《法华经》有得缘觉不退菩萨
（第六十九段）
【诸子是时，欢喜踊跃，乘是宝车，游于四方，嬉戏快乐，自在无碍。告舍利弗：我亦如是，众圣中尊，世间之父，一切众生，皆是吾子。深著世乐，无有慧心，三界无安，犹如火宅，众苦充满，甚可怖畏，常有生死，病死忧患，如是等火，炽燃不息。如来已离，三界火宅，寂然闲居，安处林野，今此三界，皆是我有，其中众生，悉是吾子，而今此处，多诸患难，唯我一人，能为救护。虽复教诏，而不信受，于诸欲染，贪著深故。以是方便，为说三乘，令诸众生，知三界苦，开示演说，出世间道，是诸子等，若心决定，具足三明，及六神通，有得缘觉，不退菩萨。】
世尊说：“诸子”这个时候，听说父亲要送比三车更好的大宝车给他们，非常欢喜，踊跃而起，乘坐着父亲送予的大车，到处旅游，去参观四方所有的世界，相互嬉戏，快乐无比，随处所到，身心自在，没有一丝障碍。
以上所说的“诸子”比喻已出离生死的小乘声闻众、“是时”即一时。声闻众一时听了佛开示的大乘法，明白了大乘法的义趣和无穷妙用，都非常高兴，欢喜得跳了起来，愿意回小乘、向大乘，于是都进入了大乘法的修证，乘上了通往无上大道的一乘宝车。他们非常高兴地修四摄六度，菩萨万行，游于四方，入一乘了义，得法喜充满，心无羁绊，嬉戏快乐，于一切时、一切处，自由自在，无一障碍。
世尊告诉舍利弗说：我和前面说的长者是一样的，长者为世间之尊、我为圣贤之尊，为十方世间之父，一切众生，都是我的儿子。他们追逐世间的名利地位，深深的染著于酒色财气之乐，丢失了自己本有的般若慧心，不知三界之内，并无安身之处，四面都是欲火燃烧，三苦八苦，充满世间；不测之灾，随时可至，夺人性命，毁其财物，十分恐怖，令人生畏。世事无常、生死无常，尽在瞬息之间。更有病痛，生不如死，死亦生悲，忧患不绝，像这些焚烧众生之无明火，众生不知，却越烧越猛，无有止息。
世尊说：如来已经远离了三界火宅，早已了断生死，灭尽了所有的烦恼，生活在常寂光净土里，清净自在，所居闲适，常安处于林泉野外，独享怡人景色，并且非常富有，现在这三界里的一切，都是我所拥有，三界内的众生，都是我的儿子，他们在三界里，正遭受着许许多多的悲苦患难，只有我一人，才有能力救护他们。
世尊说：为了救护众生，我反复教化诏示，为他们说大乘法的道理，但他们不相信、不接受，因为他们受“财、色、名、食、睡”这诸多之欲的染污太重，在虚幻的尘境里陷得太深。鉴于众生，染污太重，只好用方便权巧的办法，说三乘法，即声闻乘、缘觉乘、菩萨乘。再给众生讲这虚空宇宙的成、住、坏、空，三灾八难等，让众生知道三界之内，处处皆苦，使他们有了清醒的认识，愿意离这三界之苦，然后我才开示出世间的大乘菩萨道。
世尊说：觉醒了的诸多众生，如果已下了出离生死的大决心，决心修出世法，就能具足得到“三明”及“六神通”。“三明”“六通”指的是三种智慧和六种神通。三种智慧是：能知道过去、现在、未来的三种智慧，即：
一、宿命明：知自身、他身宿世之生死相。二、天眼明：知自身、他身未来世之生死相。三、漏尽明：四谛成就、断一切见思烦恼。此三明又名：一、宿住智证明；二、死生智证明；三、漏尽智证明。六神通则指的是六种超天地造化而自由无碍之力，即：
1、神境通：又作身通、身如意通、神足通。具有自由无碍，随心所欲，可变天地万物并具有变化无穷之能力。
2、天眼通：能见六道众生生死苦乐之相，及见世间一切种种形色，无有障碍。
3、天耳通：能听闻六道众生苦乐忧喜之语言，及世间种种之音声。
4、他心通：能知六道众生心中所思之事，对别人的心理活动，一览无余。
5、宿命通：又作宿住通，能知自身及六道众生之百千万世宿命及所作之事。
6、漏尽通：已断尽三界内一切见思惑，不受三界生死，而得漏尽神通之力。
