喜欢青枫，喜欢杜舟，是再简单不过的事情。他永远真诚纯粹，志之所趋，无远弗届，穷山距海，不能限也。他会轻描淡写立下目标，然后无论沿途荆棘，无论挫折坎坷，他的毅力和决心别说是电竞选手，普通人都很难这么自律优秀。
杜舟你知道吗，我和其他ido最快乐的事情就是世冠一直陪着你，在察觉到你直播露出沮丧神情的时候一直鼓励你，因为你真的会从我们支持陪伴鼓励里汲取到力量，就像无数次你带给我们的一样，休赛期心软的神，比赛期间又稳又秀的定海神针。从GK的家长，变成ido的宝宝，在老佛你的角色是由牡丹弟弟变成了舟哥，我无数次为你六年中路长青树称赞，但是我此刻想说，我真的很开心见证你越来越自信越来越好，在外面做够了大人，在钻粉群和直播间还能做一个无忧无虑的小孩。
其实春季赛结束之后，我完全不会焦虑，不会想像去年世冠结束那样疯狂的想给你能量，传递给你我们的信心，我能察觉到你也是。
果然闪现河南的煮啵毫无征兆地说要直播夜爬老君山。
看到这个消息我竟然没有半分惊讶，如果是以前那个窝着的小卖铺小熊猫，我一定惊诧万分，但是你不是了，你是那个真的从不缺乏从头再来的勇气的青枫选手，和六年前的小杜一样“不怕就是不怕”“我小杜不怕你”，你仍然保有一颗纯粹无惧无畏敢于拼搏的心。
很多人问你为什么减肥，你总是打个岔或者随口一说，那让我斗胆猜一猜好不好，那个没有宣之于口藏在心底，促使你如此坚持不懈的答案是不是
我还想打电竞打得更久一点。
健身保持更好的状态迎接更多的挑战，延长职业寿命。
宝宝我现在是真的不喜欢drg，因为他根本不配有你这么好的宝宝。但是如果你选择留在drg，我会一直陪着你。
但是如果你有再次出发的决心，我一定会永远追随你。
杜舟，我喜欢的从来不只是青枫选手，是青枫好，但是比青枫还要好还要厉害一万倍的杜舟。
其实也很心有灵犀，我看到你准备了青枫和杜舟两块牌子，我能理解你的意思，因为这正是我最爱用的小作文手法hhh。
那好吧，再一次，诚挚的。
我祝青枫选手比赛顺利，在赛场上长久地绽放，打出无数让人惊艳称赞的高光操作，心想事成。
我祝杜舟，一定一定要获得幸福。身体健康万事如意天天开心。
自从喜欢你的第一天，我就相信，我会喜欢你一辈子，因为不管是青枫还是杜舟，都是世界上最好的宝宝！[爱慕][爱慕][爱慕]
杜舟你知道吗，我和其他ido最快乐的事情就是世冠一直陪着你，在察觉到你直播露出沮丧神情的时候一直鼓励你，因为你真的会从我们支持陪伴鼓励里汲取到力量，就像无数次你带给我们的一样，休赛期心软的神，比赛期间又稳又秀的定海神针。从GK的家长，变成ido的宝宝，在老佛你的角色是由牡丹弟弟变成了舟哥，我无数次为你六年中路长青树称赞，但是我此刻想说，我真的很开心见证你越来越自信越来越好，在外面做够了大人，在钻粉群和直播间还能做一个无忧无虑的小孩。
其实春季赛结束之后，我完全不会焦虑，不会想像去年世冠结束那样疯狂的想给你能量，传递给你我们的信心，我能察觉到你也是。
果然闪现河南的煮啵毫无征兆地说要直播夜爬老君山。
看到这个消息我竟然没有半分惊讶，如果是以前那个窝着的小卖铺小熊猫，我一定惊诧万分，但是你不是了，你是那个真的从不缺乏从头再来的勇气的青枫选手，和六年前的小杜一样“不怕就是不怕”“我小杜不怕你”，你仍然保有一颗纯粹无惧无畏敢于拼搏的心。
很多人问你为什么减肥，你总是打个岔或者随口一说，那让我斗胆猜一猜好不好，那个没有宣之于口藏在心底，促使你如此坚持不懈的答案是不是
