七夕将至，你最喜欢的古诗词有哪些？[心] #七成95后00后有七夕送礼拖延症#
1.“何时杖尔看南雪，我与梅花两白头。”
去年南京大雪时，刚好看到这句，心生欢喜。
2.“浮生只合尊前老，雪满长安道。”
朋友让我想几句关于长安的诗，最先想起的便是它。
3.“醉后不知天在水，满船清梦压星河。”
这该是多么浪漫的一个人，借着一丝酒意，在抒写天真。
4.“人生到处知何似，应是飞鸿踏雪泥。”
我没有走过很远的路，也没有爱过几个人，却早早地生出了这般悲凉的心境。
5.“柴门闻犬吠，风雪夜归人。”
至简的词句，那夜的风雪，那夜归人的心境，尽到眼前来。
6.“荷笠带斜阳，青山独归远。”
也是刘长卿的诗句。
7.“连雨不知春去，一晴方觉夏深。”
每年入夏都会发这样一条动态，特别是午睡醒来，抬眼看见窗外的绿叶与阳光，太有代入感了。
8.“秋风生渭水，落叶满长安。”
曾和一个朋友关于“生”和“吹”在微博争论了很多，后来发现是版本问题，我更爱“秋风生渭水”，多了些磅礴之气。
9.“别后相思空一水，重来回首已三生。”
黄景仁最有名的诗句当属“似此星辰非昨夜”和“百无一用是书生”了，而我偏爱这句，时过境迁，世事两茫茫。
10.“欲买桂花同载酒，终不似、少年游。”
又是时过境迁的沧桑感，年岁渐长，我好像有些懂得了这其中凄凉。
11.“困倚危楼，过尽飞鸿字字愁。”
愁，似乎是文人骚客亘古不变的主题，写愁的名句太多，我只是刚好想到这一句。
12.“直道相思了无益，未妨惆怅是轻狂。”
从前有人问我“玲珑骰子安红豆，入骨相思知不知”，我便回了这句。
13.“占得人间一味愚。”
东坡写这句时，应该是有些置气的意思，他沉浮的一生不过刚刚开始。可细看来，大智如愚，也是一种极高的人生哲学吧。
14.“春水碧于天，画船听雨眠。”
这大约是我心里最有江南味的诗句了。
15.“山中无历日，寒尽不知年。”
忘了尘世种种，忘了年岁几何，这应该就是归隐的最高境界了吧。
16.“山中何事，松花酿酒，春水煎茶。”
如果上一句的隐居生活给人的感觉清冷的，那这一句是不是多了些明朗的色彩呢？
17.“得成比目何辞死，愿作鸳鸯不羡仙。”
私以为，这是最动人的情话。
18.“书中无别意，惟怅久离居。”
我已经很久没见过你了，以及我很想你。
19.“可怜无定河边骨，犹是春闺梦里人。”
年少时读到这句，暗自心疼好久。
20.“人生如逆旅，我亦是行人。”
来自东坡男神，人生不易，且行且珍惜。
21.“起来搔首，梅影横窗瘦。”
说到写梅的名句，我首先想起的是林逋的“疏影横斜水清浅，暗香浮动月黄昏”。这句的风格是明快的，梅影横窗瘦却加入词人重重心绪，平添几分萧瑟。
22.“半衾幽梦香初散，满纸春心墨未干。”
忘了在哪看到的，应当是站在女子的视角，如此大胆地袒露相思。
23.“君埋泉下泥销骨，我寄人间雪满头。”
白居易怀念元稹的句子，毕竟是真爱啊……
24.“易求无价宝，难得有心郎。”
鱼玄机这句戳了多少女子的心！
25.“相思一夜梅花发，忽到窗前疑似君。”
这首《有所思》特别长，我只记得这一句了，思念至极，会模糊了一个人的感官。
26.“春未绿，鬓先丝，人间别久不成悲。”
我们分别太久了，以至于我已经忘记了悲伤本身。
27.“相顾无相识，长歌怀采薇。”
初见这句便念念不忘，人生大多数时候都是孤独的吧。
28.“长沟流月去无声，杏花疏影里，吹笛到天明。”
世事一场大梦，追忆似水流年。
29.“欲将心事付瑶筝，知音少，弦断有谁听？”
以前看过一句乐府诗“不惜歌者苦，但伤知音稀。”同样的惆怅，人生最大的寂寞大约就是不知我者谓我何求了吧。
30.“此生合是诗人未，细雨骑驴入剑门。”
潦倒孤寂的身影，做着一个铁马冰河的梦。
31.“渐写到别来，此情深处，红笺为无色。”
一度很喜欢晏几道这个不务正业的官二代，又一个游遍花丛的多情才子。
32.“秋阴不散霜飞晚，留得枯荷听雨声。”
早春去拙政园时正值雨天，留听阁外几枝枯荷七零八落，可不就是留得枯荷听雨声么。
33.“前村深雪里，昨夜一枝开。”
从“数枝开”到“一枝开”，那种欣喜与灵动，跃然纸上。
34.“绮陌敛香尘，雪霁前村。”
天色净朗，雪后初晴。
35.“无物结同心，烟花不堪剪。”
钱塘苏小小，这一抹香魂，引得多少才子心驰神往。
36.“从此音尘各悄然，春山如黛草如烟。”
也是黄景仁的诗句，微博看过一句话“最好的前任要像死了一样”。
