都说爱情的力量是巨大的，它虽然看不见摸不着，却可以左右一个人的思想，郭碧婷也是如此，早在几年前，她接受采访的时候明确说过自己是不婚主义，不出意外的话打算单身一辈子。
所以，那段时间，很多人也造谣她是不是对异性没有好感？
都说爱情的力量是巨大的，它虽然看不见摸不着，却可以左右一个人的思想，郭碧婷也是如此，早在几年前，她接受采访的时候明确说过自己是不婚主义，不出意外的话打算单身一辈子。
直到遇到了向佐，其实在《最美的时光》综艺前，向佐就早已认识郭碧婷，并且已经展开追求，一是觉得郭碧婷长得漂亮，二是她比较纯粹，跟大多数物质女孩不同的是，郭碧婷对金钱并没有多大欲望。
这也是向太陈岚看上郭碧婷的主要原因，向太在综艺里就多次夸郭碧婷单纯，没有城府，从她酷爱小动物也不难看出，她是个爱心爆棚的女孩。
有了向佐的猛烈追求，再加上向太的辅佐，两人很快终成眷属，2019年至2021年这两年的热搜几乎都被他们承包了，从《最美的时光》到《小两口》，再到婚礼，生孩子。基本每个网友都见证了。
如今两人三年抱俩，儿子女儿都有了，向佐却在这个节骨眼上爆出绯闻，起因是有位网名叫“小胡静”的网红跟她闺蜜聊天，称向佐来上海了，想要叫她过去，考虑到人家都有家庭有孩子，小胡静就没同意。
所以，那段时间，很多人也造谣她是不是对异性没有好感？
本来就是和闺蜜之间的聊天，没想到这段聊天记录却被闺蜜放到了网上，至于是小胡静自己放的还是闺蜜放的，不得而知，也有网友猜测小胡静为了炒作，故意假借闺蜜之手。
事件发酵后，向佐的形象遭到质疑，他本人却没有回应，最先沉不住气的是向太，她辟谣都是假的，称那是向佐的一个大姐姐，平时有一些商务合作，大家想多了。
最后向太还有点带威胁的口气，称自己是有仇必报之人，对于恶意造谣，她绝不会放过。但随后很快删除该条微博。
有人说向佐是“妈宝男”，自己惹下的事，却每次要老妈来处理，他就不能好好出来回应一下吗？
向太辟谣不但没给向佐正名，反而连向太也备受质疑，毕竟儿子做的事，他也未必会告诉你，你瞎回应什么呢？要不是向太积极转发“全世界只有一个中国”，这波真是元气大伤。
期间，向佐依然闷不发声，郭碧婷也没有出来回应，不过她把向佐的相关全删除了，微博也设置成不可见。郭碧婷的父亲起先还为女婿发声，后来也表示只支持女儿，有网友猜测，小两口大概率是闹矛盾了。
最后，这场绯闻闹剧还是以小胡静的辟谣结束，她称向佐婚前她们就认识，自己并没有知三当三，更没有破坏别人家庭，大家到此为止。
近日，某网红在社交平台分享了一段视频，据悉，当天是该网红的“宠粉日”，作为好友的向佐特意录了一段视频送上祝福，视频里的向佐素颜出镜，头上戴着醒目的毛线帽，这大夏天的，隔着屏幕都觉得热。
从体形不难看出，向佐明显消瘦了，整个人十分憔悴，看上去老了好几岁。
毕竟是练武之人，之前向佐虽然不胖，但好歹肌肉发达，再看他现在的模样，倒像是生过大病未痊愈的样子。
直到遇到了向佐，其实在《最美的时光》综艺前，向佐就早已认识郭碧婷，并且已经展开追求，一是觉得郭碧婷长得漂亮，二是她比较纯粹，跟大多数物质女孩不同的是，郭碧婷对金钱并没有多大欲望。
郭碧婷在老公风波后，既未露面，也没发声，有网友猜测，应该是原谅向佐了，毕竟当事人小胡静也辟谣了，确实是无中生有，就是这种新闻出来，多多少少还是会对向佐有点影响，希望以后还是要自律，注意自己的公众形象。
这也是向太陈岚看上郭碧婷的主要原因，向太在综艺里就多次夸郭碧婷单纯，没有城府，从她酷爱小动物也不难看出，她是个爱心爆棚的女孩。
有了向佐的猛烈追求，再加上向太的辅佐，两人很快终成眷属，2019年至2021年这两年的热搜几乎都被他们承包了，从《最美的时光》到《小两口》，再到婚礼，生孩子。基本每个网友都见证了。
如今两人三年抱俩，儿子女儿都有了，向佐却在这个节骨眼上爆出绯闻，起因是有位网名叫“小胡静”的网红跟她闺蜜聊天，称向佐来上海了，想要叫她过去，考虑到人家都有家庭有孩子，小胡静就没同意。
本来就是和闺蜜之间的聊天，没想到这段聊天记录却被闺蜜放到了网上，至于是小胡静自己放的还是闺蜜放的，不得而知，也有网友猜测小胡静为了炒作，故意假借闺蜜之手。
事件发酵后，向佐的形象遭到质疑，他本人却没有回应，最先沉不住气的是向太，她辟谣都是假的，称那是向佐的一个大姐姐，平时有一些商务合作，大家想多了。
