喜欢喜欢喜欢！！！尊的很爱“脑子有病”的工[awsl]，小疯狗为爱收起獠牙，只对授一人摇尾巴
工小时候被绑.架过，母亲为了活命故意拿他当诱饵抛弃他，父亲更狠干脆将计就计，同样拿工当诱饵把家族对手聚在一起，一网打尽。最后工还是靠自己磨断绳子逃出来的，在如此不正常的环境长大，工也完美继承了父母的冷血基因，对谁都能笑眯眯的，嘴上能说好听的话，心里却觉得什么都无所谓。在工的世界里，只有“有意思”和“没意思”两种区别，后者对他来说连稍微放在心上一秒都没有必要。
高中时工发现自己无聊找乐子随便追的校花喜欢的人是授，再加上工想起授是他父亲资助的贫困生，突如起来对授产生了好奇，于是坏心思地邀请授周末到他公寓帮他补课，补课时故意用父亲的资助金胁迫授，将授酱酱酿酿了。授刚开始天真地以为工只是闲来无聊想找个方便的玩具破坏一下，被他羞辱或者被打一顿什么的，没想到工会做到那种程度，但想到母亲病情还需要工父亲的资助，授只得默许工的行为。（这里工真的蛮恶劣，而且他也是真神.经.病，哪怕之后爱上了授，也不认为当初墙.纸授是错的）
这次过后两人便开始保持着这种墙.纸关系，倘若授不听工的话，工便会给授一些惩罚比如把授带到学校篮球馆卫生间使劲儿欺负，而且工很喜欢从冷淡疏离的授脸上看到不一样的表情，觉得有意思极了[喵喵]。一次工无意间拿授母亲的饰物开起了玩笑，授不再忍耐顺从，给了工一耳光，骂工是不是脑子有病。第一次被这样对待的工不仅不生气，竟莫名有种异样的兴奋，认为授就连骂人都那么可爱[求关注]，自此以后工变得更加缠人，和授独处时总喜欢抓着授的手翻来覆去地欣赏。
“他的学长文明有礼，骂人从来只骂自己，只有自己是特别的。”
而授打过工一次后，懒得继续装样子了，虽然仍会遵从工的要求，但态度上却爱搭不理。授越是这样，工越觉得授可爱哈哈哈，心也跟着逐渐沦陷，会为了授让步，知道授很在意考试便尽量在考试前不打扰授；会黏黏糊糊地抱着授求亲吻；会在授遇到危险时拼命保护；还会故意用自己小时候的经历博取授的同情；会用笔记本记下与授经过的点点滴滴；在授母亲去世后一直陪在授身边……
“他从未想到，"试着喜欢学长"这件事，能为他带来这样前所未有的心情。
能与文却思见面、缠绵的时间都是愉快而有意义的，而排除这些时间之后，其余时刻单戎便觉得乏味无趣。身边的人都是模板一般的人，生活是模板一般的生活，以往好歹能找到些许趣味的东西，现在也失了色彩。
他并不是什么好人，但在这一刻，他生平第一次，想要给某个人以"温暖"。”
授是理智的，他知道工是只疯狗，面上是亲切的危险，口中却藏着锋利的獠牙，随时可能趁你不备狠咬一口，因此他主动服从工，不再与工抗争，想早一些让工认为自己达到目标了，狠狠将他抛弃，从而结束这段不堪的关系。可授低估了工对他的热情，也高估了自己的心，他看着工就好像从疯狗变成驯服的家犬，从起初的聪慧恶毒变得傻气盲目，自顾自地对被自己咬过、吃过肉的人讨要喜爱，而自己对工也好像有一丝说不清道不明的感情，由原先的抵触到如今的模棱两可，一时竟不知是谁更可悲。
后来授想明白了，或许工起初是恶意的，转变却也是情真意切的，但给出的伤害虽从另一个方面弥补过，并不代表未曾存在。他决定高考后离开，换掉所有联系方式，彻底斩断与过去的关联，到一个新的城市，过一次新的生活。离开时给工留了一封信，若工一年后仍未被消磨兴趣，愿意来找他，他也愿意给工一个机会，抛却过往的伤害与苦痛，同工有一个新的开始。
