卡拉比–邱流形背后的耀眼的思想光芒
不像从外表上比较直观而迅速地看到一个人或物的美丽，有些很深入的思想，一个有悟性又勤奋的人只有凝聚整个人生的知识、经验和洞察力，才有可能一窥其内蕴的美丽。相对论是其中一个，陈示性类是其中一个，凯勒流形是其中一个，卡拉比–邱定理也是其中一个。不仅如此，你无法预测自己30岁、40、甚至60岁就能理解它，因为这些思想太过深奥和困难。
0. 卡拉比猜想:
令M为紧致的凯勒流形，那么对其第一陈类中的任何一个(1,1)微分形式R，都存在唯一的一个凯勒度量，其里奇形式恰好是R。
1. 凯勒流形：
一个紧致凯勒流形是满足一个可积条件李群中的酉群(或幺正群)有封闭且范围有限的凯勒流形，它是一个同时满足黎曼流形 、复流形以及辛流形(辛群是线性复群)的微分流形：
U(n) = O(2n) ⋂ GL(n,C) ⋂ Sₚ(2n)；
带有一个埃尔米特度量的流形是殆埃尔米特流形；凯勒流形是带有满足一个可积性条件的埃尔米特度量的流形，以上三种结构之间的联系表述如下：
h = g = iω;
其中：
h是埃尔米特形式；
g是黎曼度量；
i 是殆复结构；
ω是殆辛结构；
复流形M上一个凯勒度量是切丛上一个埃尔米特度量，满足一个有多种等价刻画的条件，由几何的方式是由度量诱导的平行移动在切空间上给出复线性映射。在利用局部坐标时，它规定如下埃尔米特度量:
h = Σh_{ij'} dzⁱ ⊗ dz'ʲ;
不仅如此，在上述条件下给出在相差一个因子i/2的意义下，凯勒形式定义为在dω=0时是闭的，且复流形M带上这样一个度量就称为凯勒流形：
ω = Σh_{ij'} dzⁱ Λ dz'ʲ;
一个紧致凯勒流形的体积能用如下方式简要地计算：vol(Y) = 1 / r! ∫_{Y} ωʳ。
一个凯勒流形伴随的凯勒形式和度量称为凯勒-爱因斯坦，当且仅当它的里奇张量与度量张量成比例，对某个常数 λ，Ric G = λg。它是为了纪念爱因斯坦关于宇宙常数的考虑。
2. 陈示性类：
根据欧拉最早的创见，对于凸多面体，其顶点数V、边数E和面数F满足欧拉示性数χ: V − E + F = 2。它不但是多面体或球面的一种属性，而且是线段、直线、圆、救生圈等各种形状物体的属性。
示性类理论既是流形上的大范围分析学的一个分支，又是拓扑学的一个分支。示性类理论研究向量丛的上同调类及其计算。示性类是一般向量丛结构的基本不变量，具有不可缺少的重要性。因为研究示性类的方法有许多种，所以示性类的定义就有多种。
在解决复流形的示性类之前，我们需要阐明高斯-博内公式以及衍生公式。
法国数学家博内把关于三角形的公式推广到一般的情况，得到今天被称为高斯—博内公式。对于一曲面上封闭的二维区域M，∂M是其边界，K为M上诸点的高斯曲率， k_(g)是边界上的测地曲率，那么有如下高斯-博内公式：
∫_{M} K dA + ∫_{∂M} k_(g) ds = 2πχ(M);
高斯—博内公式把微分几何的曲面论和拓扑学的欧拉示性数联系在一起，在数学上具有重大的意义。
陈省身在普林斯顿高等研究院证明：对于任何闭C^∞可定向的n维流形M，一般的高斯-博内-陈公式成立：
χ(M) = (e(TM),[M]);
其中(,)表示与正切丛的欧拉(示性)类的外积TM。
在解决高斯-博内问题的证明后，陈省身在芝加哥大学创作陈示性类。示性类理论最早的创始者是斯蒂弗尔和惠特尼，他们几乎同时在1935年发现示性类，斯蒂弗尔引进并研究光滑流形切丛所确定的示性同调类，而惠特尼处理的是任意球丛。陈省身研究复格拉斯曼流形的上同调结构，从而对复向量丛定义陈示性类(或陈类)。
