佛堂讲话（第四天）
《念佛决定愿往生》
诸上善人：光阴真是快的很呀！我们的念佛七已经打了四天了，在这定期七天之中，已经过去了一大半了！诸位的功夫，究竟用的如何？是需要各人自己反省一下的。若是上根利智的人，念佛一日，即能得到‘一心不乱’。但上根利智的人，大概很少，中下根机的人，总是占多数。我们既然尚未证得‘一心不乱’，即可自知根机不太深厚。然而正因为我们的根机浅薄，才需要急起直追，努力精进！才需要时时反省，见贤思齐！果能如是，方克有济。否则，时光不住，再过三天，佛七就圆满了；结果一无所得，岂不太可惜这七天的宝贵光阴吗？切不可把光阴看得太轻；古德云：‘一寸时光，一寸命光’！真是警策人的忠言实语。光阴即是我们的生命，过了一天光阴，即减少了一天生命！若是悠悠泛泛，不肯真实用功，须知空过了七天光阴，即是牺牲了七天生命！那真是太对不起自己了！明乎此义，才能不放过时光，念一点钟有一点钟的进益，念一日有一日的功夫。我们虽然不是上根人，但只肯用功，一定功不唐捐，终会证得‘一心不乱’的。
诸位的信心，已很坚固；诸位的行门，已很精进。但是在净土法门之中，还有一个最要紧的条件，这就是必须‘愿力恳切’！所以今天讲话的题目是：‘念佛决定愿往生’。再分三段来讲：
第一、往生西方全凭愿力：蕅益大师说：‘得生与否，端凭信愿之有无；品位高下，全由持名之深浅’。我们在这两句话中，就可以知道，西方得生或不得生，但看有没有信愿。换句话说，只要有信有愿，无论念佛多少，西方一定得生。足见信愿二字，是何等重要了！所以，昨天对诸位讲‘念佛切勿起疑念’，就是讲的信字。今天讲‘念佛决定愿往生’，就是讲的愿字。如果但有信心，没有愿力，亦是不能往生，所以愿力很重要！
比方说：你们在自己家里，听见朋友说：灵山寺的大殿是如何的巍峨，讲堂是如何的高广，佛像是如何的庄严，僧众是如何的修行；现在打念佛七，参加的人是如何的众多，每天讲经说法是如何的玄妙。你们听了之后，信是信了，可是你们愿不愿去灵山寺呢？如果愿意去，那‘信’才有用处。如果不愿去，就是没有愿力，纵然相信，也是‘白信’。有信而无愿，终究去不了，那‘信’有何用处呢？所以‘信’固然要紧，而‘愿’更要紧！
再举个例说：大家都知道？孔子是儒家的圣人。但是孔子何以会成圣人的呢？这答案在‘论语’中，孔子自述其修学成就之阶段，颇为简明。他说：‘吾十有五，而志于学。三十而立。四十而不惑。五十而知天命。六十而耳顺。七十而从心所欲，不踰距’。我们在这一段书中，可以知道，孔子之所以成为儒家圣人，是由于他一生精进修学，方能成就的。但是我们不可忽略了‘志于学’这三个字。因为他能立志以求圣人之学，才有以后几十年的修行，方能达到圣人之地位。然而我们何以知道孔子‘吾十有五，而志于学’，是志于圣人之学呢？这在孔子的一生所言所行，皆是圣人之作略，固然可以证明；而在‘论语’中，另有‘言志’一章，尤足以证明。有一天，颜渊和子路，侍立在孔子旁边，孔子说：‘盍各言尔志？’子路说：‘愿车马，衣轻裘，与朋友共，敝之而无憾’。颜渊说：‘愿无伐善，无施劳’。子路接著请问孔子：‘愿闻子之志’？孔子即发表其志向说：‘老者安之，朋友信之，少者怀之’。直以安信抚天下人为己任，非人间圣人而何？在‘论语’中，更有两句话可以证明；有一次，孔子对子夏说：‘汝为君子儒，无为小人儒’！若为救人救世而求学，将来一定做君子；若为升官发财而求学，将来一定做小人。同是一样读书人，而其结果，有云泥之分，可见‘立志’最要紧！
再举一例：我在小学读书的时候，修身教科书中有一课，我到现在还能背出来：‘两小儿，同贤愚。及长大，各一途，一为人中杰，一为车前夫’。这两个小孩子，既然天资相同，而又受同等的教育；何以长大成人之后，竟有天壤之别呢？这因为此一小孩立志高大，所以终成人中杰；彼一小孩没有志向，所以竟堕落为车夫了。可见‘立志’最要紧。
世法中所谓‘立志’；即是佛法中所谓‘发愿’。能否成为一个人中杰，但看是否曾立人中杰之志？能否成为一个世间圣人，但看是否曾立世间圣人之志？同样的道理，我们能否生到西方极乐世界去，但看我们是否曾发生西之愿？有愿，决定能生西方；无愿决定不能生西方。这是没有丝毫犹疑之余地的！
兹再引经证明：佛说阿弥陀经，乃净土三经之一，亦即我们每天必诵的功课。以信愿行为一经之要旨，亦即所谓往生西方的三资粮。蕅益大师即以此三资粮把阿弥陀经的‘正宗分’分为三大科：第一、‘广陈彼土依正妙果以启信’。经文由‘舍利弗！彼土何故名为极乐？其国众生，无有众苦，但受诸乐，故名极乐’起，至‘又舍利弗！彼佛有无量无边声闻弟子，皆阿罗汉，非是算数之所能知。诸菩萨众，亦复如是。舍利弗！彼佛国土，成就如是功德庄严’止。我们看这一段‘劝信’的经文中，却没有明显地说出一个‘信’字，只是把‘劝信’的意思，含在文义之内而已。第二、‘特劝众生应求往生以发愿’；经文：‘又舍利弗！极乐国土，众生生者，皆是阿鞞跋致；其中多有一生补处。其数甚多，非是算数所能知之，但可以无量无边阿僧祇说。舍利弗！众生闻者，应当发愿，愿生彼国，所以者何？得与如是诸上善人俱会一处’。我们看这一段‘劝愿’的经文中，不但明显地说出两个‘愿’字，而且词意恳切，足见佛的本意，在指示我们要注意‘发愿’。所以蕅益大师在‘科文’上，亦冠以‘特劝’二字。第三、‘正示行者执持名号以立行’；经文自‘舍利弗！不可以少善根福德因缘，得生彼国’起，至‘舍利弗！