【雷军冬至感言登热搜：小米不仅追求快，更要稳】今日冬至，雷军微博发文登上热搜。雷军表示今年是小米和米粉一起走过的第11年。今年是小米和米粉一起走过的第11年。小米的成长要坚定地踏上新的台阶。
他表示，“过去，我们崇尚的是，天下武功，唯快不破。今天，我们追求的，不仅仅是快，更要稳，稳字当头，行稳致远。公司战略如此，产品战略也应该如此。”
“小米高端之路，下一步如何继续攀登？小米智能生活，下一步如何推进？智能电动汽车如何在2024年顺利发布？如何做到“快，更稳”，这就是摆在面前，我们正在努力求解的一道大题。”对于小米面临的一道道难题，他表示，“题目很难，但思路清楚了，就一定能找到答案”。https://t.cn/A6xBcZ2B #雷军 感言#
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黄檗断际禅师《传心法要》2
问：如何是道。如何修行。
师云：道是何物。汝欲修行。
问：诸方宗师相承。参禅学道如何。
师云：引接钝根人语。未可依凭。
云：此即是引接钝根人语。未审接上根人复说何法。
师云：若是上根人。何处更就人觅他。自己尚不可得。何况更别有法当情。不见教中云。法法何状。
云：若如此。则都不要求觅也。
师云：若与么则省心力。
云：如是则浑成断绝。不可是无也。
师云：阿谁教他无。他是阿谁。尔拟觅他。
云：既不许觅。何故又言莫断他。
师云：若不觅便休。即谁教尔断。尔见目前虚空。作么生断他。
云：此法可得便同虚空否。
师云：虚空早晚向尔道有。同有异我。暂如此说。尔便向这里生解。
云：应是不与人生解耶。
师云：我不曾障尔。要且解属于情。情生则智隔。
云：向这里莫生情是否。
师云：若不生情。阿谁道是。
问：才向和尚处发言。为什么便言话堕。
师云：汝自是不解语人。有什么堕负。
问：向来如许多言说。皆是抵敌语。都未曾有实法指示于人。
师云：实法无颠倒。汝今问处自生颠倒。觅什么实法。
云：既是问处自生颠倒。和尚答处如何。
师云：尔且将物照面看。莫管他人。又云：只如个痴狗相似。见物动处便吠。风吹草木也不别。又云：我此禅宗从上相承已来。不曾教人求知求解。只云学道。早是接引之词。然道亦不可学。情存学解。却成迷道。道无方所。名大乘心。此心不在内外中间。实无方所。第一不得作知解。只是说汝如今情量处。情量若尽。心无方所。此道天真。本无名字。只为世人不识。迷在情中。所以诸佛出来。说破此事。恐汝诸人不了。权立道名。不可守名而生解。故云。得鱼忘筌。身心自然达道识心。达本源故号为沙门。沙门果者。息虑而成。不从学得。汝如今将心求心。傍他家舍。只拟学取。有什么得时。古人心利。才闻一言。便乃绝学。所以唤作绝学无为闲道人。今时人只欲得多知多解。广求文义。唤作修行。不知多知多解。翻成壅塞。唯知多与儿酥乳吃。消与不消都总不知。三乘学道人。皆是此样。尽名食不消者。所谓知解不消。皆为毒药。尽向生灭中取。真如之中都无此事。故云。我王库内无如是刀。从前所有一切解处。尽须摒却。令空更无分别。即是空如来藏。如来藏者。更无纤尘可有。即是破有法王。出现世间。亦云。我于然灯佛所。无少法可得。此语只为空。尔情量知解但销镕。表里情尽都无依执。是无事人。三乘教网。只是应机之药。随宜所说。临时施设。各各不同。但能了知。即不被惑。第一不得于一机一教边。守文作解。何以如此。实无有定法如来可说。我此宗门不论此事。但知息心即休。更不用思前虑后。
问：从上来皆云。即心是佛。未审即那个心是佛。
师云：尔有几个心。
云：为复即凡心是佛。即圣心是佛。
师云：尔何处有凡圣心耶。
云：即今三乘中。说有凡圣。和尚何得言无。