在“三明六通”的基础上，修十二因缘法，可证得“缘觉”果位。《华严经行愿品疏钞》卷四，举出缘觉有三种：一、缘觉之缘觉：此与因果俱相同。二、声闻之缘觉：其中“因”指声闻、“果”成缘觉。三、菩萨之缘觉：其中“因”指菩萨、“果”成缘觉。
《大乘义章》卷十七对声闻、缘觉有四种分别，即：一、是声闻而非缘觉：即声闻人。二、是缘觉而非声闻：即麟角喻人。麟角比喻独觉，与缘觉同义。三、是声闻也是缘觉：即为部行。四、是缘觉也是声闻：即因缘觉。
声闻、缘觉相比较，则有五同六异之说，五同即：一、见理同：同见生空之理。二、断障同：同断四住之烦恼。三、修行同：同修三十七道品法。四、得果同：同得尽智、无生智果。五、证灭同：同证有余、无余涅槃。
六异指：一、根异：声闻为钝根、缘觉为利根。二、所依异：声闻依师、缘觉不依师。三、藉缘异：声闻藉教法为缘而得悟道、缘觉藉事相之现缘而悟道。四、所观异：声闻观察四真谛法、缘觉观察十二因缘法。五、向果异：声闻人中四向四果。四向是：须陀洹向、斯陀含向、阿那含向、阿罗汉向。四果是须陀洹果、斯陀含果、阿那含果、阿罗汉果。向的意思是：向须陀洹得须陀洹果、向斯陀含得斯陀含果、向阿那含得阿那含果、向阿罗汉得阿罗汉果。如此所得名四双八士。
所谓“四双八士”指的是声闻修行者从入圣道到证入阿罗汉的八个阶段，就是修四向四果的阶段。而缘觉人则是一向一果。一向是缘觉：一果是辟支佛果。是缘觉人修十二因缘法的一个修证阶段。六、通用异：声闻之人二千国土为通境界、缘觉之人三千国土为通境界。在声闻缘觉的基础上，如果转修四摄六度法，可证得“不退菩萨”位。不退菩萨有三个含义，即：
一、位不退：指修得之位不退失。二、行不退：指所修之行法不退失。三、念不退：指正念不退转。此三不退配以菩萨行位，诸宗说法不一。法相宗依万劫修因入十住之位，成就唯识观，无复退堕恶业流转生死之位，称“位不退”；既入初地，成就真唯识观，对利他之行不退失，称为“行不退”；八地以上，得无功用之智，念念入真如海，即在定散中亦恒常自在，称为“念不退”。
天台宗则以别教之初住至第七住为“位不退”、在此间断灭见思惑而永超三界生死；以第八住至十回向之终为“行不退”，在此间破除尘沙惑而不退失利他之心；又以初地以上为“念不退”，此时已断多品无明惑，永不退失中道之正念。如配以圆教，则初信至第七信为“位不退”；第八信至第十信之终为“行不退”；初住以上为“念不退”。
以上不论是用哪一宗证此三不退，除了定位名称不同以外，意义都是一样的，都已安住于大乘菩提道，得不退菩萨位。得此不退菩萨位，就意味着决定能成佛了。
（第六十九段）
【诸子是时，欢喜踊跃，乘是宝车，游于四方，嬉戏快乐，自在无碍。告舍利弗：我亦如是，众圣中尊，世间之父，一切众生，皆是吾子。深著世乐，无有慧心，三界无安，犹如火宅，众苦充满，甚可怖畏，常有生死，病死忧患，如是等火，炽燃不息。如来已离，三界火宅，寂然闲居，安处林野，今此三界，皆是我有，其中众生，悉是吾子，而今此处，多诸患难，唯我一人，能为救护。虽复教诏，而不信受，于诸欲染，贪著深故。以是方便，为说三乘，令诸众生，知三界苦，开示演说，出世间道，是诸子等，若心决定，具足三明，及六神通，有得缘觉，不退菩萨。】
世尊说：“诸子”这个时候，听说父亲要送比三车更好的大宝车给他们，非常欢喜，踊跃而起，乘坐着父亲送予的大车，到处旅游，去参观四方所有的世界，相互嬉戏，快乐无比，随处所到，身心自在，没有一丝障碍。
以上所说的“诸子”比喻已出离生死的小乘声闻众、“是时”即一时。声闻众一时听了佛开示的大乘法，明白了大乘法的义趣和无穷妙用，都非常高兴，欢喜得跳了起来，愿意回小乘、向大乘，于是都进入了大乘法的修证，乘上了通往无上大道的一乘宝车。他们非常高兴地修四摄六度，菩萨万行，游于四方，入一乘了义，得法喜充满，心无羁绊，嬉戏快乐，于一切时、一切处，自由自在，无一障碍。