然而工并没有收到那封信[doge]，工父亲发现了他两的事，拿信威胁工让工按着他的培养计划成为一名合格的继承人。在授离开之前，工还沉溺于自己所编织的“恋爱”幻想中，单方面沉浸在授对他态度越发软化的喜悦中。授的突然离开，让工愤怒不已，他以为授会留下来，却没想到授不要他，而自己一心以为的心意相通，只不过是授做出的假象。工感觉自己仿佛从天堂一下子堕入地狱，痛得快死了但怎么喊都没人来救他。可一想到父亲手里可能有授留下的东西，工只得逼自己去成长，去完成父亲的要求。
一年后，工终于有机会去找授了[哇]，发疯般地抱着授质问为啥一声不吭地把他扔了，紧接着就是饿狼扑食，把授翻来覆去吃了一次又一次。而授以为工早已对他没有了热情，不会来找他了，当看到工眼里毫不掩饰的偏执与掠夺之意，授原本的猜想瞬间粉碎，还纵容工白日宣y。再后面就是解除误会两人谈起甜甜的恋爱啦，又是叭叭特别多的一篇，虽然工前面很不讨喜，但后面还是蛮可爱的，带点神经病一样的可爱哈哈哈哈，文不算很长，喜欢的宝子可以
工小时候被绑.架过，母亲为了活命故意拿他当诱饵抛弃他，父亲更狠干脆将计就计，同样拿工当诱饵把家族对手聚在一起，一网打尽。最后工还是靠自己磨断绳子逃出来的，在如此不正常的环境长大，工也完美继承了父母的冷血基因，对谁都能笑眯眯的，嘴上能说好听的话，心里却觉得什么都无所谓。在工的世界里，只有“有意思”和“没意思”两种区别，后者对他来说连稍微放在心上一秒都没有必要。
高中时工发现自己无聊找乐子随便追的校花喜欢的人是授，再加上工想起授是他父亲资助的贫困生，突如起来对授产生了好奇，于是坏心思地邀请授周末到他公寓帮他补课，补课时故意用父亲的资助金胁迫授，将授酱酱酿酿了。授刚开始天真地以为工只是闲来无聊想找个方便的玩具破坏一下，被他羞辱或者被打一顿什么的，没想到工会做到那种程度，但想到母亲病情还需要工父亲的资助，授只得默许工的行为。（这里工真的蛮恶劣，而且他也是真神.经.病，哪怕之后爱上了授，也不认为当初墙.纸授是错的）
这次过后两人便开始保持着这种墙.纸关系，倘若授不听工的话，工便会给授一些惩罚比如把授带到学校篮球馆卫生间使劲儿欺负，而且工很喜欢从冷淡疏离的授脸上看到不一样的表情，觉得有意思极了[喵喵]。一次工无意间拿授母亲的饰物开起了玩笑，授不再忍耐顺从，给了工一耳光，骂工是不是脑子有病。第一次被这样对待的工不仅不生气，竟莫名有种异样的兴奋，认为授就连骂人都那么可爱[求关注]，自此以后工变得更加缠人，和授独处时总喜欢抓着授的手翻来覆去地欣赏。
“他的学长文明有礼，骂人从来只骂自己，只有自己是特别的。”
而授打过工一次后，懒得继续装样子了，虽然仍会遵从工的要求，但态度上却爱搭不理。授越是这样，工越觉得授可爱哈哈哈，心也跟着逐渐沦陷，会为了授让步，知道授很在意考试便尽量在考试前不打扰授；会黏黏糊糊地抱着授求亲吻；会在授遇到危险时拼命保护；还会故意用自己小时候的经历博取授的同情；会用笔记本记下与授经过的点点滴滴；在授母亲去世后一直陪在授身边……
“他从未想到，"试着喜欢学长"这件事，能为他带来这样前所未有的心情。
能与文却思见面、缠绵的时间都是愉快而有意义的，而排除这些时间之后，其余时刻单戎便觉得乏味无趣。身边的人都是模板一般的人，生活是模板一般的生活，以往好歹能找到些许趣味的东西，现在也失了色彩。
他并不是什么好人，但在这一刻，他生平第一次，想要给某个人以"温暖"。”
