四面体群
命题1. 四面体群有一个同构于A₄的旋转对称群和一个同构于S₄的全对称群。
请注意一个四面体有4个顶点。对于这些顶点的每一种置换，在总对称群中存在一种对称。具体来说，第1个顶点有4个不同的位置。第2个顶点能通过旋转到达剩下的3个位置中的任何一个。第3个顶点必须通过反射获得最后两个位置中的任何一个，现在第4个顶点的位置保持固定。因此，在旋转和反射作用下，四面体具有4*3*2*1 = 24个总对称。请注意4阶置换群S₄的阶也是24阶。
一. 旋转对称
每个顶点都能从1标记到4，因此顶点位置的置换可用循环符号表示。使用这种表示法，首先列出转动对称性。一个四面体有两个对称轴，一个穿过一个面的中心和它正上方的顶点，另一个穿过一个边的中心和与其相邻的垂直边(图3)。我们分别把这些对称轴标记为L和M。
1. L类型轴对称：8个
显然，L类型的轴只置换三个顶点，因此顶点元素1、2、3和4的所有三循环都描述沿这些轴的旋转。因此这8个可能的3循环(123), (132), (124), (142), (134), (143),(234)和(243)对应于可能的120度对称旋转。
2. M类型轴对称：4个(含恒等变换)
类型为M的轴置换所有4个顶点，成对交换它们。因此两个不相交转置(12)(34),(13)(24)和(14)(23)的三个可能的积对应于旋转对称的元素，其中固体旋转180度；最后的旋转对称，即恒等式—完全不旋转形状—对应于描述无排列的循环符号()或e。
请注意：上述12种旋转对称直接对应于S₄的所有偶序元素，也被称为交替群A₄。显然，当两个旋转r和r'分别提示排列p和p'时，它们的组合旋转rr'提示置换pp'，表现出同态性。此外，上面显式列出的单射和满射映射显示双射。因此，通过这种对应关系，四面体的转动对称群与A4同构。
二. 反射变换(reflection):
同样地，四面体的反射变换也能用循环符号表示。请注意: 唯一可能的四面体对称平面既相交于一条边的中点，又相交于包含该边的两个面的对边顶点。
1. 换位(transposition): 6个：
一个对称平面必须被任意两个L和M对称轴张成，并且能交换不包含在这个平面内的四面体的任意两个顶点。因此S₄的所有6个换位(12)、(13)、(14)、(23)、(24)和(34)都对应于反射对称。
2. 反射 + 旋转组合：6个
唯一不对应单个反射或旋转的元素是四循环(1234)、(1243)、(1324)、(1342)、(1423)和(1432)。我们能看到(1234)等价于(123)(34)，不仅如此，相应的运动与该四面体上的反射和旋转的组成相匹配。类似地，S₄的所有其它元素都能被旋转和反射生成的元素映射，因此这个映射是满射的。现在，由于S₄的所有24个元素映射到四面体的24个可能的旋转和反射对称，并且这些元素的组成直接对应于映射的两边，整个对称群同构于S₄。
备注:
1. 四面体对称群中的元素
四面体的对称群中有12个元素。我们通过旋转原像得到8个这样的元素，通过反射得到3个，最后得到恒等元的单位像，因此共计12个旋转。
四面体有4个角，旋转对称能通过从一个角通过对面(或面)的方向画一条线发现。现在顺时针旋转120度(我称之为r_1)。再旋转120度，就得到r_2。最后，如果把四面体再旋转120度，那么我们就会回到原图像。因为总共有4个角，我们得到8个元素。
由于有6条边，我们通过反射一条连接一条边的中点到另一条边的中点的直线得到3个元素。根据下图，把1s标记为连接a到b的线，2s标记为连接c到d的线，3s标记为连接e到f的线。一个四面体的对称群中有多少个子群?我会把这个留给你们，读者去思考。
link2：https://t.cn/A6oC6EWh
link3: https://t.cn/A6oC6EWh
命题1. 四面体群有一个同构于A₄的旋转对称群和一个同构于S₄的全对称群。
请注意一个四面体有4个顶点。对于这些顶点的每一种置换，在总对称群中存在一种对称。具体来说，第1个顶点有4个不同的位置。第2个顶点能通过旋转到达剩下的3个位置中的任何一个。第3个顶点必须通过反射获得最后两个位置中的任何一个，现在第4个顶点的位置保持固定。因此，在旋转和反射作用下，四面体具有4*3*2*1 = 24个总对称。请注意4阶置换群S₄的阶也是24阶。
