粒子的SU(3)群
8维空间、厄米特复矩阵、矩阵群同构、纤维丛
阶为n的特殊幺正群表示为SU(n)，它是行列式值为1的n × n幺正矩阵的李群。更一般的幺正矩阵或许具有绝对值为1的复行列式，但在特殊情况下可能不是实数。群运算是不能交换的矩阵乘法。SU(n)群是幺正群U(n)的子群。作为紧致的古典群，U(n)是把标准内积保留在Cⁿ上的群。它本身是一般线性群的子群。SU(n)群在粒子物理学的标准模型中得到广泛的应用，尤其是SU(2)在电弱相互作。
1. 概况
1961年，通过盖尔曼和纽曼的论文，SU(3)第一次进入粒子物理世界。纽曼把它应用于强子(hadron)的味(flavor)，粒子涉及的粲夸克、顶夸克或底夸克在那时是未知的。在现代科学语言中，这些强子是由三种不同味的夸克组成，它们被称为上夸克、下夸克和奇夸克。SU(3)对这些夸克的作用完全相同就像同位旋作用于p和n一样，(u, d,s) → U(u,d,s)实际上是一样的同位旋。
行列式值为1的幺正3 × 3矩阵对于强相互作用是拉格朗日或哈密顿量的近似对称。保持第三个分量不变的幺正U矩阵的子集就是同位旋群SU(2)。然而，即使对于强相互作用而言，这种对称显然不是一种精确对称，因为包含奇异夸克的粒子要比其它粒子重得多。
在发现另外3种夸克味之后，人们对SU(3)作为一种味对称的兴趣基本上已经消退。这些夸克味的行为与前三种夸克味道非常不同以至于对称似乎是一种不恰当的近似。与此同时，要求夸克有三种颜色和三种味道的量子力学理论已成为理解强相互作用的标准方法，它是基于一种完全的色对称，实际上是一种规范对称。因此我们有充分的理由详细研究SU(3)，这既是为它本身，又是作为更精细群的一个示例。其生成源明显为3 × 3的厄米特无迹矩阵。这是一个八维空间，因为9个实值有一个无迹的限制，其标准基是盖尔曼最初的基。
1. 定义
SU(3)是3 × 3矩阵且行列式值为1的幺正矩阵组成的8维单李群。SU(3)的克莱布施–戈登系数是一个8维单李群。由于SU(3)是粒子物理增加的李群结构，在数学上并没有详细的定义，其定义一般依赖表示的公式和矩阵，请参见各种对SU(3)的定义，具体参见加州理工的链接。
在数学物理学中，克莱布施–戈登系数是在不耦合张量积基础上的总角动量本征态的膨胀系数。它们指定将两个不可约表示的张量积分解为不可约表示的直和，其中这些不可约表示的类型和多重性是抽象已知的。这个名字来自德国数学家克莱布施和戈登，其中戈登被称为不变量之王，他们在不变性理论上遇到同样的问题。
把克莱布施–戈登系数的SU(3)泛化是有用的，因为它们用于描述强子衰变，其中存在一种味道SU(3)对称性(八重态)，把三个轻夸克连接起来：上夸克、下夸克和奇夸克；此后又发展三个夸克粲夸克、顶夸克、底夸克。
2. SU(3)群
SU(3)是行列式(的值)等于1的群。该集合在矩阵乘法下封闭。以特殊幺正群为特征的所有转换都使规范保持不变。SU(3)的对称性出现在量子色动力学中，并且正如在夸克味对称性中所指出的那样，被称为八重态。夸克具有颜色量子数并构成SU(3)群的基本三重态表示。
SU(3)群是U(3)的子群，U(3)是所有3 × 3矩阵群。均匀性条件对3 × 3复矩阵的总计18个自由度施加9个约束关系。因此U(3)群的维数为9。此外，把U乘以一个相位e^(iφ)使范数不变。因此U(3)能分解为直积U(1) × SU(3) / Z3。由于此附加约束，SU(3)的维数为8。
3. SU(3)群的表示形式
SU(3)的不可约表示在包括赫尔的群伦在内的许多著作进行分析。由于SU(3)群是单连通的，表示与其李代数SU(3)或其李代数的复SL(3,C)一一对应。