授是理智的，他知道工是只疯狗，面上是亲切的危险，口中却藏着锋利的獠牙，随时可能趁你不备狠咬一口，因此他主动服从工，不再与工抗争，想早一些让工认为自己达到目标了，狠狠将他抛弃，从而结束这段不堪的关系。可授低估了工对他的热情，也高估了自己的心，他看着工就好像从疯狗变成驯服的家犬，从起初的聪慧恶毒变得傻气盲目，自顾自地对被自己咬过、吃过肉的人讨要喜爱，而自己对工也好像有一丝说不清道不明的感情，由原先的抵触到如今的模棱两可，一时竟不知是谁更可悲。
后来授想明白了，或许工起初是恶意的，转变却也是情真意切的，但给出的伤害虽从另一个方面弥补过，并不代表未曾存在。他决定高考后离开，换掉所有联系方式，彻底斩断与过去的关联，到一个新的城市，过一次新的生活。离开时给工留了一封信，若工一年后仍未被消磨兴趣，愿意来找他，他也愿意给工一个机会，抛却过往的伤害与苦痛，同工有一个新的开始。
然而工并没有收到那封信[doge]，工父亲发现了他两的事，拿信威胁工让工按着他的培养计划成为一名合格的继承人。在授离开之前，工还沉溺于自己所编织的“恋爱”幻想中，单方面沉浸在授对他态度越发软化的喜悦中。授的突然离开，让工愤怒不已，他以为授会留下来，却没想到授不要他，而自己一心以为的心意相通，只不过是授做出的假象。工感觉自己仿佛从天堂一下子堕入地狱，痛得快死了但怎么喊都没人来救他。可一想到父亲手里可能有授留下的东西，工只得逼自己去成长，去完成父亲的要求。
一年后，工终于有机会去找授了[哇]，发疯般地抱着授质问为啥一声不吭地把他扔了，紧接着就是饿狼扑食，把授翻来覆去吃了一次又一次。而授以为工早已对他没有了热情，不会来找他了，当看到工眼里毫不掩饰的偏执与掠夺之意，授原本的猜想瞬间粉碎，还纵容工白日宣y。再后面就是解除误会两人谈起甜甜的恋爱啦，又是叭叭特别多的一篇，虽然工前面很不讨喜，但后面还是蛮可爱的，带点神经病一样的可爱哈哈哈哈，文不算很长，喜欢的宝子可以
由S2.1我们知道量子力学中用波函数描写微观粒子的量子状态，当一粒子处于以波函业所描写的量子状态时，粒子的力学量如坐标、动量等一般可以有许多可能值，每个可能值自以一定的概率出现，例如粒子处于小体积元dV[点（r)在dV内]中的概率是业（r)业(r)dy同样，粒子的动量为p的概率也可由波函数给出，这就是波函数的统计解释.
量子力学中这样描述微观粒子量子状态的方式和经典力学中同时用坐标和动量的确能值来描述质点的状态完全不同.这种差别来源于微观粒子的波粒二象性.波函数的统计解释是波粒二象性的一个表现，微观粒子的波粒二象性还通过量子力学中关于状态的一个基本原理——态叠加原理表现出来.
在经典物理中，声波和光波都遵从叠加原理：两个可能的波动过程中：和中2线性叠加的结果a中，+bo：也是一个可能的波动过程.光学中惠更斯原理就是这样的一个原理，它告诉我们：在空间任意一点P的光波强度可以由前一时刻波前上所有各点传播出来的光波在点线性叠加起来而得出，在声学和光学中，利用这个原理可以解释声和光的干涉、衍射现象.现在我们来介绍量子力学中的态叠加原理，以粒子的双狭缝衍射实验为例，在这个实验中（图1.6)，用4，表示粒子穿过上面狭缝到达屏B的状态，用业，表示粒子穿过下面狭缝到达屏B的状态，再用业表示粒子穿过两个狭缝到达屏B的状态.那么业可以写为业和业的线性叠加，即y=c，y+c2平2，式中c，和c是复数。
量子力学中这样描述微观粒子量子状态的方式和经典力学中同时用坐标和动量的确能值来描述质点的状态完全不同.这种差别来源于微观粒子的波粒二象性.波函数的统计解释是波粒二象性的一个表现，微观粒子的波粒二象性还通过量子力学中关于状态的一个基本原理——态叠加原理表现出来.