师云：三乘中分明向尔道。凡圣心是妄。尔今不解。返执为有。将空作实。岂不是妄。妄故迷心。汝但除却凡情圣境。心外更无别佛。祖师西来。直指一切人全体是佛。汝今不识。执凡执圣向外驰骋。还自迷心。所以向汝道。即心是佛。一念情生即堕异趣。无始已来不异今日。无有异法故名成等正觉。
云：和尚所言即者。是何道理。
师云：觅什么道理。才有道理。便即心异。
云：前言无始已来。不异今日。此理如何。
师云：只为觅故。汝自异他。汝若不觅。何处有异。
云：既是不异。何更用说即。
师云：汝若不信凡圣。阿谁向汝道即。即若不即。心亦不心。可中心即俱忘。阿尔便拟向何处觅去。
问：妄能障自心。未审而今以何遣妄。
师云：起妄遣妄亦成妄。妄本无根。只因分别而有。尔但于凡圣两处情尽。自然无妄更拟。若为遣他。都不得有纤毫依执。名为我舍两臂。必当得佛。
云：既无依执。当何相承。
师云：以心传心。
云：若心相传。云何言心亦无。
师云：不得一法名为传心。若了此心。即是无心无法。
云：若无心无法。云何名传。
师云：汝闻道传心。将谓有可得也。所以祖师云。认得心性时。可说不思议。了了无所得。得时不说知。此事若教汝会。何堪也。
问：只如目前虚空。可不是境。岂无指境见心乎。
师云：什么心教汝向境上见。设汝见得。只是个照境的心。如人以镜照面。纵然得见眉目分明。原来只是影像。何关汝事。
云：若不因照。何时得见。
师云：若也涉因。常须假物。有什么了时。汝不见他向汝道。撒手似君无一物。徒劳谩说数千般。
云：他若识了。照亦无物耶。
师云：若是无物。更何用照。尔莫开眼寱语去。
上堂云：百种多知。不如无求。最第一也。道人是无事人。实无许多般心。亦无道理可说。无事散去。问：如何是世谛。师云：说葛藤作什么。本来清净。何假言说问答。但无一切心。即名无漏智。汝每日行住坐卧。一切言语。但莫著有为法。出言瞬目尽同无漏。如今末法向去。多是学禅道者。皆著一切声色。何不与我心心同虚空去。如枯木石头去。如塞灰死火去。方有少分相应。若不如是。他日尽被阎老子拷尔在。尔但离却有无诸法。心如日轮常在虚空。光明自然不照而照。不是省力的事？到此之时无栖泊处。即是行诸佛行。便是应无所住而生其心。此是尔清净法身。名为阿耨菩提。若不会此意。纵尔学得多知。勤苦修行。草衣木食。不识自心尽名邪行。定作天魔眷属。如此修行。当复何益。志公云。佛本是自心作。那得向文字中求。饶尔学得三贤四果十地满心。也只是在凡圣内坐。不见道。诸行无常是生灭法。势力尽箭还坠。招得来生不如意。争似无为实相门。一超直入如来地。为尔不是与么人。须要向古人建化门广学知解。志公云。不逢出世明师。枉服大乘法药。尔如今一切时中行住坐卧。但学无心。久久须实得。为尔力量小。不能顿超。但得三年五年或十年。须得个入头处。自然会去。为尔不能如是。须要将心学禅学道。佛法有什么交涉。故云。如来所说皆为化人。如将黄叶为金止小儿啼。决定不实。若有实得。非我宗门下客。且与尔本体有甚交涉。故经云。实无少法可得。名为阿耨菩提。若也会得此意。方知佛道魔道俱错。本来清净皎皎地。无方圆。无大小。无长短等相。无漏无为。无迷无悟。了了见无一物。亦无人亦无佛。大千沙界海中沤。一切圣贤如电拂。一切不如心真实。法身从古至今。与佛祖一般。何处欠少一毫毛。既会如是意。大须努力。尽今生去。出息不保入息。
问：六祖不会经书。何得传衣为祖。秀上座是五百人首座。为教授师。讲得三十二本经论。云何不传衣。
