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书名：《唐秋堇付楚怀》又名《唐秋堇付楚怀》
主角：唐秋堇付楚怀
《唐秋堇付楚怀》又名《唐秋堇付楚怀》
《唐秋堇付楚怀》又名《唐秋堇付楚怀》
《唐秋堇付楚怀》又名《唐秋堇付楚怀》
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《桑槿祁遇》又名《桑槿祁遇》
《桑槿祁遇》又名《桑槿祁遇》
一大早，纪沐泞和姜延就把屋子里里外外又清扫了一遍才收拾东西准备离开。
关上大门时，姜延还是问了句：“你真不打算去跟陆司令说一声？”
纪沐泞耸耸肩：“不用了，我早跟他说过今天就走。”
姜延沉默，似乎还在担忧着什么。
见状，纪沐泞主动牵起他的手：“走吧，咱们早点回去，把结婚报告打了。”
听了这话，姜延脸上才漾出一抹笑：“好。”
两人一路往部队大门走，以往训练场总是传来热血沸腾的口号，可今天似乎冷清了很多。
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《苏影贺之南》苏影贺之南
先帝创业未半而中道崩殂，今天下三分，益州疲弊，此诚危急存亡之秋也。然侍卫之臣不懈于内，忠志之士忘身于外者，盖追先帝之殊遇，欲报之于陛下也。诚宜开张圣听，以光先帝遗德，恢弘志士之气，不宜妄自菲薄，引喻失义，以塞忠谏之路也。
宫中府中，俱为一体；陟罚臧否，不宜异同。若有作奸犯科及为忠善者，宜付有司论其刑赏，以昭陛下平明之理，不宜偏私，使内外异法也。
侍中、侍郎郭攸之、费祎、董允等，此皆良实，志虑忠纯，是以先帝简拔以遗陛下。愚以为宫中之事，事无大小，悉以咨之，然后施行，必能裨补阙漏，有所广益。
将军向宠，性行淑均，晓畅军事，试用于昔日，先帝称之曰能，是以众议举宠为督。愚以为营中之事，悉以咨之，必能使行阵和睦，优劣得所。
亲贤臣，远小人，此先汉所以兴隆也；亲小人，远贤臣，此后汉所以倾颓也。先帝在时，每与臣论此事，未尝不叹息痛恨于桓、灵也。侍中、尚书、长史、参军，此悉贞良死节之臣，愿陛下亲之信之，则汉室之隆，可计日而待也。
臣本布衣，躬耕于南阳，苟全性命于乱世，不求闻达于诸侯。先帝不以臣卑鄙，猥自枉屈，三顾臣于草庐之中，咨臣以当世之事，由是感激，遂许先帝以驱驰。后值倾覆，受任于败军之际，奉命于危难之间，尔来二十有一年矣。
先帝知臣谨慎，故临崩寄臣以大事也。受命以来，夙夜忧叹，恐托付不效，以伤先帝之明；故五月渡泸，深入不毛。今南方已定，兵甲已足，当奖率三军，北定中原，庶竭驽钝，攘除奸凶，兴复汉室，还于旧都。此臣所以报先帝而忠陛下之职分也。至于斟酌损益，进尽忠言，则攸之、祎、允之任也。
愿陛下托臣以讨贼兴复之效，不效，则治臣之罪，以告先帝之灵。若无兴德之言，则责攸之、祎、允等之慢，以彰其咎；陛下亦宜自谋，以咨诹善道，察纳雅言，深追先帝遗诏。臣不胜受恩感激。今当远离，临表涕零，不知所言
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愿陛下托臣以讨贼兴复之效，不效，则治臣之罪，以告先帝之灵。若无兴德之言，则责攸之、祎、允等之慢，以彰其咎；陛下亦宜自谋，以咨诹善道，察纳雅言，深追先帝遗诏。臣不胜受恩感激。今当远离，临表涕零，不知所言
【隨便瞎寫】E8與雜化弦理論，3D超引力，穩定格點模型，玻色可逆拓撲序和伊辛模型