在经典物理中，声波和光波都遵从叠加原理：两个可能的波动过程中：和中2线性叠加的结果a中，+bo：也是一个可能的波动过程.光学中惠更斯原理就是这样的一个原理，它告诉我们：在空间任意一点P的光波强度可以由前一时刻波前上所有各点传播出来的光波在点线性叠加起来而得出，在声学和光学中，利用这个原理可以解释声和光的干涉、衍射现象.现在我们来介绍量子力学中的态叠加原理，以粒子的双狭缝衍射实验为例，在这个实验中（图1.6)，用4，表示粒子穿过上面狭缝到达屏B的状态，用业，表示粒子穿过下面狭缝到达屏B的状态，再用业表示粒子穿过两个狭缝到达屏B的状态.那么业可以写为业和业的线性叠加，即y=c，y+c2平2，式中c，和c是复数。
因为之前没有实验能直接测量传播子，量子力学中的最小作用量原理一直没有实验检验。测量传播子的主要困难在于，传播子是复数，传统的量子测量技术无法直接对其进行测量。我们通过借鉴近年来国际上发展的直接测量波函数的方法[5]，设计和构建了传播子的理论测量方案，该方案将传播子的实部和虚部分别对应到实验可观测量，然后重构出传播子
——路径积分是量子力学的几种基本表述方法（矩阵力学、波动力学、狄拉克符号、密度矩阵、路径积分）之一，这个实验是量子力学基本概念层面的重要进步
https://t.cn/A60XsyZ2
最小作用量原理及其量子实验 | 中国物理学会期刊网
风云之声 2023-07-26 20:31 发表于山东
以下文章来源于中国物理学会期刊网 ，作者朱诗亮 等
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■ 作者
朱诗亮 温永立 颜辉
(华南师范大学物理学院 原子亚原子结构与量子调控教育部重点实验室 粤港量子物质联合实验室)
本文选自《物理》2023年第7期
物理学家的梦想是在一张小纸片中写下整个宇宙的秘密，而最小作用量原理可能就是必写的原理之一。最小作用量原理的提出有着极为深刻的科学与哲学内涵：它最早来自于生活中各种极值的思想，以及自然界中的各种极值现象，并最终演化成在物理和数学领域都有广泛应用的变分方法。物理学是研究物质结构及其运动规律的科学，物质的结构往往由体系的能量最小或熵最大等某些物理量的极值确定，如水珠的形状、凝聚态物相，甚至银河系的形状等，这正体现了最小作用量原理的威力。另一方面，我们现在所知道的物质运动方程都可以在写出相应的拉格朗日量后，通过最小作用量原理推导出。因此，最小作用量原理被科学家看作是物理学，甚至是自然界最具普适性的基本原理，它具备简洁和统一的科学美学特征，在物理学乃至科学发展史中有着极其重要的地位[1，2]。经典物理世界的最小作用量原理被无数实验验证。虽然该原理在量子力学的建立，特别是费曼路径积分方法的建立中处于核心位置，但量子最小作用量原理的实验验证，还仅是最近由我们的实验首次实现[3]。本文将简要介绍最小作用量原理的历史和我们最近的实验。
最小作用量原理的发现和逐步推广谱写了科学史的华美篇章。古代科学家，如公元前2世纪的埃及人希罗(Hero)就猜想光的传播遵从最短时间法则，并由此论证了光在球面镜中反射时，入射角等于反射角。最小作用量原理的第一个成功范例是1650年法国数学家费马对光的传播原理作的概括性叙述：从空间一点A到另一点B，光沿着所需时间为最小值的路径传播。但光在不同介质中的折射角度究竟是否对应最短时间的路径，还要结合折射定律以及光在介质中的传播速度公式进一步计算。折射定律早在1620年就由斯涅耳在实验的基础上得出。1690年，惠更斯基于他的光的波动理论，给出介质折射率之比等于光在这两种介质中的速度之比，从而证明了费马时间最小原理和光折射中的斯涅耳折射定律一致。费马原理作为最小作用量原理早期最成功的例子，它那简洁、优美的形式和对光现象的高度概括意味着可能存在某种更普遍的原理。
为纪念该原理的创立者之一，科学家莫培督(P. Maupertuis)，最小作用量原理有时也叫莫培督原理。莫培督最早(大约在1744年)提出作用量的概念，并在后续研究中给出了力学和光学体系中的一些作用量形式。他坚信自然界的简单性源自作用量最小化，提出“自然界总是以一种最节省的方式运行”，他一生都在为阐述该原理而奋斗。同一年，数学家欧拉写下了现在称为欧拉—拉格朗日方程的一个特例，开启了最小作用量原理在数学、力学和物理学中的应用传奇。用现在的语言，最小作用量原理的核心思想是：物体从一个状态变为另一个状态可以有很多可能途径，每条途径确定了一个作用量，物体的真实轨迹由作用量S的极值来确定。讨论一个物理体系，如果描述它的拉格朗日量为图片，其中x是广义坐标，ẋ是广义速度，则可以定义作用量S为：S=图片，由变分δS=0(即最小作用量原理)，可以得到欧拉—拉格朗日方程图片。