师云：为他有心。是有为法。所修所证。将为是也。所以五祖付六祖。六祖当时只是默契。得密授如来甚深意。所以付法与他。汝不见道：法本法无法。无法法亦法。今付无法时。法法何曾法。若会此意。方名出家儿。方好修行。若不信。云何明上座走来大庾岭头寻六祖。六祖便问：汝来求何事。为求衣。为求法。明上座云。不为衣来。但为法来。六祖云：汝且暂时敛念。善恶都莫思量。明乃禀语。六祖云。不思善。不思恶。正当与么时。还我明上座父母未生时面目来。明于言下忽然默契。便礼拜云。如人饮水冷暖自知。某甲在五祖会中。枉用三十年工夫。今日方省前非。六祖云。如是。到此之时。方知祖师西来。直指人心。见性成佛。不在言说。岂不见。阿难问迦叶云。世尊传金襕外别传何物。迦叶召阿难。阿难应诺。迦叶云。倒却门前刹竿著。此便是祖师之标榜也。甚深阿难三十年为侍者。只为多闻智慧。被佛诃云：汝千日学慧。不如一日学道。若不学道。滴水难消。
问：如何得不落阶级。
师云：终日吃饭。未曾咬着一粒米。终日行。未曾踏着一片地。与么时无人我等相。终日不离一切事。不被诸境惑。方名自在人。更时时念念。不见一切相。莫认前后三际。前际无去。今际无住。后际无来。安然端坐。任运不拘。方名解脱。努力努力。此门中千人万人。只得三个五个。若不将为事。受殃有日在。故云：著力今生须了却。谁能累劫受余殃。
问：如何是道。如何修行。
师云：道是何物。汝欲修行。
问：诸方宗师相承。参禅学道如何。
师云：引接钝根人语。未可依凭。
云：此即是引接钝根人语。未审接上根人复说何法。
师云：若是上根人。何处更就人觅他。自己尚不可得。何况更别有法当情。不见教中云。法法何状。
云：若如此。则都不要求觅也。
师云：若与么则省心力。
云：如是则浑成断绝。不可是无也。
师云：阿谁教他无。他是阿谁。尔拟觅他。
云：既不许觅。何故又言莫断他。
师云：若不觅便休。即谁教尔断。尔见目前虚空。作么生断他。
云：此法可得便同虚空否。
师云：虚空早晚向尔道有。同有异我。暂如此说。尔便向这里生解。
云：应是不与人生解耶。
师云：我不曾障尔。要且解属于情。情生则智隔。
云：向这里莫生情是否。
师云：若不生情。阿谁道是。
问：才向和尚处发言。为什么便言话堕。
师云：汝自是不解语人。有什么堕负。
问：向来如许多言说。皆是抵敌语。都未曾有实法指示于人。
师云：实法无颠倒。汝今问处自生颠倒。觅什么实法。
云：既是问处自生颠倒。和尚答处如何。
师云：尔且将物照面看。莫管他人。又云：只如个痴狗相似。见物动处便吠。风吹草木也不别。又云：我此禅宗从上相承已来。不曾教人求知求解。只云学道。早是接引之词。然道亦不可学。情存学解。却成迷道。道无方所。名大乘心。此心不在内外中间。实无方所。第一不得作知解。只是说汝如今情量处。情量若尽。心无方所。此道天真。本无名字。只为世人不识。迷在情中。所以诸佛出来。说破此事。恐汝诸人不了。权立道名。不可守名而生解。故云。得鱼忘筌。身心自然达道识心。达本源故号为沙门。沙门果者。息虑而成。不从学得。汝如今将心求心。傍他家舍。只拟学取。有什么得时。古人心利。才闻一言。便乃绝学。所以唤作绝学无为闲道人。今时人只欲得多知多解。广求文义。唤作修行。不知多知多解。翻成壅塞。唯知多与儿酥乳吃。消与不消都总不知。三乘学道人。皆是此样。尽名食不消者。所谓知解不消。皆为毒药。尽向生灭中取。真如之中都无此事。故云。我王库内无如是刀。从前所有一切解处。尽须摒却。令空更无分别。即是空如来藏。如来藏者。更无纤尘可有。即是破有法王。出现世间。亦云。我于然灯佛所。无少法可得。此语只为空。尔情量知解但销镕。表里情尽都无依执。是无事人。三乘教网。只是应机之药。随宜所说。临时施设。各各不同。但能了知。即不被惑。第一不得于一机一教边。守文作解。何以如此。实无有定法如来可说。我此宗门不论此事。但知息心即休。更不用思前虑后。
问：从上来皆云。即心是佛。未审即那个心是佛。
师云：尔有几个心。
云：为复即凡心是佛。即圣心是佛。
师云：尔何处有凡圣心耶。
云：即今三乘中。说有凡圣。和尚何得言无。