37.“我未成名君未嫁，可能俱是不如人。”
这是罗隐与云英重逢之时写下的诗句，天大地大，两个失意之人惺惺相惜。
38.“元知造物心肠别，老却英雄似等闲。”
山河破碎，是陆游终其一生的憾事，弥留之际仍心心念念，“王师北定中原日，家祭勿忘告乃翁”。
39.“梦入江南烟水路，行尽江南，不与离人遇。”
也是小山词，也说离愁别绪。
40.“芒鞋破钵无人识，踏过樱花第几桥？”
每年樱花开都会想起这句，以前翻过苏曼殊的作品，颇多惊艳之句。有时会想，如若相遇，他便是赠我一钵无情泪也不算遗憾。
41.“不堪盈手赠，还寝梦佳期。”
月夜思怀，直入我心。
42.“世间无限丹青手，一片伤心画不成。”
八辈子也写不出来，我首先想到的就是这一句。
43.“夜深知雪重，时闻折竹声。”
雪夜寒深，仿佛身临其境。
文/青薇
来源：知乎
1.“何时杖尔看南雪，我与梅花两白头。”
去年南京大雪时，刚好看到这句，心生欢喜。
2.“浮生只合尊前老，雪满长安道。”
朋友让我想几句关于长安的诗，最先想起的便是它。
3.“醉后不知天在水，满船清梦压星河。”
这该是多么浪漫的一个人，借着一丝酒意，在抒写天真。
4.“人生到处知何似，应是飞鸿踏雪泥。”
我没有走过很远的路，也没有爱过几个人，却早早地生出了这般悲凉的心境。
5.“柴门闻犬吠，风雪夜归人。”
至简的词句，那夜的风雪，那夜归人的心境，尽到眼前来。
6.“荷笠带斜阳，青山独归远。”
也是刘长卿的诗句。
7.“连雨不知春去，一晴方觉夏深。”
每年入夏都会发这样一条动态，特别是午睡醒来，抬眼看见窗外的绿叶与阳光，太有代入感了。
8.“秋风生渭水，落叶满长安。”
曾和一个朋友关于“生”和“吹”在微博争论了很多，后来发现是版本问题，我更爱“秋风生渭水”，多了些磅礴之气。
9.“别后相思空一水，重来回首已三生。”
黄景仁最有名的诗句当属“似此星辰非昨夜”和“百无一用是书生”了，而我偏爱这句，时过境迁，世事两茫茫。
10.“欲买桂花同载酒，终不似、少年游。”
又是时过境迁的沧桑感，年岁渐长，我好像有些懂得了这其中凄凉。
11.“困倚危楼，过尽飞鸿字字愁。”
愁，似乎是文人骚客亘古不变的主题，写愁的名句太多，我只是刚好想到这一句。
12.“直道相思了无益，未妨惆怅是轻狂。”
从前有人问我“玲珑骰子安红豆，入骨相思知不知”，我便回了这句。
13.“占得人间一味愚。”
东坡写这句时，应该是有些置气的意思，他沉浮的一生不过刚刚开始。可细看来，大智如愚，也是一种极高的人生哲学吧。
14.“春水碧于天，画船听雨眠。”
这大约是我心里最有江南味的诗句了。
15.“山中无历日，寒尽不知年。”
忘了尘世种种，忘了年岁几何，这应该就是归隐的最高境界了吧。
16.“山中何事，松花酿酒，春水煎茶。”
如果上一句的隐居生活给人的感觉清冷的，那这一句是不是多了些明朗的色彩呢？
17.“得成比目何辞死，愿作鸳鸯不羡仙。”
私以为，这是最动人的情话。
18.“书中无别意，惟怅久离居。”
我已经很久没见过你了，以及我很想你。
19.“可怜无定河边骨，犹是春闺梦里人。”
年少时读到这句，暗自心疼好久。
20.“人生如逆旅，我亦是行人。”
来自东坡男神，人生不易，且行且珍惜。
21.“起来搔首，梅影横窗瘦。”
说到写梅的名句，我首先想起的是林逋的“疏影横斜水清浅，暗香浮动月黄昏”。这句的风格是明快的，梅影横窗瘦却加入词人重重心绪，平添几分萧瑟。
22.“半衾幽梦香初散，满纸春心墨未干。”
忘了在哪看到的，应当是站在女子的视角，如此大胆地袒露相思。
23.“君埋泉下泥销骨，我寄人间雪满头。”
白居易怀念元稹的句子，毕竟是真爱啊……
24.“易求无价宝，难得有心郎。”
鱼玄机这句戳了多少女子的心！
25.“相思一夜梅花发，忽到窗前疑似君。”
这首《有所思》特别长，我只记得这一句了，思念至极，会模糊了一个人的感官。
26.“春未绿，鬓先丝，人间别久不成悲。”
我们分别太久了，以至于我已经忘记了悲伤本身。
27.“相顾无相识，长歌怀采薇。”
初见这句便念念不忘，人生大多数时候都是孤独的吧。
28.“长沟流月去无声，杏花疏影里，吹笛到天明。”
世事一场大梦，追忆似水流年。
29.“欲将心事付瑶筝，知音少，弦断有谁听？”
以前看过一句乐府诗“不惜歌者苦，但伤知音稀。”同样的惆怅，人生最大的寂寞大约就是不知我者谓我何求了吧。
30.“此生合是诗人未，细雨骑驴入剑门。”