我见是利，故说此言。若有众生，闻是说者，应当发愿，生彼国土’止。我们看这一段‘劝行’的经文中，佛的结词仍然是劝愿，可见‘发愿’的重要性。不但此也，即在‘流通分’中，到了经文的结尾处，世尊仍然再三地劝我们发愿。经文说：‘舍利弗？若有人，已发愿、今发愿、当发愿，欲生阿弥陀佛国者；是诸人等，皆得不退转于阿耨多罗三藐三菩提。于彼国土，若已生、若今生、若当生。是故舍利弗！诸善男子，善女人，若有信者，应当发愿，生彼国土’。我们再看看这一段经文：凡是能发愿的人，于无上菩提皆能得到不退转。何以能得到‘不退转’呢？是因为已发愿的已生彼国，今发愿的今生彼国，当发愿的当生彼国之故。须知只有阿弥陀佛国土，才有‘不退转’的利益。在娑婆世界修行，是难得不退转的。然而如何方能生到彼佛国土呢？经文上不是说的很明白吗：已发愿者已生，今发愿者今生，当发愿者当生；但有发愿，无不生者。这‘发愿’二字是何等的重要啊！
总之，往生西方全凭愿力；若无愿力，则西方是生不去的。
第二、愿不恳切行不真诚：我们既知发愿很要紧，发愿的心一定要恳切，念佛才能念得好。倘若是随随便便发的愿，则念佛的行门也就不会真诚了。愿既不恳切，行又不真诚，所以现在打念佛七，得不到‘一心不乱’的功夫；将来临命终时，要想‘心不颠倒，即得往生阿弥陀佛极乐国土’恐怕很难了！
因为净土门中，发愿最重要，所以过去诸大祖师，作了很多发愿文。在念佛七中用的发愿文，和平常用的不一样；在‘大回向’时，跪念：‘弟子众等，现是生死凡夫，罪障深重。轮回六道，苦不可言。今遇知识，得闻弥陀名号，本愿功德。一心称念，求愿往生。愿佛慈悲不舍，哀怜摄授。弟子众等，不识佛身，相好光明。愿佛示现，令我得见。及见观音势至，诸菩萨众，彼世界中，清净庄严，光明妙相等。令我了了，得见阿弥陀佛’。起立，绕念弥陀、观音、势至、清净大海众、各圣号后，再跪念：‘愿我临终无障碍，阿弥陀佛远相迎；观音甘露洒吾头，势至金台安我足。一刹那中离五浊，屈伸臂顷到莲池；莲花开后见慈尊，亲听法音可了了。闻已即悟无生忍，不违安养入娑婆；善知方便度众生，巧把尘劳为佛事。我愿如斯佛自知，毕竟当来得成就’。在‘佛七仪’文中，有几句注语，说是：‘此文古今大有灵验！或有于正发愿时，见诸瑞相。或于睡梦之中，得见阿弥陀佛，放大光明；感应事繁，不能具述。惟励意行之者，方信不虚矣’！我们于正发愿时，何以未得见诸瑞相？乃至于连梦之中，亦未得见阿弥陀佛放大光明呢？这就是因为在发愿之时，未能恳切地‘观想弥陀，恩德无量，酸心痛骨，自悲障重’之故。当我们念发愿文时，只是口里念念，心中毫不恳切。像小孩子背书一样，不知书里的意义。不能‘随文作观’，发愿文成为‘具文’，如何能起作用？如何能生力量？既不能‘励意行之’，所以也就得不到感应了。
以愿引行，以行填愿；‘愿’有引导之力，有恳切之愿，方能引出真诚之行。我们发愿既是随随便便，我们念佛自然也就悠悠泛泛了。如何能念得成功呢？！
第三、有行无愿终不往生：前面是说，没有恳切之愿，一定不会有真诚之行。这里是说，纵令有真诚之行，没有愿力，一定不能往生。
有人说：‘能往生不能往生我不管，我只管念我的阿弥陀佛好了’。如果是这样，决定不能往生！前面说过，‘愿’是具有引导之力的；不但现在能引导真诚之行门，而且将来能引导至于西方。今既无引导之愿力，虽有实行，终无法出三界至极乐。果真是只知念佛不知发愿，则这个人对于净土法门亦没有信心。‘信愿’是‘慧行’，‘念佛’是‘行行’。‘慧行’等于眼目，‘行行’等于腿足。必须足目相资，方能生西。今有行无愿，等于有足无目，太危险了！
有人说：‘阿弥陀佛乃万德洪名，我只多多念佛，自有无量功德。即使不能生西，仍有我的功德在，有什么危险’？念佛有功德是不错的，但你既不知发愿生西，即是没有智慧；有行无慧，把念佛的功德都变成来生的痴福了！第二生在享受痴福之时，必然依福造业，第三生一定堕落三涂，非危险而何？
诸上善人！我们的念佛七已经过了四天了，各位皆应省察一下自己的功夫；如果这句佛号尚未念得纯熟，即应恳切发愿以引导之。
话说多了‘打闲岔’，各各恳切发愿，好好念佛吧！
《念佛决定愿往生》
诸上善人：光阴真是快的很呀！我们的念佛七已经打了四天了，在这定期七天之中，已经过去了一大半了！诸位的功夫，究竟用的如何？是需要各人自己反省一下的。若是上根利智的人，念佛一日，即能得到‘一心不乱’。但上根利智的人，大概很少，中下根机的人，总是占多数。我们既然尚未证得‘一心不乱’，即可自知根机不太深厚。然而正因为我们的根机浅薄，才需要急起直追，努力精进！才需要时时反省，见贤思齐！果能如是，方克有济。否则，时光不住，再过三天，佛七就圆满了；结果一无所得，岂不太可惜这七天的宝贵光阴吗？切不可把光阴看得太轻；古德云：‘一寸时光，一寸命光’！真是警策人的忠言实语。光阴即是我们的生命，过了一天光阴，即减少了一天生命！若是悠悠泛泛，不肯真实用功，须知空过了七天光阴，即是牺牲了七天生命！那真是太对不起自己了！明乎此义，才能不放过时光，念一点钟有一点钟的进益，念一日有一日的功夫。我们虽然不是上根人，但只肯用功，一定功不唐捐，终会证得‘一心不乱’的。
诸位的信心，已很坚固；诸位的行门，已很精进。但是在净土法门之中，还有一个最要紧的条件，这就是必须‘愿力恳切’！所以今天讲话的题目是：‘念佛决定愿往生’。再分三段来讲：