师云：三乘中分明向尔道。凡圣心是妄。尔今不解。返执为有。将空作实。岂不是妄。妄故迷心。汝但除却凡情圣境。心外更无别佛。祖师西来。直指一切人全体是佛。汝今不识。执凡执圣向外驰骋。还自迷心。所以向汝道。即心是佛。一念情生即堕异趣。无始已来不异今日。无有异法故名成等正觉。
云：和尚所言即者。是何道理。
师云：觅什么道理。才有道理。便即心异。
云：前言无始已来。不异今日。此理如何。
师云：只为觅故。汝自异他。汝若不觅。何处有异。
云：既是不异。何更用说即。
师云：汝若不信凡圣。阿谁向汝道即。即若不即。心亦不心。可中心即俱忘。阿尔便拟向何处觅去。
问：妄能障自心。未审而今以何遣妄。
师云：起妄遣妄亦成妄。妄本无根。只因分别而有。尔但于凡圣两处情尽。自然无妄更拟。若为遣他。都不得有纤毫依执。名为我舍两臂。必当得佛。
云：既无依执。当何相承。
师云：以心传心。
云：若心相传。云何言心亦无。
师云：不得一法名为传心。若了此心。即是无心无法。
云：若无心无法。云何名传。
师云：汝闻道传心。将谓有可得也。所以祖师云。认得心性时。可说不思议。了了无所得。得时不说知。此事若教汝会。何堪也。
问：只如目前虚空。可不是境。岂无指境见心乎。
师云：什么心教汝向境上见。设汝见得。只是个照境的心。如人以镜照面。纵然得见眉目分明。原来只是影像。何关汝事。
云：若不因照。何时得见。
师云：若也涉因。常须假物。有什么了时。汝不见他向汝道。撒手似君无一物。徒劳谩说数千般。
云：他若识了。照亦无物耶。
师云：若是无物。更何用照。尔莫开眼寱语去。
上堂云：百种多知。不如无求。最第一也。道人是无事人。实无许多般心。亦无道理可说。无事散去。问：如何是世谛。师云：说葛藤作什么。本来清净。何假言说问答。但无一切心。即名无漏智。汝每日行住坐卧。一切言语。但莫著有为法。出言瞬目尽同无漏。如今末法向去。多是学禅道者。皆著一切声色。何不与我心心同虚空去。如枯木石头去。如塞灰死火去。方有少分相应。若不如是。他日尽被阎老子拷尔在。尔但离却有无诸法。心如日轮常在虚空。光明自然不照而照。不是省力的事？到此之时无栖泊处。即是行诸佛行。便是应无所住而生其心。此是尔清净法身。名为阿耨菩提。若不会此意。纵尔学得多知。勤苦修行。草衣木食。不识自心尽名邪行。定作天魔眷属。如此修行。当复何益。志公云。佛本是自心作。那得向文字中求。饶尔学得三贤四果十地满心。也只是在凡圣内坐。不见道。诸行无常是生灭法。势力尽箭还坠。招得来生不如意。争似无为实相门。一超直入如来地。为尔不是与么人。须要向古人建化门广学知解。志公云。不逢出世明师。枉服大乘法药。尔如今一切时中行住坐卧。但学无心。久久须实得。为尔力量小。不能顿超。但得三年五年或十年。须得个入头处。自然会去。为尔不能如是。须要将心学禅学道。佛法有什么交涉。故云。如来所说皆为化人。如将黄叶为金止小儿啼。决定不实。若有实得。非我宗门下客。且与尔本体有甚交涉。故经云。实无少法可得。名为阿耨菩提。若也会得此意。方知佛道魔道俱错。本来清净皎皎地。无方圆。无大小。无长短等相。无漏无为。无迷无悟。了了见无一物。亦无人亦无佛。大千沙界海中沤。一切圣贤如电拂。一切不如心真实。法身从古至今。与佛祖一般。何处欠少一毫毛。既会如是意。大须努力。尽今生去。出息不保入息。
问：六祖不会经书。何得传衣为祖。秀上座是五百人首座。为教授师。讲得三十二本经论。云何不传衣。
