【强对流预警持续】今天上午，中央气象台继续发布强对流天气蓝色预警：预计https://t.cn/A6as7vDU ，黑龙江中南部、吉林大部、辽宁大部、内蒙古中东部及河套地区、陕西北部、山西北部、河北中北部、北京、天津、四川盆地东南部、贵州西北部等地的部分地区将有8-10级雷暴大风或冰雹天气。
黑龙江大部、吉林中西部、辽宁东部、内蒙古中东部及河套地区、陕西北部、河北东北部、北京东部、天津、湖南南部、福建东南部、四川盆地、云南中东部、广西东部、广东大部、海南岛东部、台湾岛南部等地的部分地区将有短时强降水天气，小时雨量30-50毫米，局地可达60毫米以上。
预计，强对流的主要影响时段为今天白天至夜间。这次强对流的分布是典型的副高主导，高空槽东移和热带低压西移所致。图7为今天下午的形势场预报，副高控场，东北有高空槽东移，槽前有低涡切变线发展北上，导致大气层不稳定，加之对流能量高，高度警惕雷暴大风和冰雹。随着夏季风北上，整层可降水量高，还需注意短时强降雨。
华南位于588南侧，有热带低压西移，辐合条件好，整层可降水量高，但是能量一般，因此以短时强降雨为主，伴有普通雷暴。四川盆地看似被副高控制，可实际西段副高虚胖比较明显，下沉气流不是很强，对流运动容易发展，因此川盆也需要注意强对流。长江中下游对流物理参数很好，能量、水汽皆有，但是被副高核心区控制，强对流很难发展。
黑龙江大部、吉林中西部、辽宁东部、内蒙古中东部及河套地区、陕西北部、河北东北部、北京东部、天津、湖南南部、福建东南部、四川盆地、云南中东部、广西东部、广东大部、海南岛东部、台湾岛南部等地的部分地区将有短时强降水天气，小时雨量30-50毫米，局地可达60毫米以上。
预计，强对流的主要影响时段为今天白天至夜间。这次强对流的分布是典型的副高主导，高空槽东移和热带低压西移所致。图7为今天下午的形势场预报，副高控场，东北有高空槽东移，槽前有低涡切变线发展北上，导致大气层不稳定，加之对流能量高，高度警惕雷暴大风和冰雹。随着夏季风北上，整层可降水量高，还需注意短时强降雨。
华南位于588南侧，有热带低压西移，辐合条件好，整层可降水量高，但是能量一般，因此以短时强降雨为主，伴有普通雷暴。四川盆地看似被副高控制，可实际西段副高虚胖比较明显，下沉气流不是很强，对流运动容易发展，因此川盆也需要注意强对流。长江中下游对流物理参数很好，能量、水汽皆有，但是被副高核心区控制，强对流很难发展。
这是我们第12次云栖大会。2020年是不平凡的一年，人们的生活、工作方式都发生了巨大的变化，云从天上走到了我们的身边。今年，我们云栖大会也在云上举行，云上课、云办公，这是2020年发生的一些最重要的事情。今天“万物皆可云”，云正成为这个时代的一个载体，也是数字化发展的一个标志。
我们从数字化的角度来看，钉钉上有超过3亿人、1500万组织，大量的企业都通过钉钉、通过云在开展工作，特别是通过像视频会议、远程办公这样的方式来开展工作。
公共服务领域也通过数字化的手段、数字化的应用来开展工作。浙江省大概有100多万的公务员在钉钉上办公，他们每天大概会产生1千万条的信息，原来的信息都是通过电话、邮件等方式，今天都是通过钉钉这样的移动工具在做流转。
阿里巴巴每天大概会有超过1500万条的信息在平台上流动。过去一年，阿里巴巴大概有1.5亿条电子流在平台上产生。数字化的方式深刻影响我们企业内部运作的方式。
为什么今年数字化发展得这么快？我认为：
第一、疫情加速了数字化的过程。以前我们都在讲云、大数据，但都没有今年来得这么真切，这么深刻影响我们的生活，让我们每个人都能够感受得到。而且今年还有一个现象，大量新型的应用在不断出现，不断来通过数字化的手段影响我们的工作跟生活。
第二、依赖于过去10年我们基础设施建设的成果。特别是像云、大数据这样的基础设施。今天可以在3天之内上线一个健康码，可以在几天之内上线一个新的应用，都是因为原来云的基础设施，原来大数据的平台发挥了重大的价值。
这样的工作出来之后，我们需要一个平台来展现它们，这就是我们在讲的，基于钉钉协同化的办公平台。这样的办公平台不仅深刻改变了我们工作的方式，也深刻影响了我们开发应用的方式。基于这些基础设施，也使得我们应用开发变得更为容易。
对阿里云来讲，我们过去十年解决了非常大的问题，就是把一个基础设施云化的问题，我们知道以前IT的时代，数字化的基础是靠一些单独的PC机来支撑。单独的PC机没办法支撑时，我们就会不断升级PC机，然后推出小型机，推出大型机，推出更多的一些复杂化的解决方案。比如存储、CPU等等不断的升级。
这样导致单个计算机不断变得更复杂、更昂贵，它的迭代速度更慢。但是进入云时代之后，我们发现一种更有效的办法来应对这个基础设施产生的问题，这就是分布式的计算。
尤其是互联网公司普遍采用了分布式的系统，来解决原来IT设施单机不断变得规模更大、更昂贵、更复杂的问题。阿里巴巴也一样，我们用分布式的系统来解决企业自己的一些问题，因为我们原来是通过做电子商务这个平台。电子商务这个平台是一个非常复杂的互联网应用，如果用原来的解决方案来做，我认为就不可能有今天这么多的互联网企业，因为那个成本是非常昂贵的。
当时我们在讲，能不能把分布式的技术变成一个设施，给社会上所有其他企业来用呢。这样的话还要解决一个问题，怎么样在分布式技术之上带来一些调度的能力，又带来一些管控的能力，这个就是云诞生当初最朴素的理念。阿里巴巴自己也是这么走过来的，我们十年前通过分布式系统解决了阿里巴巴自己的问题。然后十年前开始，我们就通过阿里云这样的系统，来解决我们自己的技术能力社会化的问题。我们内部开发的系统就叫做飞天云操作系统。阿里云通过飞天云操作系统成功解决了资源云化的问题，通过我们这两年的努力，在计算、存储、网络、安全等各方面，尤其是软硬件一体化的方面，都取得了非常大的进步。
但今天我觉得只有这样还不够，企业不仅是需要解决IT的资源服务问题，还要给他们解决应用的智能化、数据化、移动化的问题。所以我们希望在云之上，能够提供一个更完整的平台。
我们前两年在提解决业务中台、数据中台前提下，我们又提出要解决协同办公的问题。我们叫“云钉一体”，我们希望云不仅跟大数据、跟业务有个很好的融合，我们也希望通过像钉钉这样的移动化平台，来给我们上面的企业应用组织开发软件提供一个新型的平台。