提到E8，不僅是數學家們，可能無論是做高能理論甚至做凝聚態理論的人都不甚陌生。在著名的單李代數分類的工作裡，除了幾個經典的單李代數種類(sl,so,sp)，還有幾個例外的單李代數，包括e6,e7,e8,f4和g2。在這五個李代數中，e8又是較為特殊的一個，它的維數是其中最大的，有248維；其根系的秩為8，用240個根向量張成了R^8，因此也與8維的幾何，八元數息息相關，光是嘗試把其根系可視化（投影到3維空間），我們就有了图1這樣的多面體。不過先不論數學，E8在物理裡的應用在我的腦海里一直是廣泛而亂七八糟的。比如從很小開始，我就開始聽見諸如E8*E8雜化弦(heterotic string theory)這樣的名字，但直到如今我都不太會弦論。後來開始做拓撲序後，又了解到2d的玻色可逆拓撲序(spt)的非平凡部分由“E8模型”分類，再後來又陸陸續續聽說了一些別的應用，但我一直認為它們就這樣毫無征兆地散落在物理學的角落裡，就像它們作為例外孤零零地出現在單李代數的分類裡一樣，就像四部和聲規則一樣零散，人為而單調。不過今天我終於意識到，它們的出現就像四部和聲規則的出現一樣自然。
首先分別詳細解釋一下這些問題。首先是最常見的E8*E8 heterotic string。如图2，它出現在M理論對偶的一角。由於在弦論中，弦的左行和右行是解耦的，而我們可以構造這樣一個理論，讓左行被看成玻色弦在D=26維時空中的傳播，右行則視為D=10維中的超弦。這實際上給出兩種可能的理論，一種的規範群是SO(32)，另一個的規範群就是E8*E8。這幾乎是我對雜化弦的所有了解。
3D超引力的情況和上面的情況很像，我們可以構造兩種3D超引力理論，一種是有SO(8,n)的全局超對稱性的理論，這裡n是任意正整數，物理上就對應了8n個標量場和8n個旋量場。另一個就是具有E8的全局對稱性的理論，其中有128個玻色子和128個費米子按照E8的子群SO(16)變換。不過值得一提的是，懶惰的物理學家嘗嘗不區分“E8”的含義，而實際上這個情況和上一個情況中的E8是不同的。當一個物理學家說“E8”的時候有幾種可能的情況：
（1）E8的根系，它有240個格點，其3維投影如图1所示。
（2）E8格點，是由E8根系生成的R^8的子群。如图3所示。
（3）複李群，是GL(248,C)的單子群。
（4）實李群，split real E8，這個李群可以在任意域甚至任意概型上定義，其killing form的signature（即正本征值數-負本征值數）是8。
（5）實李群，compact real E8，它是複E8李群的最大緊子群。其killing form的signature為-248。
（6）實李群，所謂的quaternionic。其killing form的signature為-24。
在3d超引力的語境下，E8是split real E8，而雜化弦語境下E8則是compact real E8，而後面會提到的Ising的實驗驗證也是compact real E8。
隨後是玻色spt的分類。這個是我比較熟悉的結果，簡單來說就是2d的無對稱性玻色spt由E8的場論模型刻畫，即你用Chern-Simons理論寫出其拉氏量，前面的耦合常數換成所謂的K矩陣，這個K矩陣就是E8的cartan matrix。這也是玻色可逆拓撲序中唯一非平凡的情況。其分類空間是K(Z,4)*Z，這裡K(G,n)是Eilenberg–MacLane space，任何一個熟悉代數拓撲的人應該都久聞大名。
隨後是穩定格點構型。這個結果非常有意思，我剛知道不久。簡單來說，就是E8的格點的構型極其穩定，在8維和24維歐式空間中，如果有大量粒子，且勢能是U(r1, r2) = f(|r1-r2|)形式的相互作用，且f是單調函數，那麼能量最低的構型就是E8 lattice。注意這兩個維數，8與24，這與雜化弦的10與26有關就仿佛寫在臉上了。這也是我意識到不對的第一個征兆。這個結果看起來很有意思，表面上是物理但實際上是來源還是數學問題。一開始是眾所周知的密堆積問題，後來發展出了kissing number，再然後給出了leech lattice Λ24。其實此時已經和物理有關係了，R^24/Λ24和玻色弦的頂點算子代數（VOA）有關，這自然聯繫到了二維共形場論，我們先按下不表。
