演员张丰毅：离婚后含泪发声，我不是“冷血男”，我爱我的儿子
1988年，张丰毅和吕丽萍在北京登记结婚，那一年，张丰毅32岁，一穷二白，结婚时只花了50块钱。
婚后不久吕丽萍生下儿子张博宇，一家三口其乐融融，令人羡慕。
然而，婚后两人忙于自己的事业，聚少离多，这段婚姻看似牢固实则已经摇摇欲坠。
1991年，张丰毅和吕丽萍因为性格不合适，决定离婚，张丰毅净身出户，那一年，他们的儿子张博宇只有两岁。
张丰毅拖着行李箱离家的那天，小张博宇走到张丰毅面前，奶声奶气地说:“爸爸，别走，要吃饭了。”
张丰毅不敢看儿子的眼睛，他狠狠心冲出了家门，然后在走廊上抱头痛哭，他知道，这一辈子都亏欠了儿子。
离婚后，张丰毅住到单身宿舍。
为了弥补儿子，他一有时间就去看小张博宇，给他买奶粉和零食。
每次张丰毅离开，张博宇都会跟在他后边，依依不舍地对张丰毅说:“爸爸，你出差要早点回来。”
张丰毅强忍泪水离去。
年幼的张博宇，并不知道父母已经离婚了！
因为吕丽萍也经常告诉他:“爸爸忙，很快就又来看你了，你看爸爸给你买了这么多玩具。”
时间一天一天过去。
1994年，张丰毅再次组建了家庭，与小12岁的舞蹈老师霍凡走到了一起，那一年张博宇5岁。
虽然再婚了，但张丰毅还是一有时间就去看望儿子，吕丽萍也一直认可张丰毅对儿子的爱！
张博宇第一次知道爸爸妈妈离婚，是在他7岁那年。
姥姥无意中告诉他:“你爸爸不是工作忙，他早就跟你妈妈离婚了，又给你找了个新妈妈。”
张博宇这才知道，为什么他总能看到别的小朋友的爸爸在校门口接自己家孩子，而自己却要很长一段时间时间才能见到爸爸！
原来爸爸已经抛弃了自己和妈妈！
从那以后，张博宇不再欢迎爸爸。
张丰毅给他买的玩具，也被他扔到外边。
在张博宇眼中，爸爸成了一个陌生人。
感觉到儿子的冷淡，张丰毅心里也很难受，每次都是含着泪离开。
后来，张丰毅去看望张博宇的次数越来越少，可能是因为忙，也可能是怕妻子知道了会生气。
张博宇的少年时代很不快乐。
他陷在父母离异的阴影里不能自拔，不开心的时候就暴饮暴食。
上初中的时候，体重一度达到了160斤，成了一个小胖子，医生告诉吕丽萍，不能再继续胖下去了。
否则会引发各种并发症，长大也许就废了。
吕丽萍很害怕，将医生的话转告给张丰毅，张丰毅深知自己有不可推卸的责任，主动接下帮儿子减肥的任务。
他第二天一大早，就赶到吕丽萍家。
将还在赖床的张博宇喊起来，软硬兼施地对儿子说:“你要能坚持跟我跑步，我就请你的朋友吃饭。”
张博宇眼睛一亮，答应了爸爸的要求。
从那以后，张博宇每天都跟张丰毅一起晨跑。
一次7公里，每当张博宇累的喘不动气时，张丰毅就在身边鼓励他，让他坚持下去。
一年后，张博宇的体重恢复到正常状态。
吕丽萍和张丰毅这才松了一口气。
后来，吕丽萍再婚，张丰毅因为不方便，就很少再见到张博宇。
张博宇初中毕业后，想跟爸爸妈妈一样，走表演这条路，但张丰毅非常反对。
他认为张博宇初中毕业了，应该好好的上高中，扩展知识面，然后考大学，等那时候再学表演也不晚。
张丰毅还直言:“我觉得他搞表演有点问题，就是形象问题，不像我。”
面对爸爸的反对，张博宇不为所动，坚持自己的选择。
为此，张丰毅非常气愤。
他对张博宇说:“你要不听我的话，以后就不要联系了。”
不过张博宇也争气，后来凭借自己的努力考上了中戏。
张博宇毕业大戏时，满心欢喜地邀请张丰毅来看他的演出。
张丰毅问他:“谁是男一号？”
当张博宇告诉他，男一号是自己时。
张丰毅却说:“你演男一号，没法看。”
说完毫不留情地挂断了电话，最终也没有去看儿子的演出。