大家知道我们过去开发软件是高度依赖于这个硬件，然后操作系统对硬件做了一层屏蔽。然后软件工程诞生之后，它是一直致力于希望能够把软件给组件化，因为这样能更大提升软件开发的效率。
我们今天讲的呢，我觉得比原来的软件工程讲的组件应该要更进一步，我们希望把更多的能力也作为一个组件，来重新定义上面的软件系统应用的开发方式。所以我们这个能力，组件的能力不仅包括云的能力，也包括数据化、智能化、移动化的能力。我们希望，你要新建一个APP，新建一个应用，应该用非常方便快速的方法构建出来。所以我们称为“数字原生的操作系统”，这个操作系统的定义，我认为比以前简单的操作系统定义应该更宽泛。它不仅是一种系统的能力，而且是一种组件的能力，一种组织的能力，一种技术的能力。
举个例子，我们现在在钉钉上大概服务了1500万个组织，里面有95%的组织是中小企业。当然里面也有超大型组织，我们也看了一下，我们有7个组织是超过一百万人，这样的组织通过今天的云、大数据、钉钉这样的移动协同平台，给他们提供了一个新型的开发环境。
像阿里巴巴自己，我们平台上大概有超过1500个应用。我们很多客户，包括政府的，包括企业的，超过1千个应用的客户非常多，他们在上面构建了1千个应用。以前要构建1千个应用的话，他要花费多大的成本，一个精力，才能够构建这么多应用。第二，他构建这么多应用，这么多应用能够相互的连接，相互的关联，可能以前根本很难想象，因为原来大多数应用都是垂直构建起来的。
今天我们有1500万个客户，超过1300万个客户是我们的中小企业，他们原来是很难构建自己的应用。他们今天有了这个新型的平台之后，可以很方便的把整个组织给在线化，给数字化，给智能化。原来一个小企业，他们怎么样去关心IT基础设施，怎么样关心利用大数据，怎么样有智能化的能力，对他来说都是很难想象的。所以前两天，以前我们也说，像淘宝、天猫，把我们整个零售企业给数字化了，给互联网化了。我们希望云+智能化+大数据+协同移动办公，我们希望把整个组织的生产力，特别是管理、组织能力、应用能力，也给它在线化，也给它数据化，也帮助它们实现智能化。
因为有了这么多的基础，所以我们也就能够明白了，今天我们为什么3天之内，或者2天之内，杭州市能上线健康码，全浙江花了1个晚上，我们花了1个晚上一整天时间，就把这套东西推到浙江省。因为我们有非常好的基础设施来做这么一个支撑，我们大多数应用都不是从头开发的，我们是一个新型的整合。
我觉得这么多的，云也好、大数据也好，包括新型的协同移动办公也好，我觉得不仅是让我们的企业自己本身提高效率。我觉得它最大的贡献是让我们的企业，让我们的组织变得更为敏捷，更容易开发应用，它意味着更容易去做创新。更容易做创新的话，意味着我们的企业可以更容易的去试错。去试错的话，可以把这个企业保持的非常有活力。因为它只要关心自己的核心要关注的问题，它不用去关心并不是它擅长的那些问题。
第二，全社会都是这样形态的话，可以带来更大的全社会的协同。我们以前在讲，对政府来说，它把政府的工作人员，把企业，把它服务的企业，把它服务的这些老百姓，他们第一次通过这样统一的平台把它协同起来。这个有点像“双11”，“双11”不是淘宝、天猫一家企业能完成，它是全社会的大协同。但这个大协同因为有了淘宝、天猫这样的生态之后，它可以非常高效的组织起来，这我觉得就是平台的价值、生态的价值。
今天也一样，企业变得更敏捷了，有这样的平台之后，它可以跨企业、跨组织去做全社会的协同。政府是这样，我们很多企业是这样，我们一家企业叫复星，它又投了大概上百家的企业。它今天在钉钉上通过自己做了这么一个平台，它把自己的被投企业都通过这个平台来做高效的协同。第一做协同；第二是可以提供公共的服务，我觉得这就是以后未来企业协同的方式。
除此之外，我们也观察到近年来，特别是工业互联网化、城市大脑、IoT，也有很多概念，讲的也非常多。这类问题，我觉得本质上就是把物理世界怎么样给数字化的问题。通过IoT，通过一些传感器，通过一些控制器，通过一些连接，包括5G，我们希望把生产的设备，生产的工艺参数，包括流程上的控制器能够全部数字化。这样的话，我们就能够把采集到的数据来计算，来降低能耗、节约电力。我们也可以通过人工智能来做表观检测。尤其是适合于一些参数高度复杂的生产工艺，人来判断非常难，但这方面对计算机，对人工智能恰恰是最擅长的地方，来做联合的工艺优化。
通过这样的事情，我觉得我们才能够真正发挥数字化、智能化的能力。城市大脑要管理的城市，有物理的设施，如公路、交通、消防龙头、停车位等。优化城市的规划设计，真正从根本上来解决这些问题。最终通过云、通过云上的大数据、云上的智能化、云上的协同办公、云上的IoT，能够真正来打造一个新型的数字原生操作系统，这就是我们的想法。
今天阿里云，我觉得是从原来的1.0升级到2.0版本，由简单狭义的“飞天”云平台，变成一个既有很好的云平台，再加上上面的数字原生操作系统，共同组成的这么一个复合型平台。
所以下面，我们叫云钉一体，为应用开发提供一个移动化、数据化、智能化的平台。我们也希望云端一体，有各种各样新型的端，包括IT的端、IoT的端，包括其他的端来组成的边缘计算等，来组成新的云端一体。
数字原生操作系统是基于云，又有上面的协同的、移动的、数据智能的、IoT的一体化的能力操作系统。原来的云就像一个在DOS系统上，在计算机上安装一个DOS系统。你要开发一个复杂的应用界面，那要懂得很多的技能。今天我们希望这个系统是个类似于Windows的系统，是个窗口式的，你非常容易去开发一些新的应用。
让我们更多的企业，让我们更多的组织，它不需要看懂代码，它就能具备云化、数据化、智能化、移动化、IoT的能力。让云可以像水电煤一样，普及到更多的企业、更多的人。
今天我们讲的数字原生操作系统，正在深刻定义一个新型的组织，让这个组织变得跟以前不一样，也在深刻的定义一些新型的软件开发方式，它以前的开发方式是流程式的，信息系统会变成一个智能化的，面向未来的数据智能、移动化的新型系统。实现更强大的平台和组织间的协作，我觉得这都是以后新型的数字化系统能带来的本质化改变。
这里面我觉得有一整套的思路、方法和系统。那很高兴的是，我们通过过去几年的努力，在数字政府、新金融、新零售，还有众多企业内部的沟通、生产系统里面，都取得了一些重大的进展。