我还想打电竞打得更久一点。
健身保持更好的状态迎接更多的挑战，延长职业寿命。
宝宝我现在是真的不喜欢drg，因为他根本不配有你这么好的宝宝。但是如果你选择留在drg，我会一直陪着你。
但是如果你有再次出发的决心，我一定会永远追随你。
杜舟，我喜欢的从来不只是青枫选手，是青枫好，但是比青枫还要好还要厉害一万倍的杜舟。
其实也很心有灵犀，我看到你准备了青枫和杜舟两块牌子，我能理解你的意思，因为这正是我最爱用的小作文手法hhh。
那好吧，再一次，诚挚的。
我祝青枫选手比赛顺利，在赛场上长久地绽放，打出无数让人惊艳称赞的高光操作，心想事成。
我祝杜舟，一定一定要获得幸福。身体健康万事如意天天开心。
自从喜欢你的第一天，我就相信，我会喜欢你一辈子，因为不管是青枫还是杜舟，都是世界上最好的宝宝！[爱慕][爱慕][爱慕]
最自信的三大星座，只要信念不倒，他们就一定能扶摇直上
白羊座
白羊座的原型是战士，这是一个内心充满了斗志，不畏惧前路艰难险阻，只想勇往直前的星座。白羊座可以说是初生牛犊不怕虎，但往往也是大器晚成的类型。因为白羊很容易盲目，原因就是他们太过相信自己。白羊座是非常自信的星座，他们相信自己，也相信世界。白羊是单纯地，也是善良的。他们相信真善美，相信只要努力就能成功。但是在这个过程中，白羊座势必会碰壁，势必会撞得头破血流。白羊会消沉，白羊也会自责，也会怀疑自己。但是只要白羊的信念还在，只要对自己的自信还在，白羊就会东山再起。
虽然白羊座总被别人说成是傻白甜，没脑子。但其实白羊座是一个必须经历挫折才能成长的星座，只要经历了才能懂得。并不是所有的人都能经受住挫折，有些星座可能有点困难就会让他们自暴自弃，甚至是一蹶不振。但是白羊座不会这样，所以我才说白羊座必须经历才能成长和进步。因为白羊的自信心很难被打倒，你可以拿走白羊的权利，夺走白羊的地位，甚至是白羊的金钱。但是白羊的自信心是根植在自己的内心，谁也抢不走的东西。只要他在，他就有东山再起的实力。
狮子座
狮子座的自尊心在十二星座中绝对是名列前茅的存在，狮子座的骄傲是与生俱来的。头可断，血可流，面子不能丢。对于狮子座来说，尊严是和生命一样重要的东西。也正是因为如此，狮子座的自信心也是与生俱来的，他们天生就相信自己。狮子座是不成功便成仁的星座，他们很纯粹，不管是在生活中还是感情上，因为狮子座相信这个世界还是好人多。哪怕被坏人伤得身心俱疲，被生活打击的遍体鳞伤，但他们只要不对自己产生怀疑，他们就能一直开心自信地活下去。就对未来永远充满憧憬永远不会放弃。
可以这么说能够打倒狮子座的，永远是狮子座自己。只要狮子座的自信心还在，只要他的自尊心还在，她就一定会东山再起。狮子座是有野心的，也上上进的。他不允许自己变成自己瞧不起的样子，也许努力没结果，但是不努力就一定没有结果。所以不管怎么样狮子座一定会努力，一定会上进。毕竟自己有爱的人，就算是为了他们狮子座也不会放弃。狮子座相信自己，也相信这个世界，只要信念在，狮子座就永远不会被打倒。永远有再来一次的资本！
天蝎座
都知道天蝎座是一个不轻易相信任何人，也很多疑的星座。他怀疑世界，怀疑别人接近自己的目的，怀疑别人的动机，怀疑事情的可行性。但是天蝎座唯一不怀疑的就是自己，他无条件地相信自己。因为他很自信，天蝎自信是有据可依的。因为天蝎的第六感和直觉非常准，很多时候天蝎座说不出依据，也没有证据，但是就是莫名其妙的觉得这样做才是对的。这是天蝎与生俱来的天赋，别人真的比不来。一次次的事实印证了天蝎直觉的准确性，所以天蝎总是相信自己。
