上课与论文（二）
“韩信点兵”问题的教学设计
一、给出问题
例：“韩信点兵”问题.（07版高中新教材3，第88页例4）
韩信是汉高祖刘邦手下的大将，他英勇善战，智谋超群，为建立汉朝立下了汗马功劳。据说他在点兵的时候，为了保住军事机密，不让敌人知道部队的实力，采用了下述点兵的方法：先令士兵从1~3报数，结果最后一个士兵报2；再令士兵从1~5报数，结果最后一位士兵报到3；又令士兵从1~7报数，结果最后一个士兵报4.这样，韩信很快地就算出了部队士兵的总人数。请设计一个算法，求出士兵至少有多少人。
何为算法，粗略地讲，是为解决一个特定问题而采取的确定的有限的步骤。做任何事情都应先有解决问题的具体的思路。
下面就来讨论“韩信点兵”问题。
二、寻路求解
“韩信点兵”时采用的是循环数点名法：即士兵从1报到3,再从1又报到3,横排按顺S报数继续，……,直到最后一位士兵报出数2停止。这个报数点名的过程包含着一个简单的数学问题：若设士兵总人数为N，则N=3K1+2（K1=0,1,2,…）其中K1为报名时循环的次数。这样若是循环1到5的正整数报数点名，则士兵总人数为N=5K2+3（K2=0,1,2,…），若采用循环1到7报数点名，则士兵总人数为N=7K3+4（K3=0,1,2,…）.显然，满足上面三个条件中任意一个（或2个或3个）都不能确定士兵总人数N.理由很简单，从方程求解的角度来分析上面的三个条件，即满足
N=3K1+2（K1=0,1,2,…）(I)
N=5K2+3（K2=0,1,2,…）(II)
N=7K3+4（K3=0,1,2,…）(III)
当满足一个条件时，相当于二元一次方程求正整数解，没有确定解；当满足其中任两个条件时，相当于两个三元一次方程组求正整数解，一般情况下无定解；当满足三个条件时相当于三个四元一次方程组求正整数解，通常一般情形也无定解。通过以上的分析尽管这些条件虽不能确定具体的数，但可相应地说明该数具有的一些特点。比如满足条件I，可由小到大列出2,5,8,11,14,…一列数，至此，基本上搞清了“韩信点兵”问题揭示的一个简单的数学问题。即知余数和除数确定最小的被除数。
继续从数学的角度来探讨这个问题，即由N=3K1+2（K1=0,1,2,…）；
N=5K2+3（K2=0,1,2,…）；
N=7K3+4 (K3=0,1,2,…）可变形出(N-2)(N-3)(N-4)=3×5×7K1K2K3（*），求Nmin.由（*）可以发现求Nmin有一定的困难。但欣慰的是在对该问题的分析过程中知道，它总可以分解为五个小问题，每个小问题的解决有相应确定的步骤，这就提醒我们可设计一个算法，借助计算机来求解这个问题的解Nmin.
下面将要解决该问题具体的求解步骤问题。
三、算法设计
如何用自然语言表示该问题的算法呢？可以考虑从特殊的正整数序列中筛选出符合要求的数。
第一步易实现确定最小的除3余2的正整数为2；第二步依次加3得出除3余2的一列数（通项式N=3K1+2,K1=0 1,2,…）2,5,8,11,14…,32,35,…,53,56,…；第三步在此列数中确定最小的除以5余3的正整数为8，正整数8既满足条件I，也满足条件II且是最小的符合要求的数，进而产生一个新的正整数数列，依次加15,得到8,23,38,53,…,即可证明满足条件I和条件II，因为
N=15K4+8,（K4=0,1,2,…）
=3×5K4+3×2+2
=3×(5K4+2)+2 （其中5K4+2为正整数）
满足条件I
N=15K4+8，（K4=0,1,2,……）
=5×3K4+5×1+3
=5×(3K4+1)+3 （其中3K4+1为正整数）
满足条件II.
第四步从得到的一列数中找到满足条件III的最小正整数Nmin.这是我们要求的一个数。
在完成了上述步骤后，就找到了所求数53，这5个步骤称为解决“韩信点兵”问题的一个算法。能否在这个算法的基础上做一些优化，以便更简地获得结果呢？
四、优化方案
1.算理拟优化方案
“韩信点兵”问题的算理可从集合的角度去考虑，如附图（略）.问题的实质是求对应三个集合的交集中的最小元素问题。该思路能很好的理解“韩信点兵”做法的数学实质。有兴趣的同学可从这方面作一些尝试，找是否有可行的算法，“韩信点兵”问题的算理也可从数列的角度加以考虑，即产生三个数列：
N=3K1+2 （K1=0,1,2,…）
2,5,8,11,14,…,53,…
N=5K2+3 （K2=0,1,2,…）
3,8,13,18,23,28,…,53,…
N=7K3+4 （K4=0,1,2,…）
4,11,18,25,32,…,53,…
从这三个数列中找最小的相同项，即得到53.