师云：为他有心。是有为法。所修所证。将为是也。所以五祖付六祖。六祖当时只是默契。得密授如来甚深意。所以付法与他。汝不见道：法本法无法。无法法亦法。今付无法时。法法何曾法。若会此意。方名出家儿。方好修行。若不信。云何明上座走来大庾岭头寻六祖。六祖便问：汝来求何事。为求衣。为求法。明上座云。不为衣来。但为法来。六祖云：汝且暂时敛念。善恶都莫思量。明乃禀语。六祖云。不思善。不思恶。正当与么时。还我明上座父母未生时面目来。明于言下忽然默契。便礼拜云。如人饮水冷暖自知。某甲在五祖会中。枉用三十年工夫。今日方省前非。六祖云。如是。到此之时。方知祖师西来。直指人心。见性成佛。不在言说。岂不见。阿难问迦叶云。世尊传金襕外别传何物。迦叶召阿难。阿难应诺。迦叶云。倒却门前刹竿著。此便是祖师之标榜也。甚深阿难三十年为侍者。只为多闻智慧。被佛诃云：汝千日学慧。不如一日学道。若不学道。滴水难消。
问：如何得不落阶级。
师云：终日吃饭。未曾咬着一粒米。终日行。未曾踏着一片地。与么时无人我等相。终日不离一切事。不被诸境惑。方名自在人。更时时念念。不见一切相。莫认前后三际。前际无去。今际无住。后际无来。安然端坐。任运不拘。方名解脱。努力努力。此门中千人万人。只得三个五个。若不将为事。受殃有日在。故云：著力今生须了却。谁能累劫受余殃。
上课与论文（二）
“韩信点兵”问题的教学设计
一、给出问题
例：“韩信点兵”问题.（07版高中新教材3，第88页例4）
韩信是汉高祖刘邦手下的大将，他英勇善战，智谋超群，为建立汉朝立下了汗马功劳。据说他在点兵的时候，为了保住军事机密，不让敌人知道部队的实力，采用了下述点兵的方法：先令士兵从1~3报数，结果最后一个士兵报2；再令士兵从1~5报数，结果最后一位士兵报到3；又令士兵从1~7报数，结果最后一个士兵报4.这样，韩信很快地就算出了部队士兵的总人数。请设计一个算法，求出士兵至少有多少人。
何为算法，粗略地讲，是为解决一个特定问题而采取的确定的有限的步骤。做任何事情都应先有解决问题的具体的思路。
下面就来讨论“韩信点兵”问题。
二、寻路求解
“韩信点兵”时采用的是循环数点名法：即士兵从1报到3,再从1又报到3,横排按顺S报数继续，……,直到最后一位士兵报出数2停止。这个报数点名的过程包含着一个简单的数学问题：若设士兵总人数为N，则N=3K1+2（K1=0,1,2,…）其中K1为报名时循环的次数。这样若是循环1到5的正整数报数点名，则士兵总人数为N=5K2+3（K2=0,1,2,…），若采用循环1到7报数点名，则士兵总人数为N=7K3+4（K3=0,1,2,…）.显然，满足上面三个条件中任意一个（或2个或3个）都不能确定士兵总人数N.理由很简单，从方程求解的角度来分析上面的三个条件，即满足
N=3K1+2（K1=0,1,2,…）(I)
N=5K2+3（K2=0,1,2,…）(II)
N=7K3+4（K3=0,1,2,…）(III)
当满足一个条件时，相当于二元一次方程求正整数解，没有确定解；当满足其中任两个条件时，相当于两个三元一次方程组求正整数解，一般情况下无定解；当满足三个条件时相当于三个四元一次方程组求正整数解，通常一般情形也无定解。通过以上的分析尽管这些条件虽不能确定具体的数，但可相应地说明该数具有的一些特点。比如满足条件I，可由小到大列出2,5,8,11,14,…一列数，至此，基本上搞清了“韩信点兵”问题揭示的一个简单的数学问题。即知余数和除数确定最小的被除数。
继续从数学的角度来探讨这个问题，即由N=3K1+2（K1=0,1,2,…）；
N=5K2+3（K2=0,1,2,…）；
N=7K3+4 (K3=0,1,2,…）可变形出(N-2)(N-3)(N-4)=3×5×7K1K2K3（*），求Nmin.由（*）可以发现求Nmin有一定的困难。但欣慰的是在对该问题的分析过程中知道，它总可以分解为五个小问题，每个小问题的解决有相应确定的步骤，这就提醒我们可设计一个算法，借助计算机来求解这个问题的解Nmin.