从这开始，父子俩的隔阂越来越深。
相比张丰毅，张博宇的继父孙海英，则更加尊重他的选择。
张博宇的首部作品《楚汉传奇》，就是孙海英引荐的。
后来，张博宇参加综艺《带着父母去旅行》时，直接越过张丰毅，将更为亲近的继父孙海英带上了节目。
2014年，张博宇大婚！
全程都是继父孙海英，承担父亲的角色，发表致辞、答谢亲友。
张丰毅作为亲生父亲，竟然没有到场。
这对于任何一对父子关系，都是致命一击！
事后，张丰毅被冠上了“冷酷男”的称号，认为他对自己的儿子太过无情无义！
面对外界的质疑，张丰毅也在采访中回应了此事。
他说不去参加婚礼的原因，是因为已经离婚了，现在孙海英、吕丽萍、张博宇才是一家人。
自己去了，徒增尴尬。
还有婚礼太过铺张浪费，正常婚礼，办一桌就够了，而张博宇的却办了27桌，弄那么大阵势有点过了。
最重要一点，张丰毅觉得自己运气不太好，只要参加过的婚礼，最后都离婚了，自己不去，对儿子来说反而是件好事。
张丰毅为此还专门给儿子讲述了不去婚礼现场的原因，多次与儿子喝酒沟通，希望张博宇打开心结。
张博宇每次都安慰他:“爸爸，没事了，我能理解你。”
不过说归说，张丰毅发现儿子并没有真正放下。
因为张博宇曾在社交平台上发布过一条动态，“幸运的人一生都被童年治愈，不幸的人，一生都在治愈童年。”
张丰毅黯然神伤，不知道应该采取什么办法，才能解开儿子心里的疙瘩。
其实，他并不是不爱张博宇。
只是对儿子的教育方式，太过简单粗暴，他不希望儿子学表演，是因为自己混迹娱乐圈多年。
知道演员这条路并不好走。
所以，他期望儿子能有更大的作为。
不想儿子走自己的老路，不去参加婚礼是怕抢了新人的风头。
2020年，张丰毅在宣传电影《非常营救》时，再次被记者提起了与张博宇的父子关系。
在荧幕上，一向以硬汉形象示人的张丰毅，第一次在媒体面前含泪发声:
“天底下哪有不爱自己儿子的父亲？儿子，爸爸是爱你的，没有外界想的那么冷酷。”
随着年龄的增长，张博宇也渐渐明白了父亲的苦衷，和张丰毅的关系慢慢缓和起来。
虽然张博宇已经成家立业，但张丰毅家里一直保留着儿子的房间。
张丰毅还对儿子说:“我家就是你家，你想什么时候来就什么时候来，来了住多久都没问题。”
张博宇也接受了父亲的好意。
他有时间就会去张丰毅那里小住几天，陪父亲一起健身、散步、打篮球。
张丰毅也开始去看儿子的演出，为儿子捧场。
一次，张博宇在参加节目时，爆料了与张丰毅的一件暖心事。
他说，自己有天晚上12点，喝醉酒打给父亲，借着醉意跟张丰毅道歉，并向他告白:“爸爸，我爱你。”
张丰毅愣了几秒后，结结巴巴地说:“哎呀好了，没事，你挺好的”。
末了张丰毅还回应了一句:“儿子，我也爱你。”
每逢过节，张博宇特别忙碌。
因为他不仅要陪继父孙海英，还要关心张丰毅。
张丰毅怕儿子拍戏辛苦，还特地送给他一辆车作为代步，张博宇穿的名牌也大多是张丰毅一手置办。
有些爱，不用刻意说出口。
一点一滴，就可以感受到。
张丰毅曾经说过:“我就是个直性子，让我用很圆滑或者很官方的方式回答别人的问题，拐弯抹角也做不到。别人的评价，我也不在乎。”
诚如张丰毅所说，外界怎样猜测他们的关系，并不重要，重要的是经历这么多误会与隔阂。
他和张博宇，依旧把彼此看成最亲的人！
如今，张博宇也用演技和认真的态度，在娱乐圈渐渐打开了知名度。
张丰毅和吕丽萍也都过上了自己想要的生活。
这对于他们一家人来说，也算圆满了！
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1988年，张丰毅和吕丽萍在北京登记结婚，那一年，张丰毅32岁，一穷二白，结婚时只花了50块钱。