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世尊说：如来已经远离了三界火宅，早已了断生死，灭尽了所有的烦恼，生活在常寂光净土里，清净自在，所居闲适，常安处于林泉野外，独享怡人景色，并且非常富有，现在这三界里的一切，都是我所拥有，三界内的众生，都是我的儿子，他们在三界里，正遭受着许许多多的悲苦患难，只有我一人，才有能力救护他们。
世尊说：为了救护众生，我反复教化诏示，为他们说大乘法的道理，但他们不相信、不接受，因为他们受“财、色、名、食、睡”这诸多之欲的染污太重，在虚幻的尘境里陷得太深。鉴于众生，染污太重，只好用方便权巧的办法，说三乘法，即声闻乘、缘觉乘、菩萨乘。再给众生讲这虚空宇宙的成、住、坏、空，三灾八难等，让众生知道三界之内，处处皆苦，使他们有了清醒的认识，愿意离这三界之苦，然后我才开示出世间的大乘菩萨道。
世尊说：觉醒了的诸多众生，如果已下了出离生死的大决心，决心修出世法，就能具足得到“三明”及“六神通”。“三明”“六通”指的是三种智慧和六种神通。三种智慧是：能知道过去、现在、未来的三种智慧，即：
一、宿命明：知自身、他身宿世之生死相。二、天眼明：知自身、他身未来世之生死相。三、漏尽明：四谛成就、断一切见思烦恼。此三明又名：一、宿住智证明；二、死生智证明；三、漏尽智证明。六神通则指的是六种超天地造化而自由无碍之力，即：
1、神境通：又作身通、身如意通、神足通。具有自由无碍，随心所欲，可变天地万物并具有变化无穷之能力。
2、天眼通：能见六道众生生死苦乐之相，及见世间一切种种形色，无有障碍。
3、天耳通：能听闻六道众生苦乐忧喜之语言，及世间种种之音声。
4、他心通：能知六道众生心中所思之事，对别人的心理活动，一览无余。
5、宿命通：又作宿住通，能知自身及六道众生之百千万世宿命及所作之事。
6、漏尽通：已断尽三界内一切见思惑，不受三界生死，而得漏尽神通之力。
在“三明六通”的基础上，修十二因缘法，可证得“缘觉”果位。《华严经行愿品疏钞》卷四，举出缘觉有三种：一、缘觉之缘觉：此与因果俱相同。二、声闻之缘觉：其中“因”指声闻、“果”成缘觉。三、菩萨之缘觉：其中“因”指菩萨、“果”成缘觉。
《大乘义章》卷十七对声闻、缘觉有四种分别，即：一、是声闻而非缘觉：即声闻人。二、是缘觉而非声闻：即麟角喻人。麟角比喻独觉，与缘觉同义。三、是声闻也是缘觉：即为部行。四、是缘觉也是声闻：即因缘觉。
声闻、缘觉相比较，则有五同六异之说，五同即：一、见理同：同见生空之理。二、断障同：同断四住之烦恼。三、修行同：同修三十七道品法。四、得果同：同得尽智、无生智果。五、证灭同：同证有余、无余涅槃。
六异指：一、根异：声闻为钝根、缘觉为利根。二、所依异：声闻依师、缘觉不依师。三、藉缘异：声闻藉教法为缘而得悟道、缘觉藉事相之现缘而悟道。四、所观异：声闻观察四真谛法、缘觉观察十二因缘法。五、向果异：声闻人中四向四果。四向是：须陀洹向、斯陀含向、阿那含向、阿罗汉向。四果是须陀洹果、斯陀含果、阿那含果、阿罗汉果。向的意思是：向须陀洹得须陀洹果、向斯陀含得斯陀含果、向阿那含得阿那含果、向阿罗汉得阿罗汉果。如此所得名四双八士。
所谓“四双八士”指的是声闻修行者从入圣道到证入阿罗汉的八个阶段，就是修四向四果的阶段。而缘觉人则是一向一果。一向是缘觉：一果是辟支佛果。是缘觉人修十二因缘法的一个修证阶段。六、通用异：声闻之人二千国土为通境界、缘觉之人三千国土为通境界。在声闻缘觉的基础上，如果转修四摄六度法，可证得“不退菩萨”位。不退菩萨有三个含义，即：