2.算法拟优化方案
由(N-2)(N-3)(N-4)=3×5×7K1K2K3知任意改变3,5,7因数的顺序，上面式子不变，因而任取3,5,7的一个排列，就产生类似于上面算法的一个算法，比如，按由大到小即7,5,3步骤也可实现（见教材第89页算法），可见由教材的算理可以有类似的6个元素的全排列种算法。但从本质上说并未真正地优化了算法。但却丰富了该问题的算法。优化算法的思想意识任何时候都应该有。
五、引思启示
（1）“韩信点兵”问题的符合要求的最小正整数53已得到。若要再问还有没有符合要求的其它数？若有第二个数应该是多少？能否找到答案的一个通式来验证。通过“韩信点兵”问题从数学角度加以分析，很快可以得到下面的一个公式，即N=3×5×7K5+53(K5=0,1,2,…)，该公式是满足条件I，II，III的通解。可仿上面类似证明。这也说明了用韩信的方法点兵得到的士兵人数是些正整数的集合，因而一个答案是求至少有多少个士兵。从这个例子的分析再次说明了算法是解决某类问题的一系列具体步骤或子程序，只要按这些步骤执行，就能使问题得到解决。
（2）对任何一个数学问题用算法解决都存在一个优化算法的步骤在内。针对某一具体问题的算法，可以通过交流思考，从中去粗取优，存精取巧，做求优求简的改进。寻求新的算法，掌握较成熟的少数算法，将是利用计算机解决问题所需不懈努力的目标。通过例子进一步体会算法的基本思想，体会到一个问题的解决可能存在多种算法，有优劣之分。深切地感受到算法思想在解决一些问题时的优越性、工具性。
杨宏联2019年7月28日该文章发表于《中学数学教学参考》2007年第10期下旬刊
说明：
2007年新版高中数学教材还未试行，那时才开始全员培训高中教师，2007年8月初在宝鸡培训结束后在那个暑假里用一个下午立即写的论文《“韩信点兵”问题的教学设计》，与之相关的各种数学教辅资料还没有出现呢！写论文也是出于当时评审中学数学一级教师的需要。
杨宏联2019年7月31日
上课与论文
教师正式发表了文章是有用的，工作多年来，都不曾下功夫写论文，除非非作不可，才勉强成篇。以现在看来，若以当初高中上过数学课来说，大致每一节课都可以成为写论文的材料，如今不作课堂有关的话题，主要是为写的真实，曾经上过的课绝不是纸上谈兵，有不实造作之嫌，当初上课可不是写文章，可以随时修改，特别是数学课讲究最初概念的正确建立，严密、严谨是必须的。对学生上课可谓不遗余力，知识是满满的货真价实，不缩水，每一节课不是完全备在教案上，而是备在脑子里，备在学生求知的欲望上，上过的每一节课不是技巧的填充，不是动听言辞的修饰，不是课堂不当的掩饰。那时上课是且纯且高的。如今那些场景依然历历在目，只是已经离开了讲台，便不做那方面的文章。
杨宏联2019年7月8日 https://t.cn/A6Ut1FIE
“韩信点兵”问题的教学设计
一、给出问题
例：“韩信点兵”问题.（07版高中新教材3，第88页例4）
韩信是汉高祖刘邦手下的大将，他英勇善战，智谋超群，为建立汉朝立下了汗马功劳。据说他在点兵的时候，为了保住军事机密，不让敌人知道部队的实力，采用了下述点兵的方法：先令士兵从1~3报数，结果最后一个士兵报2；再令士兵从1~5报数，结果最后一位士兵报到3；又令士兵从1~7报数，结果最后一个士兵报4.这样，韩信很快地就算出了部队士兵的总人数。请设计一个算法，求出士兵至少有多少人。
何为算法，粗略地讲，是为解决一个特定问题而采取的确定的有限的步骤。做任何事情都应先有解决问题的具体的思路。
下面就来讨论“韩信点兵”问题。
二、寻路求解