天蝎是那种即使身处深渊，也能够从裂缝中找到光，然后向死而生。天蝎就是能够涅槃重生的人，因为天蝎不信他不行，他不信他做不到。别人都可以，天蝎一样能行。总有人要赢得，那为什么不是我。这才是天蝎的想法，因为自信，因为相信自己，所以不认输，更不想输。努力努力再努力，天蝎永远都不放弃。只要信念在，天蝎就能勇往直前，扶摇直上。
#塔儸牌占卜[超话]# #许个愿吧# #失恋分手复合# #星盘#
白羊座
白羊座的原型是战士，这是一个内心充满了斗志，不畏惧前路艰难险阻，只想勇往直前的星座。白羊座可以说是初生牛犊不怕虎，但往往也是大器晚成的类型。因为白羊很容易盲目，原因就是他们太过相信自己。白羊座是非常自信的星座，他们相信自己，也相信世界。白羊是单纯地，也是善良的。他们相信真善美，相信只要努力就能成功。但是在这个过程中，白羊座势必会碰壁，势必会撞得头破血流。白羊会消沉，白羊也会自责，也会怀疑自己。但是只要白羊的信念还在，只要对自己的自信还在，白羊就会东山再起。
虽然白羊座总被别人说成是傻白甜，没脑子。但其实白羊座是一个必须经历挫折才能成长的星座，只要经历了才能懂得。并不是所有的人都能经受住挫折，有些星座可能有点困难就会让他们自暴自弃，甚至是一蹶不振。但是白羊座不会这样，所以我才说白羊座必须经历才能成长和进步。因为白羊的自信心很难被打倒，你可以拿走白羊的权利，夺走白羊的地位，甚至是白羊的金钱。但是白羊的自信心是根植在自己的内心，谁也抢不走的东西。只要他在，他就有东山再起的实力。
狮子座
狮子座的自尊心在十二星座中绝对是名列前茅的存在，狮子座的骄傲是与生俱来的。头可断，血可流，面子不能丢。对于狮子座来说，尊严是和生命一样重要的东西。也正是因为如此，狮子座的自信心也是与生俱来的，他们天生就相信自己。狮子座是不成功便成仁的星座，他们很纯粹，不管是在生活中还是感情上，因为狮子座相信这个世界还是好人多。哪怕被坏人伤得身心俱疲，被生活打击的遍体鳞伤，但他们只要不对自己产生怀疑，他们就能一直开心自信地活下去。就对未来永远充满憧憬永远不会放弃。
可以这么说能够打倒狮子座的，永远是狮子座自己。只要狮子座的自信心还在，只要他的自尊心还在，她就一定会东山再起。狮子座是有野心的，也上上进的。他不允许自己变成自己瞧不起的样子，也许努力没结果，但是不努力就一定没有结果。所以不管怎么样狮子座一定会努力，一定会上进。毕竟自己有爱的人，就算是为了他们狮子座也不会放弃。狮子座相信自己，也相信这个世界，只要信念在，狮子座就永远不会被打倒。永远有再来一次的资本！
天蝎座
都知道天蝎座是一个不轻易相信任何人，也很多疑的星座。他怀疑世界，怀疑别人接近自己的目的，怀疑别人的动机，怀疑事情的可行性。但是天蝎座唯一不怀疑的就是自己，他无条件地相信自己。因为他很自信，天蝎自信是有据可依的。因为天蝎的第六感和直觉非常准，很多时候天蝎座说不出依据，也没有证据，但是就是莫名其妙的觉得这样做才是对的。这是天蝎与生俱来的天赋，别人真的比不来。一次次的事实印证了天蝎直觉的准确性，所以天蝎总是相信自己。
天蝎是那种即使身处深渊，也能够从裂缝中找到光，然后向死而生。天蝎就是能够涅槃重生的人，因为天蝎不信他不行，他不信他做不到。别人都可以，天蝎一样能行。总有人要赢得，那为什么不是我。这才是天蝎的想法，因为自信，因为相信自己，所以不认输，更不想输。努力努力再努力，天蝎永远都不放弃。只要信念在，天蝎就能勇往直前，扶摇直上。