最后向太还有点带威胁的口气，称自己是有仇必报之人，对于恶意造谣，她绝不会放过。但随后很快删除该条微博。
有人说向佐是“妈宝男”，自己惹下的事，却每次要老妈来处理，他就不能好好出来回应一下吗？
向太辟谣不但没给向佐正名，反而连向太也备受质疑，毕竟儿子做的事，他也未必会告诉你，你瞎回应什么呢？要不是向太积极转发“全世界只有一个中国”，这波真是元气大伤。
期间，向佐依然闷不发声，郭碧婷也没有出来回应，不过她把向佐的相关全删除了，微博也设置成不可见。郭碧婷的父亲起先还为女婿发声，后来也表示只支持女儿，有网友猜测，小两口大概率是闹矛盾了。
最后，这场绯闻闹剧还是以小胡静的辟谣结束，她称向佐婚前她们就认识，自己并没有知三当三，更没有破坏别人家庭，大家到此为止。
近日，某网红在社交平台分享了一段视频，据悉，当天是该网红的“宠粉日”，作为好友的向佐特意录了一段视频送上祝福，视频里的向佐素颜出镜，头上戴着醒目的毛线帽，这大夏天的，隔着屏幕都觉得热。
从体形不难看出，向佐明显消瘦了，整个人十分憔悴，看上去老了好几岁。
毕竟是练武之人，之前向佐虽然不胖，但好歹肌肉发达，再看他现在的模样，倒像是生过大病未痊愈的样子。
郭碧婷在老公风波后，既未露面，也没发声，有网友猜测，应该是原谅向佐了，毕竟当事人小胡静也辟谣了，确实是无中生有，就是这种新闻出来，多多少少还是会对向佐有点影响，希望以后还是要自律，注意自己的公众形象。
所以，那段时间，很多人也造谣她是不是对异性没有好感？
都说爱情的力量是巨大的，它虽然看不见摸不着，却可以左右一个人的思想，郭碧婷也是如此，早在几年前，她接受采访的时候明确说过自己是不婚主义，不出意外的话打算单身一辈子。
直到遇到了向佐，其实在《最美的时光》综艺前，向佐就早已认识郭碧婷，并且已经展开追求，一是觉得郭碧婷长得漂亮，二是她比较纯粹，跟大多数物质女孩不同的是，郭碧婷对金钱并没有多大欲望。
这也是向太陈岚看上郭碧婷的主要原因，向太在综艺里就多次夸郭碧婷单纯，没有城府，从她酷爱小动物也不难看出，她是个爱心爆棚的女孩。
有了向佐的猛烈追求，再加上向太的辅佐，两人很快终成眷属，2019年至2021年这两年的热搜几乎都被他们承包了，从《最美的时光》到《小两口》，再到婚礼，生孩子。基本每个网友都见证了。
如今两人三年抱俩，儿子女儿都有了，向佐却在这个节骨眼上爆出绯闻，起因是有位网名叫“小胡静”的网红跟她闺蜜聊天，称向佐来上海了，想要叫她过去，考虑到人家都有家庭有孩子，小胡静就没同意。
所以，那段时间，很多人也造谣她是不是对异性没有好感？
本来就是和闺蜜之间的聊天，没想到这段聊天记录却被闺蜜放到了网上，至于是小胡静自己放的还是闺蜜放的，不得而知，也有网友猜测小胡静为了炒作，故意假借闺蜜之手。
事件发酵后，向佐的形象遭到质疑，他本人却没有回应，最先沉不住气的是向太，她辟谣都是假的，称那是向佐的一个大姐姐，平时有一些商务合作，大家想多了。
最后向太还有点带威胁的口气，称自己是有仇必报之人，对于恶意造谣，她绝不会放过。但随后很快删除该条微博。
有人说向佐是“妈宝男”，自己惹下的事，却每次要老妈来处理，他就不能好好出来回应一下吗？
向太辟谣不但没给向佐正名，反而连向太也备受质疑，毕竟儿子做的事，他也未必会告诉你，你瞎回应什么呢？要不是向太积极转发“全世界只有一个中国”，这波真是元气大伤。
期间，向佐依然闷不发声，郭碧婷也没有出来回应，不过她把向佐的相关全删除了，微博也设置成不可见。郭碧婷的父亲起先还为女婿发声，后来也表示只支持女儿，有网友猜测，小两口大概率是闹矛盾了。
最后，这场绯闻闹剧还是以小胡静的辟谣结束，她称向佐婚前她们就认识，自己并没有知三当三，更没有破坏别人家庭，大家到此为止。
近日，某网红在社交平台分享了一段视频，据悉，当天是该网红的“宠粉日”，作为好友的向佐特意录了一段视频送上祝福，视频里的向佐素颜出镜，头上戴着醒目的毛线帽，这大夏天的，隔着屏幕都觉得热。
从体形不难看出，向佐明显消瘦了，整个人十分憔悴，看上去老了好几岁。
毕竟是练武之人，之前向佐虽然不胖，但好歹肌肉发达，再看他现在的模样，倒像是生过大病未痊愈的样子。