一、位不退：指修得之位不退失。二、行不退：指所修之行法不退失。三、念不退：指正念不退转。此三不退配以菩萨行位，诸宗说法不一。法相宗依万劫修因入十住之位，成就唯识观，无复退堕恶业流转生死之位，称“位不退”；既入初地，成就真唯识观，对利他之行不退失，称为“行不退”；八地以上，得无功用之智，念念入真如海，即在定散中亦恒常自在，称为“念不退”。
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国际奥数包揽金牌：中国人的数学，为何这么厉害？
《史记·留侯列传》中，记载了郦食其劝说刘邦封立六国、张良分析理由并加以阻止的场景，当刘邦兴致勃勃对张良讲述郦食其的观点时，张良答道：“臣请藉前箸为大王筹之。”随即用筷子充当算筹，为刘邦一一数出利弊，这一幕被称为“运筹借箸”。“运筹”原本指用算筹计算，衍生出经略谋划之意，“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，就是刘邦后来对张良的评价。现代应用数学学科中的Operations Research引入中国时，也被译为“运筹学”。
在我国古代，数学通常被称为“算学”。算筹——形如筷子的小棍，是先人使用数千年的“计算器”，其运用法则蕴含着中国古代数学中基本的位值思想、表达形式和计算方法，影响不可谓不深远。尽管随着时间推移，算筹在元代以后逐渐淡出，但在它基础上衍生出的算盘和“苏州码”沿用至近现代。
算筹：演天地之数
算筹又名算子、筹策，它究竟在何时出现已不可考。《易经》记载：“上古结绳而治。”可以看作一种最原始的记录事件兼计数方式，其他古文明中亦有应用。在此基础上，先民逐渐研制出更便于使用的计算工具。
南美洲印加人曾用于记事的“奇普”（Quipu），是将多根打结的绳子系在同一根横向绳索的下方，不同形状的绳结可以代表不同数字，也可以用来计算总数，不同颜色则代表时间、物品等复杂信息。
《史记·历书》记载：“黄帝使羲和占日，常仪占月，臾区占星气，伶伦造律吕，大桡作甲子，隶首作算数，容成综此六术而著调历。”虽然隶首为上古传说中的人物，但也可一窥“算数”历史之悠久，并且是为满足人民的实用需求而诞生的。
晋代人整理的《逸周书》中有“卑辞而不听，□财而无枝”之语，有研究者认为，“枝”指的是周代使用的算筹雏形。早期的算筹可能是使用取材方便的竹棒、树枝随意为之，“算”“筹”“策”等字都体现出它的质地。用来盛算筹的容器，叫做“中”，《周礼》中记载“凡射事，饰中，舍算”，后世有注“中，所以盛算也”，它很可能也是竹子制成的筒状容器。
在春秋时期，算筹的使用已经相当普遍，《论语》中有“斗筲之人，何足算也”，《老子》也提到“善计者不用筹策”。1954年，在湖南左家公山的楚国墓葬里出土了40根竹算筹，是目前已知最早的算筹实物。在《汉书·律历志》中，明确了它的制作规范：“其算，法用竹，径一分，长六寸，二百七十一枚而成六觚，为一握。”换算成今天常用的单位，就是直径约0.23厘米、长约13.8厘米的直棒，一套共271根，叫做“一握”，可以放在一个六边形的容器里。
古人常用的算筹除了竹制，亦有金属制、骨制、玉石制。横截面不仅有圆形，也有不易滚动的长方形。《晋书·王戎传》中，用“每自执牙筹，昼夜算计”描述王戎“积实聚钱”的勤奋程度。宋代《邵氏闻见后录》描写了略为灵异的一幕：“盗夜发咸阳原上古墓，有火光出，用剑击之，铿然以坠，视之，白玉帘也。岂至宝久埋藏欲飞去邪？既击碎之，有中官取以作算筹。”古人用帘，需能随意舒卷，因此白玉帘可能不是整片的白玉，而是由多条磨细的玉棒连缀而成，正适合做算筹。