为复向量丛定义的特征类，复向量丛ξ在基底B上的一个陈类，用cᵢ(ξ) ∈ h_2 (B)表示，对所有自然指标i都有定义。完备的陈氏类是指非齐次特征类1 + c₁ + c₂ +…，其陈氏多项式为表达式ct = 1 + c₁t + c₂t² + …，其中t是形式未知数。在埃尔米特流形的特征类中引入陈类。
为所有n维复向量丛定义的特征类，其值在整上同调中，能自然地用环H**(BUₙ)的元素标识。在这个意义上，陈类cᵢ可被认为是群H²ⁱ(BUₙ)的元素，完全陈类是环H∗∗(BUₙ)的元素，陈多项式是形式幂级数环H∗∗(BUₙ)的元素[[t]]。
3. 卡拉比-丘流形：
凯勒流形的一个重要子类是卡拉比–丘流形。卡拉比率先考虑凯勒流形上的微分几何问题，特别是典范凯勒-爱因斯坦度量的存在性与唯一性问题。丘成桐于七十年代取得突破性进展，近年来此问题取得数学界极其广泛的关注，属于微分几何中的中心问题之一。
要证明卡拉比猜想，就要证明第一陈类为零的紧致凯勒流形上是否存在里奇平坦的结构？里奇平坦说的就是里奇度规Ruv = 0。丘成桐思考：若能构造出一个第一陈类为零的紧致凯勒流形且上面不存在里奇平坦的结构，则卡拉比猜想就被推翻。然而，在构造反例的过程中，丘成桐在一次数学大会上提交给卡拉比的第一个反例被证明是错误的，吓得丘成桐出了一身冷汗。
丘成桐发现证明卡拉比猜想等价于要证明凯勒流形上一种名叫蒙日—安培的二阶偏微分方程解的唯一性问题。复数的蒙日—安培方程至多只有一个解。在2个变量(x,y)的情形，而其中A, B, C,... 是关于(x,y)的已知变量，我们能求解椭圆型、双曲型和抛物型方程，线性二阶偏微分方程的形式是：
Au_{xx} + 2Bu_{xy) + Cu_{yy} + Du_{x} + Eu_{y} + F_{u} = 0;
为了计算损失函数的最小值得到的方程，蒙日和安培对于非线性的蒙日—安培方程， 它表示为如下形式：
A(u_{xx} u_{yy} - v_xy}^2 + Bu_{xx} + 2C8_{xy} + Du_{yy} + E = 0;
蒙日—安培方程有一个比较棘手的非线性偏微分方程，数学家在很长时间内不能没直接解出来且搞不清楚这个方程是否有唯一的解。
对于三维欧几里得空间R³里的实数蒙日—安培方程，数学家们知道了以下的定理：给定函数在一个区域Ω边界条件且有 BD - C² - AE > 0，那么满足蒙日—安培方程的函数有至多两个解。对于满足第一陈类为零的紧致凯勒流形，丘成桐在接下来的三年内证明了其流形上复数的蒙日—安培方程，至多只有一个解，并由此证明了卡拉比猜想。
在数学上，卡拉比-丘流形是一个的第一陈示性类为0的紧n凯勒流形，也叫做卡拉比-丘-n流形。数学家卡拉比在1957年猜想所有这种流形对于每个凯勒类都有一个里奇平直流形的度量，该猜想于1977年被丘成桐证明，成为丘定理。因此卡拉比-丘流形也可定义为紧里奇平直卡拉比流形。
备注:
1.殆复流形(almost complex manifold)是其切空间具有复结构的实微分流形。设M是一个微分流形，若它的切丛有复结构，则切丛T(M)上的一个复结构J称为M上的殆复结构。有此结构的流形M称为殆复流形。
berkeley: https://t.cn/A6OnwaFK