“韩信点兵”时采用的是循环数点名法：即士兵从1报到3,再从1又报到3,横排按顺S报数继续，……,直到最后一位士兵报出数2停止。这个报数点名的过程包含着一个简单的数学问题：若设士兵总人数为N，则N=3K1+2（K1=0,1,2,…）其中K1为报名时循环的次数。这样若是循环1到5的正整数报数点名，则士兵总人数为N=5K2+3（K2=0,1,2,…），若采用循环1到7报数点名，则士兵总人数为N=7K3+4（K3=0,1,2,…）.显然，满足上面三个条件中任意一个（或2个或3个）都不能确定士兵总人数N.理由很简单，从方程求解的角度来分析上面的三个条件，即满足
N=3K1+2（K1=0,1,2,…）(I)
N=5K2+3（K2=0,1,2,…）(II)
N=7K3+4（K3=0,1,2,…）(III)
当满足一个条件时，相当于二元一次方程求正整数解，没有确定解；当满足其中任两个条件时，相当于两个三元一次方程组求正整数解，一般情况下无定解；当满足三个条件时相当于三个四元一次方程组求正整数解，通常一般情形也无定解。通过以上的分析尽管这些条件虽不能确定具体的数，但可相应地说明该数具有的一些特点。比如满足条件I，可由小到大列出2,5,8,11,14,…一列数，至此，基本上搞清了“韩信点兵”问题揭示的一个简单的数学问题。即知余数和除数确定最小的被除数。
继续从数学的角度来探讨这个问题，即由N=3K1+2（K1=0,1,2,…）；
N=5K2+3（K2=0,1,2,…）；
N=7K3+4 (K3=0,1,2,…）可变形出(N-2)(N-3)(N-4)=3×5×7K1K2K3（*），求Nmin.由（*）可以发现求Nmin有一定的困难。但欣慰的是在对该问题的分析过程中知道，它总可以分解为五个小问题，每个小问题的解决有相应确定的步骤，这就提醒我们可设计一个算法，借助计算机来求解这个问题的解Nmin.
下面将要解决该问题具体的求解步骤问题。
三、算法设计
如何用自然语言表示该问题的算法呢？可以考虑从特殊的正整数序列中筛选出符合要求的数。
第一步易实现确定最小的除3余2的正整数为2；第二步依次加3得出除3余2的一列数（通项式N=3K1+2,K1=0 1,2,…）2,5,8,11,14…,32,35,…,53,56,…；第三步在此列数中确定最小的除以5余3的正整数为8，正整数8既满足条件I，也满足条件II且是最小的符合要求的数，进而产生一个新的正整数数列，依次加15,得到8,23,38,53,…,即可证明满足条件I和条件II，因为
N=15K4+8,（K4=0,1,2,…）
=3×5K4+3×2+2
=3×(5K4+2)+2 （其中5K4+2为正整数）
满足条件I
N=15K4+8，（K4=0,1,2,……）
=5×3K4+5×1+3
=5×(3K4+1)+3 （其中3K4+1为正整数）
满足条件II.
第四步从得到的一列数中找到满足条件III的最小正整数Nmin.这是我们要求的一个数。
在完成了上述步骤后，就找到了所求数53，这5个步骤称为解决“韩信点兵”问题的一个算法。能否在这个算法的基础上做一些优化，以便更简地获得结果呢？
四、优化方案
1.算理拟优化方案
“韩信点兵”问题的算理可从集合的角度去考虑，如附图（略）.问题的实质是求对应三个集合的交集中的最小元素问题。该思路能很好的理解“韩信点兵”做法的数学实质。有兴趣的同学可从这方面作一些尝试，找是否有可行的算法，“韩信点兵”问题的算理也可从数列的角度加以考虑，即产生三个数列：
N=3K1+2 （K1=0,1,2,…）
2,5,8,11,14,…,53,…
N=5K2+3 （K2=0,1,2,…）
3,8,13,18,23,28,…,53,…
N=7K3+4 （K4=0,1,2,…）
4,11,18,25,32,…,53,…
从这三个数列中找最小的相同项，即得到53.