然後是Ising model。這個則是十年前較為有名的結果，即2010年science上一篇文章說實驗上用CoNb2O6“驗證了”自然界存在E8對稱性。這是怎麼回事呢？簡單來說CoNb2O6這個材料可以用1+1維z方向上有磁場微擾的量子伊辛模型刻畫，其哈密頓量如图4。在無微擾（即gz=0）的情況，這個1+1維的量子模型在gx=1時候，零溫時有相變，這是任何一個凝聚態物理學家都熟知的結果。此時相變點有標度不變性自然給出了一個共性場論，對應於中心荷c=1/2的極小模型，可以用Virasoro代數的表示序列構造。這個表示序列由兩個參數刻畫，一個是中心荷c，另一個是h，這裡2/(h+2)是物理量的conformal dimension。而這些表示的構造過程可以通過限制仿射李代數的表示實現，這裡仿射李代數就是一個緊李代數g的無窮維loop algebra的中心擴張，這被稱為coset constraction。而對於c=1/2的極小模型，我們有兩種g的選擇，一種是g=su(2)，另一種就是g=e8。此時如果我們加上gz的磁場微擾，此時這個極小模型CFT可以用所謂的仿射盛和場論（Affine Toda Field Theory, ATFT）描述。其拉適量如图5給出，這裡2維實標量場phi從李代數g的嘉當子代數h中取值，(,)是李代數的Killing form，β是耦合常數，E是一個g*C中與其共軛交換的半單元素。此時，我們的李群有兩種選擇，一個是g=su(2)，此時對應的h=2，那麼算符的conformal dimension是1/2，任何一個學過共形場論的人都能立刻想到這對應了能量。此時，微擾就對應了零溫下溫度的微擾，這可以用最經典的Ising model的理論描繪。而g=e8的情況下，h=30，此時conformal dimension為1/16，這就是磁場，對應了加磁場的微擾論。而CoNb2O6自然對應了這樣一個體系。另外，這個體系形成的准粒子也對應於E8格點的同心圓（图3），也就是8種不同的准粒子。
到這裡聰明的讀者可能已經意識到怎麼回事了，罪魁禍首是魔群月光。E8來自月光，這是一段著名的公案。考慮SL(2,Z)的模函數j，展開我們有
j^{1/3}=q^{-1/3}(1 + 248 q + 4124 q^2 + 34752 q^3 + ... )
這裡4124 = 3875 + 248 + 1，34 752 = 30 80 + 3875 + 2 · 248 + 1，而248, 3875和30380正是複李群E8的所有不可約表示的維數。與此同時，月光的各種函數和模形式作為cft的一圈振幅出現，同時月光的各種代數結構作為共形場論的潛在對稱性存在，其graded dimensions正是不同的模函數，而魔群是在Leech lattice R^24/Λ24 上緊化的Z2 orbifold的自由玻色弦論的對稱群。這也是為什麼E8在物理的各個角落落葉生根，如图5。
不過其實我一直隱隱約約知道弦論和魔群月光的關係，只是卻不知道他們和統計也是一體的。為我的愚鈍，不學無術和不思進取懺悔。
提到E8，不僅是數學家們，可能無論是做高能理論甚至做凝聚態理論的人都不甚陌生。在著名的單李代數分類的工作裡，除了幾個經典的單李代數種類(sl,so,sp)，還有幾個例外的單李代數，包括e6,e7,e8,f4和g2。在這五個李代數中，e8又是較為特殊的一個，它的維數是其中最大的，有248維；其根系的秩為8，用240個根向量張成了R^8，因此也與8維的幾何，八元數息息相關，光是嘗試把其根系可視化（投影到3維空間），我們就有了图1這樣的多面體。不過先不論數學，E8在物理裡的應用在我的腦海里一直是廣泛而亂七八糟的。比如從很小開始，我就開始聽見諸如E8*E8雜化弦(heterotic string theory)這樣的名字，但直到如今我都不太會弦論。後來開始做拓撲序後，又了解到2d的玻色可逆拓撲序(spt)的非平凡部分由“E8模型”分類，再後來又陸陸續續聽說了一些別的應用，但我一直認為它們就這樣毫無征兆地散落在物理學的角落裡，就像它們作為例外孤零零地出現在單李代數的分類裡一樣，就像四部和聲規則一樣零散，人為而單調。不過今天我終於意識到，它們的出現就像四部和聲規則的出現一樣自然。