婚后不久吕丽萍生下儿子张博宇，一家三口其乐融融，令人羡慕。
然而，婚后两人忙于自己的事业，聚少离多，这段婚姻看似牢固实则已经摇摇欲坠。
1991年，张丰毅和吕丽萍因为性格不合适，决定离婚，张丰毅净身出户，那一年，他们的儿子张博宇只有两岁。
张丰毅拖着行李箱离家的那天，小张博宇走到张丰毅面前，奶声奶气地说:“爸爸，别走，要吃饭了。”
张丰毅不敢看儿子的眼睛，他狠狠心冲出了家门，然后在走廊上抱头痛哭，他知道，这一辈子都亏欠了儿子。
离婚后，张丰毅住到单身宿舍。
为了弥补儿子，他一有时间就去看小张博宇，给他买奶粉和零食。
每次张丰毅离开，张博宇都会跟在他后边，依依不舍地对张丰毅说:“爸爸，你出差要早点回来。”
张丰毅强忍泪水离去。
年幼的张博宇，并不知道父母已经离婚了！
因为吕丽萍也经常告诉他:“爸爸忙，很快就又来看你了，你看爸爸给你买了这么多玩具。”
时间一天一天过去。
1994年，张丰毅再次组建了家庭，与小12岁的舞蹈老师霍凡走到了一起，那一年张博宇5岁。
虽然再婚了，但张丰毅还是一有时间就去看望儿子，吕丽萍也一直认可张丰毅对儿子的爱！
张博宇第一次知道爸爸妈妈离婚，是在他7岁那年。
姥姥无意中告诉他:“你爸爸不是工作忙，他早就跟你妈妈离婚了，又给你找了个新妈妈。”
张博宇这才知道，为什么他总能看到别的小朋友的爸爸在校门口接自己家孩子，而自己却要很长一段时间时间才能见到爸爸！
原来爸爸已经抛弃了自己和妈妈！
从那以后，张博宇不再欢迎爸爸。
张丰毅给他买的玩具，也被他扔到外边。
在张博宇眼中，爸爸成了一个陌生人。
感觉到儿子的冷淡，张丰毅心里也很难受，每次都是含着泪离开。
后来，张丰毅去看望张博宇的次数越来越少，可能是因为忙，也可能是怕妻子知道了会生气。
张博宇的少年时代很不快乐。
他陷在父母离异的阴影里不能自拔，不开心的时候就暴饮暴食。
上初中的时候，体重一度达到了160斤，成了一个小胖子，医生告诉吕丽萍，不能再继续胖下去了。
否则会引发各种并发症，长大也许就废了。
吕丽萍很害怕，将医生的话转告给张丰毅，张丰毅深知自己有不可推卸的责任，主动接下帮儿子减肥的任务。
他第二天一大早，就赶到吕丽萍家。
将还在赖床的张博宇喊起来，软硬兼施地对儿子说:“你要能坚持跟我跑步，我就请你的朋友吃饭。”
张博宇眼睛一亮，答应了爸爸的要求。
从那以后，张博宇每天都跟张丰毅一起晨跑。
一次7公里，每当张博宇累的喘不动气时，张丰毅就在身边鼓励他，让他坚持下去。
一年后，张博宇的体重恢复到正常状态。
吕丽萍和张丰毅这才松了一口气。
后来，吕丽萍再婚，张丰毅因为不方便，就很少再见到张博宇。
张博宇初中毕业后，想跟爸爸妈妈一样，走表演这条路，但张丰毅非常反对。
他认为张博宇初中毕业了，应该好好的上高中，扩展知识面，然后考大学，等那时候再学表演也不晚。
张丰毅还直言:“我觉得他搞表演有点问题，就是形象问题，不像我。”
面对爸爸的反对，张博宇不为所动，坚持自己的选择。
为此，张丰毅非常气愤。
他对张博宇说:“你要不听我的话，以后就不要联系了。”
不过张博宇也争气，后来凭借自己的努力考上了中戏。
张博宇毕业大戏时，满心欢喜地邀请张丰毅来看他的演出。
张丰毅问他:“谁是男一号？”
当张博宇告诉他，男一号是自己时。
张丰毅却说:“你演男一号，没法看。”
说完毫不留情地挂断了电话，最终也没有去看儿子的演出。
从这开始，父子俩的隔阂越来越深。
相比张丰毅，张博宇的继父孙海英，则更加尊重他的选择。
张博宇的首部作品《楚汉传奇》，就是孙海英引荐的。