这些表示标记为D(p,q)，其中p和q是非负整数，从物理上讲，p是夸克的数量，q是反夸克的数量。从数学上讲，我们通过把标准3维表示形式的p个副本和标准表示形式的对偶的q个副本张紧在一起，接着提取不可约不变子空间构造表示形式D(p,q)。p是一组单框列的夸克，q是一组双框列的反夸克。考虑参数p和q的另一种方法是对角矩阵的最大特征值。
4. 拓扑结构
SU(3)是一个单连通紧李群。通过注意到SU(3)在C³ = R⁶的单位球S^5上传递性地起作用，就能理解它的拓扑结构。球体内任意点的稳定子与SU(2)同构，SU(2)在拓扑上是S³。然后得出结论: SU(3)是在基S⁵上带S³纤维的纤维丛。由于纤维和基之间的连接简单，因此SU(3)的单连通是通过标准拓扑结果得出的-纤维丛的同构群的长而正合群里额，S⁵上的SU(2)纤维丛通过π₄(S³)= Z₂分类，因为我们能通过查看两个半球Sɴ⁵上的平凡丛构造任何此类纤维丛S₅⁵并查看它们的交点上的等价于S⁴的转移函数。
备注：
1. 矩阵李群: 用GL(n; C)表示复数域上的n × n可逆矩阵。GL(n, C)的任何闭子群也是一个李群；这类李群被称为矩阵李群。 由于李群中大多数有趣的例子都能用矩阵李群实现，一些教科书把注意力限制在这类李群上，包括赫尔以及罗斯曼等人，这样能简化李代数和指数映射的定义。下面是一些矩阵李群的标准样例—以上列举的群均为经典群。
1). 定义在实数域R和复数域C上的特殊线性群SL(n, R)和SL(n, C)，分别包括元素属于R或C的、行列式为1的n × n矩阵。
2). 幺正群U(n)和特殊幺正群SU(n)包含满足U* = U⁻¹；对于特殊幺正群而言，还需满足det(U) = 1的n × n复矩阵。
3). 正交群O(n)和特殊正交群SO(n)包含满足Rᵀ =R⁻¹；对于特殊正交群而言，还需满足det(R) = 1的n × n实矩阵。
2. 纤维丛：代数丛是一种纤维丛，其纤维为代数，局部平凡化遵循代数结构。因此转移函数是代数同构。由于代数是向量空间，因此每个代数丛都是向量丛。实例包括与给定向量束关联的张量—代数丛、外部丛和对称丛以及与任何黎曼向量束关联的克利福德丛。在拓扑上，纤维丛在数学上是一个局部看来像直积空间，但整体可能有不同的结构；每个纤维丛对应一个连续满射π: E→B。E和乘积空间B × F的局部类似性能用映射说明，即在每个E的局部空间U都存在一个相同的F纤维，使得π限制在 U上时与直积空间P：B × F ↦ B, P(b,f)的投影相似。一般用满射π: E→B表示一个纤维丛而忽略F，莫比乌斯环是圆上的非平凡纤维丛。
caltech: /~xcchen/img/Ph129b2020/lecture/lecture0305.pdf
rutgers: https://t.cn/A6oOxpxM
ckoerber: https://t.cn/A6oOx35K
8维空间、厄米特复矩阵、矩阵群同构、纤维丛
阶为n的特殊幺正群表示为SU(n)，它是行列式值为1的n × n幺正矩阵的李群。更一般的幺正矩阵或许具有绝对值为1的复行列式，但在特殊情况下可能不是实数。群运算是不能交换的矩阵乘法。SU(n)群是幺正群U(n)的子群。作为紧致的古典群，U(n)是把标准内积保留在Cⁿ上的群。它本身是一般线性群的子群。SU(n)群在粒子物理学的标准模型中得到广泛的应用，尤其是SU(2)在电弱相互作。
1. 概况
1961年，通过盖尔曼和纽曼的论文，SU(3)第一次进入粒子物理世界。纽曼把它应用于强子(hadron)的味(flavor)，粒子涉及的粲夸克、顶夸克或底夸克在那时是未知的。在现代科学语言中，这些强子是由三种不同味的夸克组成，它们被称为上夸克、下夸克和奇夸克。SU(3)对这些夸克的作用完全相同就像同位旋作用于p和n一样，(u, d,s) → U(u,d,s)实际上是一样的同位旋。