欧拉—拉格朗日方程是最小作用量原理的数学表述形式之一。它的基本思想是：在给定的边界条件下，使作用量S达到极小值的轨迹就是物体的实际运动轨迹。根据最小作用量原理，力学系统的性质都由其拉格朗日量确定，要找到作用量的表达式只需确定拉格朗日量即可，但是拉格朗日量是如何确定的呢？在诺特定理发现之前，物理学家们在寻找作用量时需要经过各种尝试。如果这样，最小作用量原理很难成为应用广泛的物理学研究方法。幸运的是，数学家诺特把该原理和对称性结合，推导出诺特定理：作用量的每一种连续对称性都有一个守恒量与之对应，给出了物理学的又一基石——对称性和守恒律的关系。通过对称性、守恒量和作用量三者之间的关系，可以互相推导，进而获得作用量的表达式。
最小作用量原理充当着物理学的核心角色，它可以推导出物理学中几乎全部关键的物质运动方程！表1列出了经典力学、电动力学、狭义和广义相对论、量子力学和Yang—Mills场的拉格朗日量，利用最小作用量原理δS=0，可以很方便地计算出对应的运动方程。历史上，最小作用量原理在希尔伯特推导广义相对论方程和薛定谔给出量子力学波动方程中都起到了关键作用。在文献[2]中记载，数学家希尔伯特知道了爱因斯坦关于广义相对论研究的初步思想后，首先猜出了现在称为爱因斯坦—希尔伯特作用量的广义相对论作用量，并利用最小作用量原理，比爱因斯坦早5天推导出了广义相对论场方程，即现在称为爱因斯坦场方程的广义相对论方程。不过，希尔伯特是否比爱因斯坦更早正确得出了广义相对论场方程目前仍有争议，但他确实是用不同的方法独立得出了场方程。
表1 物理学中的最小作用量原理
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费曼在高中时第一次从老师那里听到最小作用量原理，便被它的简洁和美妙所震撼。潜藏于心的感悟最终结出硕果。1942年，费曼还是博士研究生时，他发表了根据最小作用量原理提出的量子力学路径积分表述，这是继波动力学和矩阵力学之后的第三种量子力学表述方式。它以一种简洁、优美并最接近经典概念的方式诠释了量子理论。路径积分的基本思想可用图1来阐述。ta时刻有个粒子局域在xa，波函数记为ψ(xa，ta)，我们想知道tb时刻该粒子到达xb的几率。原则上任意连接A和B点的路径都有可能。费曼给出了两条假设：(1)任意路径j都可表示为几率幅ϕj=η∙exp(iSj/ℏ)，η是和路径无关的常数，Sj是路径 j 对应的作用量，与经典力学的拉格朗日函数相对应；(2)末态是所有路径的几率幅之和，即图片图片图片，其中K(xb，tb；xa，ta)称为传播函数。第(1)条又叫等几率假设，即任意路径的几率相同，这和经典光学中的惠更斯原理有本质不同，也正是量子力学的精妙之处。
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图1 路径积分示意图(a) 粒子从A点到B点有无穷多路径，所有路径的几率相同，路径 j 的相位由作用量Sj确定；(b) 如果空间被栅栏隔开，则可分成有限条路径，如此图可分N=55条路径，等几率假设表明图片，这点和惠更斯原理有本质不同。实验原则上可探测每段对应的传播子
按路径积分方法所描述的粒子运动具有如下特征：j路径的几率幅由ϕj=η∙exp(iSj/ℏ)确定，Sj/ℏ 为几率幅的相位，作用量Sj和普朗克常数ℏ的取值对相位的影响都很大。假设对所有路线，Sj都比ℏ大很多，每一路线虽然几率一样，但对于临近的一些路径，相位变化大并且路径特别多，这些路径会相干相消，相互叠加之后都互相抵消了。但有一个区域例外：当一条路径与其临近路径在一级近似上全都给出相同相位时，这些路线不会相互抵消，而是干涉相长，这就是最小作用量原理δS=0确定的路径。在宏观世界，由于ℏ近似为0，量子现象就过渡到了经典的运动轨迹。也就是说，在宏观世界里，由于相位Sj/ℏ趋于无穷大，一般路径都很容易相干相消，只有作用量S取极值的那一条，没有其他路径将其抵消。因此，路径积分把经典世界不好理解的问题(大自然为什么选择作用量为极值的路径)也给出了一个清晰的物理图像[4]。
因为之前没有实验能直接测量传播子，量子力学中的最小作用量原理一直没有实验检验。测量传播子的主要困难在于，传播子是复数，传统的量子测量技术无法直接对其进行测量。我们通过借鉴近年来国际上发展的直接测量波函数的方法[5]，设计和构建了传播子的理论测量方案，该方案将传播子的实部和虚部分别对应到实验可观测量，然后重构出传播子。其后，我们根据此方案设计并搭建了量子光学实验系统，实验中先通过将单光子的空间模式和偏振模式进行耦合，然后将其输送至渐变折射率光学材料中进行演化，最后用可探测单光子的相机对光子的空间分布进行探测，传播子的实部和虚部最终便可以在不同偏振态光子空间分布图中被分析并重构出来。这个实验中传播子的测量结果与路径积分的理论结果高度吻合，从而首次在实验中测出了传播子。