第一、往生西方全凭愿力：蕅益大师说：‘得生与否，端凭信愿之有无；品位高下，全由持名之深浅’。我们在这两句话中，就可以知道，西方得生或不得生，但看有没有信愿。换句话说，只要有信有愿，无论念佛多少，西方一定得生。足见信愿二字，是何等重要了！所以，昨天对诸位讲‘念佛切勿起疑念’，就是讲的信字。今天讲‘念佛决定愿往生’，就是讲的愿字。如果但有信心，没有愿力，亦是不能往生，所以愿力很重要！
比方说：你们在自己家里，听见朋友说：灵山寺的大殿是如何的巍峨，讲堂是如何的高广，佛像是如何的庄严，僧众是如何的修行；现在打念佛七，参加的人是如何的众多，每天讲经说法是如何的玄妙。你们听了之后，信是信了，可是你们愿不愿去灵山寺呢？如果愿意去，那‘信’才有用处。如果不愿去，就是没有愿力，纵然相信，也是‘白信’。有信而无愿，终究去不了，那‘信’有何用处呢？所以‘信’固然要紧，而‘愿’更要紧！
再举个例说：大家都知道？孔子是儒家的圣人。但是孔子何以会成圣人的呢？这答案在‘论语’中，孔子自述其修学成就之阶段，颇为简明。他说：‘吾十有五，而志于学。三十而立。四十而不惑。五十而知天命。六十而耳顺。七十而从心所欲，不踰距’。我们在这一段书中，可以知道，孔子之所以成为儒家圣人，是由于他一生精进修学，方能成就的。但是我们不可忽略了‘志于学’这三个字。因为他能立志以求圣人之学，才有以后几十年的修行，方能达到圣人之地位。然而我们何以知道孔子‘吾十有五，而志于学’，是志于圣人之学呢？这在孔子的一生所言所行，皆是圣人之作略，固然可以证明；而在‘论语’中，另有‘言志’一章，尤足以证明。有一天，颜渊和子路，侍立在孔子旁边，孔子说：‘盍各言尔志？’子路说：‘愿车马，衣轻裘，与朋友共，敝之而无憾’。颜渊说：‘愿无伐善，无施劳’。子路接著请问孔子：‘愿闻子之志’？孔子即发表其志向说：‘老者安之，朋友信之，少者怀之’。直以安信抚天下人为己任，非人间圣人而何？在‘论语’中，更有两句话可以证明；有一次，孔子对子夏说：‘汝为君子儒，无为小人儒’！若为救人救世而求学，将来一定做君子；若为升官发财而求学，将来一定做小人。同是一样读书人，而其结果，有云泥之分，可见‘立志’最要紧！
再举一例：我在小学读书的时候，修身教科书中有一课，我到现在还能背出来：‘两小儿，同贤愚。及长大，各一途，一为人中杰，一为车前夫’。这两个小孩子，既然天资相同，而又受同等的教育；何以长大成人之后，竟有天壤之别呢？这因为此一小孩立志高大，所以终成人中杰；彼一小孩没有志向，所以竟堕落为车夫了。可见‘立志’最要紧。
世法中所谓‘立志’；即是佛法中所谓‘发愿’。能否成为一个人中杰，但看是否曾立人中杰之志？能否成为一个世间圣人，但看是否曾立世间圣人之志？同样的道理，我们能否生到西方极乐世界去，但看我们是否曾发生西之愿？有愿，决定能生西方；无愿决定不能生西方。这是没有丝毫犹疑之余地的！
兹再引经证明：佛说阿弥陀经，乃净土三经之一，亦即我们每天必诵的功课。以信愿行为一经之要旨，亦即所谓往生西方的三资粮。蕅益大师即以此三资粮把阿弥陀经的‘正宗分’分为三大科：第一、‘广陈彼土依正妙果以启信’。经文由‘舍利弗！彼土何故名为极乐？其国众生，无有众苦，但受诸乐，故名极乐’起，至‘又舍利弗！彼佛有无量无边声闻弟子，皆阿罗汉，非是算数之所能知。诸菩萨众，亦复如是。舍利弗！彼佛国土，成就如是功德庄严’止。我们看这一段‘劝信’的经文中，却没有明显地说出一个‘信’字，只是把‘劝信’的意思，含在文义之内而已。第二、‘特劝众生应求往生以发愿’；经文：‘又舍利弗！极乐国土，众生生者，皆是阿鞞跋致；其中多有一生补处。其数甚多，非是算数所能知之，但可以无量无边阿僧祇说。舍利弗！众生闻者，应当发愿，愿生彼国，所以者何？得与如是诸上善人俱会一处’。我们看这一段‘劝愿’的经文中，不但明显地说出两个‘愿’字，而且词意恳切，足见佛的本意，在指示我们要注意‘发愿’。所以蕅益大师在‘科文’上，亦冠以‘特劝’二字。第三、‘正示行者执持名号以立行’；经文自‘舍利弗！不可以少善根福德因缘，得生彼国’起，至‘舍利弗！我见是利，故说此言。若有众生，闻是说者，应当发愿，生彼国土’止。我们看这一段‘劝行’的经文中，佛的结词仍然是劝愿，可见‘发愿’的重要性。不但此也，即在‘流通分’中，到了经文的结尾处，世尊仍然再三地劝我们发愿。经文说：‘舍利弗？若有人，已发愿、今发愿、当发愿，欲生阿弥陀佛国者；是诸人等，皆得不退转于阿耨多罗三藐三菩提。于彼国土，若已生、若今生、若当生。是故舍利弗！诸善男子，善女人，若有信者，应当发愿，生彼国土’。我们再看看这一段经文：凡是能发愿的人，于无上菩提皆能得到不退转。何以能得到‘不退转’呢？是因为已发愿的已生彼国，今发愿的今生彼国，当发愿的当生彼国之故。须知只有阿弥陀佛国土，才有‘不退转’的利益。在娑婆世界修行，是难得不退转的。然而如何方能生到彼佛国土呢？经文上不是说的很明白吗：已发愿者已生，今发愿者今生，当发愿者当生；但有发愿，无不生者。这‘发愿’二字是何等的重要啊！
总之，往生西方全凭愿力；若无愿力，则西方是生不去的。
第二、愿不恳切行不真诚：我们既知发愿很要紧，发愿的心一定要恳切，念佛才能念得好。倘若是随随便便发的愿，则念佛的行门也就不会真诚了。愿既不恳切，行又不真诚，所以现在打念佛七，得不到‘一心不乱’的功夫；将来临命终时，要想‘心不颠倒，即得往生阿弥陀佛极乐国土’恐怕很难了！