一. 旋转对称
每个顶点都能从1标记到4，因此顶点位置的置换可用循环符号表示。使用这种表示法，首先列出转动对称性。一个四面体有两个对称轴，一个穿过一个面的中心和它正上方的顶点，另一个穿过一个边的中心和与其相邻的垂直边(图3)。我们分别把这些对称轴标记为L和M。
1. L类型轴对称：8个
显然，L类型的轴只置换三个顶点，因此顶点元素1、2、3和4的所有三循环都描述沿这些轴的旋转。因此这8个可能的3循环(123), (132), (124), (142), (134), (143),(234)和(243)对应于可能的120度对称旋转。
2. M类型轴对称：4个(含恒等变换)
类型为M的轴置换所有4个顶点，成对交换它们。因此两个不相交转置(12)(34),(13)(24)和(14)(23)的三个可能的积对应于旋转对称的元素，其中固体旋转180度；最后的旋转对称，即恒等式—完全不旋转形状—对应于描述无排列的循环符号()或e。
请注意：上述12种旋转对称直接对应于S₄的所有偶序元素，也被称为交替群A₄。显然，当两个旋转r和r'分别提示排列p和p'时，它们的组合旋转rr'提示置换pp'，表现出同态性。此外，上面显式列出的单射和满射映射显示双射。因此，通过这种对应关系，四面体的转动对称群与A4同构。
二. 反射变换(reflection):
同样地，四面体的反射变换也能用循环符号表示。请注意: 唯一可能的四面体对称平面既相交于一条边的中点，又相交于包含该边的两个面的对边顶点。
1. 换位(transposition): 6个：
一个对称平面必须被任意两个L和M对称轴张成，并且能交换不包含在这个平面内的四面体的任意两个顶点。因此S₄的所有6个换位(12)、(13)、(14)、(23)、(24)和(34)都对应于反射对称。
2. 反射 + 旋转组合：6个
唯一不对应单个反射或旋转的元素是四循环(1234)、(1243)、(1324)、(1342)、(1423)和(1432)。我们能看到(1234)等价于(123)(34)，不仅如此，相应的运动与该四面体上的反射和旋转的组成相匹配。类似地，S₄的所有其它元素都能被旋转和反射生成的元素映射，因此这个映射是满射的。现在，由于S₄的所有24个元素映射到四面体的24个可能的旋转和反射对称，并且这些元素的组成直接对应于映射的两边，整个对称群同构于S₄。
备注:
1. 四面体对称群中的元素
四面体的对称群中有12个元素。我们通过旋转原像得到8个这样的元素，通过反射得到3个，最后得到恒等元的单位像，因此共计12个旋转。
四面体有4个角，旋转对称能通过从一个角通过对面(或面)的方向画一条线发现。现在顺时针旋转120度(我称之为r_1)。再旋转120度，就得到r_2。最后，如果把四面体再旋转120度，那么我们就会回到原图像。因为总共有4个角，我们得到8个元素。
由于有6条边，我们通过反射一条连接一条边的中点到另一条边的中点的直线得到3个元素。根据下图，把1s标记为连接a到b的线，2s标记为连接c到d的线，3s标记为连接e到f的线。一个四面体的对称群中有多少个子群?我会把这个留给你们，读者去思考。
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这次介绍一下WDM2VST这个虚拟跳线的使用。其实它和LINK PRO是一个公司的，但是显然LINK PRo很多人看见界面就已经想要放弃了，所以给位可以考虑一下WDM2VST。
它适用于声卡没有内录跳线的声卡，比如雅马哈，百度达FLOW 8，福克斯特，阿波罗等声卡。当然有内录跳线的想用也行。
安装很简单，不需要破解（软件去我的音频群要），然后安装完点开WINDOWS的音频设置，在【播放】里要设成声卡本身的通道，【录制】要设成WDM的虚拟通道上（MIX，下方面示是WDM2VST DRIVER），也就是虚拟通道。记得把声卡音频采样设成一致的。如果采样不一致机架是没声音的。进机架要选你声卡本身的驱动。
记得用STUDIO ONE计划的选项【高级】通道里，【控制台】，【提示混音静音跟随系统】要点上。