在成功测量出传播子之后，我们进一步开展通过传播子验证量子力学的最小作用量原理的研究。由于作用量正比于传播子的相位因子，因此，对测量所得传播子的相位进行分析，通过最小作用量原理，找到传播子相位的极值所在位置，便能得到单光子的经典路径。经过对海量的传播子实验数据进行计算和分析，我们成功地得到了单光子在自由空间和谐振势场中的经典路径，这些路径与理论所预测的路径吻合，从而首次在实验中演示和验证了量子力学中的最小作用量原理，揭示了最小作用量原理在量子力学和经典力学中的统一性。实验测量到的传播子和最小作用量原理确定的经典路径如图2所示。
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图2 量子最小作用量原理实验[3] 最小作用量原理确定的自由空间(a)、谐振势(b)的光子经典路径；(c)，(d)对应于图(a)，(b)中方框内数据点的传播子图片的实部和虚部
路径积分表述极大地推动了现代量子物理学的发展，是量子场论、量子统计、量子引力等多个领域的基石。然而，物理学界一直未有实验测量出路径积分中的关键物理量——传播子，这使得路径积分的基本概念研究一直停留在理论阶段。此外，因为传播子测量技术的缺失，量子力学中的最小作用量原理一直也未能被实验直接演示或验证。我们的工作[3]首次实现了对传播子的测量，打开了实验研究路径积分相关的量子现象的大门。最小作用量原理是物理学中的普适性原理，在量子系统中实现对其实验的演示也可为量子—经典界限等基本物理问题的研究提供新的视角。
■ 参考文献
[1] 徐良. 最小作用量原理与物理学的发展. 四川教育出版社，2001
[2] Rojo A，Bloch A. The Principle of Least Action：History and Physics. Cambridge University Press，2018
[3] Wen Y L，Wang Y，Tian L M et al. Nat. Photon.，2023，https://t.cn/A60XsyZA
[4] Feynman R P. Rev. Mod. Phys.，1948，20：367
[5] Lundeen J S，Sutherland B，Patel A et al. Nature，2011，474：188
本文选自《物理》2023年第7期，文章2023年7月21日发表于 微信公众号 中国物理学会期刊网（最小作用量原理及其量子实验），风云之声获授权转载。
——路径积分是量子力学的几种基本表述方法（矩阵力学、波动力学、狄拉克符号、密度矩阵、路径积分）之一，这个实验是量子力学基本概念层面的重要进步
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最小作用量原理及其量子实验 | 中国物理学会期刊网
风云之声 2023-07-26 20:31 发表于山东
以下文章来源于中国物理学会期刊网 ，作者朱诗亮 等
图片
■ 作者
朱诗亮 温永立 颜辉
(华南师范大学物理学院 原子亚原子结构与量子调控教育部重点实验室 粤港量子物质联合实验室)
本文选自《物理》2023年第7期
物理学家的梦想是在一张小纸片中写下整个宇宙的秘密，而最小作用量原理可能就是必写的原理之一。最小作用量原理的提出有着极为深刻的科学与哲学内涵：它最早来自于生活中各种极值的思想，以及自然界中的各种极值现象，并最终演化成在物理和数学领域都有广泛应用的变分方法。物理学是研究物质结构及其运动规律的科学，物质的结构往往由体系的能量最小或熵最大等某些物理量的极值确定，如水珠的形状、凝聚态物相，甚至银河系的形状等，这正体现了最小作用量原理的威力。另一方面，我们现在所知道的物质运动方程都可以在写出相应的拉格朗日量后，通过最小作用量原理推导出。因此，最小作用量原理被科学家看作是物理学，甚至是自然界最具普适性的基本原理，它具备简洁和统一的科学美学特征，在物理学乃至科学发展史中有着极其重要的地位[1，2]。经典物理世界的最小作用量原理被无数实验验证。虽然该原理在量子力学的建立，特别是费曼路径积分方法的建立中处于核心位置，但量子最小作用量原理的实验验证，还仅是最近由我们的实验首次实现[3]。本文将简要介绍最小作用量原理的历史和我们最近的实验。