2.算法拟优化方案
由(N-2)(N-3)(N-4)=3×5×7K1K2K3知任意改变3,5,7因数的顺序，上面式子不变，因而任取3,5,7的一个排列，就产生类似于上面算法的一个算法，比如，按由大到小即7,5,3步骤也可实现（见教材第89页算法），可见由教材的算理可以有类似的6个元素的全排列种算法。但从本质上说并未真正地优化了算法。但却丰富了该问题的算法。优化算法的思想意识任何时候都应该有。
五、引思启示
（1）“韩信点兵”问题的符合要求的最小正整数53已得到。若要再问还有没有符合要求的其它数？若有第二个数应该是多少？能否找到答案的一个通式来验证。通过“韩信点兵”问题从数学角度加以分析，很快可以得到下面的一个公式，即N=3×5×7K5+53(K5=0,1,2,…)，该公式是满足条件I，II，III的通解。可仿上面类似证明。这也说明了用韩信的方法点兵得到的士兵人数是些正整数的集合，因而一个答案是求至少有多少个士兵。从这个例子的分析再次说明了算法是解决某类问题的一系列具体步骤或子程序，只要按这些步骤执行，就能使问题得到解决。
（2）对任何一个数学问题用算法解决都存在一个优化算法的步骤在内。针对某一具体问题的算法，可以通过交流思考，从中去粗取优，存精取巧，做求优求简的改进。寻求新的算法，掌握较成熟的少数算法，将是利用计算机解决问题所需不懈努力的目标。通过例子进一步体会算法的基本思想，体会到一个问题的解决可能存在多种算法，有优劣之分。深切地感受到算法思想在解决一些问题时的优越性、工具性。
杨宏联2019年7月28日该文章发表于《中学数学教学参考》2007年第10期下旬刊
说明：
2007年新版高中数学教材还未试行，那时才开始全员培训高中教师，2007年8月初在宝鸡培训结束后在那个暑假里用一个下午立即写的论文《“韩信点兵”问题的教学设计》，与之相关的各种数学教辅资料还没有出现呢！写论文也是出于当时评审中学数学一级教师的需要。
杨宏联2019年7月31日
上课与论文
教师正式发表了文章是有用的，工作多年来，都不曾下功夫写论文，除非非作不可，才勉强成篇。以现在看来，若以当初高中上过数学课来说，大致每一节课都可以成为写论文的材料，如今不作课堂有关的话题，主要是为写的真实，曾经上过的课绝不是纸上谈兵，有不实造作之嫌，当初上课可不是写文章，可以随时修改，特别是数学课讲究最初概念的正确建立，严密、严谨是必须的。对学生上课可谓不遗余力，知识是满满的货真价实，不缩水，每一节课不是完全备在教案上，而是备在脑子里，备在学生求知的欲望上，上过的每一节课不是技巧的填充，不是动听言辞的修饰，不是课堂不当的掩饰。那时上课是且纯且高的。如今那些场景依然历历在目，只是已经离开了讲台，便不做那方面的文章。
杨宏联2019年7月8日 https://t.cn/A6Ut1FIE
#台风美莎克##台风海神#可能是它们最美的一张合照：美莎克此时已在我国东北上空步入衰退期，暖湿输送被切断、稳定的冷气团占据中心，变成了一个锢囚阶段的冷心气旋；海神此刻则在大洋中央肆意绽放，暖空气源源不断升腾而起、扶摇直上，像一台不知疲倦的热引擎，是一个正值壮年的暖心风暴。热带和温带，对气旋而言是二元的世界，生命谱的两头。 https://t.cn/Rc3cXOh
《八曲仙人之歌》连载18［18.11～18.20］
第十八章 平静
18.11 身为天王或乞丐，得到或失去，群居或独处，对瑜伽士没有任何不同，无分别就是他的本性。
18.12 瑜伽士已经超越了类似“这个要做”，“这不用做”的二元对立，对他而言法在哪？名利在哪？爱欲在哪？明辨在哪？
18.13 即身解脱①的瑜伽士，没有任何责任，心中也无任何执着。他在世间的行为只和这一期生命有关②。
① jivamukta即身解脱者，又称色身解脱者、命解脱者。不二论吠檀陀中指不舍五大粗身而已究竟解脱者。数论派认为即身解脱者“虽五大粗身未灭坏时，其作业即不为轮回之因，而此时之所以不遽离弃有情身体者，盖虽已解脱，而因宿业所余势力仍令此身住若干年，及至宿业已尽，内身五大还外五大，诸根以至觉均归自性。”（汤用彤《印度哲学史略》）尼译本注释：即身解脱者无明及其一切变易已彻底根除，脱离一切束缚，安住在究竟自性中。他的境界可以说是“心中诸结断裂，一切疑惑消除，由了悟究竟独一而摧毁了行为的业果。”