因为净土门中，发愿最重要，所以过去诸大祖师，作了很多发愿文。在念佛七中用的发愿文，和平常用的不一样；在‘大回向’时，跪念：‘弟子众等，现是生死凡夫，罪障深重。轮回六道，苦不可言。今遇知识，得闻弥陀名号，本愿功德。一心称念，求愿往生。愿佛慈悲不舍，哀怜摄授。弟子众等，不识佛身，相好光明。愿佛示现，令我得见。及见观音势至，诸菩萨众，彼世界中，清净庄严，光明妙相等。令我了了，得见阿弥陀佛’。起立，绕念弥陀、观音、势至、清净大海众、各圣号后，再跪念：‘愿我临终无障碍，阿弥陀佛远相迎；观音甘露洒吾头，势至金台安我足。一刹那中离五浊，屈伸臂顷到莲池；莲花开后见慈尊，亲听法音可了了。闻已即悟无生忍，不违安养入娑婆；善知方便度众生，巧把尘劳为佛事。我愿如斯佛自知，毕竟当来得成就’。在‘佛七仪’文中，有几句注语，说是：‘此文古今大有灵验！或有于正发愿时，见诸瑞相。或于睡梦之中，得见阿弥陀佛，放大光明；感应事繁，不能具述。惟励意行之者，方信不虚矣’！我们于正发愿时，何以未得见诸瑞相？乃至于连梦之中，亦未得见阿弥陀佛放大光明呢？这就是因为在发愿之时，未能恳切地‘观想弥陀，恩德无量，酸心痛骨，自悲障重’之故。当我们念发愿文时，只是口里念念，心中毫不恳切。像小孩子背书一样，不知书里的意义。不能‘随文作观’，发愿文成为‘具文’，如何能起作用？如何能生力量？既不能‘励意行之’，所以也就得不到感应了。
以愿引行，以行填愿；‘愿’有引导之力，有恳切之愿，方能引出真诚之行。我们发愿既是随随便便，我们念佛自然也就悠悠泛泛了。如何能念得成功呢？！
第三、有行无愿终不往生：前面是说，没有恳切之愿，一定不会有真诚之行。这里是说，纵令有真诚之行，没有愿力，一定不能往生。
有人说：‘能往生不能往生我不管，我只管念我的阿弥陀佛好了’。如果是这样，决定不能往生！前面说过，‘愿’是具有引导之力的；不但现在能引导真诚之行门，而且将来能引导至于西方。今既无引导之愿力，虽有实行，终无法出三界至极乐。果真是只知念佛不知发愿，则这个人对于净土法门亦没有信心。‘信愿’是‘慧行’，‘念佛’是‘行行’。‘慧行’等于眼目，‘行行’等于腿足。必须足目相资，方能生西。今有行无愿，等于有足无目，太危险了！
有人说：‘阿弥陀佛乃万德洪名，我只多多念佛，自有无量功德。即使不能生西，仍有我的功德在，有什么危险’？念佛有功德是不错的，但你既不知发愿生西，即是没有智慧；有行无慧，把念佛的功德都变成来生的痴福了！第二生在享受痴福之时，必然依福造业，第三生一定堕落三涂，非危险而何？
诸上善人！我们的念佛七已经过了四天了，各位皆应省察一下自己的功夫；如果这句佛号尚未念得纯熟，即应恳切发愿以引导之。
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飞机飞到了大海的上空，这里是祖国的黄海，澄蓝的大海和蓝天相映成章，上下都是蓝色的世界，还有朵朵白云点缀其中。
飞机好似一只雄鹰，不时钻到云海里，各种奇形怪状的云朵纷纷展示着妩媚。隐隐约约看到大海上的小岛，只有巴掌大小。
飞机飞到一座城市的上空，天公作美，白色的云团突然散开，错落有致的城市建筑，还有海上航行的轮船，一下子尽收眼底，惬意极了。
大家看看图一到图四，是黄海边上的哪座城市呢！
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思想的光辉
格罗滕迪克"收获和播种"
格罗滕迪克"收获和播种"法文版于2021年正式出版，其中最精辟的部分是第18章第5节。他是在灵魂的颤栗和悸动中挥笔写就这一章的，读者应能感受到他的激情的脉动。作者没有办法在不给出公式的情况下阐明其理念。尽管格罗滕迪克的公式比较简明，但是其思想博大精深，因此这一章的内容在翻译上不容易把握。无论如何，格罗滕迪克在本文中呈现的思想的光辉是显而易见的。
Mebkhout的双重对偶定理在某种程度上构成善神定理(对于∞-模)的一半，当这个定理以其最强形式被采用时，它肯定函子(8)是互为拟逆。这是Mebkhout于1980年1月提交的论文的核心结果。不仅如此，甚至这一半本身已经是一个全新的结果并完全出乎大家的意料。它是一个经典的结果，连接佐藤的想法和我的想法。它符合我的长期计划—以连续或微分方式(及从派生范畴的角度)制定离散系数。我认为这个结果以其精神和灵感完全避开了日本分析学派的问题。数学家柏原的可构造性定理似乎表示靠近它，而绝不是新的系数e理论的起点。正如1976年至1980年期间出版的那样毫无疑问，Mebkhout是当时唯一一个发展出这种哲学的人。
1978年1月，Mebkhout谈到他在柏原途经巴黎时会谈的结果，当时他刚写完论文。在柏原的请求下，坦率的Mebkhout很高兴终于找到一个对他要说的话感兴趣的数学家，这是把他送到普林斯顿的热门第三章—双对偶定理，那是在1978年2月。同样的结果在三年后出现在Mebkhout的一篇著名文章-693(*)中。它被重新命名为重建定理，并且丝毫没有提到某个Zoghman Mebkhout。这也是令人难忘的一年—某种新风格—694(**)正面征服(并且没有遇到丝毫阻力...)的光辉之年，在这部分数学的创建中，我有似曾相似的亲切感觉...