直到遇到了向佐，其实在《最美的时光》综艺前，向佐就早已认识郭碧婷，并且已经展开追求，一是觉得郭碧婷长得漂亮，二是她比较纯粹，跟大多数物质女孩不同的是，郭碧婷对金钱并没有多大欲望。
郭碧婷在老公风波后，既未露面，也没发声，有网友猜测，应该是原谅向佐了，毕竟当事人小胡静也辟谣了，确实是无中生有，就是这种新闻出来，多多少少还是会对向佐有点影响，希望以后还是要自律，注意自己的公众形象。
这也是向太陈岚看上郭碧婷的主要原因，向太在综艺里就多次夸郭碧婷单纯，没有城府，从她酷爱小动物也不难看出，她是个爱心爆棚的女孩。
有了向佐的猛烈追求，再加上向太的辅佐，两人很快终成眷属，2019年至2021年这两年的热搜几乎都被他们承包了，从《最美的时光》到《小两口》，再到婚礼，生孩子。基本每个网友都见证了。
如今两人三年抱俩，儿子女儿都有了，向佐却在这个节骨眼上爆出绯闻，起因是有位网名叫“小胡静”的网红跟她闺蜜聊天，称向佐来上海了，想要叫她过去，考虑到人家都有家庭有孩子，小胡静就没同意。
本来就是和闺蜜之间的聊天，没想到这段聊天记录却被闺蜜放到了网上，至于是小胡静自己放的还是闺蜜放的，不得而知，也有网友猜测小胡静为了炒作，故意假借闺蜜之手。
事件发酵后，向佐的形象遭到质疑，他本人却没有回应，最先沉不住气的是向太，她辟谣都是假的，称那是向佐的一个大姐姐，平时有一些商务合作，大家想多了。
最后向太还有点带威胁的口气，称自己是有仇必报之人，对于恶意造谣，她绝不会放过。但随后很快删除该条微博。
有人说向佐是“妈宝男”，自己惹下的事，却每次要老妈来处理，他就不能好好出来回应一下吗？
向太辟谣不但没给向佐正名，反而连向太也备受质疑，毕竟儿子做的事，他也未必会告诉你，你瞎回应什么呢？要不是向太积极转发“全世界只有一个中国”，这波真是元气大伤。
期间，向佐依然闷不发声，郭碧婷也没有出来回应，不过她把向佐的相关全删除了，微博也设置成不可见。郭碧婷的父亲起先还为女婿发声，后来也表示只支持女儿，有网友猜测，小两口大概率是闹矛盾了。
最后，这场绯闻闹剧还是以小胡静的辟谣结束，她称向佐婚前她们就认识，自己并没有知三当三，更没有破坏别人家庭，大家到此为止。
近日，某网红在社交平台分享了一段视频，据悉，当天是该网红的“宠粉日”，作为好友的向佐特意录了一段视频送上祝福，视频里的向佐素颜出镜，头上戴着醒目的毛线帽，这大夏天的，隔着屏幕都觉得热。
从体形不难看出，向佐明显消瘦了，整个人十分憔悴，看上去老了好几岁。
毕竟是练武之人，之前向佐虽然不胖，但好歹肌肉发达，再看他现在的模样，倒像是生过大病未痊愈的样子。
郭碧婷在老公风波后，既未露面，也没发声，有网友猜测，应该是原谅向佐了，毕竟当事人小胡静也辟谣了，确实是无中生有，就是这种新闻出来，多多少少还是会对向佐有点影响，希望以后还是要自律，注意自己的公众形象。
第一印象是只“沉锚”，先入为主也是一只“沉锚”，先入为主是区别于第一印象的一个词，其词义为：先接受一种说法或思想，以为是正确的而有了成见，后来就再也不容易接受别的说法和思想。我们从小接受无神论思想，对欧洲人、印度人的宗教热情难以理解；听惯了“上有天堂下有苏杭”的说法，当别人问起哪里最美时，便会不假思索地举出苏州和杭州，虽然连两座城市的模样都未曾见过；听别人常说某学者学识渊博，未曾相见就肃然起敬……先入为主同样会作为第一信息左右我们的判断，决定我们的行为。罗贯中在《三国演义》中给我们讲述了一个先入为主的经典案例。
#个人成长之道##灯火教育#
#个人成长之道##灯火教育#
思想的光辉
格罗滕迪克"收获和播种"
格罗滕迪克"收获和播种"法文版于2021年正式出版，其中最精辟的部分是第18章第5节。他是在灵魂的颤栗和悸动中挥笔写就这一章的，读者应能感受到他的激情的脉动。作者没有办法在不给出公式的情况下阐明其理念。尽管格罗滕迪克的公式比较简明，但是其思想博大精深，因此这一章的内容在翻译上不容易把握。无论如何，格罗滕迪克在本文中呈现的思想的光辉是显而易见的。