阿里云2.0，我认为就是云+数字原生的操作系统一个组合。我们希望来改变人家使用云的方式，也希望来改变人家开发应用的方式。最终，让我们的组织，让我们的社会、企业变得更智能，真正迈入数字化的社会。
云计算已经深刻的改变了IT基础设施的形态，主机时代变成分布式时代。我们相信随着云计算的发展，特别是云业务的发展，端上的形态也会发生一些深刻的变化。
我们从数字化的角度来看，钉钉上有超过3亿人、1500万组织，大量的企业都通过钉钉、通过云在开展工作，特别是通过像视频会议、远程办公这样的方式来开展工作。
公共服务领域也通过数字化的手段、数字化的应用来开展工作。浙江省大概有100多万的公务员在钉钉上办公，他们每天大概会产生1千万条的信息，原来的信息都是通过电话、邮件等方式，今天都是通过钉钉这样的移动工具在做流转。
阿里巴巴每天大概会有超过1500万条的信息在平台上流动。过去一年，阿里巴巴大概有1.5亿条电子流在平台上产生。数字化的方式深刻影响我们企业内部运作的方式。
为什么今年数字化发展得这么快？我认为：
第一、疫情加速了数字化的过程。以前我们都在讲云、大数据，但都没有今年来得这么真切，这么深刻影响我们的生活，让我们每个人都能够感受得到。而且今年还有一个现象，大量新型的应用在不断出现，不断来通过数字化的手段影响我们的工作跟生活。
第二、依赖于过去10年我们基础设施建设的成果。特别是像云、大数据这样的基础设施。今天可以在3天之内上线一个健康码，可以在几天之内上线一个新的应用，都是因为原来云的基础设施，原来大数据的平台发挥了重大的价值。
这样的工作出来之后，我们需要一个平台来展现它们，这就是我们在讲的，基于钉钉协同化的办公平台。这样的办公平台不仅深刻改变了我们工作的方式，也深刻影响了我们开发应用的方式。基于这些基础设施，也使得我们应用开发变得更为容易。
对阿里云来讲，我们过去十年解决了非常大的问题，就是把一个基础设施云化的问题，我们知道以前IT的时代，数字化的基础是靠一些单独的PC机来支撑。单独的PC机没办法支撑时，我们就会不断升级PC机，然后推出小型机，推出大型机，推出更多的一些复杂化的解决方案。比如存储、CPU等等不断的升级。
这样导致单个计算机不断变得更复杂、更昂贵，它的迭代速度更慢。但是进入云时代之后，我们发现一种更有效的办法来应对这个基础设施产生的问题，这就是分布式的计算。
尤其是互联网公司普遍采用了分布式的系统，来解决原来IT设施单机不断变得规模更大、更昂贵、更复杂的问题。阿里巴巴也一样，我们用分布式的系统来解决企业自己的一些问题，因为我们原来是通过做电子商务这个平台。电子商务这个平台是一个非常复杂的互联网应用，如果用原来的解决方案来做，我认为就不可能有今天这么多的互联网企业，因为那个成本是非常昂贵的。
当时我们在讲，能不能把分布式的技术变成一个设施，给社会上所有其他企业来用呢。这样的话还要解决一个问题，怎么样在分布式技术之上带来一些调度的能力，又带来一些管控的能力，这个就是云诞生当初最朴素的理念。阿里巴巴自己也是这么走过来的，我们十年前通过分布式系统解决了阿里巴巴自己的问题。然后十年前开始，我们就通过阿里云这样的系统，来解决我们自己的技术能力社会化的问题。我们内部开发的系统就叫做飞天云操作系统。阿里云通过飞天云操作系统成功解决了资源云化的问题，通过我们这两年的努力，在计算、存储、网络、安全等各方面，尤其是软硬件一体化的方面，都取得了非常大的进步。
但今天我觉得只有这样还不够，企业不仅是需要解决IT的资源服务问题，还要给他们解决应用的智能化、数据化、移动化的问题。所以我们希望在云之上，能够提供一个更完整的平台。
我们前两年在提解决业务中台、数据中台前提下，我们又提出要解决协同办公的问题。我们叫“云钉一体”，我们希望云不仅跟大数据、跟业务有个很好的融合，我们也希望通过像钉钉这样的移动化平台，来给我们上面的企业应用组织开发软件提供一个新型的平台。
大家知道我们过去开发软件是高度依赖于这个硬件，然后操作系统对硬件做了一层屏蔽。然后软件工程诞生之后，它是一直致力于希望能够把软件给组件化，因为这样能更大提升软件开发的效率。
我们今天讲的呢，我觉得比原来的软件工程讲的组件应该要更进一步，我们希望把更多的能力也作为一个组件，来重新定义上面的软件系统应用的开发方式。所以我们这个能力，组件的能力不仅包括云的能力，也包括数据化、智能化、移动化的能力。我们希望，你要新建一个APP，新建一个应用，应该用非常方便快速的方法构建出来。所以我们称为“数字原生的操作系统”，这个操作系统的定义，我认为比以前简单的操作系统定义应该更宽泛。它不仅是一种系统的能力，而且是一种组件的能力，一种组织的能力，一种技术的能力。
举个例子，我们现在在钉钉上大概服务了1500万个组织，里面有95%的组织是中小企业。当然里面也有超大型组织，我们也看了一下，我们有7个组织是超过一百万人，这样的组织通过今天的云、大数据、钉钉这样的移动协同平台，给他们提供了一个新型的开发环境。
像阿里巴巴自己，我们平台上大概有超过1500个应用。我们很多客户，包括政府的，包括企业的，超过1千个应用的客户非常多，他们在上面构建了1千个应用。以前要构建1千个应用的话，他要花费多大的成本，一个精力，才能够构建这么多应用。第二，他构建这么多应用，这么多应用能够相互的连接，相互的关联，可能以前根本很难想象，因为原来大多数应用都是垂直构建起来的。
今天我们有1500万个客户，超过1300万个客户是我们的中小企业，他们原来是很难构建自己的应用。他们今天有了这个新型的平台之后，可以很方便的把整个组织给在线化，给数字化，给智能化。原来一个小企业，他们怎么样去关心IT基础设施，怎么样关心利用大数据，怎么样有智能化的能力，对他来说都是很难想象的。所以前两天，以前我们也说，像淘宝、天猫，把我们整个零售企业给数字化了，给互联网化了。我们希望云+智能化+大数据+协同移动办公，我们希望把整个组织的生产力，特别是管理、组织能力、应用能力，也给它在线化，也给它数据化，也帮助它们实现智能化。