(c)第五张快照(在"pro"中)(5月21日)双对偶定理(9)是1977年的。为了证明∞-Modules的善神定理的另一半，因此相当于证明函子δ∞本质上为满射，第一个困难在于证明如下：对于Cons∗中的F，根据第一个公式定义∞-Modules C = Δ_{∞}(F)的复数(8)，它能通过函子 i获得，至少在X的局部使用-Modules的复向量(完整和正则)获得。在先验上，根据Mebkhout的想法(即遵循善神对偶定理)，它暗示(5)中的函子i是等价的，后者必须是唯一的，直到唯一的拟同构。
我没有试图理解Mebkhout最终如何在其论文中成功构建这个-Module的。我认为这里的情形必须通过使用与可构造ℂ-vectorials F - 695(*)集束相关的前相干(pro-集束的德利涅概念进行澄清。这个想法是他在上代数簇的背景下发展起来的，但必须能在可能对或的每个紧凑体上局部工作的条件下进行必要修改以适应分析情况。与F相关的前相干层(pro-coherent sheaf)，因此(至少在的每个紧集K上)是相干层(定义在K的邻域中)的射影系统(Fi)，能很简单地定义为前表示函子。
G ⟼ Hom_{ℂ}(F, G);
在(K附近...)上的相干O_{}-Modules G的范畴上，该函子在保持精确的情况下确实是前表示的。例如，如果 F是的封闭解析子空间Y上的常数层C_{Y}、在所有上由零扩展，那么我们发现由Y在中的O_{Xn}个无穷小邻域形成的前层(NB La这个射影系统的射影极限是沿Y的 O_{}的正式完成)。我们注意到(回到一般情况)前层(Fi)配备规范分层 - 696(**)。德利涅持如下观点：德利涅的函子来自上的可构造C(复)向量层的范畴，对于分层的前相干层的范畴，它是完全忠实的，因此能根据分层前相干层范畴的完整子范畴解释第一个范畴(超越性质)。后者具有纯粹的代数意义，并且能用纯粹的代数术语定义所讨论的完整子范畴(或多或少重言式*))。这是我要注意的范畴：
DRD*() 或 Del*() , (10);
这构成我昨天不想解释的第五张快照698(**)。此外，我似乎还记得，德利涅费竭尽全力把他的解释(及前面完全忠实的陈述)发展成派生范畴(当时我还没有一致决定)上同调的学生，以德利涅为首，还没有决定要否定后者)，当然，它确实是我用符号(10)指定的派生范畴版本。
换言之，RHom_{C}(F,O_{}) 中的代数部分必须能以很自然的方式定义为RHom_{O_{}}的归纳极限(在适当的意义上)((Fi, O_{}) - 特别是(传递给上同调层)，我们把规范箭头描述如下。
lim_{i} Ext^d_{O_{X}(Fi, O_{}) → Ext^d_{O_{}}), (11)
通过使用前对象(Fi)的分层和第二个参数O_{}的重言式分层，我们必须能在(11)的第一个成员上定义一个分层—即-Module的结构，因此(11)与算子环的同态(对应 → ∞)兼容。换言之，必须澄清Mebkhout的善神定理，通过说(11)确定∞-Moule的第二个成员通过标量的扩展从第一个推导出来 - 699(*) - 这特别意味着箭头是一个包含关系。因此左边的成员必须被可视化为一种代数或亚纯部分在右成员中(具有超越性质)。
在前面的特定示例F = I*(C_{Y}) 上，在一般情形变得相当清楚，其中i : Y → 包含的封闭分析子空间。接着(11)的右侧是一束局部上同调，在y中具有支撑，其中y是一个超越不变量，而第一个成员是我在示意图框架中为局部上同调引入的众所周知的表达式。这个丛在点x ∈ Y 处的纤维只不过是局部上同调，在结构丛O的谱Xx上，在x上的Y的迹Yx 中有支撑。
lim_{n→} 分机^d_{O_{}_{n}}, O_{}}};
这个实例显示德利涅的想法与我在1960年代早期就局部上同调主题发展起来的想法有多么接近 - 700(**)。尽管如此，Mebkhout在1972~1976年间工作的主题正是在这个关键案例中研究箭头(11)。
lim_{n→} Ext^d_{O_{}n}, }} =(定义) H^d_{Y} (O_{}})_{alg} → H^d_{Y}(O_{ }})，(12);
在这种情形下，它证明上面宣布的关系，并且比(12)-Module的第一个成员(我之前在陈述中省略的内容)模相关、甚至是完整的和正则的。从那里开始，(11)的类似陈述必须是旋开 - 701(**)的直接结果(包括F不是可构造的C向量的一个丛，而是Cons*( , C)中复数情形。除了德利涅函子的形状构造之外，del的唯一颗粒是在分层前模复形的Homs_{O_{}}}的定义中，其值在复形中分层模，即在-Modules的复形中(在此情况下O_{}})作为-Modules的复形(及作为派生范畴的对象)。
对这颗粒盐(指上述颗粒)取模，我们找到对代数善神函子M(与超越善神函子M∞相反)的非常简单和概念性的描述，或更确切地说，通过复述(8)的双公式描述相关的反函子Δ及其拟逆 δ。然而，为了编写它，这里使用德利涅的等价性，我们宁愿查看DRD*()和DRM*()之间的对应函子Δ^和δ^，其中符号^提醒我们要在前对象上工作(在"可构造"方面)。接着，我们找到一个非平凡公式(它在概念上包含在(8)中，但这次把代数性质的系数相互联系起来，这也是通过代数性质的公式实现的):