潦倒孤寂的身影，做着一个铁马冰河的梦。
31.“渐写到别来，此情深处，红笺为无色。”
一度很喜欢晏几道这个不务正业的官二代，又一个游遍花丛的多情才子。
32.“秋阴不散霜飞晚，留得枯荷听雨声。”
早春去拙政园时正值雨天，留听阁外几枝枯荷七零八落，可不就是留得枯荷听雨声么。
33.“前村深雪里，昨夜一枝开。”
从“数枝开”到“一枝开”，那种欣喜与灵动，跃然纸上。
34.“绮陌敛香尘，雪霁前村。”
天色净朗，雪后初晴。
35.“无物结同心，烟花不堪剪。”
钱塘苏小小，这一抹香魂，引得多少才子心驰神往。
36.“从此音尘各悄然，春山如黛草如烟。”
也是黄景仁的诗句，微博看过一句话“最好的前任要像死了一样”。
37.“我未成名君未嫁，可能俱是不如人。”
这是罗隐与云英重逢之时写下的诗句，天大地大，两个失意之人惺惺相惜。
38.“元知造物心肠别，老却英雄似等闲。”
山河破碎，是陆游终其一生的憾事，弥留之际仍心心念念，“王师北定中原日，家祭勿忘告乃翁”。
39.“梦入江南烟水路，行尽江南，不与离人遇。”
也是小山词，也说离愁别绪。
40.“芒鞋破钵无人识，踏过樱花第几桥？”
每年樱花开都会想起这句，以前翻过苏曼殊的作品，颇多惊艳之句。有时会想，如若相遇，他便是赠我一钵无情泪也不算遗憾。
41.“不堪盈手赠，还寝梦佳期。”
月夜思怀，直入我心。
42.“世间无限丹青手，一片伤心画不成。”
八辈子也写不出来，我首先想到的就是这一句。
43.“夜深知雪重，时闻折竹声。”
雪夜寒深，仿佛身临其境。
文/青薇
来源：知乎
我没有睡，我一遍遍的翻看着之前的微博。我也舍不得删，那些真切爱过的痕迹总是让人一次又一次的沉沦。
我总是在无数个瞬间无限感激他的出现让我感受到那些美好，即使可能后来不再带有真诚，但是我想最开始的时候都是真的，没有一丝假装。
我现在回想起来那些瞬间仍然觉得心动不已。那些我们穿着拖鞋走过的马路去买水果，我一边拿你一边放说我又在浪费让我少量多次，你撸着我的下巴说这是猫咪最喜欢的姿势。你加班同事请喝奶茶，拿回来给我的时候。你背着书包爬楼梯气喘吁吁的回来的时候。我们搬家请朋友吃夜宵，在夜宵摊上你突然转过头亲我一下的时候，那个时候我没有化妆戴着一副眼镜穿的乱七八糟。你朋友请唱歌，我们正好吵了一架，我哭的眼睛肿肿的，那是我第一次给你理东西，你把我哄好我们出门，在包厢里你还是一直在哄我，突然抱着我亲了一下，我说这么多人你疯啦。我从上海回来你和我朋友们去吃夜宵，喝多了一个人坐在河边给我打电话，每一句都让我心痛不已的男孩子。
直到今天我每天下班，都有很长一段时间的恍惚，觉得你在家里等我。
我想你是真的爱过我的。也是真的想和我过一辈子的。
我说过，人不能带着怨念往前走，生活太苦了，只能靠着曾经吃到过的那点甜一步步的往前挪着走。所以别人怎么说你，我始终不愿意做到伤害你的那一步说一句你不好的话。
我也知道不该再怀念了。
你爱过我的对吗。
我总是在无数个瞬间无限感激他的出现让我感受到那些美好，即使可能后来不再带有真诚，但是我想最开始的时候都是真的，没有一丝假装。
我现在回想起来那些瞬间仍然觉得心动不已。那些我们穿着拖鞋走过的马路去买水果，我一边拿你一边放说我又在浪费让我少量多次，你撸着我的下巴说这是猫咪最喜欢的姿势。你加班同事请喝奶茶，拿回来给我的时候。你背着书包爬楼梯气喘吁吁的回来的时候。我们搬家请朋友吃夜宵，在夜宵摊上你突然转过头亲我一下的时候，那个时候我没有化妆戴着一副眼镜穿的乱七八糟。你朋友请唱歌，我们正好吵了一架，我哭的眼睛肿肿的，那是我第一次给你理东西，你把我哄好我们出门，在包厢里你还是一直在哄我，突然抱着我亲了一下，我说这么多人你疯啦。我从上海回来你和我朋友们去吃夜宵，喝多了一个人坐在河边给我打电话，每一句都让我心痛不已的男孩子。
直到今天我每天下班，都有很长一段时间的恍惚，觉得你在家里等我。
我想你是真的爱过我的。也是真的想和我过一辈子的。
我说过，人不能带着怨念往前走，生活太苦了，只能靠着曾经吃到过的那点甜一步步的往前挪着走。所以别人怎么说你，我始终不愿意做到伤害你的那一步说一句你不好的话。
我也知道不该再怀念了。
你爱过我的对吗。
思想的光辉
格罗滕迪克"收获和播种"