不像从外表上比较直观而迅速地看到一个人或物的美丽，有些很深入的思想，一个有悟性又勤奋的人只有凝聚整个人生的知识、经验和洞察力，才有可能一窥其内蕴的美丽。相对论是其中一个，陈示性类是其中一个，凯勒流形是其中一个，卡拉比–邱定理也是其中一个。不仅如此，你无法预测自己30岁、40、甚至60岁就能理解它，因为这些思想太过深奥和困难。
0. 卡拉比猜想:
令M为紧致的凯勒流形，那么对其第一陈类中的任何一个(1,1)微分形式R，都存在唯一的一个凯勒度量，其里奇形式恰好是R。
1. 凯勒流形：
一个紧致凯勒流形是满足一个可积条件李群中的酉群(或幺正群)有封闭且范围有限的凯勒流形，它是一个同时满足黎曼流形 、复流形以及辛流形(辛群是线性复群)的微分流形：
U(n) = O(2n) ⋂ GL(n,C) ⋂ Sₚ(2n)；
带有一个埃尔米特度量的流形是殆埃尔米特流形；凯勒流形是带有满足一个可积性条件的埃尔米特度量的流形，以上三种结构之间的联系表述如下：
h = g = iω;
其中：
h是埃尔米特形式；
g是黎曼度量；
i 是殆复结构；
ω是殆辛结构；
复流形M上一个凯勒度量是切丛上一个埃尔米特度量，满足一个有多种等价刻画的条件，由几何的方式是由度量诱导的平行移动在切空间上给出复线性映射。在利用局部坐标时，它规定如下埃尔米特度量:
h = Σh_{ij'} dzⁱ ⊗ dz'ʲ;
不仅如此，在上述条件下给出在相差一个因子i/2的意义下，凯勒形式定义为在dω=0时是闭的，且复流形M带上这样一个度量就称为凯勒流形：
ω = Σh_{ij'} dzⁱ Λ dz'ʲ;
一个紧致凯勒流形的体积能用如下方式简要地计算：vol(Y) = 1 / r! ∫_{Y} ωʳ。
一个凯勒流形伴随的凯勒形式和度量称为凯勒-爱因斯坦，当且仅当它的里奇张量与度量张量成比例，对某个常数 λ，Ric G = λg。它是为了纪念爱因斯坦关于宇宙常数的考虑。
2. 陈示性类：
根据欧拉最早的创见，对于凸多面体，其顶点数V、边数E和面数F满足欧拉示性数χ: V − E + F = 2。它不但是多面体或球面的一种属性，而且是线段、直线、圆、救生圈等各种形状物体的属性。
示性类理论既是流形上的大范围分析学的一个分支，又是拓扑学的一个分支。示性类理论研究向量丛的上同调类及其计算。示性类是一般向量丛结构的基本不变量，具有不可缺少的重要性。因为研究示性类的方法有许多种，所以示性类的定义就有多种。
在解决复流形的示性类之前，我们需要阐明高斯-博内公式以及衍生公式。
法国数学家博内把关于三角形的公式推广到一般的情况，得到今天被称为高斯—博内公式。对于一曲面上封闭的二维区域M，∂M是其边界，K为M上诸点的高斯曲率， k_(g)是边界上的测地曲率，那么有如下高斯-博内公式：
∫_{M} K dA + ∫_{∂M} k_(g) ds = 2πχ(M);
高斯—博内公式把微分几何的曲面论和拓扑学的欧拉示性数联系在一起，在数学上具有重大的意义。
陈省身在普林斯顿高等研究院证明：对于任何闭C^∞可定向的n维流形M，一般的高斯-博内-陈公式成立：
χ(M) = (e(TM),[M]);
其中(,)表示与正切丛的欧拉(示性)类的外积TM。
在解决高斯-博内问题的证明后，陈省身在芝加哥大学创作陈示性类。示性类理论最早的创始者是斯蒂弗尔和惠特尼，他们几乎同时在1935年发现示性类，斯蒂弗尔引进并研究光滑流形切丛所确定的示性同调类，而惠特尼处理的是任意球丛。陈省身研究复格拉斯曼流形的上同调结构，从而对复向量丛定义陈示性类(或陈类)。
