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黎曼手稿里的智慧遗产:
含西格尔(黎曼-西格尔公式)的推进
黎曼ζ函数非平凡零点都位于复平面上Re(s) = 1/2的直线上。在黎曼猜想的研究中， 数学家们把复平面上Re(s)=1/2的直线称为临界点。运用这一术语，黎曼猜想表述如下: 黎曼ζ函数的所有非平凡零点都位于临界线上，这就是黎曼猜想的内容，它是黎曼在1859年提出。黎曼猜想是一个纯粹的复变函数命题，但它是一曲有关素数分布的神秘乐章，把数论、分析、几何、概率等主要数学分支联系起来。
1. 计算零点
随着证明黎曼猜想的努力付诸东流，而计算零点的可能也趋于渺茫，数学家陷入漫长的痛苦期以至于他们终于开始怀疑黎曼猜想不过是他直觉的猜测，而并没有实际的计算证据。
黎曼时代的数学家喜欢发表他们认为已经成熟的学术成果，而对探索中的理论讳莫如深。因此，很多数学家公开发表的成果只是他们研究成果的极小一部分，许多价值连城的创意并没有对外公布。
高斯这方面是一个典型。在1898年公布的高斯科学日记里，人们才发现他的很多思想和成果遥遥领先那个时代，却因为没有发表而让后世的数学家走很多弯路。例如，椭圆函数双周期性理论的结果直到100年后才被重新发现。与此同时，高斯最早意识到非欧几何的存在。这样的例子比比皆是。人们只能从高斯的稿件和信件中寻找那些依旧蒙尘却隐匿着科学巨匠光辉的成果。
因此在黎曼猜想面前灰头土脸的数学家把目光投向黎曼的手稿。遗憾的是大部分凝聚黎曼心血和洞见的手稿在他去世后被管家付诸一炬，从此人们失去近距离解黎曼进行科学思考和创作的机会，也让他卓绝非凡的智慧结晶失去传承。
黎曼的妻子侥幸抢救出一小部分手稿，并把它赠送给黎曼生前的好友戴德金。后来，她担心手稿里可能有黎曼与她的私人信件，又把大部分手稿索回。这些残留的珍贵手稿，最后经由戴德金献给了哥廷根大学图书馆。这也成了黎曼留给后人的珍贵遗产。
很多慕名前去的数学家希望从黎曼的手稿里得到启发，但这些手稿太过艰深晦涩，人们止步于此，无法读懂黎曼在天马行空的字里行间所展示出的才能。一代数学大师的遗物，在为将来破译它的人牢牢地守护着秘密。
2. 零点计算的推进
1932年，朗道(或兰道)的学生西格尔终于在历经两年的苦苦钻研后，从黎曼的手稿里找到关键的证据。正是这一证据表明，黎曼对他提出的三个命题有过极其深刻的思考和计算。西格尔在手稿里发现黎曼当年随手写下的公式，这个公式今天被称为黎曼-西格尔公式。西格尔也因为让黎曼的公式重现天日而最终获得沃尔夫奖。
有些数学家甚至认为：如果不是西格尔发现这个公式，那么时至今日它会像埋入沙漠深处的宝藏、再难被后人重新发现。西格尔写下这个公式的那天，距离黎曼在手稿里留下这份遗产已经过去73年。
黎曼-西格尔公式很快发挥其巨大的威力，基于这一公式，人们能很轻松地继续推进零点的计算。哈代的学生利用西格尔公式把非平凡零点的个数计算到1041个，人工智能之父图灵推进到1104个。此后的几十年，在计算机的辅助下，人们继续非平凡零点计算的接力赛。
1966年，非平凡零点验证到350万个。20年后，计算机能算出黎曼ζ函数前15亿个非平凡零点，这些零点无一例外地都满足黎曼猜想。2004年，这一记录达到8500亿。最新的成果是法国团队用改进的算法，把黎曼ζ函数的非平凡零点计算10万亿个，仍然没有发现一个反例。