最小作用量原理的发现和逐步推广谱写了科学史的华美篇章。古代科学家，如公元前2世纪的埃及人希罗(Hero)就猜想光的传播遵从最短时间法则，并由此论证了光在球面镜中反射时，入射角等于反射角。最小作用量原理的第一个成功范例是1650年法国数学家费马对光的传播原理作的概括性叙述：从空间一点A到另一点B，光沿着所需时间为最小值的路径传播。但光在不同介质中的折射角度究竟是否对应最短时间的路径，还要结合折射定律以及光在介质中的传播速度公式进一步计算。折射定律早在1620年就由斯涅耳在实验的基础上得出。1690年，惠更斯基于他的光的波动理论，给出介质折射率之比等于光在这两种介质中的速度之比，从而证明了费马时间最小原理和光折射中的斯涅耳折射定律一致。费马原理作为最小作用量原理早期最成功的例子，它那简洁、优美的形式和对光现象的高度概括意味着可能存在某种更普遍的原理。
为纪念该原理的创立者之一，科学家莫培督(P. Maupertuis)，最小作用量原理有时也叫莫培督原理。莫培督最早(大约在1744年)提出作用量的概念，并在后续研究中给出了力学和光学体系中的一些作用量形式。他坚信自然界的简单性源自作用量最小化，提出“自然界总是以一种最节省的方式运行”，他一生都在为阐述该原理而奋斗。同一年，数学家欧拉写下了现在称为欧拉—拉格朗日方程的一个特例，开启了最小作用量原理在数学、力学和物理学中的应用传奇。用现在的语言，最小作用量原理的核心思想是：物体从一个状态变为另一个状态可以有很多可能途径，每条途径确定了一个作用量，物体的真实轨迹由作用量S的极值来确定。讨论一个物理体系，如果描述它的拉格朗日量为图片，其中x是广义坐标，ẋ是广义速度，则可以定义作用量S为：S=图片，由变分δS=0(即最小作用量原理)，可以得到欧拉—拉格朗日方程图片。
欧拉—拉格朗日方程是最小作用量原理的数学表述形式之一。它的基本思想是：在给定的边界条件下，使作用量S达到极小值的轨迹就是物体的实际运动轨迹。根据最小作用量原理，力学系统的性质都由其拉格朗日量确定，要找到作用量的表达式只需确定拉格朗日量即可，但是拉格朗日量是如何确定的呢？在诺特定理发现之前，物理学家们在寻找作用量时需要经过各种尝试。如果这样，最小作用量原理很难成为应用广泛的物理学研究方法。幸运的是，数学家诺特把该原理和对称性结合，推导出诺特定理：作用量的每一种连续对称性都有一个守恒量与之对应，给出了物理学的又一基石——对称性和守恒律的关系。通过对称性、守恒量和作用量三者之间的关系，可以互相推导，进而获得作用量的表达式。
最小作用量原理充当着物理学的核心角色，它可以推导出物理学中几乎全部关键的物质运动方程！表1列出了经典力学、电动力学、狭义和广义相对论、量子力学和Yang—Mills场的拉格朗日量，利用最小作用量原理δS=0，可以很方便地计算出对应的运动方程。历史上，最小作用量原理在希尔伯特推导广义相对论方程和薛定谔给出量子力学波动方程中都起到了关键作用。在文献[2]中记载，数学家希尔伯特知道了爱因斯坦关于广义相对论研究的初步思想后，首先猜出了现在称为爱因斯坦—希尔伯特作用量的广义相对论作用量，并利用最小作用量原理，比爱因斯坦早5天推导出了广义相对论场方程，即现在称为爱因斯坦场方程的广义相对论方程。不过，希尔伯特是否比爱因斯坦更早正确得出了广义相对论场方程目前仍有争议，但他确实是用不同的方法独立得出了场方程。
表1 物理学中的最小作用量原理
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费曼在高中时第一次从老师那里听到最小作用量原理，便被它的简洁和美妙所震撼。潜藏于心的感悟最终结出硕果。1942年，费曼还是博士研究生时，他发表了根据最小作用量原理提出的量子力学路径积分表述，这是继波动力学和矩阵力学之后的第三种量子力学表述方式。它以一种简洁、优美并最接近经典概念的方式诠释了量子理论。路径积分的基本思想可用图1来阐述。ta时刻有个粒子局域在xa，波函数记为ψ(xa，ta)，我们想知道tb时刻该粒子到达xb的几率。原则上任意连接A和B点的路径都有可能。费曼给出了两条假设：(1)任意路径j都可表示为几率幅ϕj=η∙exp(iSj/ℏ)，η是和路径无关的常数，Sj是路径 j 对应的作用量，与经典力学的拉格朗日函数相对应；(2)末态是所有路径的几率幅之和，即图片图片图片，其中K(xb，tb；xa，ta)称为传播函数。第(1)条又叫等几率假设，即任意路径的几率相同，这和经典光学中的惠更斯原理有本质不同，也正是量子力学的精妙之处。
