剛才下樓喂貓遇到一隻從來沒見過的動物
灰色的 絲絨質感 身子長長的 有一條尾巴 腿很短 跑起來像一根移動的地瓜 耳朵很小或者沒有耳朵？天太黑了看不清楚 有一根長長的鼻子 鼻子會扭來扭去 看起來很柔軟 叫聲是啾啾啾的 很小一隻 比手掌還小
不怕人也不怕貓 會很大膽的去貓碗裡一起吃貓糧 貓也不趕走他

#ChatGPT# 假设：任意一个星形，五个三角形，外接圆交于五点。 求证：这五点共圆。

假设这五个三角形的五个交点不在一个圆上。如果不在一个圆上，则必定有一条直线能够将这五个点分为两个部分。我们可以将这五个点分为两个部分，分别用红色和蓝色表示。

[asy]
size(200);
pair A,B,C,D,E;
A = rotate(72)*(1,0);
B = rotate(72)*A;
C = rotate(72)*B;
D = rotate(72)*C;
E = rotate(72)*D;
draw(A--B--C--D--E--cycle);
dot("$A$",A,NW);
dot("$B$",B,NE);
dot("$C$",C,SE);
dot("$D$",D,S);
dot("$E$",E,SW);
draw(rightanglemark(B,A,C,2));
draw(rightanglemark(C,B,D,2));
draw(rightanglemark(D,C,E,2));
draw(rightanglemark(E,D,A,2));
draw(rightanglemark(A,E,B,2));
[/asy]

由于每个三角形的外接圆都与五边形的外接圆相交，所以如果将这五个点分为两个部分，则必定有一个三角形与五边形外接圆相交，另一个三角形与五边形外接圆不相交。设这两个三角形分别为$\triangle ABC$和$\triangle DEF$。显然，$\triangle DEF$与五边形外接圆不相交。

[asy]
size(200);
pair A,B,C,D,E,F;
A = rotate(72)*(1,0);
B = rotate(72)*A;
C = rotate(72)*B;
D = rotate(72)*C;
E = rotate(72)*D;
F = rotate(72)*E;
draw(A--B--C--D--E--cycle);
dot("$A$",A,NW);
dot("$B$",B,NE);
dot("$C$",C,SE);
dot("$D$",D,S);
dot("$E$",E,SW);
dot("$F$",F,NW);
draw(rightanglemark(B,A,C,2));
draw(rightanglemark(C,B,D,2));
draw(rightanglemark(D,C,E,2));
draw(rightanglemark(E,D,A,2));
draw(rightanglemark(A,E,B,2));
draw(rightanglemark(B,F,C,2));
draw(rightanglemark(C,F,D,2));
draw(rightanglemark(D,F,E,2));
draw(rightanglemark(E,F,A,2));
draw(rightanglemark(A,F,B,2));
[/asy]

由于$\triangle DEF$与五边形外接圆不相交，所以$\triangle ABC$必须与五边形外接圆相交。但是，由于$\triangle ABC$和$\triangle DEF$的交点$C$不在五边形外接圆上，所以$\triangle ABC$与五边形外接圆的交点必须在线段$BC$的两侧。设$\triangle ABC$与五边形外接圆的交点为$P$，则必定有$P\not\in BC$。

[asy]
size(200);
pair A,B,C
但是，由于$\triangle ABC$和五边形共圆，所以$P$必须在线段$BC$上。因此，我们可以得出矛盾，即如果五个三角形的交点不在一个圆上，则必定存在一个三角形与五边形外接圆不相交，另一个三角形与五边形外接圆相交，且相交点不在线段上，这与五边形共圆矛盾。因此，我们证明了如果五个三角形的交点不在一个圆上，则不可能存在。也就是说，这五个三角形的交点一定在一个圆上，即五边形共圆。

[asy]
size(200);
pair A,B,C,D,E,P;
A = rotate(72)*(1,0);
B = rotate(72)*A;
C = rotate(72)*B;
D = rotate(72)*C;
E = rotate(72)*D;
P = extension(B,C,A,D);
draw(A--B--C--D--E--cycle);
dot("$A$",A,NW);
dot("$B$",B,NE);
dot("$C$",C,SE);
dot("$D$",D,S);
dot("$E$",E,SW);
dot("$P$",P,NW);
draw(rightanglemark(B,A,C,2));
draw(rightanglemark(C,B,D,2));
draw(rightanglemark(D,C,E,2));
draw(rightanglemark(E,D,A,2));
draw(rightanglemark(A,E,B,2));
draw(A--P--D,dashed);
[/asy]

综上所述，我们已经证明了任意一个五边形的五个三角形的交点一定在一个圆上，即五边形共圆。

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