② 尼本注释：只要解脱者还在世，就会发现他有行为，然而却说他是无作的。此处解释这个表面的矛盾。瑜伽士内在解脱，不对任何有丝毫欲望，然而身体依然存在就表示仍有某种力量持住他的身体。这就是宿业（prarabdhakarma，过去生所累积的业在这一世成熟。）业继续运作，但瑜伽士不受影响。他的身体行为，以及心识表面的活动继续，直到宿业耗尽。然后身体被抛下，是绝对的解脱。从这个立场而言，解脱者超越了身体的概念，没有身体，也没有宿业。这些只是给我们的解释，我们由于无明见瑜伽士还有身体，还在活动。所以瑜伽士的行为被称为yathajivanam，即只于这一期的生命有关。
18.14 对于超越欲望疆界的圣雄，幻相在哪？宇宙在哪？出离在哪？解脱又在哪？
18.15 看见宇宙的人会想要努力否定。无欲者要做什么呢？虽然他看，但他不见。
18.16 见到究竟之梵的人禅修“我就是梵”。但是，超越所有概念的人，不见有二。他要禅修什么呢？
18.17 见到自心散乱的人，才必须要控制自己。但见独一自性者①无有散乱。他没有任何要完成，要去做什么呢？
①udarastu尼译本注释：见自性为无二独一者。穆克吉本：在一切中见自性，在自性中见一切者。
18.18 真知之人尽管像凡夫一样生活，但其实完全不同。他不见自己专注或散乱，不见自己有任何牵涉①。
①lepam尼译本作“过失”。
18.19 他超越了有无，有智慧、满足而离欲。他什么都没做，尽管在世人看来他在做。
18.20 有智慧的人快乐地活着，做着一切需要他做的事，无论是做还是不做，都没有任何困难。
[心]
第十八章 平静
18.11 身为天王或乞丐，得到或失去，群居或独处，对瑜伽士没有任何不同，无分别就是他的本性。
18.12 瑜伽士已经超越了类似“这个要做”，“这不用做”的二元对立，对他而言法在哪？名利在哪？爱欲在哪？明辨在哪？
18.13 即身解脱①的瑜伽士，没有任何责任，心中也无任何执着。他在世间的行为只和这一期生命有关②。
① jivamukta即身解脱者，又称色身解脱者、命解脱者。不二论吠檀陀中指不舍五大粗身而已究竟解脱者。数论派认为即身解脱者“虽五大粗身未灭坏时，其作业即不为轮回之因，而此时之所以不遽离弃有情身体者，盖虽已解脱，而因宿业所余势力仍令此身住若干年，及至宿业已尽，内身五大还外五大，诸根以至觉均归自性。”（汤用彤《印度哲学史略》）尼译本注释：即身解脱者无明及其一切变易已彻底根除，脱离一切束缚，安住在究竟自性中。他的境界可以说是“心中诸结断裂，一切疑惑消除，由了悟究竟独一而摧毁了行为的业果。”
② 尼本注释：只要解脱者还在世，就会发现他有行为，然而却说他是无作的。此处解释这个表面的矛盾。瑜伽士内在解脱，不对任何有丝毫欲望，然而身体依然存在就表示仍有某种力量持住他的身体。这就是宿业（prarabdhakarma，过去生所累积的业在这一世成熟。）业继续运作，但瑜伽士不受影响。他的身体行为，以及心识表面的活动继续，直到宿业耗尽。然后身体被抛下，是绝对的解脱。从这个立场而言，解脱者超越了身体的概念，没有身体，也没有宿业。这些只是给我们的解释，我们由于无明见瑜伽士还有身体，还在活动。所以瑜伽士的行为被称为yathajivanam，即只于这一期的生命有关。
18.14 对于超越欲望疆界的圣雄，幻相在哪？宇宙在哪？出离在哪？解脱又在哪？
18.15 看见宇宙的人会想要努力否定。无欲者要做什么呢？虽然他看，但他不见。
18.16 见到究竟之梵的人禅修“我就是梵”。但是，超越所有概念的人，不见有二。他要禅修什么呢？
18.17 见到自心散乱的人，才必须要控制自己。但见独一自性者①无有散乱。他没有任何要完成，要去做什么呢？
①udarastu尼译本注释：见自性为无二独一者。穆克吉本：在一切中见自性，在自性中见一切者。
18.18 真知之人尽管像凡夫一样生活，但其实完全不同。他不见自己专注或散乱，不见自己有任何牵涉①。
①lepam尼译本作“过失”。
18.19 他超越了有无，有智慧、满足而离欲。他什么都没做，尽管在世人看来他在做。
18.20 有智慧的人快乐地活着，做着一切需要他做的事，无论是做还是不做，都没有任何困难。
[心]
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