首先分別詳細解釋一下這些問題。首先是最常見的E8*E8 heterotic string。如图2，它出現在M理論對偶的一角。由於在弦論中，弦的左行和右行是解耦的，而我們可以構造這樣一個理論，讓左行被看成玻色弦在D=26維時空中的傳播，右行則視為D=10維中的超弦。這實際上給出兩種可能的理論，一種的規範群是SO(32)，另一個的規範群就是E8*E8。這幾乎是我對雜化弦的所有了解。
3D超引力的情況和上面的情況很像，我們可以構造兩種3D超引力理論，一種是有SO(8,n)的全局超對稱性的理論，這裡n是任意正整數，物理上就對應了8n個標量場和8n個旋量場。另一個就是具有E8的全局對稱性的理論，其中有128個玻色子和128個費米子按照E8的子群SO(16)變換。不過值得一提的是，懶惰的物理學家嘗嘗不區分“E8”的含義，而實際上這個情況和上一個情況中的E8是不同的。當一個物理學家說“E8”的時候有幾種可能的情況：
（1）E8的根系，它有240個格點，其3維投影如图1所示。
（2）E8格點，是由E8根系生成的R^8的子群。如图3所示。
（3）複李群，是GL(248,C)的單子群。
（4）實李群，split real E8，這個李群可以在任意域甚至任意概型上定義，其killing form的signature（即正本征值數-負本征值數）是8。
（5）實李群，compact real E8，它是複E8李群的最大緊子群。其killing form的signature為-248。
（6）實李群，所謂的quaternionic。其killing form的signature為-24。
在3d超引力的語境下，E8是split real E8，而雜化弦語境下E8則是compact real E8，而後面會提到的Ising的實驗驗證也是compact real E8。
隨後是玻色spt的分類。這個是我比較熟悉的結果，簡單來說就是2d的無對稱性玻色spt由E8的場論模型刻畫，即你用Chern-Simons理論寫出其拉氏量，前面的耦合常數換成所謂的K矩陣，這個K矩陣就是E8的cartan matrix。這也是玻色可逆拓撲序中唯一非平凡的情況。其分類空間是K(Z,4)*Z，這裡K(G,n)是Eilenberg–MacLane space，任何一個熟悉代數拓撲的人應該都久聞大名。
隨後是穩定格點構型。這個結果非常有意思，我剛知道不久。簡單來說，就是E8的格點的構型極其穩定，在8維和24維歐式空間中，如果有大量粒子，且勢能是U(r1, r2) = f(|r1-r2|)形式的相互作用，且f是單調函數，那麼能量最低的構型就是E8 lattice。注意這兩個維數，8與24，這與雜化弦的10與26有關就仿佛寫在臉上了。這也是我意識到不對的第一個征兆。這個結果看起來很有意思，表面上是物理但實際上是來源還是數學問題。一開始是眾所周知的密堆積問題，後來發展出了kissing number，再然後給出了leech lattice Λ24。其實此時已經和物理有關係了，R^24/Λ24和玻色弦的頂點算子代數（VOA）有關，這自然聯繫到了二維共形場論，我們先按下不表。