Mebkhout的双重对偶定理在某种程度上构成善神定理(对于∞-模)的一半，当这个定理以其最强形式被采用时，它肯定函子(8)是互为拟逆。这是Mebkhout于1980年1月提交的论文的核心结果。不仅如此，甚至这一半本身已经是一个全新的结果并完全出乎大家的意料。它是一个经典的结果，连接佐藤的想法和我的想法。它符合我的长期计划—以连续或微分方式(及从派生范畴的角度)制定离散系数。我认为这个结果以其精神和灵感完全避开了日本分析学派的问题。数学家柏原的可构造性定理似乎表示靠近它，而绝不是新的系数e理论的起点。正如1976年至1980年期间出版的那样毫无疑问，Mebkhout是当时唯一一个发展出这种哲学的人。
1978年1月，Mebkhout谈到他在柏原途经巴黎时会谈的结果，当时他刚写完论文。在柏原的请求下，坦率的Mebkhout很高兴终于找到一个对他要说的话感兴趣的数学家，这是把他送到普林斯顿的热门第三章—双对偶定理，那是在1978年2月。同样的结果在三年后出现在Mebkhout的一篇著名文章-693(*)中。它被重新命名为重建定理，并且丝毫没有提到某个Zoghman Mebkhout。这也是令人难忘的一年—某种新风格—694(**)正面征服(并且没有遇到丝毫阻力...)的光辉之年，在这部分数学的创建中，我有似曾相似的亲切感觉...
(c)第五张快照(在"pro"中)(5月21日)双对偶定理(9)是1977年的。为了证明∞-Modules的善神定理的另一半，因此相当于证明函子δ∞本质上为满射，第一个困难在于证明如下：对于Cons∗中的F，根据第一个公式定义∞-Modules C = Δ_{∞}(F)的复数(8)，它能通过函子 i获得，至少在X的局部使用-Modules的复向量(完整和正则)获得。在先验上，根据Mebkhout的想法(即遵循善神对偶定理)，它暗示(5)中的函子i是等价的，后者必须是唯一的，直到唯一的拟同构。
我没有试图理解Mebkhout最终如何在其论文中成功构建这个-Module的。我认为这里的情形必须通过使用与可构造ℂ-vectorials F - 695(*)集束相关的前相干(pro-集束的德利涅概念进行澄清。这个想法是他在上代数簇的背景下发展起来的，但必须能在可能对或的每个紧凑体上局部工作的条件下进行必要修改以适应分析情况。与F相关的前相干层(pro-coherent sheaf)，因此(至少在的每个紧集K上)是相干层(定义在K的邻域中)的射影系统(Fi)，能很简单地定义为前表示函子。
G ⟼ Hom_{ℂ}(F, G);
在(K附近...)上的相干O_{}-Modules G的范畴上，该函子在保持精确的情况下确实是前表示的。例如，如果 F是的封闭解析子空间Y上的常数层C_{Y}、在所有上由零扩展，那么我们发现由Y在中的O_{Xn}个无穷小邻域形成的前层(NB La这个射影系统的射影极限是沿Y的 O_{}的正式完成)。我们注意到(回到一般情况)前层(Fi)配备规范分层 - 696(**)。德利涅持如下观点：德利涅的函子来自上的可构造C(复)向量层的范畴，对于分层的前相干层的范畴，它是完全忠实的，因此能根据分层前相干层范畴的完整子范畴解释第一个范畴(超越性质)。后者具有纯粹的代数意义，并且能用纯粹的代数术语定义所讨论的完整子范畴(或多或少重言式*))。这是我要注意的范畴：
DRD*() 或 Del*() , (10);
这构成我昨天不想解释的第五张快照698(**)。此外，我似乎还记得，德利涅费竭尽全力把他的解释(及前面完全忠实的陈述)发展成派生范畴(当时我还没有一致决定)上同调的学生，以德利涅为首，还没有决定要否定后者)，当然，它确实是我用符号(10)指定的派生范畴版本。
换言之，RHom_{C}(F,O_{}) 中的代数部分必须能以很自然的方式定义为RHom_{O_{}}的归纳极限(在适当的意义上)((Fi, O_{}) - 特别是(传递给上同调层)，我们把规范箭头描述如下。
lim_{i} Ext^d_{O_{X}(Fi, O_{}) → Ext^d_{O_{}}), (11)
通过使用前对象(Fi)的分层和第二个参数O_{}的重言式分层，我们必须能在(11)的第一个成员上定义一个分层—即-Module的结构，因此(11)与算子环的同态(对应 → ∞)兼容。换言之，必须澄清Mebkhout的善神定理，通过说(11)确定∞-Moule的第二个成员通过标量的扩展从第一个推导出来 - 699(*) - 这特别意味着箭头是一个包含关系。因此左边的成员必须被可视化为一种代数或亚纯部分在右成员中(具有超越性质)。