后来，张博宇参加综艺《带着父母去旅行》时，直接越过张丰毅，将更为亲近的继父孙海英带上了节目。
2014年，张博宇大婚！
全程都是继父孙海英，承担父亲的角色，发表致辞、答谢亲友。
张丰毅作为亲生父亲，竟然没有到场。
这对于任何一对父子关系，都是致命一击！
事后，张丰毅被冠上了“冷酷男”的称号，认为他对自己的儿子太过无情无义！
面对外界的质疑，张丰毅也在采访中回应了此事。
他说不去参加婚礼的原因，是因为已经离婚了，现在孙海英、吕丽萍、张博宇才是一家人。
自己去了，徒增尴尬。
还有婚礼太过铺张浪费，正常婚礼，办一桌就够了，而张博宇的却办了27桌，弄那么大阵势有点过了。
最重要一点，张丰毅觉得自己运气不太好，只要参加过的婚礼，最后都离婚了，自己不去，对儿子来说反而是件好事。
张丰毅为此还专门给儿子讲述了不去婚礼现场的原因，多次与儿子喝酒沟通，希望张博宇打开心结。
张博宇每次都安慰他:“爸爸，没事了，我能理解你。”
不过说归说，张丰毅发现儿子并没有真正放下。
因为张博宇曾在社交平台上发布过一条动态，“幸运的人一生都被童年治愈，不幸的人，一生都在治愈童年。”
张丰毅黯然神伤，不知道应该采取什么办法，才能解开儿子心里的疙瘩。
其实，他并不是不爱张博宇。
只是对儿子的教育方式，太过简单粗暴，他不希望儿子学表演，是因为自己混迹娱乐圈多年。
知道演员这条路并不好走。
所以，他期望儿子能有更大的作为。
不想儿子走自己的老路，不去参加婚礼是怕抢了新人的风头。
2020年，张丰毅在宣传电影《非常营救》时，再次被记者提起了与张博宇的父子关系。
在荧幕上，一向以硬汉形象示人的张丰毅，第一次在媒体面前含泪发声:
“天底下哪有不爱自己儿子的父亲？儿子，爸爸是爱你的，没有外界想的那么冷酷。”
随着年龄的增长，张博宇也渐渐明白了父亲的苦衷，和张丰毅的关系慢慢缓和起来。
虽然张博宇已经成家立业，但张丰毅家里一直保留着儿子的房间。
张丰毅还对儿子说:“我家就是你家，你想什么时候来就什么时候来，来了住多久都没问题。”
张博宇也接受了父亲的好意。
他有时间就会去张丰毅那里小住几天，陪父亲一起健身、散步、打篮球。
张丰毅也开始去看儿子的演出，为儿子捧场。
一次，张博宇在参加节目时，爆料了与张丰毅的一件暖心事。
他说，自己有天晚上12点，喝醉酒打给父亲，借着醉意跟张丰毅道歉，并向他告白:“爸爸，我爱你。”
张丰毅愣了几秒后，结结巴巴地说:“哎呀好了，没事，你挺好的”。
末了张丰毅还回应了一句:“儿子，我也爱你。”
每逢过节，张博宇特别忙碌。
因为他不仅要陪继父孙海英，还要关心张丰毅。
张丰毅怕儿子拍戏辛苦，还特地送给他一辆车作为代步，张博宇穿的名牌也大多是张丰毅一手置办。
有些爱，不用刻意说出口。
一点一滴，就可以感受到。
张丰毅曾经说过:“我就是个直性子，让我用很圆滑或者很官方的方式回答别人的问题，拐弯抹角也做不到。别人的评价，我也不在乎。”
诚如张丰毅所说，外界怎样猜测他们的关系，并不重要，重要的是经历这么多误会与隔阂。
他和张博宇，依旧把彼此看成最亲的人！
如今，张博宇也用演技和认真的态度，在娱乐圈渐渐打开了知名度。
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1224顶格申购杭锅转债 杭锅转债发行规模11.1亿。评级AA，有下修、强赎、回售条款。
利率方面，按票面价格折算税后年化收益率1.95%。
目前市场给予正股7倍PB，50多倍PE。
