佩尔和沃尔夫冈٠哈肯借用大学的计算机证明了，即使地图上有无数多的国家，四色是足够把他们彼此标识清楚的最少颜色。为了庆祝这个世纪难题的解决，当地的邮局在当天发出的所有邮件上都加盖了“四色足够”的特制邮戳。

一个多世纪以来，数学家们为证明这条定理绞尽脑汁，所引进的概念与方法刺激了拓扑学和图论的发展。在“四色问题”的研究过程中，不少新的数学理论随之产生，也发展了很多数学计算技巧。如将地图的着色问题化为图论问题，丰富了图论的内容。不仅如此，“四色问题”在有效地设计航空班机日程表，设计计算机的编码程序上都起到了推动作用。当然，四色定理证明的关键是归纳为二维平面内两条直线相交的问题。但是如果地球是一个炸面包圈形状的话，四色就又远远不够啦，我们需要用至少7种颜色才能表示清楚。你能证明它吗？

可能，人是在一次又一次地杀死过去的自我中成长的。

他是，我也是。

有时候胡思乱想并不是想得到什么答案，而是每过一段时间，结合新的经历，再去思考这些问题，总能得到那么点不同的体悟，好坏不论，直面自我的时候内心得到的宁静与明路就已经足够可贵。

比如我喜欢他以后。

就逐渐从一个执着于最初的模样的人，学会与当下和解。好像终于理解同另一个人一起踏踏实实走每一步，在这种陪伴中产生的羁绊是种怎样奇妙的牵引，旧的爱也许会灭失，但新的爱永远在萌生。

当然，我也会感慨他长大得真的好快，明明那个在我脑子里撒野奔跑的小男孩，像是突然之间长大成给我以奇妙安心感的男子汉。

面对这些成长，我是坦然且平静的，它们所积累的每一分我都亲眼所见，它们生发的每一点因由我也都历历在目。

他的世界，是以普通世界无数倍流速运转着的世界。我甚至觉得每一个今天他都在杀死昨天的自己，然后从废墟中重建起新的自我。好像只有这样，才能飞速蜕变，成长，打磨得熠熠生辉，也才能配得上他与这个世界对他自己的要求。

而我则不过是一个今天又在刷新着昨天的认知，从又进步了一点点的哥哥身上亲昵着熟悉，心动着新鲜。好像因为我一直同他一起在往前奔，所以我对他的认识和爱意也从未停留在某一刻钟过。

关于这一切，我还没找到答案。但是啊，我能肯定的是，过去不可追，未来尚未至，我最喜欢的，是这一刻的你。