在前面的特定示例F = I*(C_{Y}) 上，在一般情形变得相当清楚，其中i : Y → 包含的封闭分析子空间。接着(11)的右侧是一束局部上同调，在y中具有支撑，其中y是一个超越不变量，而第一个成员是我在示意图框架中为局部上同调引入的众所周知的表达式。这个丛在点x ∈ Y 处的纤维只不过是局部上同调，在结构丛O的谱Xx上，在x上的Y的迹Yx 中有支撑。
lim_{n→} 分机^d_{O_{}_{n}}, O_{}}};
这个实例显示德利涅的想法与我在1960年代早期就局部上同调主题发展起来的想法有多么接近 - 700(**)。尽管如此，Mebkhout在1972~1976年间工作的主题正是在这个关键案例中研究箭头(11)。
lim_{n→} Ext^d_{O_{}n}, }} =(定义) H^d_{Y} (O_{}})_{alg} → H^d_{Y}(O_{ }})，(12);
在这种情形下，它证明上面宣布的关系，并且比(12)-Module的第一个成员(我之前在陈述中省略的内容)模相关、甚至是完整的和正则的。从那里开始，(11)的类似陈述必须是旋开 - 701(**)的直接结果(包括F不是可构造的C向量的一个丛，而是Cons*( , C)中复数情形。除了德利涅函子的形状构造之外，del的唯一颗粒是在分层前模复形的Homs_{O_{}}}的定义中，其值在复形中分层模，即在-Modules的复形中(在此情况下O_{}})作为-Modules的复形(及作为派生范畴的对象)。
对这颗粒盐(指上述颗粒)取模，我们找到对代数善神函子M(与超越善神函子M∞相反)的非常简单和概念性的描述，或更确切地说，通过复述(8)的双公式描述相关的反函子Δ及其拟逆 δ。然而，为了编写它，这里使用德利涅的等价性，我们宁愿查看DRD*()和DRM*()之间的对应函子Δ^和δ^，其中符号^提醒我们要在前对象上工作(在"可构造"方面)。接着，我们找到一个非平凡公式(它在概念上包含在(8)中，但这次把代数性质的系数相互联系起来，这也是通过代数性质的公式实现的):
∆ = MD = DM, δ = mD = Dm, (13)
Del: Cons*(, C) →(≈) ERD*(), (14)
∆ˆ(C′) = RHOm_{O_{X}} (C′, O_{}),
δˆ(C′) = RHOm_{O_{}} (C′, O_{}), (15)
因此，我们在这里有两次相同的公式，唯一的区别是C'在这里是分层的前相干集束的复形(或等同于 - 702(*)，模前相干晶体的复形)，而C是-Modules的复形(它在概念上可作为O_{}本质上相同函子的复形，从一个到另一个，即对偶函子普通连续，显而易见，它是我50年代的老朋友…，当然，这个必须交换前对象和ind对象，即使这意味着要达到后者的归纳极限…
当然，有一项基础工作要做以便为这些公式赋予精确的含义，德利涅在著名的凿沉研讨会上所做的工作，或Jouanolou在其著名论文中所做的那种类型的工作也被凿沉(每个人都引用，自Colloque Pervers以来，没有人掌握在他的手中...这是一部作品，我敢肯定：它或许有点长，但本质上是sorital。它的困难部分包含在Mebkhout的善神定理中，辅以Mebkhout(8)的称为对偶性的公式。另一方面，它们的代数转换，确认两个函子(15)互为拟逆，它从概念上讲是O_{} 一致系数的普通对偶定理，放入ind-pro酱汁中，并以分层作为键(在对偶函子中必须通过而没有问题)。