格罗滕迪克"收获和播种"法文版于2021年正式出版，其中最精辟的部分是第18章第5节。他是在灵魂的颤栗和悸动中挥笔写就这一章的，读者应能感受到他的激情的脉动。作者没有办法在不给出公式的情况下阐明其理念。尽管格罗滕迪克的公式比较简明，但是其思想博大精深，因此这一章的内容在翻译上不容易把握。无论如何，格罗滕迪克在本文中呈现的思想的光辉是显而易见的。
Mebkhout的双重对偶定理在某种程度上构成善神定理(对于∞-模)的一半，当这个定理以其最强形式被采用时，它肯定函子(8)是互为拟逆。这是Mebkhout于1980年1月提交的论文的核心结果。不仅如此，甚至这一半本身已经是一个全新的结果并完全出乎大家的意料。它是一个经典的结果，连接佐藤的想法和我的想法。它符合我的长期计划—以连续或微分方式(及从派生范畴的角度)制定离散系数。我认为这个结果以其精神和灵感完全避开了日本分析学派的问题。数学家柏原的可构造性定理似乎表示靠近它，而绝不是新的系数e理论的起点。正如1976年至1980年期间出版的那样毫无疑问，Mebkhout是当时唯一一个发展出这种哲学的人。
1978年1月，Mebkhout谈到他在柏原途经巴黎时会谈的结果，当时他刚写完论文。在柏原的请求下，坦率的Mebkhout很高兴终于找到一个对他要说的话感兴趣的数学家，这是把他送到普林斯顿的热门第三章—双对偶定理，那是在1978年2月。同样的结果在三年后出现在Mebkhout的一篇著名文章-693(*)中。它被重新命名为重建定理，并且丝毫没有提到某个Zoghman Mebkhout。这也是令人难忘的一年—某种新风格—694(**)正面征服(并且没有遇到丝毫阻力...)的光辉之年，在这部分数学的创建中，我有似曾相似的亲切感觉...
(c)第五张快照(在"pro"中)(5月21日)双对偶定理(9)是1977年的。为了证明∞-Modules的善神定理的另一半，因此相当于证明函子δ∞本质上为满射，第一个困难在于证明如下：对于Cons∗中的F，根据第一个公式定义∞-Modules C = Δ_{∞}(F)的复数(8)，它能通过函子 i获得，至少在X的局部使用-Modules的复向量(完整和正则)获得。在先验上，根据Mebkhout的想法(即遵循善神对偶定理)，它暗示(5)中的函子i是等价的，后者必须是唯一的，直到唯一的拟同构。
我没有试图理解Mebkhout最终如何在其论文中成功构建这个-Module的。我认为这里的情形必须通过使用与可构造ℂ-vectorials F - 695(*)集束相关的前相干(pro-集束的德利涅概念进行澄清。这个想法是他在上代数簇的背景下发展起来的，但必须能在可能对或的每个紧凑体上局部工作的条件下进行必要修改以适应分析情况。与F相关的前相干层(pro-coherent sheaf)，因此(至少在的每个紧集K上)是相干层(定义在K的邻域中)的射影系统(Fi)，能很简单地定义为前表示函子。
G ⟼ Hom_{ℂ}(F, G);
在(K附近...)上的相干O_{}-Modules G的范畴上，该函子在保持精确的情况下确实是前表示的。例如，如果 F是的封闭解析子空间Y上的常数层C_{Y}、在所有上由零扩展，那么我们发现由Y在中的O_{Xn}个无穷小邻域形成的前层(NB La这个射影系统的射影极限是沿Y的 O_{}的正式完成)。我们注意到(回到一般情况)前层(Fi)配备规范分层 - 696(**)。德利涅持如下观点：德利涅的函子来自上的可构造C(复)向量层的范畴，对于分层的前相干层的范畴，它是完全忠实的，因此能根据分层前相干层范畴的完整子范畴解释第一个范畴(超越性质)。后者具有纯粹的代数意义，并且能用纯粹的代数术语定义所讨论的完整子范畴(或多或少重言式*))。这是我要注意的范畴：
DRD*() 或 Del*() , (10);
这构成我昨天不想解释的第五张快照698(**)。此外，我似乎还记得，德利涅费竭尽全力把他的解释(及前面完全忠实的陈述)发展成派生范畴(当时我还没有一致决定)上同调的学生，以德利涅为首，还没有决定要否定后者)，当然，它确实是我用符号(10)指定的派生范畴版本。
换言之，RHom_{C}(F,O_{}) 中的代数部分必须能以很自然的方式定义为RHom_{O_{}}的归纳极限(在适当的意义上)((Fi, O_{}) - 特别是(传递给上同调层)，我们把规范箭头描述如下。
lim_{i} Ext^d_{O_{X}(Fi, O_{}) → Ext^d_{O_{}}), (11)