因为有了这么多的基础，所以我们也就能够明白了，今天我们为什么3天之内，或者2天之内，杭州市能上线健康码，全浙江花了1个晚上，我们花了1个晚上一整天时间，就把这套东西推到浙江省。因为我们有非常好的基础设施来做这么一个支撑，我们大多数应用都不是从头开发的，我们是一个新型的整合。
我觉得这么多的，云也好、大数据也好，包括新型的协同移动办公也好，我觉得不仅是让我们的企业自己本身提高效率。我觉得它最大的贡献是让我们的企业，让我们的组织变得更为敏捷，更容易开发应用，它意味着更容易去做创新。更容易做创新的话，意味着我们的企业可以更容易的去试错。去试错的话，可以把这个企业保持的非常有活力。因为它只要关心自己的核心要关注的问题，它不用去关心并不是它擅长的那些问题。
第二，全社会都是这样形态的话，可以带来更大的全社会的协同。我们以前在讲，对政府来说，它把政府的工作人员，把企业，把它服务的企业，把它服务的这些老百姓，他们第一次通过这样统一的平台把它协同起来。这个有点像“双11”，“双11”不是淘宝、天猫一家企业能完成，它是全社会的大协同。但这个大协同因为有了淘宝、天猫这样的生态之后，它可以非常高效的组织起来，这我觉得就是平台的价值、生态的价值。
今天也一样，企业变得更敏捷了，有这样的平台之后，它可以跨企业、跨组织去做全社会的协同。政府是这样，我们很多企业是这样，我们一家企业叫复星，它又投了大概上百家的企业。它今天在钉钉上通过自己做了这么一个平台，它把自己的被投企业都通过这个平台来做高效的协同。第一做协同；第二是可以提供公共的服务，我觉得这就是以后未来企业协同的方式。
除此之外，我们也观察到近年来，特别是工业互联网化、城市大脑、IoT，也有很多概念，讲的也非常多。这类问题，我觉得本质上就是把物理世界怎么样给数字化的问题。通过IoT，通过一些传感器，通过一些控制器，通过一些连接，包括5G，我们希望把生产的设备，生产的工艺参数，包括流程上的控制器能够全部数字化。这样的话，我们就能够把采集到的数据来计算，来降低能耗、节约电力。我们也可以通过人工智能来做表观检测。尤其是适合于一些参数高度复杂的生产工艺，人来判断非常难，但这方面对计算机，对人工智能恰恰是最擅长的地方，来做联合的工艺优化。
通过这样的事情，我觉得我们才能够真正发挥数字化、智能化的能力。城市大脑要管理的城市，有物理的设施，如公路、交通、消防龙头、停车位等。优化城市的规划设计，真正从根本上来解决这些问题。最终通过云、通过云上的大数据、云上的智能化、云上的协同办公、云上的IoT，能够真正来打造一个新型的数字原生操作系统，这就是我们的想法。
今天阿里云，我觉得是从原来的1.0升级到2.0版本，由简单狭义的“飞天”云平台，变成一个既有很好的云平台，再加上上面的数字原生操作系统，共同组成的这么一个复合型平台。
所以下面，我们叫云钉一体，为应用开发提供一个移动化、数据化、智能化的平台。我们也希望云端一体，有各种各样新型的端，包括IT的端、IoT的端，包括其他的端来组成的边缘计算等，来组成新的云端一体。
数字原生操作系统是基于云，又有上面的协同的、移动的、数据智能的、IoT的一体化的能力操作系统。原来的云就像一个在DOS系统上，在计算机上安装一个DOS系统。你要开发一个复杂的应用界面，那要懂得很多的技能。今天我们希望这个系统是个类似于Windows的系统，是个窗口式的，你非常容易去开发一些新的应用。
让我们更多的企业，让我们更多的组织，它不需要看懂代码，它就能具备云化、数据化、智能化、移动化、IoT的能力。让云可以像水电煤一样，普及到更多的企业、更多的人。
今天我们讲的数字原生操作系统，正在深刻定义一个新型的组织，让这个组织变得跟以前不一样，也在深刻的定义一些新型的软件开发方式，它以前的开发方式是流程式的，信息系统会变成一个智能化的，面向未来的数据智能、移动化的新型系统。实现更强大的平台和组织间的协作，我觉得这都是以后新型的数字化系统能带来的本质化改变。
这里面我觉得有一整套的思路、方法和系统。那很高兴的是，我们通过过去几年的努力，在数字政府、新金融、新零售，还有众多企业内部的沟通、生产系统里面，都取得了一些重大的进展。
阿里云2.0，我认为就是云+数字原生的操作系统一个组合。我们希望来改变人家使用云的方式，也希望来改变人家开发应用的方式。最终，让我们的组织，让我们的社会、企业变得更智能，真正迈入数字化的社会。
云计算已经深刻的改变了IT基础设施的形态，主机时代变成分布式时代。我们相信随着云计算的发展，特别是云业务的发展，端上的形态也会发生一些深刻的变化。
#∞·分享# 漫谈高数——泰勒级数的物理意义
高等数学干嘛要研究级数问题？
是为了把简单的问题弄复杂来表明自己的高深？ No,是为了把各种简单的问题/复杂的问题，他们的求解过程用一种通用的方法来表示。
提一个问题，99*99等于多少？相信我们不会傻到列式子去算，口算也太难了而是会做一个迂回的 方法，99*(100-1)，这样更好算。那么995*998呢？问题更复杂了，（1000-5)*(1000-2)，式子比直接计算要复杂，但是口算却成为了可能。
归纳一下，x*y这样的乘法运算或者幂次运算，如何直接计算很 麻烦的话，我们可以用因式分解的方法(中学生都能理解)来求解。
但是因式分解仍然不够通用，因为我们 总是需要通过观察"特定"的待求解式子，找到一种规律，然后才能因式分解，这是我们从小学到中学数学 方法的全部：特定问题特定的解答方法。那么，到了高等数学，怎么办？研宄一种方之四海皆准的，通用的方法。
泰勒级数的物理意义是什么？就是把方程g(x)=0的解，写成曲线方程的形式看看和X轴有什么交 点。
例如f(x)=x^2=5等价于g(x)=x^2-5=0和x轴的交点。而这个曲线交点可以用直线切线的逼近 方法(牛顿迭代法)来实现，这就是泰勒级数的物理意义:点+—次切线+2次切线+... + N次切线。每次切 线公式的常数，就是泰勒级数第N项的常数。OK,从泰勒级数的式子可以看到，为了保证两边相等，且 取N次导数以后仍然相等，常数系数需要除以n!，因为x^n取导数会产生n!的系数。
泰勒级数，就是切 线逼近法的非跌代的，展开式。泰勒公式怎么来的，其实根据牛顿逼近法就可以得到从1阶一直可以推导 到 N 阶。假设 f1(x)=f(x)-f(a)，由牛顿逼近法有 f1(x)=f'(a)(x-a)+o(x-a)^2，所以 f(x)=f(a)+f’(a)(x-a)+o(x-a)^2 同理，假设 f2(x)=f(x)-f(a)-f'(x)(x-a),