下面将要解决该问题具体的求解步骤问题。
三、算法设计
如何用自然语言表示该问题的算法呢？可以考虑从特殊的正整数序列中筛选出符合要求的数。
第一步易实现确定最小的除3余2的正整数为2；第二步依次加3得出除3余2的一列数（通项式N=3K1+2,K1=0 1,2,…）2,5,8,11,14…,32,35,…,53,56,…；第三步在此列数中确定最小的除以5余3的正整数为8，正整数8既满足条件I，也满足条件II且是最小的符合要求的数，进而产生一个新的正整数数列，依次加15,得到8,23,38,53,…,即可证明满足条件I和条件II，因为
N=15K4+8,（K4=0,1,2,…）
=3×5K4+3×2+2
=3×(5K4+2)+2 （其中5K4+2为正整数）
满足条件I
N=15K4+8，（K4=0,1,2,……）
=5×3K4+5×1+3
=5×(3K4+1)+3 （其中3K4+1为正整数）
满足条件II.
第四步从得到的一列数中找到满足条件III的最小正整数Nmin.这是我们要求的一个数。
在完成了上述步骤后，就找到了所求数53，这5个步骤称为解决“韩信点兵”问题的一个算法。能否在这个算法的基础上做一些优化，以便更简地获得结果呢？
四、优化方案
1.算理拟优化方案
“韩信点兵”问题的算理可从集合的角度去考虑，如附图（略）.问题的实质是求对应三个集合的交集中的最小元素问题。该思路能很好的理解“韩信点兵”做法的数学实质。有兴趣的同学可从这方面作一些尝试，找是否有可行的算法，“韩信点兵”问题的算理也可从数列的角度加以考虑，即产生三个数列：
N=3K1+2 （K1=0,1,2,…）
2,5,8,11,14,…,53,…
N=5K2+3 （K2=0,1,2,…）
3,8,13,18,23,28,…,53,…
N=7K3+4 （K4=0,1,2,…）
4,11,18,25,32,…,53,…
从这三个数列中找最小的相同项，即得到53.
2.算法拟优化方案
由(N-2)(N-3)(N-4)=3×5×7K1K2K3知任意改变3,5,7因数的顺序，上面式子不变，因而任取3,5,7的一个排列，就产生类似于上面算法的一个算法，比如，按由大到小即7,5,3步骤也可实现（见教材第89页算法），可见由教材的算理可以有类似的6个元素的全排列种算法。但从本质上说并未真正地优化了算法。但却丰富了该问题的算法。优化算法的思想意识任何时候都应该有。
五、引思启示
（1）“韩信点兵”问题的符合要求的最小正整数53已得到。若要再问还有没有符合要求的其它数？若有第二个数应该是多少？能否找到答案的一个通式来验证。通过“韩信点兵”问题从数学角度加以分析，很快可以得到下面的一个公式，即N=3×5×7K5+53(K5=0,1,2,…)，该公式是满足条件I，II，III的通解。可仿上面类似证明。这也说明了用韩信的方法点兵得到的士兵人数是些正整数的集合，因而一个答案是求至少有多少个士兵。从这个例子的分析再次说明了算法是解决某类问题的一系列具体步骤或子程序，只要按这些步骤执行，就能使问题得到解决。
（2）对任何一个数学问题用算法解决都存在一个优化算法的步骤在内。针对某一具体问题的算法，可以通过交流思考，从中去粗取优，存精取巧，做求优求简的改进。寻求新的算法，掌握较成熟的少数算法，将是利用计算机解决问题所需不懈努力的目标。通过例子进一步体会算法的基本思想，体会到一个问题的解决可能存在多种算法，有优劣之分。深切地感受到算法思想在解决一些问题时的优越性、工具性。
杨宏联2019年7月28日该文章发表于《中学数学教学参考》2007年第10期下旬刊
说明：
2007年新版高中数学教材还未试行，那时才开始全员培训高中教师，2007年8月初在宝鸡培训结束后在那个暑假里用一个下午立即写的论文《“韩信点兵”问题的教学设计》，与之相关的各种数学教辅资料还没有出现呢！写论文也是出于当时评审中学数学一级教师的需要。
杨宏联2019年7月31日
上课与论文