行列式值为1的幺正3 × 3矩阵对于强相互作用是拉格朗日或哈密顿量的近似对称。保持第三个分量不变的幺正U矩阵的子集就是同位旋群SU(2)。然而，即使对于强相互作用而言，这种对称显然不是一种精确对称，因为包含奇异夸克的粒子要比其它粒子重得多。
在发现另外3种夸克味之后，人们对SU(3)作为一种味对称的兴趣基本上已经消退。这些夸克味的行为与前三种夸克味道非常不同以至于对称似乎是一种不恰当的近似。与此同时，要求夸克有三种颜色和三种味道的量子力学理论已成为理解强相互作用的标准方法，它是基于一种完全的色对称，实际上是一种规范对称。因此我们有充分的理由详细研究SU(3)，这既是为它本身，又是作为更精细群的一个示例。其生成源明显为3 × 3的厄米特无迹矩阵。这是一个八维空间，因为9个实值有一个无迹的限制，其标准基是盖尔曼最初的基。
1. 定义
SU(3)是3 × 3矩阵且行列式值为1的幺正矩阵组成的8维单李群。SU(3)的克莱布施–戈登系数是一个8维单李群。由于SU(3)是粒子物理增加的李群结构，在数学上并没有详细的定义，其定义一般依赖表示的公式和矩阵，请参见各种对SU(3)的定义，具体参见加州理工的链接。
在数学物理学中，克莱布施–戈登系数是在不耦合张量积基础上的总角动量本征态的膨胀系数。它们指定将两个不可约表示的张量积分解为不可约表示的直和，其中这些不可约表示的类型和多重性是抽象已知的。这个名字来自德国数学家克莱布施和戈登，其中戈登被称为不变量之王，他们在不变性理论上遇到同样的问题。
把克莱布施–戈登系数的SU(3)泛化是有用的，因为它们用于描述强子衰变，其中存在一种味道SU(3)对称性(八重态)，把三个轻夸克连接起来：上夸克、下夸克和奇夸克；此后又发展三个夸克粲夸克、顶夸克、底夸克。
2. SU(3)群
SU(3)是行列式(的值)等于1的群。该集合在矩阵乘法下封闭。以特殊幺正群为特征的所有转换都使规范保持不变。SU(3)的对称性出现在量子色动力学中，并且正如在夸克味对称性中所指出的那样，被称为八重态。夸克具有颜色量子数并构成SU(3)群的基本三重态表示。
SU(3)群是U(3)的子群，U(3)是所有3 × 3矩阵群。均匀性条件对3 × 3复矩阵的总计18个自由度施加9个约束关系。因此U(3)群的维数为9。此外，把U乘以一个相位e^(iφ)使范数不变。因此U(3)能分解为直积U(1) × SU(3) / Z3。由于此附加约束，SU(3)的维数为8。
3. SU(3)群的表示形式
SU(3)的不可约表示在包括赫尔的群伦在内的许多著作进行分析。由于SU(3)群是单连通的，表示与其李代数SU(3)或其李代数的复SL(3,C)一一对应。
这些表示标记为D(p,q)，其中p和q是非负整数，从物理上讲，p是夸克的数量，q是反夸克的数量。从数学上讲，我们通过把标准3维表示形式的p个副本和标准表示形式的对偶的q个副本张紧在一起，接着提取不可约不变子空间构造表示形式D(p,q)。p是一组单框列的夸克，q是一组双框列的反夸克。考虑参数p和q的另一种方法是对角矩阵的最大特征值。
4. 拓扑结构
SU(3)是一个单连通紧李群。通过注意到SU(3)在C³ = R⁶的单位球S^5上传递性地起作用，就能理解它的拓扑结构。球体内任意点的稳定子与SU(2)同构，SU(2)在拓扑上是S³。然后得出结论: SU(3)是在基S⁵上带S³纤维的纤维丛。由于纤维和基之间的连接简单，因此SU(3)的单连通是通过标准拓扑结果得出的-纤维丛的同构群的长而正合群里额，S⁵上的SU(2)纤维丛通过π₄(S³)= Z₂分类，因为我们能通过查看两个半球Sɴ⁵上的平凡丛构造任何此类纤维丛S₅⁵并查看它们的交点上的等价于S⁴的转移函数。
备注：