音频的IO设置输入里搞个立体声通道，然后输跳线命名为【伴奏】，就设置为默认最前的位置LR就行。
然后点开输入控制界面，插件要放在伴奏轨道推子前，也就是输入通道里加，不是轨道上。这样的设置，只有给伴奏单独设置进入机架，电脑其它声音进入监听才不会直播的时候卡麦回音。
注意你要添加的第一个的WDM开头的那个。（再次提示注意，是在输入通道里哈！不是轨道上，轨道上不需要另外选输入源）
然后你的伴奏软件音频设置的播放用DIRECTSOUND SPEAKERS(WDM2VST DRIVER）那个通道。
添加一个总线通道，命名直播通道，它的功能是让进入机架的声音传出去（与之前设置的刚好相反的作用，之前的它的做用是不传出去）
在这个总线上要加虚拟跳线的插件，搜索WDM，要选VST开头的这个插件，一般出现三个它在第二个。限制器一定要加在这个之前，不能是它之后。
然后把其它做了效果的轨道发送设置发送到直播通道，直播通道设置到你的监听总线通道。
这个直播通道对应的就是声音设置的时候我们看到的那个MIX。
然后你还可以在这个轨道下可以加一个L2 STEREO加强立体声的听感。当然这个就看你自己喜好了。
方法就是这样了，但是…想对比…还是买个正经直播专用声卡吧！更便宜还好用。这种虚拟跳线还是挺伤音质的。干啥活用啥工具。宝马奥迪虽好，你用它拉货试试？就是这个道理。
它适用于声卡没有内录跳线的声卡，比如雅马哈，百度达FLOW 8，福克斯特，阿波罗等声卡。当然有内录跳线的想用也行。
安装很简单，不需要破解（软件去我的音频群要），然后安装完点开WINDOWS的音频设置，在【播放】里要设成声卡本身的通道，【录制】要设成WDM的虚拟通道上（MIX，下方面示是WDM2VST DRIVER），也就是虚拟通道。记得把声卡音频采样设成一致的。如果采样不一致机架是没声音的。进机架要选你声卡本身的驱动。
记得用STUDIO ONE计划的选项【高级】通道里，【控制台】，【提示混音静音跟随系统】要点上。
音频的IO设置输入里搞个立体声通道，然后输跳线命名为【伴奏】，就设置为默认最前的位置LR就行。
然后点开输入控制界面，插件要放在伴奏轨道推子前，也就是输入通道里加，不是轨道上。这样的设置，只有给伴奏单独设置进入机架，电脑其它声音进入监听才不会直播的时候卡麦回音。
注意你要添加的第一个的WDM开头的那个。（再次提示注意，是在输入通道里哈！不是轨道上，轨道上不需要另外选输入源）
然后你的伴奏软件音频设置的播放用DIRECTSOUND SPEAKERS(WDM2VST DRIVER）那个通道。
添加一个总线通道，命名直播通道，它的功能是让进入机架的声音传出去（与之前设置的刚好相反的作用，之前的它的做用是不传出去）
在这个总线上要加虚拟跳线的插件，搜索WDM，要选VST开头的这个插件，一般出现三个它在第二个。限制器一定要加在这个之前，不能是它之后。
然后把其它做了效果的轨道发送设置发送到直播通道，直播通道设置到你的监听总线通道。
这个直播通道对应的就是声音设置的时候我们看到的那个MIX。
然后你还可以在这个轨道下可以加一个L2 STEREO加强立体声的听感。当然这个就看你自己喜好了。
方法就是这样了，但是…想对比…还是买个正经直播专用声卡吧！更便宜还好用。这种虚拟跳线还是挺伤音质的。干啥活用啥工具。宝马奥迪虽好，你用它拉货试试？就是这个道理。
还在纠结要不要买本田XR-V，这款钢炮型国产SUV不香吗？
提到10多万的SUV车型，很多人都会想到本田XR-V，毕竟买发动机送车的本田在过去很长时间都深受大家喜爱。但是如果大家真的去体验过新款本田XR-V的话，我相信如今只有1.5L车型的本田XR-V并不会让你再有购车冲动。讲真，如果你还在纠结要不要买本田XR-V，不妨看一看接下来说的这款长安UNI-T。要知道花同样的价钱，不止可以买到1.5T版长安UNI-T，还有2.0T车型可选哦。
在长安UNI-T刚刚上市的时候，很多人就愿意把它与本田XR-V放在一起比较。那时候二者因为同样采用1.5T动力而战的旗鼓相当，如今长安UNI-T依旧表现抢眼，而本田XR-V却已经彻底沦为家用买菜车。言归正传，接下来就聊一聊，除了动力层面，还有哪些方面让小编更建议大家选择长安UNI-T？