∆ = MD = DM, δ = mD = Dm, (13)
Del: Cons*(, C) →(≈) ERD*(), (14)
∆ˆ(C′) = RHOm_{O_{X}} (C′, O_{}),
δˆ(C′) = RHOm_{O_{}} (C′, O_{}), (15)
因此，我们在这里有两次相同的公式，唯一的区别是C'在这里是分层的前相干集束的复形(或等同于 - 702(*)，模前相干晶体的复形)，而C是-Modules的复形(它在概念上可作为O_{}本质上相同函子的复形，从一个到另一个，即对偶函子普通连续，显而易见，它是我50年代的老朋友…，当然，这个必须交换前对象和ind对象，即使这意味着要达到后者的归纳极限…
当然，有一项基础工作要做以便为这些公式赋予精确的含义，德利涅在著名的凿沉研讨会上所做的工作，或Jouanolou在其著名论文中所做的那种类型的工作也被凿沉(每个人都引用，自Colloque Pervers以来，没有人掌握在他的手中...这是一部作品，我敢肯定：它或许有点长，但本质上是sorital。它的困难部分包含在Mebkhout的善神定理中，辅以Mebkhout(8)的称为对偶性的公式。另一方面，它们的代数转换，确认两个函子(15)互为拟逆，它从概念上讲是O_{} 一致系数的普通对偶定理，放入ind-pro酱汁中，并以分层作为键(在对偶函子中必须通过而没有问题)。
就微分算子的复形而言，这两种类型的对偶对象之间的对应关系被完美地可视化(不涉及任何基础工作)。此外，在这种对偶中，完整条件(更何况正则性条件)不起作用。在这样的复形L处，昨天考虑的函子F ⟼ Hom_{O_{}}(F, Dd)(逆变)把-Modules的复形与有限类型C。另一方面，这个复形L的形式化，传递到无限阶P∞(L^i)的主要部分(被认为是分层的前模)产生一个复形C' = P ∞(L^i)的分层pro-modules。换言之，我们看到这两个复形对应于公式(15)，其中，RHom显然简化为Hom(只需逐项验证分量L^i的对偶项，接着它减少或多或少的重言式事实，即连续线性同态P∞(L^i) → O_{}与线性同态L^i → 完全对应于微分算子 L^i → O_{ }，分别使用万有微分算子(无限阶)L^i → P∞(L^i)及由θ ⟼ θ(1)给出的l增加 → O_{})。至少在上，Cris*_{coh}()的任何对象(即具有相干上同调的-Modules的任何复形)都能使用微分算子L·的复形描述，我们认为：对于所有实际目的，在对C和C'做出适当的-一致性和-pro-consistency假设的条件下，这种特殊情形完美地掌握两种范畴系数之间的对偶性(15)，它们彼此互为对偶。因此，它发展为我提到的sorite就足够，把我们自己限制在C'或"pro"方面，仅限于前相干丛的复形P∞(L·)，分层可在局部作为拟近同构)进行描述。
与德利涅的原始方法相比，他介绍的前相干复模能通过微分算子复形局部实现，并且它是Mebkhout理论带来的完全出乎意料的现象。在我看来，关于集束D相干性HY^d(O_{ })_{alg}(出现在上述(12)中)是一个深刻的定理，它是四年来工作的结晶，并使用了解决Hironaka奇点的所有力量，更不用说识别和证明它的创作者的勇气，从而反击业界普遍的冷漠。我刚刚宣布的703(*)是德拉姆系数(例如我从1966年看到的)和微分算子复形之间的深层关系，这是我从未设想过的关系。当开发出第一种方法处理德拉姆关系时，德利涅也没有想到。至于考虑的微分算子复形上的完整正则条件，它必须等价于(后验，感谢善神定理)德利涅的有限性(加上正则性)条件。我之前省略了其解释，通过引入范畴DRD*() = Del*())如下： P∞(L·)的上同调的前层通过组合序列在局部"拧开"，这样连续的因子能通过C-的系统前提描述(通过德利涅函子)的子空间Y - Z上的向量(其中Z ⊂ Y ⊂ 是的封闭解析子空间)。为完成给这个标准一个代数方面，只需在Y - Z上用分层的相干层替换C向量的局部系统就足够，条件是表示分层的连接(请注意可假设Y - Z平滑)或Z附近的正则，在德利涅-704(**)的意义上。请注意: 相关的前集束是通过在T的无穷小邻域上生长Y−Z = T上的晶体获得的，并通过沿Z的压碎，在任何地方都有连贯的丛(bundle)，而不仅仅是在补集Z上…
格罗滕迪克"收获和播种"
格罗滕迪克"收获和播种"法文版于2021年正式出版，其中最精辟的部分是第18章第5节。他是在灵魂的颤栗和悸动中挥笔写就这一章的，读者应能感受到他的激情的脉动。作者没有办法在不给出公式的情况下阐明其理念。尽管格罗滕迪克的公式比较简明，但是其思想博大精深，因此这一章的内容在翻译上不容易把握。无论如何，格罗滕迪克在本文中呈现的思想的光辉是显而易见的。
Mebkhout的双重对偶定理在某种程度上构成善神定理(对于∞-模)的一半，当这个定理以其最强形式被采用时，它肯定函子(8)是互为拟逆。这是Mebkhout于1980年1月提交的论文的核心结果。不仅如此，甚至这一半本身已经是一个全新的结果并完全出乎大家的意料。它是一个经典的结果，连接佐藤的想法和我的想法。它符合我的长期计划—以连续或微分方式(及从派生范畴的角度)制定离散系数。我认为这个结果以其精神和灵感完全避开了日本分析学派的问题。数学家柏原的可构造性定理似乎表示靠近它，而绝不是新的系数e理论的起点。正如1976年至1980年期间出版的那样毫无疑问，Mebkhout是当时唯一一个发展出这种哲学的人。