教师正式发表了文章是有用的，工作多年来，都不曾下功夫写论文，除非非作不可，才勉强成篇。以现在看来，若以当初高中上过数学课来说，大致每一节课都可以成为写论文的材料，如今不作课堂有关的话题，主要是为写的真实，曾经上过的课绝不是纸上谈兵，有不实造作之嫌，当初上课可不是写文章，可以随时修改，特别是数学课讲究最初概念的正确建立，严密、严谨是必须的。对学生上课可谓不遗余力，知识是满满的货真价实，不缩水，每一节课不是完全备在教案上，而是备在脑子里，备在学生求知的欲望上，上过的每一节课不是技巧的填充，不是动听言辞的修饰，不是课堂不当的掩饰。那时上课是且纯且高的。如今那些场景依然历历在目，只是已经离开了讲台，便不做那方面的文章。
杨宏联2019年7月8日 https://t.cn/A6Ut1FIE
“韩信点兵”问题的教学设计
一、给出问题
例：“韩信点兵”问题.（07版高中新教材3，第88页例4）
韩信是汉高祖刘邦手下的大将，他英勇善战，智谋超群，为建立汉朝立下了汗马功劳。据说他在点兵的时候，为了保住军事机密，不让敌人知道部队的实力，采用了下述点兵的方法：先令士兵从1~3报数，结果最后一个士兵报2；再令士兵从1~5报数，结果最后一位士兵报到3；又令士兵从1~7报数，结果最后一个士兵报4.这样，韩信很快地就算出了部队士兵的总人数。请设计一个算法，求出士兵至少有多少人。
何为算法，粗略地讲，是为解决一个特定问题而采取的确定的有限的步骤。做任何事情都应先有解决问题的具体的思路。
下面就来讨论“韩信点兵”问题。
二、寻路求解
“韩信点兵”时采用的是循环数点名法：即士兵从1报到3,再从1又报到3,横排按顺S报数继续，……,直到最后一位士兵报出数2停止。这个报数点名的过程包含着一个简单的数学问题：若设士兵总人数为N，则N=3K1+2（K1=0,1,2,…）其中K1为报名时循环的次数。这样若是循环1到5的正整数报数点名，则士兵总人数为N=5K2+3（K2=0,1,2,…），若采用循环1到7报数点名，则士兵总人数为N=7K3+4（K3=0,1,2,…）.显然，满足上面三个条件中任意一个（或2个或3个）都不能确定士兵总人数N.理由很简单，从方程求解的角度来分析上面的三个条件，即满足
N=3K1+2（K1=0,1,2,…）(I)
N=5K2+3（K2=0,1,2,…）(II)
N=7K3+4（K3=0,1,2,…）(III)
当满足一个条件时，相当于二元一次方程求正整数解，没有确定解；当满足其中任两个条件时，相当于两个三元一次方程组求正整数解，一般情况下无定解；当满足三个条件时相当于三个四元一次方程组求正整数解，通常一般情形也无定解。通过以上的分析尽管这些条件虽不能确定具体的数，但可相应地说明该数具有的一些特点。比如满足条件I，可由小到大列出2,5,8,11,14,…一列数，至此，基本上搞清了“韩信点兵”问题揭示的一个简单的数学问题。即知余数和除数确定最小的被除数。
继续从数学的角度来探讨这个问题，即由N=3K1+2（K1=0,1,2,…）；
N=5K2+3（K2=0,1,2,…）；
N=7K3+4 (K3=0,1,2,…）可变形出(N-2)(N-3)(N-4)=3×5×7K1K2K3（*），求Nmin.由（*）可以发现求Nmin有一定的困难。但欣慰的是在对该问题的分析过程中知道，它总可以分解为五个小问题，每个小问题的解决有相应确定的步骤，这就提醒我们可设计一个算法，借助计算机来求解这个问题的解Nmin.
下面将要解决该问题具体的求解步骤问题。
三、算法设计
如何用自然语言表示该问题的算法呢？可以考虑从特殊的正整数序列中筛选出符合要求的数。
第一步易实现确定最小的除3余2的正整数为2；第二步依次加3得出除3余2的一列数（通项式N=3K1+2,K1=0 1,2,…）2,5,8,11,14…,32,35,…,53,56,…；第三步在此列数中确定最小的除以5余3的正整数为8，正整数8既满足条件I，也满足条件II且是最小的符合要求的数，进而产生一个新的正整数数列，依次加15,得到8,23,38,53,…,即可证明满足条件I和条件II，因为
N=15K4+8,（K4=0,1,2,…）
=3×5K4+3×2+2
=3×(5K4+2)+2 （其中5K4+2为正整数）
满足条件I
N=15K4+8，（K4=0,1,2,……）
=5×3K4+5×1+3
=5×(3K4+1)+3 （其中3K4+1为正整数）
满足条件II.