可以看出这货其实估值不低，因为他目前有光热储能、熔盐储能概念加持，虽然主营业务还是传统能源，但已然身披半个新能源光环。
昨天领涨的是电力板块，光伏、风电、火电、煤炭都在涨，杭锅股份甚至都涨停了。
最新转股价值120，转债合理价值133，期望140元上市。大肉，祝你中签！ https://t.cn/A6xgVDQE
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目前市场给予正股7倍PB，50多倍PE。
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昨天领涨的是电力板块，光伏、风电、火电、煤炭都在涨，杭锅股份甚至都涨停了。
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随机矩阵(Stochastic Matrix)或转移矩阵(Transition Matrix)
右随机矩阵—每个行总和为1
在数学中，随机矩阵是用于描述马尔可夫链的转换方阵。其每个项(或条目)是表示概率的非负实数。它也被称为概率矩阵、转移矩阵、置换矩阵或马尔可夫矩阵。随机矩阵最初是由Andrey Markov在20世纪初开发的且已广泛应用于各种科学领域，包括概率论、统计学、数学金融学和线性代数以及计算机科学和群体遗传学。随机矩阵有几种不同的定义和类型：
1). 右随机矩阵(right stochastic matrix )是一个真正的方阵，每个行总和为1。
2). 左随机矩阵(left stochastic matrix)是一个真正的方阵，每个列求和为1。
3). 双随机矩阵(doubly stochastic matrix)与每个行和列求和，以1的非负实数的平方矩阵。
同样，我们能把随机向量(也称为概率向量)定义为向量，其元素是非负实数，其总和为1>因此，右随机矩阵的每一行(或左随机矩阵的每一列)是随机向量。英语数学文献中的一个常见惯例是使用概率和右随机矩阵的行向量而不是概率和左随机矩阵的列向量 ; 本文遵循该惯例。
1. 历史
随机矩阵是由马尔科夫链与俄罗斯数学家和圣彼得堡大学教授安德烈·马尔科夫一起开发的，他于1906年首次发表该主题。他最初的预期用途是用于语言分析和其他数学科目一样，如洗牌，但马尔可夫链和矩阵在其它领域迅速得到应用。
随机矩阵由Andrey Kolmogorov等进一步发展，他们通过允许连续时间马尔可夫过程扩展它们的可能性。到20世纪50年代，使用随机矩阵的文章出现在计量经济学和电路理论领域。在20世纪60年代，随机矩阵出现在更广泛的科学着作中，从行为科学到地质学到住宅规划。此外，在这几十年中还进行大量的数学工作，以更广泛地改进随机矩阵和马尔可夫过程的使用范围和功能。
从20世纪70年代到现在，随机矩阵几乎在每个需要形式分析的领域都有用，从结构科学到医学诊断再到人事管理。此外，随机矩阵已广泛应用于土地变化建模，通常在术语马尔可夫矩阵下。
2. 定义和属性
随机矩阵描述马尔可夫链{X}在有限 状态空间S上有基数S小号。如果从i到j移动的概率 在一个时间步长是Pr(j|i）= P_{i,j}，随机矩阵P通过使用 P_{i,j}被给出i是指第i行元素，j是指第j列元素，参见附件一，从i到所有状态(state)的概率和必须为1，因此它是一个右随机矩阵。
通常，由随机矩阵给出的有限马尔可夫链中从任何状态到另一个状态的概率转变P以k步给出，显示为P^{k}。指定系统初始位置和概率的状态的初始概率分布作为行向量给出。