古人为了携带方便，通常将算筹放在一个布袋里，挂在腰带上，这个布袋亦名“算袋”。《旧唐书·舆服志》规定，“一品以下文官并带手巾算袋”。连海中的乌贼也因为外形略似有飘带的袋子，被古人认为“秦皇东游，弃算袋于海，化为此鱼”。
我国胶州湾以南的海域有一种珊瑚纲无脊椎动物沙箸海鳃（Virgularia sp.），因为躯干主体部位呈细长笔直的圆柱形，很像一根算筹，古人称之为“越王余算”，并创造了相关传说：“昔晋安越王渡南海，将黑角白骨作算筹，其有馀者，弃于水中而生此，故叶白者似骨，黑者似角。
纵横布筹，算无遗策
算筹应当如何表达数字和做计算？或许有人会联想起一个经典的笑话：老师教学生写字，讲“‘一’字画一横，‘二’字画两横，‘三’字画三横”，学生马上觉得自己都学会了。父亲让他给姓“万”的人写封信，他画了一天还没画完道道。
看上去像一根根小棍的算筹，要怎么表达数字呢？难道也像这个故事里的学生那样，表达数字“一”摆一根，数字“十”摆十根，数字“万”摆一万根吗？其实，古代的算筹记数依据是“位值制”记数法，即每个数字所表达的数值不仅取决于它本身，而取决于它在记数中所处的位置，这样就能够用较少的符号表达较大的数。算筹的位值制记数法建立在十进制基础上，即每满十数进位，相比于二十进制、六十进制，这种进位制的应用最广泛，我们今天使用的运算法则也是基于十进制的。
至迟在春秋时期，我国的十进位值制已经成熟。《墨子·经下》中提到：“一少于二，而多于五，说在建。”意思是，如果一和二都位于个位，一比二小；但如果一位于十位及以上，它代表的数字就比位于个位的五大。《左传·襄公三十年》记载，晋国绛县老人自称“臣生之岁，正月甲子朔，四百有四十五甲子矣，其季于今，三之一也”。意思是他出生以来经历了445个甲子日，最后一个甲子日是20天前。官吏询问大臣他应该有多少岁，师旷说：“73年。”史赵则给出了一个字谜：“亥有二首六身，下二如身，是其日数也。”答案也是73年。“亥”字的篆体上有二横，下面是三个“人”字，形同“六”字，如果把上面的“二”移到下方，就成了“二六六六零”，将天数折合为年就是73年。（如果是2666天，和现实不符）
约成书于公元3世纪前的《孙子算经》记载了基本的算筹记数法则：“凡算之法，先识其位。一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当。”
“一纵十横，百立千僵”直观地说明了算筹采用的纵式和横式两种记数方法，个位用纵式，十位用横式，百位再用纵式……这样相邻数位纵横交替摆放，避免数位太多时发生混淆。从1到5的数字可以直接摆放对数目的算筹，如果要用算筹表达从6到9的数字，则不需要摆和数字一样多的根数，而是先摆一根代表5，再在和它垂直交叉的方向放上1到4根，就可以分别代表从6到9的数字。算筹中没有表达“零”的字符，用空位代替0。《夏侯阳算经》概括为“满六已上，五在上方，六不积算，五不单张”。
算筹摆位的时候，高位在左，低位在右，和现代的阿拉伯数字相同。如果要摆数字“71824”，并不需要摆71824根，只需要在个位摆4根，十位摆2根，百位摆8根，千位摆1根，万位摆7根就可以。因此，现代认为，“算筹系统是世界上唯一只用一个符号的组合，表示任何十进位数字的系统”。
与之相比，其他古文明中的记数法则显得较为繁琐。比如，以古埃及的数字形式表达“3244”，需要写3个表达1000的文字、2个表达100的文字、4个表达10的文字和4个表达1的文字，并且外形各不相同。古希腊数字则是用不同的字母表达从1到9的数、10到90的十位数和从100到900的百位数，在书写数字时，将对应的字母写在一起，如写“241”就是将代表200的σ、代表40的μ和代表1的α三个字母并列。如果数字较大，则不利于计算和记录得数。
