日本折纸艺术

折纸最吸引人的一个特点在于，它可以超越传统的数学，尤其是几何学。只需要一张折纸，我们就可以三等分一个角（分成三个相等的分角），而用传统几何学中的圆规和直尺，这是根本不可能完成的。我们还可以用折纸来2倍一个立方体，这也是标准几何学无法完成的（2倍立方体是古埃及人和古希腊人发现的一个问题。要2倍一个立方体，首先要有一个给定边长和体积的立方体，求作一个新的立方体，其体积是初始立方体的两倍，这个过程根本无法完成，因为2倍立方体边长的立方根是2，这个长度是无法用圆规和直尺作出的）。

事实上，在对折纸艺术的数学研究中，也产生了一些几何公理———与两千多年前的古希腊大数学家欧几里得提出的原理和定义类似的一套公理，被统称为折纸几何公理，指出了折纸过程中的全部基本操作。折纸数学也衍生了川崎定理，这一定理指出，围绕一个点的所有角的其他角的和等于180°。

折纸数学不仅差一点成为一个独立的数学分支，有着自己的证明和公理，折纸所使用的材料通常也具有数学性。有人用三角形和五角形的折纸材料折出三维的形状，有人折出柏拉图多面体———由规则的多面体（由平面和直边组成的三维形状）组成的五种基本形状，也有的折纸艺术家折出双曲抛物线———马鞍形———就像一个介于四方形和一只蝴蝶之间的十字架，还有的用折纸来证明勾股定理。

从某种意义上说，折纸和数学似乎有着相同的概念元素，用自己的双手来做出一个形状，从而更好地掌握数学概念，这样的效果是最好的。丢掉铅笔和绘图计算器吧，花点时间在折纸中发现数学！

《数学极客》

【压轴题寒假打卡47：二次函数有关的分类讨论压轴题】 
本题考查的是二次函数的综合题，（1）根据抛物线上的点确定c的值．（2）结合一元二次方程的解确定x1•x2的值．（3）在x的取值范围内确定|y0|的最小值．

考点分析：
二次函数综合题；综合题。
题干分析：
（1）把点（0，﹣1/2）代入抛物线可以求出c的值．
（2）把点（0，﹣1/2）代入直线得n=﹣1/2，然后把点（m﹣b，m2﹣mb+n）代入抛物线，整理后可确定a的值，把a，c的值代入抛物线，当y=0时可以求出x1•x2的值．
（3）抛物线y=x2+bx﹣1/2的顶点（﹣b/2，﹣1/2﹣b2/4），当b＜0时，x=﹣1时y的值大；当b＞0时，x=1时y的值大．然后比较x=﹣1，x=1以及抛物线顶点的纵坐标的绝对值，确定|y0|的最小值．

《【压轴题寒假打卡38：二次函数有关的压轴题】
本题主要考查对用待定系数法求一次函数的解析式，二次函数与X轴的交点，解一元二次方程，解二元一次方程组，三角形的面积等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．

考点分析：
二次函数综合题；解二元一次方程组；解一元二次方程-因式分解法；待定系数法求一次函数解析式；抛物线与x轴的交点；三角形的面积；计算题。
题干分析：
（1）求出方程的解，得到B、A的坐标，代入抛物线得到方程组，求出方程组的解即可；
（2）求出C的坐标，根据B、C的坐标求出即可；
（3）设直线BC交PE于F，P点坐标为（a，0），则E点坐标为（a，﹣a2﹣2a+3），根据三角形的面积求出F的坐标，设直线BC的解析式是y=kx+b，把B、C的坐标代入求出直线BC，把F的坐标代入求出即可．
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