通过使用前对象(Fi)的分层和第二个参数O_{}的重言式分层，我们必须能在(11)的第一个成员上定义一个分层—即-Module的结构，因此(11)与算子环的同态(对应 → ∞)兼容。换言之，必须澄清Mebkhout的善神定理，通过说(11)确定∞-Moule的第二个成员通过标量的扩展从第一个推导出来 - 699(*) - 这特别意味着箭头是一个包含关系。因此左边的成员必须被可视化为一种代数或亚纯部分在右成员中(具有超越性质)。
在前面的特定示例F = I*(C_{Y}) 上，在一般情形变得相当清楚，其中i : Y → 包含的封闭分析子空间。接着(11)的右侧是一束局部上同调，在y中具有支撑，其中y是一个超越不变量，而第一个成员是我在示意图框架中为局部上同调引入的众所周知的表达式。这个丛在点x ∈ Y 处的纤维只不过是局部上同调，在结构丛O的谱Xx上，在x上的Y的迹Yx 中有支撑。
lim_{n→} 分机^d_{O_{}_{n}}, O_{}}};
这个实例显示德利涅的想法与我在1960年代早期就局部上同调主题发展起来的想法有多么接近 - 700(**)。尽管如此，Mebkhout在1972~1976年间工作的主题正是在这个关键案例中研究箭头(11)。
lim_{n→} Ext^d_{O_{}n}, }} =(定义) H^d_{Y} (O_{}})_{alg} → H^d_{Y}(O_{ }})，(12);
在这种情形下，它证明上面宣布的关系，并且比(12)-Module的第一个成员(我之前在陈述中省略的内容)模相关、甚至是完整的和正则的。从那里开始，(11)的类似陈述必须是旋开 - 701(**)的直接结果(包括F不是可构造的C向量的一个丛，而是Cons*( , C)中复数情形。除了德利涅函子的形状构造之外，del的唯一颗粒是在分层前模复形的Homs_{O_{}}}的定义中，其值在复形中分层模，即在-Modules的复形中(在此情况下O_{}})作为-Modules的复形(及作为派生范畴的对象)。
对这颗粒盐(指上述颗粒)取模，我们找到对代数善神函子M(与超越善神函子M∞相反)的非常简单和概念性的描述，或更确切地说，通过复述(8)的双公式描述相关的反函子Δ及其拟逆 δ。然而，为了编写它，这里使用德利涅的等价性，我们宁愿查看DRD*()和DRM*()之间的对应函子Δ^和δ^，其中符号^提醒我们要在前对象上工作(在"可构造"方面)。接着，我们找到一个非平凡公式(它在概念上包含在(8)中，但这次把代数性质的系数相互联系起来，这也是通过代数性质的公式实现的):
∆ = MD = DM, δ = mD = Dm, (13)
Del: Cons*(, C) →(≈) ERD*(), (14)
∆ˆ(C′) = RHOm_{O_{X}} (C′, O_{}),
δˆ(C′) = RHOm_{O_{}} (C′, O_{}), (15)
因此，我们在这里有两次相同的公式，唯一的区别是C'在这里是分层的前相干集束的复形(或等同于 - 702(*)，模前相干晶体的复形)，而C是-Modules的复形(它在概念上可作为O_{}本质上相同函子的复形，从一个到另一个，即对偶函子普通连续，显而易见，它是我50年代的老朋友…，当然，这个必须交换前对象和ind对象，即使这意味着要达到后者的归纳极限…
当然，有一项基础工作要做以便为这些公式赋予精确的含义，德利涅在著名的凿沉研讨会上所做的工作，或Jouanolou在其著名论文中所做的那种类型的工作也被凿沉(每个人都引用，自Colloque Pervers以来，没有人掌握在他的手中...这是一部作品，我敢肯定：它或许有点长，但本质上是sorital。它的困难部分包含在Mebkhout的善神定理中，辅以Mebkhout(8)的称为对偶性的公式。另一方面，它们的代数转换，确认两个函子(15)互为拟逆，它从概念上讲是O_{} 一致系数的普通对偶定理，放入ind-pro酱汁中，并以分层作为键(在对偶函子中必须通过而没有问题)。