十万亿个饱含着激情和努力的证据再次坚定人们对黎曼猜想的信心。然而，黎曼ζ函数毕竟有无穷多个零点，十万亿和无穷大比起来，只是沧海一粟。黎曼猜想的未来在哪里，人们一片茫然，不得而知。与此同时，试图证明黎曼猜想的人们也传来佳音。
3. 零点的临界线
英国数学家哈代首先证明ζ函数的零点有无穷多个都位于实部是0.5的直线上。这是一个无比震惊的重大突破。在此之前，人们甚至不知道零点的个数是否有限，而哈代的结果直接告诉人们，零点的个数不仅是无穷的，而且还有无穷多个零点都位于这条临界线上。遗憾的是人们并不知道临界线外是否存在非平凡零点。
挪威数学家塞尔伯格证明临界线上的零点个数占全部非平凡零点个数的比例大于零，这意味着临界线上的零点在全部零点的分布中举足轻重。值得一提的是塞尔伯格在32岁时用初等数学方法证明了素数定理从而获得菲尔兹数学奖章。
进一步，美国数学家莱文森引入独特的方法，证明临界线的零点占全部零点的比例达到了34.74%。基于莱文森的技巧，普林斯顿数学家康威在1989年把比例推进到40%，这也是迄今为止得到的最好结果之一。
4. 物理世界的奇遇
在理论和计算的突破猛进下，人们开始关注零点在临界线上的分布规律。
数学家休·蒙哥马利发现零点分布的规律竟然和孪生质数对在数轴上的分布规律类似。受此启发，他写下一个关联函数描述这种规律。令人惊奇的是，该函数描述的理论结果和实际计算结果几乎完美地吻合。
备注:
1. 休·蒙哥马利是美数学家，主要研究领域是数论，他和迪恩·蒙哥马利不是同一个人。
2. 迪恩·蒙哥马利与格里森、齐平一起及解决著名的希尔伯特问题中的第五问题，即拓扑学成为李群的条件(拓扑群)这一个问题简称连续群的解析性，即是否每一个局部欧氏群都一定是李群。
含西格尔(黎曼-西格尔公式)的推进
黎曼ζ函数非平凡零点都位于复平面上Re(s) = 1/2的直线上。在黎曼猜想的研究中， 数学家们把复平面上Re(s)=1/2的直线称为临界点。运用这一术语，黎曼猜想表述如下: 黎曼ζ函数的所有非平凡零点都位于临界线上，这就是黎曼猜想的内容，它是黎曼在1859年提出。黎曼猜想是一个纯粹的复变函数命题，但它是一曲有关素数分布的神秘乐章，把数论、分析、几何、概率等主要数学分支联系起来。
1. 计算零点
随着证明黎曼猜想的努力付诸东流，而计算零点的可能也趋于渺茫，数学家陷入漫长的痛苦期以至于他们终于开始怀疑黎曼猜想不过是他直觉的猜测，而并没有实际的计算证据。
黎曼时代的数学家喜欢发表他们认为已经成熟的学术成果，而对探索中的理论讳莫如深。因此，很多数学家公开发表的成果只是他们研究成果的极小一部分，许多价值连城的创意并没有对外公布。
高斯这方面是一个典型。在1898年公布的高斯科学日记里，人们才发现他的很多思想和成果遥遥领先那个时代，却因为没有发表而让后世的数学家走很多弯路。例如，椭圆函数双周期性理论的结果直到100年后才被重新发现。与此同时，高斯最早意识到非欧几何的存在。这样的例子比比皆是。人们只能从高斯的稿件和信件中寻找那些依旧蒙尘却隐匿着科学巨匠光辉的成果。
因此在黎曼猜想面前灰头土脸的数学家把目光投向黎曼的手稿。遗憾的是大部分凝聚黎曼心血和洞见的手稿在他去世后被管家付诸一炬，从此人们失去近距离解黎曼进行科学思考和创作的机会，也让他卓绝非凡的智慧结晶失去传承。
黎曼的妻子侥幸抢救出一小部分手稿，并把它赠送给黎曼生前的好友戴德金。后来，她担心手稿里可能有黎曼与她的私人信件，又把大部分手稿索回。这些残留的珍贵手稿，最后经由戴德金献给了哥廷根大学图书馆。这也成了黎曼留给后人的珍贵遗产。