石刻上左栏中间表达数字为2，中下为2/3，底部为1/12；中栏中间表达数字为60，右栏顶部为1/30，中间为1/40。
用算筹做加法、减法，是按照从左到右的顺序，从高位到低位逐位相加、相减，随着加减的结果及时摆出对应位上的算筹，也可以直接在被加或被减的数字上操作，把每位数的结果摆成新的。乘除法也类似，以乘法为例，古人的做法是“上下相乘，实居中央”，先把乘数和被乘数按上下位置摆好，按从左到右的顺序用上面的数的第一位乘下面数的每一位，把乘得的积摆在上下两数中间，然后去掉上面的数的第一位，把下面的数往右移动一位；再用上面数的第二位乘下面数的每一位，把结果和中间的乘积相加……这样以此类推，直到计算完成。做除法是将被除数放中排，除数放下排，商数放上排，余数放在最下一排，刘徽《九章算术注》中定义，在上的筹称“实”，在下的筹称为“法”。
如果用算筹做涉及负数的计算，可以将算筹涂上不同的颜色，宋代使用红色的算筹表示正数、黑色的表示负数；如果使用同色算筹，就在数字最后一位斜放一根，以示区分。做小数计算的话，要将小数部分和整数部分区分开，南宋秦九韶采用的方式是在个位数下记单位名称，比如要计算天数，就在个位数下面标一“日”字。元代刘瑾则将小数部分整体下移一格。做分数计算时，和现代的分数表达形式一样上下摆放，《孙子算经》称在上的筹为“子”，在下的筹为“母”，这就是“分子”“分母”的由来。
算筹能够将每一步的计算结果清晰地表达出来，甚至连视力有障碍的人也能熟练运用它做计算，《梦溪笔谈》里记载了一位擅长算筹的盲人卫朴，“大乘除皆不下照位，运筹如飞，人眼不能逐。人有故移其一算者，朴自上至下手循一遍，至移算处，则检正而去”。体现出中国传统数学解决问题的“机械化”特点，即每一步骤都具有固定程序。除了四则运算，算筹还可以用来做开方、开立方，解高次方程、四元方程等，自先秦至宋代的诸多领先当时世界的数学成就，都离不开算筹的助力。作为我国古代数学的基石，它在推演历法、修建工程、计算人口和赋税等方面都发挥了重要作用。
《史记·留侯列传》中，记载了郦食其劝说刘邦封立六国、张良分析理由并加以阻止的场景，当刘邦兴致勃勃对张良讲述郦食其的观点时，张良答道：“臣请藉前箸为大王筹之。”随即用筷子充当算筹，为刘邦一一数出利弊，这一幕被称为“运筹借箸”。“运筹”原本指用算筹计算，衍生出经略谋划之意，“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，就是刘邦后来对张良的评价。现代应用数学学科中的Operations Research引入中国时，也被译为“运筹学”。
在我国古代，数学通常被称为“算学”。算筹——形如筷子的小棍，是先人使用数千年的“计算器”，其运用法则蕴含着中国古代数学中基本的位值思想、表达形式和计算方法，影响不可谓不深远。尽管随着时间推移，算筹在元代以后逐渐淡出，但在它基础上衍生出的算盘和“苏州码”沿用至近现代。
算筹：演天地之数
算筹又名算子、筹策，它究竟在何时出现已不可考。《易经》记载：“上古结绳而治。”可以看作一种最原始的记录事件兼计数方式，其他古文明中亦有应用。在此基础上，先民逐渐研制出更便于使用的计算工具。
南美洲印加人曾用于记事的“奇普”（Quipu），是将多根打结的绳子系在同一根横向绳索的下方，不同形状的绳结可以代表不同数字，也可以用来计算总数，不同颜色则代表时间、物品等复杂信息。
《史记·历书》记载：“黄帝使羲和占日，常仪占月，臾区占星气，伶伦造律吕，大桡作甲子，隶首作算数，容成综此六术而著调历。”虽然隶首为上古传说中的人物，但也可一窥“算数”历史之悠久，并且是为满足人民的实用需求而诞生的。