#塔儸牌占卜[超话]# #许个愿吧# #失恋分手复合# #星盘#
#光滑度的力量#
“微积分给予我们的关于宇宙中运动和变化本质的巨大洞见，尽管有可能是近似的，但却证明了光滑度的力量。”
“和所有科学领域一样，在建立数学模型时，我们总要对强调什么和忽略什么做出选择。
抽象的艺术在于——
知道什么是必不可少的，什么是细枝末节的；
知道什么是信号，什么是噪声；
知道什么是趋势，什么是波动。
这是一门艺术，因为诸如此类的选择总是存在着风险，它们与痴心妄想或学术欺诈只有一线之隔。伽利略和开普勒等伟大的科学家都曾想方设法行走在这样的'悬崖峭壁'之上。”
《微积分的力量》
书摘
人类已经进化出发现规律的能力，与其像我们刚才那样细心地研究数字，不如把它们#形象化#，这样往往能获得更多的信息。图6–11展示了博尔特跑完10米、20米、30米等的用时情况，一直到他在9.69秒时冲过百米终点线。

为便于观察，我把图上的点都用直线连接起来，但要记住只有这些点才是真正的数据。点和它们之间的线段构成了一条多边形曲线。
最左边线段的斜率最小，对应于博尔特起跑后的较慢速度。
越往右的线段越向上弯折，这意味着他在加速。之后的几条线段共同形成了一条近乎笔直的线，表明他在比赛的大部分时间里都保持着飞快且稳定的速度。
我们自然很好奇，#他到底在何时和何处跑得最快#。虽然我们知道他在10米区间内的最快平均速度出现在50米到80米，但我们真正想要的并不是他的平均速度，而是他的最快速度。假设博尔特戴着一个速度计，那么他在哪一刻跑得最快？他的最快速度究竟是多少？
在这里，我们寻找的是一种测量他的瞬时速度的方法。但是，这个概念看起来几乎是自相矛盾的。在任何时刻，博尔特都恰好身处某个地方，就像在快照里一样纹丝不动。既然如此，讨论他在一瞬间的速度又有什么意义呢？#速度只能出现在一个时间间隔内，而非一个瞬间#。
瞬时速度之谜与数学及哲学有着很深的历史渊源，可追溯到公元前450年前后，那时芝诺提出了几个令人敬畏的悖论。回想一下，在阿喀琉斯与乌龟的悖论中，芝诺声称跑得快的人永远追不上跑得慢的人，而这和博尔特那一晚在北京的出色表现完全不同。在飞矢不动悖论中，芝诺认为飞矢永远不会移动。尽管数学家仍然不确定他想用这些悖论来阐述什么观点，但我的猜测是，瞬间速度这个概念内在的微妙之处困扰着芝诺、亚里士多德和其他希腊哲学家。他们的不安或许可以解释，#为什么希腊数学很少谈及运动和变化。跟无穷一样，这些令人讨厌的话题已被从彬彬有礼的交谈中“驱逐”出去了#。
在芝诺提出那些知名悖论的2 000年后，微分学的创立者解开了瞬时速度之谜。他们直观的解决方案是，将瞬时速度定义为一个极限，具体来说，就是#在越来越短的时间间隔内平均速度的极限#。
这类似于我们放大抛物线时所做的事情：先让一段越来越短的光滑曲线逼近直线，然后探究在放大无穷倍的极限情况下会发生什么。#通过研究直线斜率的极限值，我们就可以定义光滑抛物线上某一点的导数#。
在这里，通过类比的方法，我们对某种随时间发生平稳变化的对象进行近似推理，即博尔特在赛道上跑过的距离。我们的想法是，用一条在很短的时间间隔内以恒定的平均速度变化的多边形曲线，去取代他的距离–时间图像。随着时间间隔越来越短，如果每个时间间隔的平均速度趋于一个极限，这个极限值就是我们所说的某一时刻的瞬时速度。正如某一点的斜率那样，瞬间速度也是一个导数。