为复向量丛定义的特征类，复向量丛ξ在基底B上的一个陈类，用cᵢ(ξ) ∈ h_2 (B)表示，对所有自然指标i都有定义。完备的陈氏类是指非齐次特征类1 + c₁ + c₂ +…，其陈氏多项式为表达式ct = 1 + c₁t + c₂t² + …，其中t是形式未知数。在埃尔米特流形的特征类中引入陈类。
为所有n维复向量丛定义的特征类，其值在整上同调中，能自然地用环H**(BUₙ)的元素标识。在这个意义上，陈类cᵢ可被认为是群H²ⁱ(BUₙ)的元素，完全陈类是环H∗∗(BUₙ)的元素，陈多项式是形式幂级数环H∗∗(BUₙ)的元素[[t]]。
3. 卡拉比-丘流形：
凯勒流形的一个重要子类是卡拉比–丘流形。卡拉比率先考虑凯勒流形上的微分几何问题，特别是典范凯勒-爱因斯坦度量的存在性与唯一性问题。丘成桐于七十年代取得突破性进展，近年来此问题取得数学界极其广泛的关注，属于微分几何中的中心问题之一。
要证明卡拉比猜想，就要证明第一陈类为零的紧致凯勒流形上是否存在里奇平坦的结构？里奇平坦说的就是里奇度规Ruv = 0。丘成桐思考：若能构造出一个第一陈类为零的紧致凯勒流形且上面不存在里奇平坦的结构，则卡拉比猜想就被推翻。然而，在构造反例的过程中，丘成桐在一次数学大会上提交给卡拉比的第一个反例被证明是错误的，吓得丘成桐出了一身冷汗。
丘成桐发现证明卡拉比猜想等价于要证明凯勒流形上一种名叫蒙日—安培的二阶偏微分方程解的唯一性问题。复数的蒙日—安培方程至多只有一个解。在2个变量(x,y)的情形，而其中A, B, C,... 是关于(x,y)的已知变量，我们能求解椭圆型、双曲型和抛物型方程，线性二阶偏微分方程的形式是：
Au_{xx} + 2Bu_{xy) + Cu_{yy} + Du_{x} + Eu_{y} + F_{u} = 0;
为了计算损失函数的最小值得到的方程，蒙日和安培对于非线性的蒙日—安培方程， 它表示为如下形式：
A(u_{xx} u_{yy} - v_xy}^2 + Bu_{xx} + 2C8_{xy} + Du_{yy} + E = 0;
蒙日—安培方程有一个比较棘手的非线性偏微分方程，数学家在很长时间内不能没直接解出来且搞不清楚这个方程是否有唯一的解。
对于三维欧几里得空间R³里的实数蒙日—安培方程，数学家们知道了以下的定理：给定函数在一个区域Ω边界条件且有 BD - C² - AE > 0，那么满足蒙日—安培方程的函数有至多两个解。对于满足第一陈类为零的紧致凯勒流形，丘成桐在接下来的三年内证明了其流形上复数的蒙日—安培方程，至多只有一个解，并由此证明了卡拉比猜想。
在数学上，卡拉比-丘流形是一个的第一陈示性类为0的紧n凯勒流形，也叫做卡拉比-丘-n流形。数学家卡拉比在1957年猜想所有这种流形对于每个凯勒类都有一个里奇平直流形的度量，该猜想于1977年被丘成桐证明，成为丘定理。因此卡拉比-丘流形也可定义为紧里奇平直卡拉比流形。
备注:
1.殆复流形(almost complex manifold)是其切空间具有复结构的实微分流形。设M是一个微分流形，若它的切丛有复结构，则切丛T(M)上的一个复结构J称为M上的殆复结构。有此结构的流形M称为殆复流形。
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国庆节放假回家文案 ：
₍ᐢ..ᐢ₎♡²⁰²³
- 下一站·家～
1.国庆拍了拍你说
该回家过节了
2.