然後是Ising model。這個則是十年前較為有名的結果，即2010年science上一篇文章說實驗上用CoNb2O6“驗證了”自然界存在E8對稱性。這是怎麼回事呢？簡單來說CoNb2O6這個材料可以用1+1維z方向上有磁場微擾的量子伊辛模型刻畫，其哈密頓量如图4。在無微擾（即gz=0）的情況，這個1+1維的量子模型在gx=1時候，零溫時有相變，這是任何一個凝聚態物理學家都熟知的結果。此時相變點有標度不變性自然給出了一個共性場論，對應於中心荷c=1/2的極小模型，可以用Virasoro代數的表示序列構造。這個表示序列由兩個參數刻畫，一個是中心荷c，另一個是h，這裡2/(h+2)是物理量的conformal dimension。而這些表示的構造過程可以通過限制仿射李代數的表示實現，這裡仿射李代數就是一個緊李代數g的無窮維loop algebra的中心擴張，這被稱為coset constraction。而對於c=1/2的極小模型，我們有兩種g的選擇，一種是g=su(2)，另一種就是g=e8。此時如果我們加上gz的磁場微擾，此時這個極小模型CFT可以用所謂的仿射盛和場論（Affine Toda Field Theory, ATFT）描述。其拉適量如图5給出，這裡2維實標量場phi從李代數g的嘉當子代數h中取值，(,)是李代數的Killing form，β是耦合常數，E是一個g*C中與其共軛交換的半單元素。此時，我們的李群有兩種選擇，一個是g=su(2)，此時對應的h=2，那麼算符的conformal dimension是1/2，任何一個學過共形場論的人都能立刻想到這對應了能量。此時，微擾就對應了零溫下溫度的微擾，這可以用最經典的Ising model的理論描繪。而g=e8的情況下，h=30，此時conformal dimension為1/16，這就是磁場，對應了加磁場的微擾論。而CoNb2O6自然對應了這樣一個體系。另外，這個體系形成的准粒子也對應於E8格點的同心圓（图3），也就是8種不同的准粒子。
到這裡聰明的讀者可能已經意識到怎麼回事了，罪魁禍首是魔群月光。E8來自月光，這是一段著名的公案。考慮SL(2,Z)的模函數j，展開我們有
j^{1/3}=q^{-1/3}(1 + 248 q + 4124 q^2 + 34752 q^3 + ... )
這裡4124 = 3875 + 248 + 1，34 752 = 30 80 + 3875 + 2 · 248 + 1，而248, 3875和30380正是複李群E8的所有不可約表示的維數。與此同時，月光的各種函數和模形式作為cft的一圈振幅出現，同時月光的各種代數結構作為共形場論的潛在對稱性存在，其graded dimensions正是不同的模函數，而魔群是在Leech lattice R^24/Λ24 上緊化的Z2 orbifold的自由玻色弦論的對稱群。這也是為什麼E8在物理的各個角落落葉生根，如图5。
不過其實我一直隱隱約約知道弦論和魔群月光的關係，只是卻不知道他們和統計也是一體的。為我的愚鈍，不學無術和不思進取懺悔。
◼️梦醒 #独立视点[超话]#
焦头烂额之后
终于悟醒
不管是哪里
眼下或是将来
大国还是小国宇宙还是世界
那些短暂的成不了真的
比如七彩大气泡
远空飘浮的蜃楼海市
比如一个个大饼
挂在半空
这些不过都是
梦
2023.10.25
Z.Y.H
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焦头烂额之后
终于悟醒
不管是哪里
眼下或是将来
大国还是小国宇宙还是世界
那些短暂的成不了真的
比如七彩大气泡
远空飘浮的蜃楼海市
比如一个个大饼
挂在半空
这些不过都是
梦
2023.10.25
Z.Y.H
#思想者互动[超话]# #新浪微博热搜榜# #全球诗选# #热点[超话]# #推文# #文学[超话]##诗歌# #诗歌[超话]# #焦点直击# #思想微评[超话]#
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