奇妙的数学之旅之m维度空间划分和m维度球随机n点在半球里的概率问题 - yuange1975 - 博客园
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m维度球里n个随机点，都在半球里的概率p(m,n)=?

发现神奇的m维空间划分和m维随机n点在半球里的概率竟然是同一个问题。因为球体对圆心完全对称，所有随机点都可以投影到m维度的表面去考虑。
这样m维度的球体参数r=R固定，少了一个半径维度，只有m-1个角坐标维度了。

我们看m维度球的表面，是一个“封闭”的图形，上面任意选一点，然后把它拉开，就成了m-1维度空间。比如线段表面两个点。圆周，一个点剪断，就成了线段。球表面，一个点剪开拉伸变形，就展开成了一个平面的一块或者拓扑成一个圆。4维球体表面一个点剪开拉伸变形展开，就拓扑成了一个球。

选取n点中任意一点去展开，就成了m-1维度球体n-1个面去切割问题。注意这个点实际上只是建立了坐标系，显然坐标系和实际结果没有任何关系，所以这里不会有最终概率p乘以n的关系。划分出来的概率总空间是2^(n-1)，在半球里的是s(m-1,n-1)。
p(m,n)=s(m-1,n-1)/2^(n-1)。

p(m,n)
=s(m-1,n-1)/2^(n-1)
=1/2^(n-1) ΣC(n-1，k) ，k从0到m-1求和。
C(n,k)=n!/((n-k)!k!)，组合公式，其中特别的：
C(n,0)=1，
k>n,C(n,k)=0。

p(1,n)=1/2^(n-1)
p(2,n)=(1+n-1)/2^n=n/2^(n-1)
p(3,n)
=(1+(n-1)+(n-1)(n-2)/2!)/2^(n-1)
=(1/2(n^2-n+2))/2^(n-1)
=(n^2-n+2)/2^n

我们不好想象的高维球里的概率也很容易算出来了。

关于选取一个点建立坐标系的问题，我们来看看圆上选取一点建立坐标系的情况，直观感受一下这个点和结果没关系。
n个点，任意1个点圆心角取零点角度，圆心角范围取-180度到180度。
剩下n-1个点都大于0到180度的概率是1/2^（n-1)。
剩下n-1个点，有一个最小值x小于0，每个点有1次取最小值机会有n-1种。剩下的n-2个点都有了确定的方向和取值范围x到x+180度，概率1/2,。x取值范围也是概率1/2，所以概率(n-1)/2^(n-1)。

所以：
P=1/2^(n-1)+(n-1)/2^(n-1)=n/2^(n-1)。

4个点P(4)=1/2。

这个方法可以直观的感受到最先选取的这个点只是一个坐标原点，坐标原点其实选哪里都一样，只是选在一个好的地方会更直观和方便计算。这里结果也看出来二维球下分子出来的1+(n-1)。 https://t.cn/A6oS5ZKH

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今天看到一个很有趣的定理@摩登兄弟刘宇宁 ：在一个球体表面，不可能存在连续的单位向量场，这个定理可以推广到更高维的空间：对于任意一个偶数维的球面，连续的单位向量场都是不存在的。根据这个定理我可以判断出
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大家真的很无聊，明明自己看不懂的东西都能看到结尾

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