1978年1月，Mebkhout谈到他在柏原途经巴黎时会谈的结果，当时他刚写完论文。在柏原的请求下，坦率的Mebkhout很高兴终于找到一个对他要说的话感兴趣的数学家，这是把他送到普林斯顿的热门第三章—双对偶定理，那是在1978年2月。同样的结果在三年后出现在Mebkhout的一篇著名文章-693(*)中。它被重新命名为重建定理，并且丝毫没有提到某个Zoghman Mebkhout。这也是令人难忘的一年—某种新风格—694(**)正面征服(并且没有遇到丝毫阻力...)的光辉之年，在这部分数学的创建中，我有似曾相似的亲切感觉...
(c)第五张快照(在"pro"中)(5月21日)双对偶定理(9)是1977年的。为了证明∞-Modules的善神定理的另一半，因此相当于证明函子δ∞本质上为满射，第一个困难在于证明如下：对于Cons∗中的F，根据第一个公式定义∞-Modules C = Δ_{∞}(F)的复数(8)，它能通过函子 i获得，至少在X的局部使用-Modules的复向量(完整和正则)获得。在先验上，根据Mebkhout的想法(即遵循善神对偶定理)，它暗示(5)中的函子i是等价的，后者必须是唯一的，直到唯一的拟同构。
我没有试图理解Mebkhout最终如何在其论文中成功构建这个-Module的。我认为这里的情形必须通过使用与可构造ℂ-vectorials F - 695(*)集束相关的前相干(pro-集束的德利涅概念进行澄清。这个想法是他在上代数簇的背景下发展起来的，但必须能在可能对或的每个紧凑体上局部工作的条件下进行必要修改以适应分析情况。与F相关的前相干层(pro-coherent sheaf)，因此(至少在的每个紧集K上)是相干层(定义在K的邻域中)的射影系统(Fi)，能很简单地定义为前表示函子。
G ⟼ Hom_{ℂ}(F, G);
在(K附近...)上的相干O_{}-Modules G的范畴上，该函子在保持精确的情况下确实是前表示的。例如，如果 F是的封闭解析子空间Y上的常数层C_{Y}、在所有上由零扩展，那么我们发现由Y在中的O_{Xn}个无穷小邻域形成的前层(NB La这个射影系统的射影极限是沿Y的 O_{}的正式完成)。我们注意到(回到一般情况)前层(Fi)配备规范分层 - 696(**)。德利涅持如下观点：德利涅的函子来自上的可构造C(复)向量层的范畴，对于分层的前相干层的范畴，它是完全忠实的，因此能根据分层前相干层范畴的完整子范畴解释第一个范畴(超越性质)。后者具有纯粹的代数意义，并且能用纯粹的代数术语定义所讨论的完整子范畴(或多或少重言式*))。这是我要注意的范畴：
DRD*() 或 Del*() , (10);
这构成我昨天不想解释的第五张快照698(**)。此外，我似乎还记得，德利涅费竭尽全力把他的解释(及前面完全忠实的陈述)发展成派生范畴(当时我还没有一致决定)上同调的学生，以德利涅为首，还没有决定要否定后者)，当然，它确实是我用符号(10)指定的派生范畴版本。
换言之，RHom_{C}(F,O_{}) 中的代数部分必须能以很自然的方式定义为RHom_{O_{}}的归纳极限(在适当的意义上)((Fi, O_{}) - 特别是(传递给上同调层)，我们把规范箭头描述如下。
lim_{i} Ext^d_{O_{X}(Fi, O_{}) → Ext^d_{O_{}}), (11)
通过使用前对象(Fi)的分层和第二个参数O_{}的重言式分层，我们必须能在(11)的第一个成员上定义一个分层—即-Module的结构，因此(11)与算子环的同态(对应 → ∞)兼容。换言之，必须澄清Mebkhout的善神定理，通过说(11)确定∞-Moule的第二个成员通过标量的扩展从第一个推导出来 - 699(*) - 这特别意味着箭头是一个包含关系。因此左边的成员必须被可视化为一种代数或亚纯部分在右成员中(具有超越性质)。
在前面的特定示例F = I*(C_{Y}) 上，在一般情形变得相当清楚，其中i : Y → 包含的封闭分析子空间。接着(11)的右侧是一束局部上同调，在y中具有支撑，其中y是一个超越不变量，而第一个成员是我在示意图框架中为局部上同调引入的众所周知的表达式。这个丛在点x ∈ Y 处的纤维只不过是局部上同调，在结构丛O的谱Xx上，在x上的Y的迹Yx 中有支撑。
lim_{n→} 分机^d_{O_{}_{n}}, O_{}}};
这个实例显示德利涅的想法与我在1960年代早期就局部上同调主题发展起来的想法有多么接近 - 700(**)。尽管如此，Mebkhout在1972~1976年间工作的主题正是在这个关键案例中研究箭头(11)。
lim_{n→} Ext^d_{O_{}n}, }} =(定义) H^d_{Y} (O_{}})_{alg} → H^d_{Y}(O_{ }})，(12);
在这种情形下，它证明上面宣布的关系，并且比(12)-Module的第一个成员(我之前在陈述中省略的内容)模相关、甚至是完整的和正则的。从那里开始，(11)的类似陈述必须是旋开 - 701(**)的直接结果(包括F不是可构造的C向量的一个丛，而是Cons*( , C)中复数情形。除了德利涅函子的形状构造之外，del的唯一颗粒是在分层前模复形的Homs_{O_{}}}的定义中，其值在复形中分层模，即在-Modules的复形中(在此情况下O_{}})作为-Modules的复形(及作为派生范畴的对象)。