就微分算子的复形而言，这两种类型的对偶对象之间的对应关系被完美地可视化(不涉及任何基础工作)。此外，在这种对偶中，完整条件(更何况正则性条件)不起作用。在这样的复形L处，昨天考虑的函子F ⟼ Hom_{O_{}}(F, Dd)(逆变)把-Modules的复形与有限类型C。另一方面，这个复形L的形式化，传递到无限阶P∞(L^i)的主要部分(被认为是分层的前模)产生一个复形C' = P ∞(L^i)的分层pro-modules。换言之，我们看到这两个复形对应于公式(15)，其中，RHom显然简化为Hom(只需逐项验证分量L^i的对偶项，接着它减少或多或少的重言式事实，即连续线性同态P∞(L^i) → O_{}与线性同态L^i → 完全对应于微分算子 L^i → O_{ }，分别使用万有微分算子(无限阶)L^i → P∞(L^i)及由θ ⟼ θ(1)给出的l增加 → O_{})。至少在上，Cris*_{coh}()的任何对象(即具有相干上同调的-Modules的任何复形)都能使用微分算子L·的复形描述，我们认为：对于所有实际目的，在对C和C'做出适当的-一致性和-pro-consistency假设的条件下，这种特殊情形完美地掌握两种范畴系数之间的对偶性(15)，它们彼此互为对偶。因此，它发展为我提到的sorite就足够，把我们自己限制在C'或"pro"方面，仅限于前相干丛的复形P∞(L·)，分层可在局部作为拟近同构)进行描述。
与德利涅的原始方法相比，他介绍的前相干复模能通过微分算子复形局部实现，并且它是Mebkhout理论带来的完全出乎意料的现象。在我看来，关于集束D相干性HY^d(O_{ })_{alg}(出现在上述(12)中)是一个深刻的定理，它是四年来工作的结晶，并使用了解决Hironaka奇点的所有力量，更不用说识别和证明它的创作者的勇气，从而反击业界普遍的冷漠。我刚刚宣布的703(*)是德拉姆系数(例如我从1966年看到的)和微分算子复形之间的深层关系，这是我从未设想过的关系。当开发出第一种方法处理德拉姆关系时，德利涅也没有想到。至于考虑的微分算子复形上的完整正则条件，它必须等价于(后验，感谢善神定理)德利涅的有限性(加上正则性)条件。我之前省略了其解释，通过引入范畴DRD*() = Del*())如下： P∞(L·)的上同调的前层通过组合序列在局部"拧开"，这样连续的因子能通过C-的系统前提描述(通过德利涅函子)的子空间Y - Z上的向量(其中Z ⊂ Y ⊂ 是的封闭解析子空间)。为完成给这个标准一个代数方面，只需在Y - Z上用分层的相干层替换C向量的局部系统就足够，条件是表示分层的连接(请注意可假设Y - Z平滑)或Z附近的正则，在德利涅-704(**)的意义上。请注意: 相关的前集束是通过在T的无穷小邻域上生长Y−Z = T上的晶体获得的，并通过沿Z的压碎，在任何地方都有连贯的丛(bundle)，而不仅仅是在补集Z上…
格罗滕迪克"收获和播种"
格罗滕迪克"收获和播种"法文版于2021年正式出版，其中最精辟的部分是第18章第5节。他是在灵魂的颤栗和悸动中挥笔写就这一章的，读者应能感受到他的激情的脉动。作者没有办法在不给出公式的情况下阐明其理念。尽管格罗滕迪克的公式比较简明，但是其思想博大精深，因此这一章的内容在翻译上不容易把握。无论如何，格罗滕迪克在本文中呈现的思想的光辉是显而易见的。
Mebkhout的双重对偶定理在某种程度上构成善神定理(对于∞-模)的一半，当这个定理以其最强形式被采用时，它肯定函子(8)是互为拟逆。这是Mebkhout于1980年1月提交的论文的核心结果。不仅如此，甚至这一半本身已经是一个全新的结果并完全出乎大家的意料。它是一个经典的结果，连接佐藤的想法和我的想法。它符合我的长期计划—以连续或微分方式(及从派生范畴的角度)制定离散系数。我认为这个结果以其精神和灵感完全避开了日本分析学派的问题。数学家柏原的可构造性定理似乎表示靠近它，而绝不是新的系数e理论的起点。正如1976年至1980年期间出版的那样毫无疑问，Mebkhout是当时唯一一个发展出这种哲学的人。
1978年1月，Mebkhout谈到他在柏原途经巴黎时会谈的结果，当时他刚写完论文。在柏原的请求下，坦率的Mebkhout很高兴终于找到一个对他要说的话感兴趣的数学家，这是把他送到普林斯顿的热门第三章—双对偶定理，那是在1978年2月。同样的结果在三年后出现在Mebkhout的一篇著名文章-693(*)中。它被重新命名为重建定理，并且丝毫没有提到某个Zoghman Mebkhout。这也是令人难忘的一年—某种新风格—694(**)正面征服(并且没有遇到丝毫阻力...)的光辉之年，在这部分数学的创建中，我有似曾相似的亲切感觉...