第四步从得到的一列数中找到满足条件III的最小正整数Nmin.这是我们要求的一个数。
在完成了上述步骤后，就找到了所求数53，这5个步骤称为解决“韩信点兵”问题的一个算法。能否在这个算法的基础上做一些优化，以便更简地获得结果呢？
四、优化方案
1.算理拟优化方案
“韩信点兵”问题的算理可从集合的角度去考虑，如附图（略）.问题的实质是求对应三个集合的交集中的最小元素问题。该思路能很好的理解“韩信点兵”做法的数学实质。有兴趣的同学可从这方面作一些尝试，找是否有可行的算法，“韩信点兵”问题的算理也可从数列的角度加以考虑，即产生三个数列：
N=3K1+2 （K1=0,1,2,…）
2,5,8,11,14,…,53,…
N=5K2+3 （K2=0,1,2,…）
3,8,13,18,23,28,…,53,…
N=7K3+4 （K4=0,1,2,…）
4,11,18,25,32,…,53,…
从这三个数列中找最小的相同项，即得到53.
2.算法拟优化方案
由(N-2)(N-3)(N-4)=3×5×7K1K2K3知任意改变3,5,7因数的顺序，上面式子不变，因而任取3,5,7的一个排列，就产生类似于上面算法的一个算法，比如，按由大到小即7,5,3步骤也可实现（见教材第89页算法），可见由教材的算理可以有类似的6个元素的全排列种算法。但从本质上说并未真正地优化了算法。但却丰富了该问题的算法。优化算法的思想意识任何时候都应该有。
五、引思启示
（1）“韩信点兵”问题的符合要求的最小正整数53已得到。若要再问还有没有符合要求的其它数？若有第二个数应该是多少？能否找到答案的一个通式来验证。通过“韩信点兵”问题从数学角度加以分析，很快可以得到下面的一个公式，即N=3×5×7K5+53(K5=0,1,2,…)，该公式是满足条件I，II，III的通解。可仿上面类似证明。这也说明了用韩信的方法点兵得到的士兵人数是些正整数的集合，因而一个答案是求至少有多少个士兵。从这个例子的分析再次说明了算法是解决某类问题的一系列具体步骤或子程序，只要按这些步骤执行，就能使问题得到解决。
（2）对任何一个数学问题用算法解决都存在一个优化算法的步骤在内。针对某一具体问题的算法，可以通过交流思考，从中去粗取优，存精取巧，做求优求简的改进。寻求新的算法，掌握较成熟的少数算法，将是利用计算机解决问题所需不懈努力的目标。通过例子进一步体会算法的基本思想，体会到一个问题的解决可能存在多种算法，有优劣之分。深切地感受到算法思想在解决一些问题时的优越性、工具性。
杨宏联2019年7月28日该文章发表于《中学数学教学参考》2007年第10期下旬刊
说明：
2007年新版高中数学教材还未试行，那时才开始全员培训高中教师，2007年8月初在宝鸡培训结束后在那个暑假里用一个下午立即写的论文《“韩信点兵”问题的教学设计》，与之相关的各种数学教辅资料还没有出现呢！写论文也是出于当时评审中学数学一级教师的需要。
杨宏联2019年7月31日
上课与论文
教师正式发表了文章是有用的，工作多年来，都不曾下功夫写论文，除非非作不可，才勉强成篇。以现在看来，若以当初高中上过数学课来说，大致每一节课都可以成为写论文的材料，如今不作课堂有关的话题，主要是为写的真实，曾经上过的课绝不是纸上谈兵，有不实造作之嫌，当初上课可不是写文章，可以随时修改，特别是数学课讲究最初概念的正确建立，严密、严谨是必须的。对学生上课可谓不遗余力，知识是满满的货真价实，不缩水，每一节课不是完全备在教案上，而是备在脑子里，备在学生求知的欲望上，上过的每一节课不是技巧的填充，不是动听言辞的修饰，不是课堂不当的掩饰。那时上课是且纯且高的。如今那些场景依然历历在目，只是已经离开了讲台，便不做那方面的文章。
杨宏联2019年7月8日 https://t.cn/A6Ut1FIE
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