两边求导,f2'(x)=f，(x)-f，(x)-f"(x)(x-a)=-f"(a)(x-a)
再求不定积分f2(x)=-(1/2)f"(a)(x-a)^2+C, C就是那个高阶无穷小(需要证明）所以f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f"(a)(x-a)A2+o(x-a)^3依次类推，最后就有了泰勒公式。另一种证明过 程干脆就是先写出来g(x)=a0+a1(x-a)+a2(x-a)^2+...+an(x-a)^n，然后从等式序列， g(a)=f(a),g'(a)=f'(a),...g…"(a)=f…"(a)......就得到所有的a0-an的泰勒展示系数了。
泰勒级数展开函数，能做什么？对于特定的x取值，可以求它附近的函数。y=xA100展开以后可 以求x = 1附近的0.9999的100次方等于多少，计算过程和结果不但更直观，而且可以通过舍弃一些高 阶项的方法来避免不必要的精度计算，简化了计算，节省了计算时间(如果是计算机计算复杂数字的话)。
在图像处理的计算机软件中，经常要用到开方和幂次计算，而Quake III的源代码中就对于此类的计算做 了优化，采用泰勒技术展开和保留基本项的办法，比纯粹的此类运算快了4倍以上。
还可以做什么呢？对于曲线交点的问题，用方程求解的办法有时候找不到答案，方程太复杂解不出 来，那么用泰勒级数的办法求这个交点，那么交点的精度要提高，相当于泰勒级数的保留项要增加，而这 个过程对应于牛顿--莱布尼茨的迭代过程，曲线交点的解在精度要求确定的情况下，有了被求出的可能。
看到了吧，泰勒级数用来求解高方程问题，是一种通用的方法，而不是像中学时代那样一种问题一 种解决办法，高等数学之所以成为"高等"，就是它足够抽象，抽象到外延无穷大。
那么，更感兴趣的一个问题是，对于高阶的微分方程表达的问题，怎么求解呢？泰勒级数不行了， 就要到傅立叶级数-傅立叶变换-拉普拉斯变化。这几个工具广泛用于各个领域的数学分析，从信号与系统 到数理方程的求解。
中学数学和高等数学最大的区别是什么？中学数学研宄的是定解问题，例如根号4等于2。高等数 学研宄什么呢----它包含了不定解问题的求解，例如用一个有限小数位的实数来表示根号5的值。我们用 泰勒级数展开求出的根号5的近似值，无论保留多少位小数，它都严格不等于根号5,但是实际应用己经 足够了。
不可解的问题，用高等数学的通解办法，可以求出一个有理数的近似解，它可以无限接近于上帝 给出的那个无理数的定解。通解可行性的前提是，我们要证明这种接近的收敛性，所以我们会看到高等数 学上册的课本里面，不厌其烦的，一章接一章，一遍又一遍的讲，一个函数，在某个开区间上，满足某个 条件，就能被证明收敛于某种求和式子。初等数学求的是定解，那么如果没有定解呢？高等数学可以求近 似解。牛顿莱布尼茨就是切线逼近法的始祖。例如求解一般的3次方程的根，求解公式可以是定解形式。但是问题是根号内的无理数仍然无法表示出来。
那么逼近法求一个数的N次方根就派上用场了。
f{m}=m(k+1) = m(K)+{A/m^2.(k)-m(k)}1/n.
n是方次，A被开方数。
例如，A=5, 5介于1的3次方至2的3次方之间。我们可以随意代入一个数m，例如2,那么：
第一步，2 + [5/ (2x2) -2]x1/3 = 1.7;
第二步，1.7+[5/(1.7x1.7)-1.7]x1/3 = 1.71;
第三步，1.71 + [5/(1.71x1.71)-1.71]x1/3 = 1.709;
每次多取一位数。公式会自动反馈到正确的数值。
具体的求解过程：先说说泰勒级数：一个方程，f(x)=0,求解X，它唯一对应x-f(x)二维图像上的 一条曲线。那么x的求解过程可以用牛顿-莱布尼茨逼近法求得（迭代）。例如x^2=5可以看成 f(x)=x^2-5 = 0的求曲线和X轴的交点。牛顿迭代法可以用来求解线性方程的近似解。
那么如何求解非 线性方程呢？ f(x)用泰勒级数展开，取前N项(通常N = 2)，得到一个线性的方程，这个方程相当于是原来 的曲线在求解点附近做了一条切线，其求解过程和牛顿迭代法等价。迭代次数越多，越接近非线性。用泰 勒级数来分解sin(t)，把一个光滑的函数变成一些列有楞有角的波形的叠加。用傅立叶级数来分解方波， 把有楞有角的波形变成一些光滑曲线的集合。
但是傅立叶级数舍弃项的时候，会产生高频的吉布斯毛刺(上 升下降的边沿，迪利赫里条件不符合)。局部的收敛性不如泰勒级数展开----因为泰勒级数展开有逐项衰减 的常数因子。
举个例子，用泰勒级数求解欧拉公式。没有欧拉公式，就没有傅立叶变换，就没有拉普拉斯变化，就不能把高阶导数映射到e的倒数上面，也就无法把微分方程等价为一个限行方程。欧拉公式有什么用？它 把实数的三角运算变成了复数的旋转运算，把指数运算变成了乘积运算，把纯微分方程的求解过程变成了 指数方程的求解过程，大大简化了运算。
推广一下。怎么分析一个函数?怎么分析一个几何的相交问题?怎么解决一个多维的问题？初等的方 法是根据函数或者图形的几何性质，去凑答案----当然大部分情况是凑不到答案的，因为能凑到答案是因 为问题/题目给出了一些特殊的数学关系以使得我们恰好能凑到答案！
例如一个圆球在正方体里面，求通过 某个顶点的切面方程或者距离什么的，我们可以通过做辅助面求得。但是这个求解太特殊了，对于普通的 点，例如切面方程13x+615y+72z-2=0这样的，初等方法就无能为力了。说白了初等方法就是牛顿在《自然哲学的数学原理 》提到的几何方法，牛顿并没有把微积分上升到解析的思想。
普通数学分析则提 出了解析的代数运算思想，把具体的问题用通用的方式来求得，而问题的题设只是一种把函数的实际参数 带入形式参数的过程，使得问题可以形式化了----如果数学问题不能形式化就不能通过状态机来求解，试 想，计算机怎么会画辅助线呢？几何图形是有意义的，但是形式求解本身没有意义，它必须把实际的"意义 "问题变成代数运算，例如求最大值最小值变成导数=0。电路分析当中的模型是什么？就是数学建模。