对这颗粒盐(指上述颗粒)取模，我们找到对代数善神函子M(与超越善神函子M∞相反)的非常简单和概念性的描述，或更确切地说，通过复述(8)的双公式描述相关的反函子Δ及其拟逆 δ。然而，为了编写它，这里使用德利涅的等价性，我们宁愿查看DRD*()和DRM*()之间的对应函子Δ^和δ^，其中符号^提醒我们要在前对象上工作(在"可构造"方面)。接着，我们找到一个非平凡公式(它在概念上包含在(8)中，但这次把代数性质的系数相互联系起来，这也是通过代数性质的公式实现的):
∆ = MD = DM, δ = mD = Dm, (13)
Del: Cons*(, C) →(≈) ERD*(), (14)
∆ˆ(C′) = RHOm_{O_{X}} (C′, O_{}),
δˆ(C′) = RHOm_{O_{}} (C′, O_{}), (15)
因此，我们在这里有两次相同的公式，唯一的区别是C'在这里是分层的前相干集束的复形(或等同于 - 702(*)，模前相干晶体的复形)，而C是-Modules的复形(它在概念上可作为O_{}本质上相同函子的复形，从一个到另一个，即对偶函子普通连续，显而易见，它是我50年代的老朋友…，当然，这个必须交换前对象和ind对象，即使这意味着要达到后者的归纳极限…
当然，有一项基础工作要做以便为这些公式赋予精确的含义，德利涅在著名的凿沉研讨会上所做的工作，或Jouanolou在其著名论文中所做的那种类型的工作也被凿沉(每个人都引用，自Colloque Pervers以来，没有人掌握在他的手中...这是一部作品，我敢肯定：它或许有点长，但本质上是sorital。它的困难部分包含在Mebkhout的善神定理中，辅以Mebkhout(8)的称为对偶性的公式。另一方面，它们的代数转换，确认两个函子(15)互为拟逆，它从概念上讲是O_{} 一致系数的普通对偶定理，放入ind-pro酱汁中，并以分层作为键(在对偶函子中必须通过而没有问题)。
就微分算子的复形而言，这两种类型的对偶对象之间的对应关系被完美地可视化(不涉及任何基础工作)。此外，在这种对偶中，完整条件(更何况正则性条件)不起作用。在这样的复形L处，昨天考虑的函子F ⟼ Hom_{O_{}}(F, Dd)(逆变)把-Modules的复形与有限类型C。另一方面，这个复形L的形式化，传递到无限阶P∞(L^i)的主要部分(被认为是分层的前模)产生一个复形C' = P ∞(L^i)的分层pro-modules。换言之，我们看到这两个复形对应于公式(15)，其中，RHom显然简化为Hom(只需逐项验证分量L^i的对偶项，接着它减少或多或少的重言式事实，即连续线性同态P∞(L^i) → O_{}与线性同态L^i → 完全对应于微分算子 L^i → O_{ }，分别使用万有微分算子(无限阶)L^i → P∞(L^i)及由θ ⟼ θ(1)给出的l增加 → O_{})。至少在上，Cris*_{coh}()的任何对象(即具有相干上同调的-Modules的任何复形)都能使用微分算子L·的复形描述，我们认为：对于所有实际目的，在对C和C'做出适当的-一致性和-pro-consistency假设的条件下，这种特殊情形完美地掌握两种范畴系数之间的对偶性(15)，它们彼此互为对偶。因此，它发展为我提到的sorite就足够，把我们自己限制在C'或"pro"方面，仅限于前相干丛的复形P∞(L·)，分层可在局部作为拟近同构)进行描述。
与德利涅的原始方法相比，他介绍的前相干复模能通过微分算子复形局部实现，并且它是Mebkhout理论带来的完全出乎意料的现象。在我看来，关于集束D相干性HY^d(O_{ })_{alg}(出现在上述(12)中)是一个深刻的定理，它是四年来工作的结晶，并使用了解决Hironaka奇点的所有力量，更不用说识别和证明它的创作者的勇气，从而反击业界普遍的冷漠。我刚刚宣布的703(*)是德拉姆系数(例如我从1966年看到的)和微分算子复形之间的深层关系，这是我从未设想过的关系。当开发出第一种方法处理德拉姆关系时，德利涅也没有想到。至于考虑的微分算子复形上的完整正则条件，它必须等价于(后验，感谢善神定理)德利涅的有限性(加上正则性)条件。我之前省略了其解释，通过引入范畴DRD*() = Del*())如下： P∞(L·)的上同调的前层通过组合序列在局部"拧开"，这样连续的因子能通过C-的系统前提描述(通过德利涅函子)的子空间Y - Z上的向量(其中Z ⊂ Y ⊂ 是的封闭解析子空间)。为完成给这个标准一个代数方面，只需在Y - Z上用分层的相干层替换C向量的局部系统就足够，条件是表示分层的连接(请注意可假设Y - Z平滑)或Z附近的正则，在德利涅-704(**)的意义上。请注意: 相关的前集束是通过在T的无穷小邻域上生长Y−Z = T上的晶体获得的，并通过沿Z的压碎，在任何地方都有连贯的丛(bundle)，而不仅仅是在补集Z上…
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