1. 矩阵李群: 用GL(n; C)表示复数域上的n × n可逆矩阵。GL(n, C)的任何闭子群也是一个李群；这类李群被称为矩阵李群。 由于李群中大多数有趣的例子都能用矩阵李群实现，一些教科书把注意力限制在这类李群上，包括赫尔以及罗斯曼等人，这样能简化李代数和指数映射的定义。下面是一些矩阵李群的标准样例—以上列举的群均为经典群。
1). 定义在实数域R和复数域C上的特殊线性群SL(n, R)和SL(n, C)，分别包括元素属于R或C的、行列式为1的n × n矩阵。
2). 幺正群U(n)和特殊幺正群SU(n)包含满足U* = U⁻¹；对于特殊幺正群而言，还需满足det(U) = 1的n × n复矩阵。
3). 正交群O(n)和特殊正交群SO(n)包含满足Rᵀ =R⁻¹；对于特殊正交群而言，还需满足det(R) = 1的n × n实矩阵。
2. 纤维丛：代数丛是一种纤维丛，其纤维为代数，局部平凡化遵循代数结构。因此转移函数是代数同构。由于代数是向量空间，因此每个代数丛都是向量丛。实例包括与给定向量束关联的张量—代数丛、外部丛和对称丛以及与任何黎曼向量束关联的克利福德丛。在拓扑上，纤维丛在数学上是一个局部看来像直积空间，但整体可能有不同的结构；每个纤维丛对应一个连续满射π: E→B。E和乘积空间B × F的局部类似性能用映射说明，即在每个E的局部空间U都存在一个相同的F纤维，使得π限制在 U上时与直积空间P：B × F ↦ B, P(b,f)的投影相似。一般用满射π: E→B表示一个纤维丛而忽略F，莫比乌斯环是圆上的非平凡纤维丛。
caltech: /~xcchen/img/Ph129b2020/lecture/lecture0305.pdf
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好久没更新了 最近有点小忙 emm…这其实也是借口啦 就是懒了 嘻嘻 最近总感觉脑子充斥了很多东西 可是要表达的时候又空空的 就像此刻吧 动动小脑筋还是选择想些开心的事情 它们可是我糟糕生活里的支撑点 这一周映像最深刻的一件快乐小事就是把经济学中常用到拉格朗日函数学会了 还能想起上学期在家学高数的状态虽然真没听 但是再次接触的时候发现至少我不会对它有很强烈的抗拒 还有一个开心的点就是有点燃起了那种曾经对数学的喜爱了 也许我现在学的科目里最能给我那种热烈而直接的快感的就是数学吧 周三的快乐也不能忘记 收到了宝贝给买的棉袜 这个天气穿到脚上好踏实啊 最近都舍不得脱掉它 睡觉都想穿着睡 还有一件开心的小事就是周五在宿舍里专注的看俞飞鸿的采访 看着她的采访就像一股温流能暂时抚平心灵的伤痛 也开启了我看世界的一条新的路径 被喜欢被认可都会是每个角色都渴望的 但是好像也没必要为了被认可而被认可 为了被喜爱而被喜爱 找到一种自己喜欢舒适的状态 在那个小天地里专注的做自己 淡淡的快乐也许更有韵味
对了⊙∀⊙！特此感谢一位老乡学长耐心配合我完成了作业。
对了⊙∀⊙！特此感谢一位老乡学长耐心配合我完成了作业。
#高等数学#【我假借天神名义泄露天机】#HLWRC高数#求极限定律当属泰勒公式乘法天下第一呀！#数学分析#LNLNLN高考研究所预测高数数学分析好题目：我把重要limit的((e^x-1)/x)^(1/x)的未知数艾克斯x全部替换为Ln(x+1)再相减，#微积分calculus#对数是logarithm的LNX，不是专升本inx唉，#领航计划#然后分母得到埃克斯的平方：x^2，呢喃细语不能用in低级拉格朗日中值定理了吗？#高维生命体#思维破裂精神病测评神预言新鲜出炉：麦克劳林展开式卧底贴吧原批笑话吧唉！#湖南桃江农村方言即将变异消失#我口腔溃疡满嘴起疱：中间人(登尴凝)，加减乘除(佳赶棱局)，横直(文刺)... https://t.cn/A6i13Zae
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