要想成功实现这一切，我们必须假设博尔特在赛道上跑过的距离是#平稳变化#的，否则我们研究的极限和导数就都不存在了。因为随着时间间隔的缩短，结果不会趋于任何合理的极限值。那么，他跑过的距离是否会随时间平稳地变化呢？我们对此并不确定。我们唯一拥有的数据是，博尔特经过赛道上的每个10米标记处的时间所构成的离散样本。想要估算他的瞬时速度，我们必须跳出这些数据，有根据地推测他在相邻两点之间的某个时间身处的位置。
#这种系统化的推测方法被称为插值法，其目的是在可用数据之间绘制一条光滑曲线#。换句话说，我们并不像之前那样用线段，而是用最合理的光滑曲线来连接这些点，或者至少要非常靠近这些点。
[微风]对于这条曲线，我们设定的限制条件是：它应该是绷紧的，起伏不能太大；它应该尽可能地靠近所有点；它应该展示出博尔特的初始速度为0，因为我们知道他在做预备姿势的时候是静止不动的。有许多不同的曲线都符合这些标准；统计学家想出了很多用光滑曲线去拟合数据的方法，它们也都给出了类似的结果。而且，这些方法都包含些许推测的成分，所以我们不用太在意该选择哪一种。
图6–12展示的就是其中一条能满足上述所有要求的光滑曲线。

[微风]由于曲线被设计成光滑的，我们可以计算出它上面的每一点的导数，最终生成的图像给出了博尔特在北京奥运会的那场创造世界纪录的比赛中每个瞬时速度的估计值，如图6–13所示。

从图6–13中可以看到，博尔特在比赛进行到大约3/4的时候达到了12.3米/秒的最高速度。在此之前，他每时每刻都在加速。而在此之后，他开始减速，以至于当他冲过终点线时速度降到了10.1米/秒。这幅图证实了所有人看到的情况：博尔特在接近终点时速度骤减，特别是在最后的20米，他放松下来并提前庆祝自己的胜利。
在2009年柏林世界田径锦标赛上，博尔特结束了人们对于他能跑多快的猜测。这一次他没有提前拍胸脯庆祝胜利，而是努力跑到终点，并以更加惊人的9.58秒的成绩打破了他在北京奥运会上创造的9.69秒的世界纪录。由于人们对这次比赛怀有巨大的期待，所以生物力学研究人员启用了激光枪（类似于警察用来抓超速驾驶者的雷达枪），这种高科技仪器使得研究人员能以100次/秒的频率测量短跑运动员的位置。在计算了博尔特的瞬时速度后，他们的发现如图6–14所示。

总体趋势上的那些小波动，代表了他在大步奔跑期间不可避免会出现的速度起伏。毕竟，跑步涉及一系列的腾空和落地动作。每当博尔特的一只脚在落地的瞬间“急刹车”，随即再次驱动身体向前和腾空，他的速度就会发生一点儿变化。
虽然这些小波动很有趣，但对数据分析师来说，它们既讨厌又烦人。#我们真正想看到的是趋势，而不是波动#，因此，早期用光滑曲线拟合数据的方法就很不错，甚至可以说更佳。在收集了所有的高分辨率数据并注意到这些波动之后，研究人员无论如何都要把它们清理干净。他们过滤掉这些波动，是为了揭示更有意义的趋势。
⚠️这些波动中蕴含着一个重要的#教训#。我把它视为隐喻或寓言，反映了用微积分为真实现象建模的本质。如果我们设法把测量的分辨率推升得过高，在时空中极其细微地观察任何现象，就会看到#光滑度的崩解#。在博尔特的速度数据中，小波动取代了平稳的趋势，让图像看起来就像管道清洁器一样有许多分叉。如果我们可以在分子尺度上进行测量，那么任何形式的运动都会出现同样的情况。在这个级别上，运动变成了一点儿也不平稳的抖动，所以微积分无法再（至少不能直接）给我们提供什么信息。