一个固定概率向量π被定义为分布，写为行向量，在转换矩阵的应用下不会改变; 也就是说，它被定义为集合上的概率分布{1,...,N}，它也是概率矩阵的行特征向量，与特征值 1相关联：
πP = π;
通过Gershgorin圆定理，每个右随机矩阵的右光谱半径最多为1 。另外，每个右随机矩阵具有与特征值1相关联的明显列特征向量：向量1，其坐标都等于1(只需观察乘以一行的坐标A时1等于行的项的总和，因此，它等于1)。由于方阵的左右特征值相同，每个随机矩阵至少具有与特征值1相关联的行特征向量且其所有特征值的最大绝对值也是1。最后，Brouwer不动点定理(应用于有限集的所有概率分布的紧致凸集{1,...,n}暗示存在一些左特征向量，它是一个静态概率向量。
另一方面，Perron-Frobenius定理确保每个不可约( irreducible)随机矩阵都具有这样的静止向量且特征值的最大绝对值总是为1；然而，这个定理不能直接应用于这样的矩阵，因为它们不必不可约。
通常，可能存在几个这样的载体。然而，对于具有严格正条目的矩阵或者更一般地，对于不可约的非周期性随机矩阵(请注意遍历是不可约、非周期和常返)，该向量是唯一且能通过观察任何对象计算i，我们有以下限制，参见附件三。
在π_ {j}是行向量π的第j个行向量。除此之外，这说明在一个状态j的长期概率独立于初始状i。这两种计算给出相同的静止向量是遍历定理的一种形式，这在各种耗散动力系统中通常是正确的：系统随着时间的推移演变为静止状态。
直观上，随机矩阵表示马尔科夫链；把随机矩阵应用于概率分布，在保持原分布的总质量的同时重新分布原分布的概率质量。如果重复应用这个过程，分布收敛于马尔可夫链的平稳分布。
3. 例子：
猫和老鼠
假设有一个计时器和一行五个相邻的盒子，第一个盒子里有一只猫，第五个盒子里有一只鼠标，时间为0。当计时器前进时，猫和鼠标都跳到一个随机相邻的盒子。例如，如果猫在第二个盒子里，鼠标在第四个盒子里，那么在定时器前进后，猫在第一个盒子里，鼠标在第五个盒子里的概率是四分之一。如果猫在第一个盒子里，鼠标在第五个盒子里，那么在计时器前进后，猫在第二个盒子里，鼠标在第四个盒子里的概率是1。如果猫和老鼠都在同一个盒子里，那么猫就会吃掉老鼠，这时游戏就结束。随机变量K给出鼠标在游戏中停留的时间步数。
表示此游戏的马尔科夫链包含由位置组合(猫、鼠标)指定的以下五种状态。注意,而天真的枚举州将列出25个州,很多是不可能的因为鼠标可以从未指数低于猫(这意味着鼠标占领了猫的盒子和幸存下来搬过去),或者因为两个指标之和总是甚至平价。另外，将导致老鼠死亡的三种可能状态合并为一种，参见图四。
们使用随机矩阵P(下面)，表示该系统的转移概率，该矩阵中的行和列由上面列出的可能状态索引，其中转换前状态为行和转换后状态为列。例如，从状态1 - 第1行开始 - 系统不可能保持这种状态，因此P_{11} = 0; 系统无法过渡到状态2 - 因为猫会留在同一个盒子里，因此P_{12} = 0以及鼠标的类似论点P_{14} = 0。允许转换到状态3或5，因此P_{13}≠ 0且P_{15} ≠ 0。
长期平均值：
无论初始状态如何，猫最终会抓住鼠标(概率为1)且静止状态π=(0,0,0,0,1)接近极限。为计算变量随机Y的长期平均值(或期望值)，对每个状态Sj和时间tk，存在Y_{j,k}·P的贡献(S=Sj,t=tk)。 其生存被视为二元变量，幸存状态Y = 1；终止状态Y = 0。 Y=0的状态对长期平均值没有贡献。
相位表示：