因为电压和电流是可以测量的量，那么我们就要看什么量是不变量/变量，什么量是自变量/因变量。如果电 压是不变量，我们认为是理想电压源；如果电流是不变量就是理想电流源，如果电压电流的比例不变就是 恒定电阻；如果电压电流乘积不变就是理想功率源。把控制电路作为一个整体，那么电压/电流控制电压/ 电流，作为一个黑盒，对外的特性就是电压转移系数，电流转移系数，转移电阻和转移电抗。
在物理学的 电场分析当中电压/电势是一个矢量，但是到了集总电路分析的领域就退化成了一个标量。对于复杂问题的 分析，好比物理学当中的动量/能量守恒，电路分析是以电流守恒为基础的，于是就有了节电电流法和环路 电压法的概念。这些概念的建立都是为了分析的目的而存在的，是分析工具。
我们首先得到一个工具，当 直接分析很困难的时候，我们采用逼近的方法来解决----因为极限就是我们所求的。正是因为解析的思想 是一种通用的求解方式，爱因斯坦在晚年才会追求4大场的统一理论，当然他忽略了这个"解析"的形式系 统本身在量子的尺度上失效了，忽略了不确定性和概率的影响，令人惋惜。
说的太远了，高数里面为什么 有那么多种正交展开？泰勒级数，傅立叶级数，罗朗级数----其实就是因为初等的方法无法精确分析出定 解，那么就去寻找一种"不断逼近"的方法来求解。复变函数研宄的就是如何用幂级数不断的逼近原函数这 个基本命题。
泰勒是怎么想出来的？
为什么泰勒级数，傅立叶级数，这些展开式都可以写成某个通项公式的和呢？是不是真理都是简单 的美的，就像毕达哥拉斯所设想的一样？这个观点也许搞反了因果的方向。
我们看一下泰勒级数是怎么得到的。泰勒假设f(x)=f(a)+f’(x)(x-a)+o(x-a)^2,这个是牛顿莱布尼茨公式可以推出来的，那么有了 一次项以后，如何继续逼近？方法类似，一次的求解是g1(x)=f(x)-f(a)=f’(x)(x-a)，那么可以写出 g2(x)=f(x)-f(a)-f’(x)(x-a)两边对x求导再求不定积分，就得到了 2阶的泰勒级数。依次类推，可以得 到N阶的泰勒级数。
由于每一阶的推导过程是"相似"的，所以泰勒项数的子项肯定也就具有了某种形式意 义上的相似性。说白了，不是因为客观存在某种规律使得函数可以展开成具有通项公式的幂级数，而是为 了把函数展开成具有通项公式的幂级数再去看每个子项应该等于什么，然后为了保证严格再给出收敛以及 一致收敛的条件。
不是客观存在某种''简单而且美"的真理，而是主体把某种''简单而且美"的形式强加给客观，再看客 观在"强加"语境下的特性如何。傅立叶级数的思想，频率分析的思想，和这个相似，是把我们心中的某个 概念赋予外界的实在，按主管意识的想法来拆借外界----只有这样，思想才能被理解。
当然，实数范围的泰勒级数和傅立叶级数展开的条件仍然比较严格，复变函数引入了对应的洛朗级数和傅立叶/拉普拉斯变 换，通用性强多了。说白了，复变函数就是函数逼近论。为了解决初等思想没法解决的不可能想明白的问 题而引入的高等方法。逼近思想的一个应用就是理解曲率的公式A=|y’’|/sqrt(1+y’A2)。画出逼近图形 就可以理解了，用两个相似三角形就可以证明这个公式。
复变函数说白了就是 2 维正交元素组成的数域。 (1+i)^i=exp(iLn(1+i))=exp(i[Ln|1+i|+i(arg(1+i)+2kPi])=exp(-Pi)(1/4+2k)*(cos[ln2/2]+isin[ln2/2])，是一个正交的表达式，它保留了两个方向上的分量，使得2维分析变得可能。这样一来，高等数学当中的曲线积分，积分的变量不再是x和y而是只剩下了 z，形式上简 单多了。
假设曲线积分S1=S(Pdx+Qdy)其中Q=xA2-2xy-yA2,P=xA2-yA2+2xy,显然满足格林公式。 然后负数积分 S(zA2)dz=S(xA2+2xyi-yA2)d(x+yi)=S( (xA2-2xy)dx+(yA2-2xy)dy )。而 S(xA2+2xyi-yA2)d(x+yi)实部=S(xA2-yA2)dx-2xyA2dy，虚部=S(2xydx+(xA2- yA2)dy)，实部和虚部相加就是S1，也就是说，S是S1(曲线积分和路径无关)的复数形式。我们可以验证S(z^2)dz 沿不同积分路线从起点到终点的积分结果。zA2=(xA2-yA2)+i2xy，显然满足柯西-黎曼条件。于是它和实数积分的格林公式统一了。
实际的模型总是难以精确的解释的，所以我们创造一些理想模型去逼近现实。当然，两者不会相等， 但是只要误差在容许的范围之内，我们认为数学的分析就成功了。这就是一切数学建模的思想。工科电子类的专业课，第一门数学建模的课程就是电路分析。这里传输线的问题被一个等效电路替代了。
实际电源 被一个理想的电压源加上一个电阻替代了，三级管放大电路的理论模型就是电流控制的电流源。一切都是 为了分析的方便。只要结果足够近似，我们就认为自己的理论是有效的。
出了这个边界，理论就需要修正。 理论反映的不是客观实在，而是我们''如何去认识"的水平，理论是一种主观的存在，当实际情况可以影射 到同一种理论的时候，我们说理论上有了一种主观的”普遍联系”，就像电路分析和网络流量的拓扑分析有很多共同点。这种普遍联系不是客体的属性，只和主体的观点有关。
高等数学干嘛要研究级数问题？
是为了把简单的问题弄复杂来表明自己的高深？ No,是为了把各种简单的问题/复杂的问题，他们的求解过程用一种通用的方法来表示。
提一个问题，99*99等于多少？相信我们不会傻到列式子去算，口算也太难了而是会做一个迂回的 方法，99*(100-1)，这样更好算。那么995*998呢？问题更复杂了，（1000-5)*(1000-2)，式子比直接计算要复杂，但是口算却成为了可能。
归纳一下，x*y这样的乘法运算或者幂次运算，如何直接计算很 麻烦的话，我们可以用因式分解的方法(中学生都能理解)来求解。
但是因式分解仍然不够通用，因为我们 总是需要通过观察"特定"的待求解式子，找到一种规律，然后才能因式分解，这是我们从小学到中学数学 方法的全部：特定问题特定的解答方法。那么，到了高等数学，怎么办？研宄一种方之四海皆准的，通用的方法。