[微风]然而，如果我们关心的是总体趋势，消除这些小波动可能就足够了。微积分给予我们的关于宇宙中运动和变化本质的巨大洞见，尽管有可能是近似的，但却证明了#光滑度的力量#。
⚠️除此之外，这里还有一个教训：和所有科学领域一样，在建立数学模型时，我们总要对强调什么和忽略什么做出选择。
[微风]抽象的艺术在于——
知道什么是必不可少的，什么是细枝末节的；
知道什么是信号，什么是噪声；
知道什么是趋势，什么是波动。
这是一门艺术，因为诸如此类的选择总是存在着风险，#它们与痴心妄想或学术欺诈只有一线之隔#。伽利略和开普勒等伟大的科学家都曾想方设法行走在这样的“悬崖峭壁”之上。
“微积分给予我们的关于宇宙中运动和变化本质的巨大洞见，尽管有可能是近似的，但却证明了光滑度的力量。”
“和所有科学领域一样，在建立数学模型时，我们总要对强调什么和忽略什么做出选择。
抽象的艺术在于——
知道什么是必不可少的，什么是细枝末节的；
知道什么是信号，什么是噪声；
知道什么是趋势，什么是波动。
这是一门艺术，因为诸如此类的选择总是存在着风险，它们与痴心妄想或学术欺诈只有一线之隔。伽利略和开普勒等伟大的科学家都曾想方设法行走在这样的'悬崖峭壁'之上。”
《微积分的力量》
书摘
人类已经进化出发现规律的能力，与其像我们刚才那样细心地研究数字，不如把它们#形象化#，这样往往能获得更多的信息。图6–11展示了博尔特跑完10米、20米、30米等的用时情况，一直到他在9.69秒时冲过百米终点线。

为便于观察，我把图上的点都用直线连接起来，但要记住只有这些点才是真正的数据。点和它们之间的线段构成了一条多边形曲线。
最左边线段的斜率最小，对应于博尔特起跑后的较慢速度。
越往右的线段越向上弯折，这意味着他在加速。之后的几条线段共同形成了一条近乎笔直的线，表明他在比赛的大部分时间里都保持着飞快且稳定的速度。
我们自然很好奇，#他到底在何时和何处跑得最快#。虽然我们知道他在10米区间内的最快平均速度出现在50米到80米，但我们真正想要的并不是他的平均速度，而是他的最快速度。假设博尔特戴着一个速度计，那么他在哪一刻跑得最快？他的最快速度究竟是多少？
在这里，我们寻找的是一种测量他的瞬时速度的方法。但是，这个概念看起来几乎是自相矛盾的。在任何时刻，博尔特都恰好身处某个地方，就像在快照里一样纹丝不动。既然如此，讨论他在一瞬间的速度又有什么意义呢？#速度只能出现在一个时间间隔内，而非一个瞬间#。
瞬时速度之谜与数学及哲学有着很深的历史渊源，可追溯到公元前450年前后，那时芝诺提出了几个令人敬畏的悖论。回想一下，在阿喀琉斯与乌龟的悖论中，芝诺声称跑得快的人永远追不上跑得慢的人，而这和博尔特那一晚在北京的出色表现完全不同。在飞矢不动悖论中，芝诺认为飞矢永远不会移动。尽管数学家仍然不确定他想用这些悖论来阐述什么观点，但我的猜测是，瞬间速度这个概念内在的微妙之处困扰着芝诺、亚里士多德和其他希腊哲学家。他们的不安或许可以解释，#为什么希腊数学很少谈及运动和变化。跟无穷一样，这些令人讨厌的话题已被从彬彬有礼的交谈中“驱逐”出去了#。
在芝诺提出那些知名悖论的2 000年后，微分学的创立者解开了瞬时速度之谜。他们直观的解决方案是，将瞬时速度定义为一个极限，具体来说，就是#在越来越短的时间间隔内平均速度的极限#。