(c)第五张快照(在"pro"中)(5月21日)双对偶定理(9)是1977年的。为了证明∞-Modules的善神定理的另一半，因此相当于证明函子δ∞本质上为满射，第一个困难在于证明如下：对于Cons∗中的F，根据第一个公式定义∞-Modules C = Δ_{∞}(F)的复数(8)，它能通过函子 i获得，至少在X的局部使用-Modules的复向量(完整和正则)获得。在先验上，根据Mebkhout的想法(即遵循善神对偶定理)，它暗示(5)中的函子i是等价的，后者必须是唯一的，直到唯一的拟同构。
我没有试图理解Mebkhout最终如何在其论文中成功构建这个-Module的。我认为这里的情形必须通过使用与可构造ℂ-vectorials F - 695(*)集束相关的前相干(pro-集束的德利涅概念进行澄清。这个想法是他在上代数簇的背景下发展起来的，但必须能在可能对或的每个紧凑体上局部工作的条件下进行必要修改以适应分析情况。与F相关的前相干层(pro-coherent sheaf)，因此(至少在的每个紧集K上)是相干层(定义在K的邻域中)的射影系统(Fi)，能很简单地定义为前表示函子。
G ⟼ Hom_{ℂ}(F, G);
在(K附近...)上的相干O_{}-Modules G的范畴上，该函子在保持精确的情况下确实是前表示的。例如，如果 F是的封闭解析子空间Y上的常数层C_{Y}、在所有上由零扩展，那么我们发现由Y在中的O_{Xn}个无穷小邻域形成的前层(NB La这个射影系统的射影极限是沿Y的 O_{}的正式完成)。我们注意到(回到一般情况)前层(Fi)配备规范分层 - 696(**)。德利涅持如下观点：德利涅的函子来自上的可构造C(复)向量层的范畴，对于分层的前相干层的范畴，它是完全忠实的，因此能根据分层前相干层范畴的完整子范畴解释第一个范畴(超越性质)。后者具有纯粹的代数意义，并且能用纯粹的代数术语定义所讨论的完整子范畴(或多或少重言式*))。这是我要注意的范畴：
DRD*() 或 Del*() , (10);
这构成我昨天不想解释的第五张快照698(**)。此外，我似乎还记得，德利涅费竭尽全力把他的解释(及前面完全忠实的陈述)发展成派生范畴(当时我还没有一致决定)上同调的学生，以德利涅为首，还没有决定要否定后者)，当然，它确实是我用符号(10)指定的派生范畴版本。
换言之，RHom_{C}(F,O_{}) 中的代数部分必须能以很自然的方式定义为RHom_{O_{}}的归纳极限(在适当的意义上)((Fi, O_{}) - 特别是(传递给上同调层)，我们把规范箭头描述如下。
lim_{i} Ext^d_{O_{X}(Fi, O_{}) → Ext^d_{O_{}}), (11)
通过使用前对象(Fi)的分层和第二个参数O_{}的重言式分层，我们必须能在(11)的第一个成员上定义一个分层—即-Module的结构，因此(11)与算子环的同态(对应 → ∞)兼容。换言之，必须澄清Mebkhout的善神定理，通过说(11)确定∞-Moule的第二个成员通过标量的扩展从第一个推导出来 - 699(*) - 这特别意味着箭头是一个包含关系。因此左边的成员必须被可视化为一种代数或亚纯部分在右成员中(具有超越性质)。
在前面的特定示例F = I*(C_{Y}) 上，在一般情形变得相当清楚，其中i : Y → 包含的封闭分析子空间。接着(11)的右侧是一束局部上同调，在y中具有支撑，其中y是一个超越不变量，而第一个成员是我在示意图框架中为局部上同调引入的众所周知的表达式。这个丛在点x ∈ Y 处的纤维只不过是局部上同调，在结构丛O的谱Xx上，在x上的Y的迹Yx 中有支撑。
lim_{n→} 分机^d_{O_{}_{n}}, O_{}}};
这个实例显示德利涅的想法与我在1960年代早期就局部上同调主题发展起来的想法有多么接近 - 700(**)。尽管如此，Mebkhout在1972~1976年间工作的主题正是在这个关键案例中研究箭头(11)。
lim_{n→} Ext^d_{O_{}n}, }} =(定义) H^d_{Y} (O_{}})_{alg} → H^d_{Y}(O_{ }})，(12);
在这种情形下，它证明上面宣布的关系，并且比(12)-Module的第一个成员(我之前在陈述中省略的内容)模相关、甚至是完整的和正则的。从那里开始，(11)的类似陈述必须是旋开 - 701(**)的直接结果(包括F不是可构造的C向量的一个丛，而是Cons*( , C)中复数情形。除了德利涅函子的形状构造之外，del的唯一颗粒是在分层前模复形的Homs_{O_{}}}的定义中，其值在复形中分层模，即在-Modules的复形中(在此情况下O_{}})作为-Modules的复形(及作为派生范畴的对象)。