回家的路上风都是甜的
3.G͆o͆ H͆o͆m͆e͆
是烟火气，是归属感，是惬意，是幸福
4.♀️放假啦 | 喜提⑧天小长假
要回到我日夜思念的地方了
5. ✌︎ ʺ̤
今日日記：回家
6.
回家永远是一个温柔的词
7.放̤̮假̤̮➕回家➕見面
〓無敵快̆̈乐̆̈⠉̮⃝
8.饭桌上，妈妈做的饭，还冒着热气，这才是人世间最有烟火气的生活呀！
9.是谁放假回家啦
原来是我呀
10.穿过人山人海
长途跋涉
只为与家人一聚！
11.回家两个字治愈了
“一切不开心”
12.即使回家的路再拥挤，
也阻挡不了我回家的心!
13.
回家啦“ㅁ슴ㅁ슴ㅁ슴ㅁ슴”
14.长大后无法掩饰的
快乐就是回家
15.回家两个字 能治愈一切不开心
16.走过最多的路
都比不上回家的路
17.城市再繁华比不上回家的风景
18."总有人四海漂泊，又偏爱回家"
₍ᐢ..ᐢ₎♡²⁰²³
- 下一站·家～
1.国庆拍了拍你说
该回家过节了
2.
回家的路上风都是甜的
3.G͆o͆ H͆o͆m͆e͆
是烟火气，是归属感，是惬意，是幸福
4.♀️放假啦 | 喜提⑧天小长假
要回到我日夜思念的地方了
5. ✌︎ ʺ̤
今日日記：回家
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回家永远是一个温柔的词
7.放̤̮假̤̮➕回家➕見面
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8.饭桌上，妈妈做的饭，还冒着热气，这才是人世间最有烟火气的生活呀！
9.是谁放假回家啦
原来是我呀
10.穿过人山人海
长途跋涉
只为与家人一聚！
11.回家两个字治愈了
“一切不开心”
12.即使回家的路再拥挤，
也阻挡不了我回家的心!
13.
回家啦“ㅁ슴ㅁ슴ㅁ슴ㅁ슴”
14.长大后无法掩饰的
快乐就是回家
15.回家两个字 能治愈一切不开心
16.走过最多的路
都比不上回家的路
17.城市再繁华比不上回家的风景
18."总有人四海漂泊，又偏爱回家"
²⁰²³年┊ ⁹月²⁶日
最有意义的生活建议就是对消耗能量的事情说 "不"，对创造能量的事情说 "好"。
h a v e a s w e e t d a y
#励志哲理人生[超话]##励志语录##生活##朋友圈文案[超话]##生活语录##随手拍一夏##日常治愈瞬间##人生语录##正能量语录##文案##读书笔记##微商励志正能量早安晚安语录##正能量、励志、经典语录合集[超话]##晚安语录##励志人生感悟##微商正能量励志语录##正能量、励志、经典语录合集##情感语录##经典语录#正能量#正能量#早安心语[超话]##晚安心语[超话]##走出抑郁症[超话]##心情日记[超话]##情感人生[超话]##街头摄影[超话]##早安[超话]##早安心语[超话]##早安正能量[超话]##早安语录[超话]##晚安[超话]##晚安心语[超话]##晚安语录[超话]##正能量[超话]##生活正能量打卡[超话]##正能量、励志、经典语录合集[超话]##励志[超话]##励志语录[超话]##正能量、励志、经典语录合集[超话]##生活感悟[超话]##朋友圈文案[超话]#
最有意义的生活建议就是对消耗能量的事情说 "不"，对创造能量的事情说 "好"。
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