就微分算子的复形而言，这两种类型的对偶对象之间的对应关系被完美地可视化(不涉及任何基础工作)。此外，在这种对偶中，完整条件(更何况正则性条件)不起作用。在这样的复形L处，昨天考虑的函子F ⟼ Hom_{O_{}}(F, Dd)(逆变)把-Modules的复形与有限类型C。另一方面，这个复形L的形式化，传递到无限阶P∞(L^i)的主要部分(被认为是分层的前模)产生一个复形C' = P ∞(L^i)的分层pro-modules。换言之，我们看到这两个复形对应于公式(15)，其中，RHom显然简化为Hom(只需逐项验证分量L^i的对偶项，接着它减少或多或少的重言式事实，即连续线性同态P∞(L^i) → O_{}与线性同态L^i → 完全对应于微分算子 L^i → O_{ }，分别使用万有微分算子(无限阶)L^i → P∞(L^i)及由θ ⟼ θ(1)给出的l增加 → O_{})。至少在上，Cris*_{coh}()的任何对象(即具有相干上同调的-Modules的任何复形)都能使用微分算子L·的复形描述，我们认为：对于所有实际目的，在对C和C'做出适当的-一致性和-pro-consistency假设的条件下，这种特殊情形完美地掌握两种范畴系数之间的对偶性(15)，它们彼此互为对偶。因此，它发展为我提到的sorite就足够，把我们自己限制在C'或"pro"方面，仅限于前相干丛的复形P∞(L·)，分层可在局部作为拟近同构)进行描述。
与德利涅的原始方法相比，他介绍的前相干复模能通过微分算子复形局部实现，并且它是Mebkhout理论带来的完全出乎意料的现象。在我看来，关于集束D相干性HY^d(O_{ })_{alg}(出现在上述(12)中)是一个深刻的定理，它是四年来工作的结晶，并使用了解决Hironaka奇点的所有力量，更不用说识别和证明它的创作者的勇气，从而反击业界普遍的冷漠。我刚刚宣布的703(*)是德拉姆系数(例如我从1966年看到的)和微分算子复形之间的深层关系，这是我从未设想过的关系。当开发出第一种方法处理德拉姆关系时，德利涅也没有想到。至于考虑的微分算子复形上的完整正则条件，它必须等价于(后验，感谢善神定理)德利涅的有限性(加上正则性)条件。我之前省略了其解释，通过引入范畴DRD*() = Del*())如下： P∞(L·)的上同调的前层通过组合序列在局部"拧开"，这样连续的因子能通过C-的系统前提描述(通过德利涅函子)的子空间Y - Z上的向量(其中Z ⊂ Y ⊂ 是的封闭解析子空间)。为完成给这个标准一个代数方面，只需在Y - Z上用分层的相干层替换C向量的局部系统就足够，条件是表示分层的连接(请注意可假设Y - Z平滑)或Z附近的正则，在德利涅-704(**)的意义上。请注意: 相关的前集束是通过在T的无穷小邻域上生长Y−Z = T上的晶体获得的，并通过沿Z的压碎，在任何地方都有连贯的丛(bundle)，而不仅仅是在补集Z上…
格罗滕迪克"收获和播种"
格罗滕迪克"收获和播种"法文版于2021年正式出版，其中最精辟的部分是第18章第5节。他是在灵魂的颤栗和悸动中挥笔写就这一章的，读者应能感受到他的激情的脉动。作者没有办法在不给出公式的情况下阐明其理念。尽管格罗滕迪克的公式比较简明，但是其思想博大精深，因此这一章的内容在翻译上不容易把握。无论如何，格罗滕迪克在本文中呈现的思想的光辉是显而易见的。
Mebkhout的双重对偶定理在某种程度上构成善神定理(对于∞-模)的一半，当这个定理以其最强形式被采用时，它肯定函子(8)是互为拟逆。这是Mebkhout于1980年1月提交的论文的核心结果。不仅如此，甚至这一半本身已经是一个全新的结果并完全出乎大家的意料。它是一个经典的结果，连接佐藤的想法和我的想法。它符合我的长期计划—以连续或微分方式(及从派生范畴的角度)制定离散系数。我认为这个结果以其精神和灵感完全避开了日本分析学派的问题。数学家柏原的可构造性定理似乎表示靠近它，而绝不是新的系数e理论的起点。正如1976年至1980年期间出版的那样毫无疑问，Mebkhout是当时唯一一个发展出这种哲学的人。
1978年1月，Mebkhout谈到他在柏原途经巴黎时会谈的结果，当时他刚写完论文。在柏原的请求下，坦率的Mebkhout很高兴终于找到一个对他要说的话感兴趣的数学家，这是把他送到普林斯顿的热门第三章—双对偶定理，那是在1978年2月。同样的结果在三年后出现在Mebkhout的一篇著名文章-693(*)中。它被重新命名为重建定理，并且丝毫没有提到某个Zoghman Mebkhout。这也是令人难忘的一年—某种新风格—694(**)正面征服(并且没有遇到丝毫阻力...)的光辉之年，在这部分数学的创建中，我有似曾相似的亲切感觉...