很多慕名前去的数学家希望从黎曼的手稿里得到启发，但这些手稿太过艰深晦涩，人们止步于此，无法读懂黎曼在天马行空的字里行间所展示出的才能。一代数学大师的遗物，在为将来破译它的人牢牢地守护着秘密。
2. 零点计算的推进
1932年，朗道(或兰道)的学生西格尔终于在历经两年的苦苦钻研后，从黎曼的手稿里找到关键的证据。正是这一证据表明，黎曼对他提出的三个命题有过极其深刻的思考和计算。西格尔在手稿里发现黎曼当年随手写下的公式，这个公式今天被称为黎曼-西格尔公式。西格尔也因为让黎曼的公式重现天日而最终获得沃尔夫奖。
有些数学家甚至认为：如果不是西格尔发现这个公式，那么时至今日它会像埋入沙漠深处的宝藏、再难被后人重新发现。西格尔写下这个公式的那天，距离黎曼在手稿里留下这份遗产已经过去73年。
黎曼-西格尔公式很快发挥其巨大的威力，基于这一公式，人们能很轻松地继续推进零点的计算。哈代的学生利用西格尔公式把非平凡零点的个数计算到1041个，人工智能之父图灵推进到1104个。此后的几十年，在计算机的辅助下，人们继续非平凡零点计算的接力赛。
1966年，非平凡零点验证到350万个。20年后，计算机能算出黎曼ζ函数前15亿个非平凡零点，这些零点无一例外地都满足黎曼猜想。2004年，这一记录达到8500亿。最新的成果是法国团队用改进的算法，把黎曼ζ函数的非平凡零点计算10万亿个，仍然没有发现一个反例。
十万亿个饱含着激情和努力的证据再次坚定人们对黎曼猜想的信心。然而，黎曼ζ函数毕竟有无穷多个零点，十万亿和无穷大比起来，只是沧海一粟。黎曼猜想的未来在哪里，人们一片茫然，不得而知。与此同时，试图证明黎曼猜想的人们也传来佳音。
3. 零点的临界线
英国数学家哈代首先证明ζ函数的零点有无穷多个都位于实部是0.5的直线上。这是一个无比震惊的重大突破。在此之前，人们甚至不知道零点的个数是否有限，而哈代的结果直接告诉人们，零点的个数不仅是无穷的，而且还有无穷多个零点都位于这条临界线上。遗憾的是人们并不知道临界线外是否存在非平凡零点。
挪威数学家塞尔伯格证明临界线上的零点个数占全部非平凡零点个数的比例大于零，这意味着临界线上的零点在全部零点的分布中举足轻重。值得一提的是塞尔伯格在32岁时用初等数学方法证明了素数定理从而获得菲尔兹数学奖章。
进一步，美国数学家莱文森引入独特的方法，证明临界线的零点占全部零点的比例达到了34.74%。基于莱文森的技巧，普林斯顿数学家康威在1989年把比例推进到40%，这也是迄今为止得到的最好结果之一。
4. 物理世界的奇遇
在理论和计算的突破猛进下，人们开始关注零点在临界线上的分布规律。
数学家休·蒙哥马利发现零点分布的规律竟然和孪生质数对在数轴上的分布规律类似。受此启发，他写下一个关联函数描述这种规律。令人惊奇的是，该函数描述的理论结果和实际计算结果几乎完美地吻合。
备注:
1. 休·蒙哥马利是美数学家，主要研究领域是数论，他和迪恩·蒙哥马利不是同一个人。
2. 迪恩·蒙哥马利与格里森、齐平一起及解决著名的希尔伯特问题中的第五问题，即拓扑学成为李群的条件(拓扑群)这一个问题简称连续群的解析性，即是否每一个局部欧氏群都一定是李群。
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