由于状态5是吸收状态，吸收时间的分布是离散型相位型分布。假设系统在状态2中启动，由向量表示[0,1,0,0,0]。老鼠的死亡状态对生存平均值没有贡献，因此可忽略状态五。初始状态和转换矩阵可减少，其结果参见附件五，I是单位矩阵，1表示作为状态总和的所有1的列矩阵。由于每个状态被占用一段时间，因此鼠标生存的预期时间只是占用所有幸存状态概率和时间步长的总和，
右随机矩阵—每个行总和为1
在数学中，随机矩阵是用于描述马尔可夫链的转换方阵。其每个项(或条目)是表示概率的非负实数。它也被称为概率矩阵、转移矩阵、置换矩阵或马尔可夫矩阵。随机矩阵最初是由Andrey Markov在20世纪初开发的且已广泛应用于各种科学领域，包括概率论、统计学、数学金融学和线性代数以及计算机科学和群体遗传学。随机矩阵有几种不同的定义和类型：
1). 右随机矩阵(right stochastic matrix )是一个真正的方阵，每个行总和为1。
2). 左随机矩阵(left stochastic matrix)是一个真正的方阵，每个列求和为1。
3). 双随机矩阵(doubly stochastic matrix)与每个行和列求和，以1的非负实数的平方矩阵。
同样，我们能把随机向量(也称为概率向量)定义为向量，其元素是非负实数，其总和为1>因此，右随机矩阵的每一行(或左随机矩阵的每一列)是随机向量。英语数学文献中的一个常见惯例是使用概率和右随机矩阵的行向量而不是概率和左随机矩阵的列向量 ; 本文遵循该惯例。
1. 历史
随机矩阵是由马尔科夫链与俄罗斯数学家和圣彼得堡大学教授安德烈·马尔科夫一起开发的，他于1906年首次发表该主题。他最初的预期用途是用于语言分析和其他数学科目一样，如洗牌，但马尔可夫链和矩阵在其它领域迅速得到应用。
随机矩阵由Andrey Kolmogorov等进一步发展，他们通过允许连续时间马尔可夫过程扩展它们的可能性。到20世纪50年代，使用随机矩阵的文章出现在计量经济学和电路理论领域。在20世纪60年代，随机矩阵出现在更广泛的科学着作中，从行为科学到地质学到住宅规划。此外，在这几十年中还进行大量的数学工作，以更广泛地改进随机矩阵和马尔可夫过程的使用范围和功能。
从20世纪70年代到现在，随机矩阵几乎在每个需要形式分析的领域都有用，从结构科学到医学诊断再到人事管理。此外，随机矩阵已广泛应用于土地变化建模，通常在术语马尔可夫矩阵下。
2. 定义和属性
随机矩阵描述马尔可夫链{X}在有限 状态空间S上有基数S小号。如果从i到j移动的概率 在一个时间步长是Pr(j|i）= P_{i,j}，随机矩阵P通过使用 P_{i,j}被给出i是指第i行元素，j是指第j列元素，参见附件一，从i到所有状态(state)的概率和必须为1，因此它是一个右随机矩阵。
通常，由随机矩阵给出的有限马尔可夫链中从任何状态到另一个状态的概率转变P以k步给出，显示为P^{k}。指定系统初始位置和概率的状态的初始概率分布作为行向量给出。
一个固定概率向量π被定义为分布，写为行向量，在转换矩阵的应用下不会改变; 也就是说，它被定义为集合上的概率分布{1,...,N}，它也是概率矩阵的行特征向量，与特征值 1相关联：
πP = π;
通过Gershgorin圆定理，每个右随机矩阵的右光谱半径最多为1 。另外，每个右随机矩阵具有与特征值1相关联的明显列特征向量：向量1，其坐标都等于1(只需观察乘以一行的坐标A时1等于行的项的总和，因此，它等于1)。由于方阵的左右特征值相同，每个随机矩阵至少具有与特征值1相关联的行特征向量且其所有特征值的最大绝对值也是1。最后，Brouwer不动点定理(应用于有限集的所有概率分布的紧致凸集{1,...,n}暗示存在一些左特征向量，它是一个静态概率向量。