对这颗粒盐(指上述颗粒)取模，我们找到对代数善神函子M(与超越善神函子M∞相反)的非常简单和概念性的描述，或更确切地说，通过复述(8)的双公式描述相关的反函子Δ及其拟逆 δ。然而，为了编写它，这里使用德利涅的等价性，我们宁愿查看DRD*()和DRM*()之间的对应函子Δ^和δ^，其中符号^提醒我们要在前对象上工作(在"可构造"方面)。接着，我们找到一个非平凡公式(它在概念上包含在(8)中，但这次把代数性质的系数相互联系起来，这也是通过代数性质的公式实现的):
∆ = MD = DM, δ = mD = Dm, (13)
Del: Cons*(, C) →(≈) ERD*(), (14)
∆ˆ(C′) = RHOm_{O_{X}} (C′, O_{}),
δˆ(C′) = RHOm_{O_{}} (C′, O_{}), (15)
因此，我们在这里有两次相同的公式，唯一的区别是C'在这里是分层的前相干集束的复形(或等同于 - 702(*)，模前相干晶体的复形)，而C是-Modules的复形(它在概念上可作为O_{}本质上相同函子的复形，从一个到另一个，即对偶函子普通连续，显而易见，它是我50年代的老朋友…，当然，这个必须交换前对象和ind对象，即使这意味着要达到后者的归纳极限…
当然，有一项基础工作要做以便为这些公式赋予精确的含义，德利涅在著名的凿沉研讨会上所做的工作，或Jouanolou在其著名论文中所做的那种类型的工作也被凿沉(每个人都引用，自Colloque Pervers以来，没有人掌握在他的手中...这是一部作品，我敢肯定：它或许有点长，但本质上是sorital。它的困难部分包含在Mebkhout的善神定理中，辅以Mebkhout(8)的称为对偶性的公式。另一方面，它们的代数转换，确认两个函子(15)互为拟逆，它从概念上讲是O_{} 一致系数的普通对偶定理，放入ind-pro酱汁中，并以分层作为键(在对偶函子中必须通过而没有问题)。
就微分算子的复形而言，这两种类型的对偶对象之间的对应关系被完美地可视化(不涉及任何基础工作)。此外，在这种对偶中，完整条件(更何况正则性条件)不起作用。在这样的复形L处，昨天考虑的函子F ⟼ Hom_{O_{}}(F, Dd)(逆变)把-Modules的复形与有限类型C。另一方面，这个复形L的形式化，传递到无限阶P∞(L^i)的主要部分(被认为是分层的前模)产生一个复形C' = P ∞(L^i)的分层pro-modules。换言之，我们看到这两个复形对应于公式(15)，其中，RHom显然简化为Hom(只需逐项验证分量L^i的对偶项，接着它减少或多或少的重言式事实，即连续线性同态P∞(L^i) → O_{}与线性同态L^i → 完全对应于微分算子 L^i → O_{ }，分别使用万有微分算子(无限阶)L^i → P∞(L^i)及由θ ⟼ θ(1)给出的l增加 → O_{})。至少在上，Cris*_{coh}()的任何对象(即具有相干上同调的-Modules的任何复形)都能使用微分算子L·的复形描述，我们认为：对于所有实际目的，在对C和C'做出适当的-一致性和-pro-consistency假设的条件下，这种特殊情形完美地掌握两种范畴系数之间的对偶性(15)，它们彼此互为对偶。因此，它发展为我提到的sorite就足够，把我们自己限制在C'或"pro"方面，仅限于前相干丛的复形P∞(L·)，分层可在局部作为拟近同构)进行描述。
与德利涅的原始方法相比，他介绍的前相干复模能通过微分算子复形局部实现，并且它是Mebkhout理论带来的完全出乎意料的现象。在我看来，关于集束D相干性HY^d(O_{ })_{alg}(出现在上述(12)中)是一个深刻的定理，它是四年来工作的结晶，并使用了解决Hironaka奇点的所有力量，更不用说识别和证明它的创作者的勇气，从而反击业界普遍的冷漠。我刚刚宣布的703(*)是德拉姆系数(例如我从1966年看到的)和微分算子复形之间的深层关系，这是我从未设想过的关系。当开发出第一种方法处理德拉姆关系时，德利涅也没有想到。至于考虑的微分算子复形上的完整正则条件，它必须等价于(后验，感谢善神定理)德利涅的有限性(加上正则性)条件。我之前省略了其解释，通过引入范畴DRD*() = Del*())如下： P∞(L·)的上同调的前层通过组合序列在局部"拧开"，这样连续的因子能通过C-的系统前提描述(通过德利涅函子)的子空间Y - Z上的向量(其中Z ⊂ Y ⊂ 是的封闭解析子空间)。为完成给这个标准一个代数方面，只需在Y - Z上用分层的相干层替换C向量的局部系统就足够，条件是表示分层的连接(请注意可假设Y - Z平滑)或Z附近的正则，在德利涅-704(**)的意义上。请注意: 相关的前集束是通过在T的无穷小邻域上生长Y−Z = T上的晶体获得的，并通过沿Z的压碎，在任何地方都有连贯的丛(bundle)，而不仅仅是在补集Z上…
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