(c)第五张快照(在"pro"中)(5月21日)双对偶定理(9)是1977年的。为了证明∞-Modules的善神定理的另一半，因此相当于证明函子δ∞本质上为满射，第一个困难在于证明如下：对于Cons∗中的F，根据第一个公式定义∞-Modules C = Δ_{∞}(F)的复数(8)，它能通过函子 i获得，至少在X的局部使用-Modules的复向量(完整和正则)获得。在先验上，根据Mebkhout的想法(即遵循善神对偶定理)，它暗示(5)中的函子i是等价的，后者必须是唯一的，直到唯一的拟同构。
我没有试图理解Mebkhout最终如何在其论文中成功构建这个-Module的。我认为这里的情形必须通过使用与可构造ℂ-vectorials F - 695(*)集束相关的前相干(pro-集束的德利涅概念进行澄清。这个想法是他在上代数簇的背景下发展起来的，但必须能在可能对或的每个紧凑体上局部工作的条件下进行必要修改以适应分析情况。与F相关的前相干层(pro-coherent sheaf)，因此(至少在的每个紧集K上)是相干层(定义在K的邻域中)的射影系统(Fi)，能很简单地定义为前表示函子。
G ⟼ Hom_{ℂ}(F, G);
在(K附近...)上的相干O_{}-Modules G的范畴上，该函子在保持精确的情况下确实是前表示的。例如，如果 F是的封闭解析子空间Y上的常数层C_{Y}、在所有上由零扩展，那么我们发现由Y在中的O_{Xn}个无穷小邻域形成的前层(NB La这个射影系统的射影极限是沿Y的 O_{}的正式完成)。我们注意到(回到一般情况)前层(Fi)配备规范分层 - 696(**)。德利涅持如下观点：德利涅的函子来自上的可构造C(复)向量层的范畴，对于分层的前相干层的范畴，它是完全忠实的，因此能根据分层前相干层范畴的完整子范畴解释第一个范畴(超越性质)。后者具有纯粹的代数意义，并且能用纯粹的代数术语定义所讨论的完整子范畴(或多或少重言式*))。这是我要注意的范畴：
DRD*() 或 Del*() , (10);
这构成我昨天不想解释的第五张快照698(**)。此外，我似乎还记得，德利涅费竭尽全力把他的解释(及前面完全忠实的陈述)发展成派生范畴(当时我还没有一致决定)上同调的学生，以德利涅为首，还没有决定要否定后者)，当然，它确实是我用符号(10)指定的派生范畴版本。
换言之，RHom_{C}(F,O_{}) 中的代数部分必须能以很自然的方式定义为RHom_{O_{}}的归纳极限(在适当的意义上)((Fi, O_{}) - 特别是(传递给上同调层)，我们把规范箭头描述如下。
lim_{i} Ext^d_{O_{X}(Fi, O_{}) → Ext^d_{O_{}}), (11)
通过使用前对象(Fi)的分层和第二个参数O_{}的重言式分层，我们必须能在(11)的第一个成员上定义一个分层—即-Module的结构，因此(11)与算子环的同态(对应 → ∞)兼容。换言之，必须澄清Mebkhout的善神定理，通过说(11)确定∞-Moule的第二个成员通过标量的扩展从第一个推导出来 - 699(*) - 这特别意味着箭头是一个包含关系。因此左边的成员必须被可视化为一种代数或亚纯部分在右成员中(具有超越性质)。
在前面的特定示例F = I*(C_{Y}) 上，在一般情形变得相当清楚，其中i : Y → 包含的封闭分析子空间。接着(11)的右侧是一束局部上同调，在y中具有支撑，其中y是一个超越不变量，而第一个成员是我在示意图框架中为局部上同调引入的众所周知的表达式。这个丛在点x ∈ Y 处的纤维只不过是局部上同调，在结构丛O的谱Xx上，在x上的Y的迹Yx 中有支撑。
lim_{n→} 分机^d_{O_{}_{n}}, O_{}}};
这个实例显示德利涅的想法与我在1960年代早期就局部上同调主题发展起来的想法有多么接近 - 700(**)。尽管如此，Mebkhout在1972~1976年间工作的主题正是在这个关键案例中研究箭头(11)。
lim_{n→} Ext^d_{O_{}n}, }} =(定义) H^d_{Y} (O_{}})_{alg} → H^d_{Y}(O_{ }})，(12);
在这种情形下，它证明上面宣布的关系，并且比(12)-Module的第一个成员(我之前在陈述中省略的内容)模相关、甚至是完整的和正则的。从那里开始，(11)的类似陈述必须是旋开 - 701(**)的直接结果(包括F不是可构造的C向量的一个丛，而是Cons*( , C)中复数情形。除了德利涅函子的形状构造之外，del的唯一颗粒是在分层前模复形的Homs_{O_{}}}的定义中，其值在复形中分层模，即在-Modules的复形中(在此情况下O_{}})作为-Modules的复形(及作为派生范畴的对象)。