晋代人整理的《逸周书》中有“卑辞而不听，□财而无枝”之语，有研究者认为，“枝”指的是周代使用的算筹雏形。早期的算筹可能是使用取材方便的竹棒、树枝随意为之，“算”“筹”“策”等字都体现出它的质地。用来盛算筹的容器，叫做“中”，《周礼》中记载“凡射事，饰中，舍算”，后世有注“中，所以盛算也”，它很可能也是竹子制成的筒状容器。
在春秋时期，算筹的使用已经相当普遍，《论语》中有“斗筲之人，何足算也”，《老子》也提到“善计者不用筹策”。1954年，在湖南左家公山的楚国墓葬里出土了40根竹算筹，是目前已知最早的算筹实物。在《汉书·律历志》中，明确了它的制作规范：“其算，法用竹，径一分，长六寸，二百七十一枚而成六觚，为一握。”换算成今天常用的单位，就是直径约0.23厘米、长约13.8厘米的直棒，一套共271根，叫做“一握”，可以放在一个六边形的容器里。
古人常用的算筹除了竹制，亦有金属制、骨制、玉石制。横截面不仅有圆形，也有不易滚动的长方形。《晋书·王戎传》中，用“每自执牙筹，昼夜算计”描述王戎“积实聚钱”的勤奋程度。宋代《邵氏闻见后录》描写了略为灵异的一幕：“盗夜发咸阳原上古墓，有火光出，用剑击之，铿然以坠，视之，白玉帘也。岂至宝久埋藏欲飞去邪？既击碎之，有中官取以作算筹。”古人用帘，需能随意舒卷，因此白玉帘可能不是整片的白玉，而是由多条磨细的玉棒连缀而成，正适合做算筹。
古人为了携带方便，通常将算筹放在一个布袋里，挂在腰带上，这个布袋亦名“算袋”。《旧唐书·舆服志》规定，“一品以下文官并带手巾算袋”。连海中的乌贼也因为外形略似有飘带的袋子，被古人认为“秦皇东游，弃算袋于海，化为此鱼”。
我国胶州湾以南的海域有一种珊瑚纲无脊椎动物沙箸海鳃（Virgularia sp.），因为躯干主体部位呈细长笔直的圆柱形，很像一根算筹，古人称之为“越王余算”，并创造了相关传说：“昔晋安越王渡南海，将黑角白骨作算筹，其有馀者，弃于水中而生此，故叶白者似骨，黑者似角。
纵横布筹，算无遗策
算筹应当如何表达数字和做计算？或许有人会联想起一个经典的笑话：老师教学生写字，讲“‘一’字画一横，‘二’字画两横，‘三’字画三横”，学生马上觉得自己都学会了。父亲让他给姓“万”的人写封信，他画了一天还没画完道道。
看上去像一根根小棍的算筹，要怎么表达数字呢？难道也像这个故事里的学生那样，表达数字“一”摆一根，数字“十”摆十根，数字“万”摆一万根吗？其实，古代的算筹记数依据是“位值制”记数法，即每个数字所表达的数值不仅取决于它本身，而取决于它在记数中所处的位置，这样就能够用较少的符号表达较大的数。算筹的位值制记数法建立在十进制基础上，即每满十数进位，相比于二十进制、六十进制，这种进位制的应用最广泛，我们今天使用的运算法则也是基于十进制的。
至迟在春秋时期，我国的十进位值制已经成熟。《墨子·经下》中提到：“一少于二，而多于五，说在建。”意思是，如果一和二都位于个位，一比二小；但如果一位于十位及以上，它代表的数字就比位于个位的五大。《左传·襄公三十年》记载，晋国绛县老人自称“臣生之岁，正月甲子朔，四百有四十五甲子矣，其季于今，三之一也”。意思是他出生以来经历了445个甲子日，最后一个甲子日是20天前。官吏询问大臣他应该有多少岁，师旷说：“73年。”史赵则给出了一个字谜：“亥有二首六身，下二如身，是其日数也。”答案也是73年。“亥”字的篆体上有二横，下面是三个“人”字，形同“六”字，如果把上面的“二”移到下方，就成了“二六六六零”，将天数折合为年就是73年。（如果是2666天，和现实不符）