泰勒级数的物理意义是什么？就是把方程g(x)=0的解，写成曲线方程的形式看看和X轴有什么交 点。
例如f(x)=x^2=5等价于g(x)=x^2-5=0和x轴的交点。而这个曲线交点可以用直线切线的逼近 方法(牛顿迭代法)来实现，这就是泰勒级数的物理意义:点+—次切线+2次切线+... + N次切线。每次切 线公式的常数，就是泰勒级数第N项的常数。OK,从泰勒级数的式子可以看到，为了保证两边相等，且 取N次导数以后仍然相等，常数系数需要除以n!，因为x^n取导数会产生n!的系数。
泰勒级数，就是切 线逼近法的非跌代的，展开式。泰勒公式怎么来的，其实根据牛顿逼近法就可以得到从1阶一直可以推导 到 N 阶。假设 f1(x)=f(x)-f(a)，由牛顿逼近法有 f1(x)=f'(a)(x-a)+o(x-a)^2，所以 f(x)=f(a)+f’(a)(x-a)+o(x-a)^2 同理，假设 f2(x)=f(x)-f(a)-f'(x)(x-a),
两边求导,f2'(x)=f，(x)-f，(x)-f"(x)(x-a)=-f"(a)(x-a)
再求不定积分f2(x)=-(1/2)f"(a)(x-a)^2+C, C就是那个高阶无穷小(需要证明）所以f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f"(a)(x-a)A2+o(x-a)^3依次类推，最后就有了泰勒公式。另一种证明过 程干脆就是先写出来g(x)=a0+a1(x-a)+a2(x-a)^2+...+an(x-a)^n，然后从等式序列， g(a)=f(a),g'(a)=f'(a),...g…"(a)=f…"(a)......就得到所有的a0-an的泰勒展示系数了。
泰勒级数展开函数，能做什么？对于特定的x取值，可以求它附近的函数。y=xA100展开以后可 以求x = 1附近的0.9999的100次方等于多少，计算过程和结果不但更直观，而且可以通过舍弃一些高 阶项的方法来避免不必要的精度计算，简化了计算，节省了计算时间(如果是计算机计算复杂数字的话)。
在图像处理的计算机软件中，经常要用到开方和幂次计算，而Quake III的源代码中就对于此类的计算做 了优化，采用泰勒技术展开和保留基本项的办法，比纯粹的此类运算快了4倍以上。
还可以做什么呢？对于曲线交点的问题，用方程求解的办法有时候找不到答案，方程太复杂解不出 来，那么用泰勒级数的办法求这个交点，那么交点的精度要提高，相当于泰勒级数的保留项要增加，而这 个过程对应于牛顿--莱布尼茨的迭代过程，曲线交点的解在精度要求确定的情况下，有了被求出的可能。
看到了吧，泰勒级数用来求解高方程问题，是一种通用的方法，而不是像中学时代那样一种问题一 种解决办法，高等数学之所以成为"高等"，就是它足够抽象，抽象到外延无穷大。
那么，更感兴趣的一个问题是，对于高阶的微分方程表达的问题，怎么求解呢？泰勒级数不行了， 就要到傅立叶级数-傅立叶变换-拉普拉斯变化。这几个工具广泛用于各个领域的数学分析，从信号与系统 到数理方程的求解。
中学数学和高等数学最大的区别是什么？中学数学研宄的是定解问题，例如根号4等于2。高等数 学研宄什么呢----它包含了不定解问题的求解，例如用一个有限小数位的实数来表示根号5的值。我们用 泰勒级数展开求出的根号5的近似值，无论保留多少位小数，它都严格不等于根号5,但是实际应用己经 足够了。
不可解的问题，用高等数学的通解办法，可以求出一个有理数的近似解，它可以无限接近于上帝 给出的那个无理数的定解。通解可行性的前提是，我们要证明这种接近的收敛性，所以我们会看到高等数 学上册的课本里面，不厌其烦的，一章接一章，一遍又一遍的讲，一个函数，在某个开区间上，满足某个 条件，就能被证明收敛于某种求和式子。初等数学求的是定解，那么如果没有定解呢？高等数学可以求近 似解。牛顿莱布尼茨就是切线逼近法的始祖。例如求解一般的3次方程的根，求解公式可以是定解形式。但是问题是根号内的无理数仍然无法表示出来。
那么逼近法求一个数的N次方根就派上用场了。
f{m}=m(k+1) = m(K)+{A/m^2.(k)-m(k)}1/n.
n是方次，A被开方数。
例如，A=5, 5介于1的3次方至2的3次方之间。我们可以随意代入一个数m，例如2,那么：
第一步，2 + [5/ (2x2) -2]x1/3 = 1.7;
第二步，1.7+[5/(1.7x1.7)-1.7]x1/3 = 1.71;
第三步，1.71 + [5/(1.71x1.71)-1.71]x1/3 = 1.709;
每次多取一位数。公式会自动反馈到正确的数值。
具体的求解过程：先说说泰勒级数：一个方程，f(x)=0,求解X，它唯一对应x-f(x)二维图像上的 一条曲线。那么x的求解过程可以用牛顿-莱布尼茨逼近法求得（迭代）。例如x^2=5可以看成 f(x)=x^2-5 = 0的求曲线和X轴的交点。牛顿迭代法可以用来求解线性方程的近似解。
那么如何求解非 线性方程呢？ f(x)用泰勒级数展开，取前N项(通常N = 2)，得到一个线性的方程，这个方程相当于是原来 的曲线在求解点附近做了一条切线，其求解过程和牛顿迭代法等价。迭代次数越多，越接近非线性。用泰 勒级数来分解sin(t)，把一个光滑的函数变成一些列有楞有角的波形的叠加。用傅立叶级数来分解方波， 把有楞有角的波形变成一些光滑曲线的集合。
但是傅立叶级数舍弃项的时候，会产生高频的吉布斯毛刺(上 升下降的边沿，迪利赫里条件不符合)。局部的收敛性不如泰勒级数展开----因为泰勒级数展开有逐项衰减 的常数因子。
举个例子，用泰勒级数求解欧拉公式。没有欧拉公式，就没有傅立叶变换，就没有拉普拉斯变化，就不能把高阶导数映射到e的倒数上面，也就无法把微分方程等价为一个限行方程。欧拉公式有什么用？它 把实数的三角运算变成了复数的旋转运算，把指数运算变成了乘积运算，把纯微分方程的求解过程变成了 指数方程的求解过程，大大简化了运算。
推广一下。怎么分析一个函数?怎么分析一个几何的相交问题?怎么解决一个多维的问题？初等的方 法是根据函数或者图形的几何性质，去凑答案----当然大部分情况是凑不到答案的，因为能凑到答案是因 为问题/题目给出了一些特殊的数学关系以使得我们恰好能凑到答案！