对这颗粒盐(指上述颗粒)取模，我们找到对代数善神函子M(与超越善神函子M∞相反)的非常简单和概念性的描述，或更确切地说，通过复述(8)的双公式描述相关的反函子Δ及其拟逆 δ。然而，为了编写它，这里使用德利涅的等价性，我们宁愿查看DRD*()和DRM*()之间的对应函子Δ^和δ^，其中符号^提醒我们要在前对象上工作(在"可构造"方面)。接着，我们找到一个非平凡公式(它在概念上包含在(8)中，但这次把代数性质的系数相互联系起来，这也是通过代数性质的公式实现的):
∆ = MD = DM, δ = mD = Dm, (13)
Del: Cons*(, C) →(≈) ERD*(), (14)
∆ˆ(C′) = RHOm_{O_{X}} (C′, O_{}),
δˆ(C′) = RHOm_{O_{}} (C′, O_{}), (15)
因此，我们在这里有两次相同的公式，唯一的区别是C'在这里是分层的前相干集束的复形(或等同于 - 702(*)，模前相干晶体的复形)，而C是-Modules的复形(它在概念上可作为O_{}本质上相同函子的复形，从一个到另一个，即对偶函子普通连续，显而易见，它是我50年代的老朋友…，当然，这个必须交换前对象和ind对象，即使这意味着要达到后者的归纳极限…
当然，有一项基础工作要做以便为这些公式赋予精确的含义，德利涅在著名的凿沉研讨会上所做的工作，或Jouanolou在其著名论文中所做的那种类型的工作也被凿沉(每个人都引用，自Colloque Pervers以来，没有人掌握在他的手中...这是一部作品，我敢肯定：它或许有点长，但本质上是sorital。它的困难部分包含在Mebkhout的善神定理中，辅以Mebkhout(8)的称为对偶性的公式。另一方面，它们的代数转换，确认两个函子(15)互为拟逆，它从概念上讲是O_{} 一致系数的普通对偶定理，放入ind-pro酱汁中，并以分层作为键(在对偶函子中必须通过而没有问题)。
就微分算子的复形而言，这两种类型的对偶对象之间的对应关系被完美地可视化(不涉及任何基础工作)。此外，在这种对偶中，完整条件(更何况正则性条件)不起作用。在这样的复形L处，昨天考虑的函子F ⟼ Hom_{O_{}}(F, Dd)(逆变)把-Modules的复形与有限类型C。另一方面，这个复形L的形式化，传递到无限阶P∞(L^i)的主要部分(被认为是分层的前模)产生一个复形C' = P ∞(L^i)的分层pro-modules。换言之，我们看到这两个复形对应于公式(15)，其中，RHom显然简化为Hom(只需逐项验证分量L^i的对偶项，接着它减少或多或少的重言式事实，即连续线性同态P∞(L^i) → O_{}与线性同态L^i → 完全对应于微分算子 L^i → O_{ }，分别使用万有微分算子(无限阶)L^i → P∞(L^i)及由θ ⟼ θ(1)给出的l增加 → O_{})。至少在上，Cris*_{coh}()的任何对象(即具有相干上同调的-Modules的任何复形)都能使用微分算子L·的复形描述，我们认为：对于所有实际目的，在对C和C'做出适当的-一致性和-pro-consistency假设的条件下，这种特殊情形完美地掌握两种范畴系数之间的对偶性(15)，它们彼此互为对偶。因此，它发展为我提到的sorite就足够，把我们自己限制在C'或"pro"方面，仅限于前相干丛的复形P∞(L·)，分层可在局部作为拟近同构)进行描述。
与德利涅的原始方法相比，他介绍的前相干复模能通过微分算子复形局部实现，并且它是Mebkhout理论带来的完全出乎意料的现象。在我看来，关于集束D相干性HY^d(O_{ })_{alg}(出现在上述(12)中)是一个深刻的定理，它是四年来工作的结晶，并使用了解决Hironaka奇点的所有力量，更不用说识别和证明它的创作者的勇气，从而反击业界普遍的冷漠。我刚刚宣布的703(*)是德拉姆系数(例如我从1966年看到的)和微分算子复形之间的深层关系，这是我从未设想过的关系。当开发出第一种方法处理德拉姆关系时，德利涅也没有想到。至于考虑的微分算子复形上的完整正则条件，它必须等价于(后验，感谢善神定理)德利涅的有限性(加上正则性)条件。我之前省略了其解释，通过引入范畴DRD*() = Del*())如下： P∞(L·)的上同调的前层通过组合序列在局部"拧开"，这样连续的因子能通过C-的系统前提描述(通过德利涅函子)的子空间Y - Z上的向量(其中Z ⊂ Y ⊂ 是的封闭解析子空间)。为完成给这个标准一个代数方面，只需在Y - Z上用分层的相干层替换C向量的局部系统就足够，条件是表示分层的连接(请注意可假设Y - Z平滑)或Z附近的正则，在德利涅-704(**)的意义上。请注意: 相关的前集束是通过在T的无穷小邻域上生长Y−Z = T上的晶体获得的，并通过沿Z的压碎，在任何地方都有连贯的丛(bundle)，而不仅仅是在补集Z上…
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