另一方面，Perron-Frobenius定理确保每个不可约( irreducible)随机矩阵都具有这样的静止向量且特征值的最大绝对值总是为1；然而，这个定理不能直接应用于这样的矩阵，因为它们不必不可约。
通常，可能存在几个这样的载体。然而，对于具有严格正条目的矩阵或者更一般地，对于不可约的非周期性随机矩阵(请注意遍历是不可约、非周期和常返)，该向量是唯一且能通过观察任何对象计算i，我们有以下限制，参见附件三。
在π_ {j}是行向量π的第j个行向量。除此之外，这说明在一个状态j的长期概率独立于初始状i。这两种计算给出相同的静止向量是遍历定理的一种形式，这在各种耗散动力系统中通常是正确的：系统随着时间的推移演变为静止状态。
直观上，随机矩阵表示马尔科夫链；把随机矩阵应用于概率分布，在保持原分布的总质量的同时重新分布原分布的概率质量。如果重复应用这个过程，分布收敛于马尔可夫链的平稳分布。
3. 例子：
猫和老鼠
假设有一个计时器和一行五个相邻的盒子，第一个盒子里有一只猫，第五个盒子里有一只鼠标，时间为0。当计时器前进时，猫和鼠标都跳到一个随机相邻的盒子。例如，如果猫在第二个盒子里，鼠标在第四个盒子里，那么在定时器前进后，猫在第一个盒子里，鼠标在第五个盒子里的概率是四分之一。如果猫在第一个盒子里，鼠标在第五个盒子里，那么在计时器前进后，猫在第二个盒子里，鼠标在第四个盒子里的概率是1。如果猫和老鼠都在同一个盒子里，那么猫就会吃掉老鼠，这时游戏就结束。随机变量K给出鼠标在游戏中停留的时间步数。
表示此游戏的马尔科夫链包含由位置组合(猫、鼠标)指定的以下五种状态。注意,而天真的枚举州将列出25个州,很多是不可能的因为鼠标可以从未指数低于猫(这意味着鼠标占领了猫的盒子和幸存下来搬过去),或者因为两个指标之和总是甚至平价。另外，将导致老鼠死亡的三种可能状态合并为一种，参见图四。
们使用随机矩阵P(下面)，表示该系统的转移概率，该矩阵中的行和列由上面列出的可能状态索引，其中转换前状态为行和转换后状态为列。例如，从状态1 - 第1行开始 - 系统不可能保持这种状态，因此P_{11} = 0; 系统无法过渡到状态2 - 因为猫会留在同一个盒子里，因此P_{12} = 0以及鼠标的类似论点P_{14} = 0。允许转换到状态3或5，因此P_{13}≠ 0且P_{15} ≠ 0。
长期平均值：
无论初始状态如何，猫最终会抓住鼠标(概率为1)且静止状态π=(0,0,0,0,1)接近极限。为计算变量随机Y的长期平均值(或期望值)，对每个状态Sj和时间tk，存在Y_{j,k}·P的贡献(S=Sj,t=tk)。 其生存被视为二元变量，幸存状态Y = 1；终止状态Y = 0。 Y=0的状态对长期平均值没有贡献。
相位表示：
由于状态5是吸收状态，吸收时间的分布是离散型相位型分布。假设系统在状态2中启动，由向量表示[0,1,0,0,0]。老鼠的死亡状态对生存平均值没有贡献，因此可忽略状态五。初始状态和转换矩阵可减少，其结果参见附件五，I是单位矩阵，1表示作为状态总和的所有1的列矩阵。由于每个状态被占用一段时间，因此鼠标生存的预期时间只是占用所有幸存状态概率和时间步长的总和，
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