群的特征标

在群论中，群表示的特征标是群上的一个函数，该函数把每个群元素与相应矩阵的迹相关联。该特征以更浓缩的形式携带有关表示的基本信息。 Frobenius最初完全基于特征发展有限群的表示理论而没有任何表示本身的显式矩阵实现。这是可能的，因为有限群的复杂表示是由其特征决定的(直至同构)。在一个正特征域上，即所谓的“模表示”更为微妙，但理查德布劳尔在这种情况下发展一个强大的特征理论。许多关于有限群结构的深层定理都使用模表示的特征。

1. 应用

不可约表示的特征编码群的许多重要性质，因此可用于研究其结构。特征理论是有限单群分类的重要工具。接近一半的Feit-Thompson定理证明涉及复杂的计算使用特征理论的更简单但仍然必不可少的结果包括伯恩赛德定理(伯恩赛德定理的纯群论证明已经被发现，但该证明比伯恩赛德最初的证明晚半个世纪)以及理查德布劳尔的定理和Michio Suzuki指出有限单群不能有广义四元数群作为它的 Sylow 2-子群。

2. 定义

令V是域 F上的有限维向量空间，令ρ: G → GL(V) 是V上群G的表示。ρ的特征是函数 χ_{ρ}: G → F由下式给出

χ_{ρ} = Tr(ρ(g));

其中Tr是ρ(g)的迹；

如果ρ是不可约表示，那么特征标χ_{ρ}称为不可约或单的。特征χ的度数是ρ的维数；在特征零中，这等于值 χ(1)。度数为1的字符称为线性. 当G有限且F的特征为零时，特征χ_{ρ} 的核是正规子群：

ker χ_{ρ} := {g ∈ G | χ_{ρ}(g) = χ_{ρ}(1)};

这正是表示ρ的核。然而，该特征一般不是群同态。

3. 特性

...

顺便说说这个"Jibbs"碰到的事情，Yale 曾经连续7次拒绝向著名的物理学家 Gibbs 发薪水，理由是认为他的研究没有意义。 有一个故事说有一个人试图画出 Lefschetz 的数学后代家族树，几个月后，他就不得不放弃，因为根本找不到一张足够大的纸，这是一个指数增长的典型例子。越是这种大数学家，他的学生一般来说越多，受到他影响的人也就越多。 再譬如说在 Berkeley 的一次逻辑学的会议上，Tarski 请 Sierpinski 的学生举一下手，大部分人都举了手，然后 Tarski 请 Sierpinski 的学生和学生的学生举手，所有人都举了手 。这两个人都是波兰的最最著名的数学家。 最后我列举一下一些数学家的师承，这个不完全，其实是很不完全，希望大家补充 ： Dirichlet 是 Riemann 的老师 Wierestrass 是 Cantor, Killing 和 Frobenius 的老师 Noether 是 van de Wearden， Alexandroff 的老师。 Hardy 是 Wiener 的高等数学的老师, Hermite 是 Dini 的老师 Hadamard 是 Frechet 的老师 Kronecker 是 Kummer 的老师 Sylow 是 S.Lie 的老师 Hodge 是 Atiyah 的老师 Gauss 的小学老师是 Lobachevsky 的大学老师 Hilbert 是无穷多个人的老师 Kummer 的妻子是 Dirichlet 的表妹Laurent Schwartz 是 Paul Levy 的女婿

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2021.03.28

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