约成书于公元3世纪前的《孙子算经》记载了基本的算筹记数法则：“凡算之法，先识其位。一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当。”
“一纵十横，百立千僵”直观地说明了算筹采用的纵式和横式两种记数方法，个位用纵式，十位用横式，百位再用纵式……这样相邻数位纵横交替摆放，避免数位太多时发生混淆。从1到5的数字可以直接摆放对数目的算筹，如果要用算筹表达从6到9的数字，则不需要摆和数字一样多的根数，而是先摆一根代表5，再在和它垂直交叉的方向放上1到4根，就可以分别代表从6到9的数字。算筹中没有表达“零”的字符，用空位代替0。《夏侯阳算经》概括为“满六已上，五在上方，六不积算，五不单张”。
算筹摆位的时候，高位在左，低位在右，和现代的阿拉伯数字相同。如果要摆数字“71824”，并不需要摆71824根，只需要在个位摆4根，十位摆2根，百位摆8根，千位摆1根，万位摆7根就可以。因此，现代认为，“算筹系统是世界上唯一只用一个符号的组合，表示任何十进位数字的系统”。
与之相比，其他古文明中的记数法则显得较为繁琐。比如，以古埃及的数字形式表达“3244”，需要写3个表达1000的文字、2个表达100的文字、4个表达10的文字和4个表达1的文字，并且外形各不相同。古希腊数字则是用不同的字母表达从1到9的数、10到90的十位数和从100到900的百位数，在书写数字时，将对应的字母写在一起，如写“241”就是将代表200的σ、代表40的μ和代表1的α三个字母并列。如果数字较大，则不利于计算和记录得数。
石刻上左栏中间表达数字为2，中下为2/3，底部为1/12；中栏中间表达数字为60，右栏顶部为1/30，中间为1/40。
用算筹做加法、减法，是按照从左到右的顺序，从高位到低位逐位相加、相减，随着加减的结果及时摆出对应位上的算筹，也可以直接在被加或被减的数字上操作，把每位数的结果摆成新的。乘除法也类似，以乘法为例，古人的做法是“上下相乘，实居中央”，先把乘数和被乘数按上下位置摆好，按从左到右的顺序用上面的数的第一位乘下面数的每一位，把乘得的积摆在上下两数中间，然后去掉上面的数的第一位，把下面的数往右移动一位；再用上面数的第二位乘下面数的每一位，把结果和中间的乘积相加……这样以此类推，直到计算完成。做除法是将被除数放中排，除数放下排，商数放上排，余数放在最下一排，刘徽《九章算术注》中定义，在上的筹称“实”，在下的筹称为“法”。
如果用算筹做涉及负数的计算，可以将算筹涂上不同的颜色，宋代使用红色的算筹表示正数、黑色的表示负数；如果使用同色算筹，就在数字最后一位斜放一根，以示区分。做小数计算的话，要将小数部分和整数部分区分开，南宋秦九韶采用的方式是在个位数下记单位名称，比如要计算天数，就在个位数下面标一“日”字。元代刘瑾则将小数部分整体下移一格。做分数计算时，和现代的分数表达形式一样上下摆放，《孙子算经》称在上的筹为“子”，在下的筹为“母”，这就是“分子”“分母”的由来。
算筹能够将每一步的计算结果清晰地表达出来，甚至连视力有障碍的人也能熟练运用它做计算，《梦溪笔谈》里记载了一位擅长算筹的盲人卫朴，“大乘除皆不下照位，运筹如飞，人眼不能逐。人有故移其一算者，朴自上至下手循一遍，至移算处，则检正而去”。体现出中国传统数学解决问题的“机械化”特点，即每一步骤都具有固定程序。除了四则运算，算筹还可以用来做开方、开立方，解高次方程、四元方程等，自先秦至宋代的诸多领先当时世界的数学成就，都离不开算筹的助力。作为我国古代数学的基石，它在推演历法、修建工程、计算人口和赋税等方面都发挥了重要作用。
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