例如一个圆球在正方体里面，求通过 某个顶点的切面方程或者距离什么的，我们可以通过做辅助面求得。但是这个求解太特殊了，对于普通的 点，例如切面方程13x+615y+72z-2=0这样的，初等方法就无能为力了。说白了初等方法就是牛顿在《自然哲学的数学原理 》提到的几何方法，牛顿并没有把微积分上升到解析的思想。
普通数学分析则提 出了解析的代数运算思想，把具体的问题用通用的方式来求得，而问题的题设只是一种把函数的实际参数 带入形式参数的过程，使得问题可以形式化了----如果数学问题不能形式化就不能通过状态机来求解，试 想，计算机怎么会画辅助线呢？几何图形是有意义的，但是形式求解本身没有意义，它必须把实际的"意义 "问题变成代数运算，例如求最大值最小值变成导数=0。电路分析当中的模型是什么？就是数学建模。
因为电压和电流是可以测量的量，那么我们就要看什么量是不变量/变量，什么量是自变量/因变量。如果电 压是不变量，我们认为是理想电压源；如果电流是不变量就是理想电流源，如果电压电流的比例不变就是 恒定电阻；如果电压电流乘积不变就是理想功率源。把控制电路作为一个整体，那么电压/电流控制电压/ 电流，作为一个黑盒，对外的特性就是电压转移系数，电流转移系数，转移电阻和转移电抗。
在物理学的 电场分析当中电压/电势是一个矢量，但是到了集总电路分析的领域就退化成了一个标量。对于复杂问题的 分析，好比物理学当中的动量/能量守恒，电路分析是以电流守恒为基础的，于是就有了节电电流法和环路 电压法的概念。这些概念的建立都是为了分析的目的而存在的，是分析工具。
我们首先得到一个工具，当 直接分析很困难的时候，我们采用逼近的方法来解决----因为极限就是我们所求的。正是因为解析的思想 是一种通用的求解方式，爱因斯坦在晚年才会追求4大场的统一理论，当然他忽略了这个"解析"的形式系 统本身在量子的尺度上失效了，忽略了不确定性和概率的影响，令人惋惜。
说的太远了，高数里面为什么 有那么多种正交展开？泰勒级数，傅立叶级数，罗朗级数----其实就是因为初等的方法无法精确分析出定 解，那么就去寻找一种"不断逼近"的方法来求解。复变函数研宄的就是如何用幂级数不断的逼近原函数这 个基本命题。
泰勒是怎么想出来的？
为什么泰勒级数，傅立叶级数，这些展开式都可以写成某个通项公式的和呢？是不是真理都是简单 的美的，就像毕达哥拉斯所设想的一样？这个观点也许搞反了因果的方向。
我们看一下泰勒级数是怎么得到的。泰勒假设f(x)=f(a)+f’(x)(x-a)+o(x-a)^2,这个是牛顿莱布尼茨公式可以推出来的，那么有了 一次项以后，如何继续逼近？方法类似，一次的求解是g1(x)=f(x)-f(a)=f’(x)(x-a)，那么可以写出 g2(x)=f(x)-f(a)-f’(x)(x-a)两边对x求导再求不定积分，就得到了 2阶的泰勒级数。依次类推，可以得 到N阶的泰勒级数。
由于每一阶的推导过程是"相似"的，所以泰勒项数的子项肯定也就具有了某种形式意 义上的相似性。说白了，不是因为客观存在某种规律使得函数可以展开成具有通项公式的幂级数，而是为 了把函数展开成具有通项公式的幂级数再去看每个子项应该等于什么，然后为了保证严格再给出收敛以及 一致收敛的条件。
不是客观存在某种''简单而且美"的真理，而是主体把某种''简单而且美"的形式强加给客观，再看客 观在"强加"语境下的特性如何。傅立叶级数的思想，频率分析的思想，和这个相似，是把我们心中的某个 概念赋予外界的实在，按主管意识的想法来拆借外界----只有这样，思想才能被理解。
当然，实数范围的泰勒级数和傅立叶级数展开的条件仍然比较严格，复变函数引入了对应的洛朗级数和傅立叶/拉普拉斯变 换，通用性强多了。说白了，复变函数就是函数逼近论。为了解决初等思想没法解决的不可能想明白的问 题而引入的高等方法。逼近思想的一个应用就是理解曲率的公式A=|y’’|/sqrt(1+y’A2)。画出逼近图形 就可以理解了，用两个相似三角形就可以证明这个公式。
复变函数说白了就是 2 维正交元素组成的数域。 (1+i)^i=exp(iLn(1+i))=exp(i[Ln|1+i|+i(arg(1+i)+2kPi])=exp(-Pi)(1/4+2k)*(cos[ln2/2]+isin[ln2/2])，是一个正交的表达式，它保留了两个方向上的分量，使得2维分析变得可能。这样一来，高等数学当中的曲线积分，积分的变量不再是x和y而是只剩下了 z，形式上简 单多了。
假设曲线积分S1=S(Pdx+Qdy)其中Q=xA2-2xy-yA2,P=xA2-yA2+2xy,显然满足格林公式。 然后负数积分 S(zA2)dz=S(xA2+2xyi-yA2)d(x+yi)=S( (xA2-2xy)dx+(yA2-2xy)dy )。而 S(xA2+2xyi-yA2)d(x+yi)实部=S(xA2-yA2)dx-2xyA2dy，虚部=S(2xydx+(xA2- yA2)dy)，实部和虚部相加就是S1，也就是说，S是S1(曲线积分和路径无关)的复数形式。我们可以验证S(z^2)dz 沿不同积分路线从起点到终点的积分结果。zA2=(xA2-yA2)+i2xy，显然满足柯西-黎曼条件。于是它和实数积分的格林公式统一了。
实际的模型总是难以精确的解释的，所以我们创造一些理想模型去逼近现实。当然，两者不会相等， 但是只要误差在容许的范围之内，我们认为数学的分析就成功了。这就是一切数学建模的思想。工科电子类的专业课，第一门数学建模的课程就是电路分析。这里传输线的问题被一个等效电路替代了。
实际电源 被一个理想的电压源加上一个电阻替代了，三级管放大电路的理论模型就是电流控制的电流源。一切都是 为了分析的方便。只要结果足够近似，我们就认为自己的理论是有效的。
出了这个边界，理论就需要修正。 理论反映的不是客观实在，而是我们''如何去认识"的水平，理论是一种主观的存在，当实际情况可以影射 到同一种理论的时候，我们说理论上有了一种主观的”普遍联系”，就像电路分析和网络流量的拓扑分析有很多共同点。这种普遍联系不是客体的属性，只和主体的观点有关。
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