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图1 路径积分示意图(a) 粒子从A点到B点有无穷多路径，所有路径的几率相同，路径 j 的相位由作用量Sj确定；(b) 如果空间被栅栏隔开，则可分成有限条路径，如此图可分N=55条路径，等几率假设表明图片，这点和惠更斯原理有本质不同。实验原则上可探测每段对应的传播子
按路径积分方法所描述的粒子运动具有如下特征：j路径的几率幅由ϕj=η∙exp(iSj/ℏ)确定，Sj/ℏ 为几率幅的相位，作用量Sj和普朗克常数ℏ的取值对相位的影响都很大。假设对所有路线，Sj都比ℏ大很多，每一路线虽然几率一样，但对于临近的一些路径，相位变化大并且路径特别多，这些路径会相干相消，相互叠加之后都互相抵消了。但有一个区域例外：当一条路径与其临近路径在一级近似上全都给出相同相位时，这些路线不会相互抵消，而是干涉相长，这就是最小作用量原理δS=0确定的路径。在宏观世界，由于ℏ近似为0，量子现象就过渡到了经典的运动轨迹。也就是说，在宏观世界里，由于相位Sj/ℏ趋于无穷大，一般路径都很容易相干相消，只有作用量S取极值的那一条，没有其他路径将其抵消。因此，路径积分把经典世界不好理解的问题(大自然为什么选择作用量为极值的路径)也给出了一个清晰的物理图像[4]。
因为之前没有实验能直接测量传播子，量子力学中的最小作用量原理一直没有实验检验。测量传播子的主要困难在于，传播子是复数，传统的量子测量技术无法直接对其进行测量。我们通过借鉴近年来国际上发展的直接测量波函数的方法[5]，设计和构建了传播子的理论测量方案，该方案将传播子的实部和虚部分别对应到实验可观测量，然后重构出传播子。其后，我们根据此方案设计并搭建了量子光学实验系统，实验中先通过将单光子的空间模式和偏振模式进行耦合，然后将其输送至渐变折射率光学材料中进行演化，最后用可探测单光子的相机对光子的空间分布进行探测，传播子的实部和虚部最终便可以在不同偏振态光子空间分布图中被分析并重构出来。这个实验中传播子的测量结果与路径积分的理论结果高度吻合，从而首次在实验中测出了传播子。
在成功测量出传播子之后，我们进一步开展通过传播子验证量子力学的最小作用量原理的研究。由于作用量正比于传播子的相位因子，因此，对测量所得传播子的相位进行分析，通过最小作用量原理，找到传播子相位的极值所在位置，便能得到单光子的经典路径。经过对海量的传播子实验数据进行计算和分析，我们成功地得到了单光子在自由空间和谐振势场中的经典路径，这些路径与理论所预测的路径吻合，从而首次在实验中演示和验证了量子力学中的最小作用量原理，揭示了最小作用量原理在量子力学和经典力学中的统一性。实验测量到的传播子和最小作用量原理确定的经典路径如图2所示。
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图2 量子最小作用量原理实验[3] 最小作用量原理确定的自由空间(a)、谐振势(b)的光子经典路径；(c)，(d)对应于图(a)，(b)中方框内数据点的传播子图片的实部和虚部
路径积分表述极大地推动了现代量子物理学的发展，是量子场论、量子统计、量子引力等多个领域的基石。然而，物理学界一直未有实验测量出路径积分中的关键物理量——传播子，这使得路径积分的基本概念研究一直停留在理论阶段。此外，因为传播子测量技术的缺失，量子力学中的最小作用量原理一直也未能被实验直接演示或验证。我们的工作[3]首次实现了对传播子的测量，打开了实验研究路径积分相关的量子现象的大门。最小作用量原理是物理学中的普适性原理，在量子系统中实现对其实验的演示也可为量子—经典界限等基本物理问题的研究提供新的视角。
■ 参考文献
[1] 徐良. 最小作用量原理与物理学的发展. 四川教育出版社，2001
[2] Rojo A，Bloch A. The Principle of Least Action：History and Physics. Cambridge University Press，2018
[3] Wen Y L，Wang Y，Tian L M et al. Nat. Photon.，2023，https://t.cn/A60XsyZA
[4] Feynman R P. Rev. Mod. Phys.，1948，20：367
[5] Lundeen J S，Sutherland B，Patel A et al. Nature，2011，474：188
本文选自《物理》2023年第7期，文章2023年7月21日发表于 微信公众号 中国物理学会期刊网（最小作用量原理及其量子实验），风云之声获授权转载。
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