No.1：超高的颜值
在这个看颜的时代，一辆车的造型设计很容易决定它的销量。相比长安UNI-T的个性与时尚，以及出色的人机交互体验，新款本田XR-V的整体设计显然有些过于中规中矩。虽然新款本田XR-V看起来颇有回归本源的视觉效果，但是在这个追求个性、动感的时代，新款本田XR-V的造型真的很难让大家有购车冲动。
No.2：全面的配置
国产车性价比高是共识，但是像长安UNI-T这样不计成本的产品却并不多。除了触手可及的软性材质包裹之外，长安UNI-T的内饰在设计层面、做工方面都表现出远超本田XR-V的高级感。
而且长安UNI-T的标配也是让人赞不绝口，甚至可以直接对标中配本田XR-V，结合其价格来说，性价比优势真的太明显。考虑到篇幅的关系这里就不一一列举二者配置的差别，有兴趣的小伙伴可以自行对比一番，你就会明白差别到底有多大了。
No.3：实用的空间
本田素有空间魔术师的称号，也是基于这一因素，很多人都觉得作为小型SUV的本田XR-V空间也够用。可是当大家真正体验过长安UNI-T和本田XR-V之后，就会明白一个道理，够用和好用是不同的。长宽高分别为4515*1870*1545mm（轴距2710mm）的长安UNI-T不论是后排腿部空间还是储物能力都不是本田XR-V可以比拟的。对于大多数想买家用SUV的消费者来说，长安UNI-T显然比本田XR-V更值得考虑。
总体来说，我们不否认本田XR-V的优秀，但是同价位的长安UNI-T显然更有诱惑力。尤其是长安UNI-T早已不是刚刚上市第一年的新车，也是经过时间的验证。因此，同样价位选择长安UNI-T显然是明智之举。对此，你怎么看？
提到10多万的SUV车型，很多人都会想到本田XR-V，毕竟买发动机送车的本田在过去很长时间都深受大家喜爱。但是如果大家真的去体验过新款本田XR-V的话，我相信如今只有1.5L车型的本田XR-V并不会让你再有购车冲动。讲真，如果你还在纠结要不要买本田XR-V，不妨看一看接下来说的这款长安UNI-T。要知道花同样的价钱，不止可以买到1.5T版长安UNI-T，还有2.0T车型可选哦。
在长安UNI-T刚刚上市的时候，很多人就愿意把它与本田XR-V放在一起比较。那时候二者因为同样采用1.5T动力而战的旗鼓相当，如今长安UNI-T依旧表现抢眼，而本田XR-V却已经彻底沦为家用买菜车。言归正传，接下来就聊一聊，除了动力层面，还有哪些方面让小编更建议大家选择长安UNI-T？
No.1：超高的颜值
在这个看颜的时代，一辆车的造型设计很容易决定它的销量。相比长安UNI-T的个性与时尚，以及出色的人机交互体验，新款本田XR-V的整体设计显然有些过于中规中矩。虽然新款本田XR-V看起来颇有回归本源的视觉效果，但是在这个追求个性、动感的时代，新款本田XR-V的造型真的很难让大家有购车冲动。
No.2：全面的配置
国产车性价比高是共识，但是像长安UNI-T这样不计成本的产品却并不多。除了触手可及的软性材质包裹之外，长安UNI-T的内饰在设计层面、做工方面都表现出远超本田XR-V的高级感。
而且长安UNI-T的标配也是让人赞不绝口，甚至可以直接对标中配本田XR-V，结合其价格来说，性价比优势真的太明显。考虑到篇幅的关系这里就不一一列举二者配置的差别，有兴趣的小伙伴可以自行对比一番，你就会明白差别到底有多大了。
No.3：实用的空间
本田素有空间魔术师的称号，也是基于这一因素，很多人都觉得作为小型SUV的本田XR-V空间也够用。可是当大家真正体验过长安UNI-T和本田XR-V之后，就会明白一个道理，够用和好用是不同的。长宽高分别为4515*1870*1545mm（轴距2710mm）的长安UNI-T不论是后排腿部空间还是储物能力都不是本田XR-V可以比拟的。对于大多数想买家用SUV的消费者来说，长安UNI-T显然比本田XR-V更值得考虑。
总体来说，我们不否认本田XR-V的优秀，但是同价位的长安UNI-T显然更有诱惑力。尤其是长安UNI-T早已不是刚刚上市第一年的新车，也是经过时间的验证。因此，同样价位选择长安UNI-T显然是明智之举。对此，你怎么看？
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