这类似于我们放大抛物线时所做的事情：先让一段越来越短的光滑曲线逼近直线，然后探究在放大无穷倍的极限情况下会发生什么。#通过研究直线斜率的极限值，我们就可以定义光滑抛物线上某一点的导数#。
在这里，通过类比的方法，我们对某种随时间发生平稳变化的对象进行近似推理，即博尔特在赛道上跑过的距离。我们的想法是，用一条在很短的时间间隔内以恒定的平均速度变化的多边形曲线，去取代他的距离–时间图像。随着时间间隔越来越短，如果每个时间间隔的平均速度趋于一个极限，这个极限值就是我们所说的某一时刻的瞬时速度。正如某一点的斜率那样，瞬间速度也是一个导数。
要想成功实现这一切，我们必须假设博尔特在赛道上跑过的距离是#平稳变化#的，否则我们研究的极限和导数就都不存在了。因为随着时间间隔的缩短，结果不会趋于任何合理的极限值。那么，他跑过的距离是否会随时间平稳地变化呢？我们对此并不确定。我们唯一拥有的数据是，博尔特经过赛道上的每个10米标记处的时间所构成的离散样本。想要估算他的瞬时速度，我们必须跳出这些数据，有根据地推测他在相邻两点之间的某个时间身处的位置。
#这种系统化的推测方法被称为插值法，其目的是在可用数据之间绘制一条光滑曲线#。换句话说，我们并不像之前那样用线段，而是用最合理的光滑曲线来连接这些点，或者至少要非常靠近这些点。
[微风]对于这条曲线，我们设定的限制条件是：它应该是绷紧的，起伏不能太大；它应该尽可能地靠近所有点；它应该展示出博尔特的初始速度为0，因为我们知道他在做预备姿势的时候是静止不动的。有许多不同的曲线都符合这些标准；统计学家想出了很多用光滑曲线去拟合数据的方法，它们也都给出了类似的结果。而且，这些方法都包含些许推测的成分，所以我们不用太在意该选择哪一种。
图6–12展示的就是其中一条能满足上述所有要求的光滑曲线。

[微风]由于曲线被设计成光滑的，我们可以计算出它上面的每一点的导数，最终生成的图像给出了博尔特在北京奥运会的那场创造世界纪录的比赛中每个瞬时速度的估计值，如图6–13所示。

从图6–13中可以看到，博尔特在比赛进行到大约3/4的时候达到了12.3米/秒的最高速度。在此之前，他每时每刻都在加速。而在此之后，他开始减速，以至于当他冲过终点线时速度降到了10.1米/秒。这幅图证实了所有人看到的情况：博尔特在接近终点时速度骤减，特别是在最后的20米，他放松下来并提前庆祝自己的胜利。
在2009年柏林世界田径锦标赛上，博尔特结束了人们对于他能跑多快的猜测。这一次他没有提前拍胸脯庆祝胜利，而是努力跑到终点，并以更加惊人的9.58秒的成绩打破了他在北京奥运会上创造的9.69秒的世界纪录。由于人们对这次比赛怀有巨大的期待，所以生物力学研究人员启用了激光枪（类似于警察用来抓超速驾驶者的雷达枪），这种高科技仪器使得研究人员能以100次/秒的频率测量短跑运动员的位置。在计算了博尔特的瞬时速度后，他们的发现如图6–14所示。

总体趋势上的那些小波动，代表了他在大步奔跑期间不可避免会出现的速度起伏。毕竟，跑步涉及一系列的腾空和落地动作。每当博尔特的一只脚在落地的瞬间“急刹车”，随即再次驱动身体向前和腾空，他的速度就会发生一点儿变化。
虽然这些小波动很有趣，但对数据分析师来说，它们既讨厌又烦人。#我们真正想看到的是趋势，而不是波动#，因此，早期用光滑曲线拟合数据的方法就很不错，甚至可以说更佳。在收集了所有的高分辨率数据并注意到这些波动之后，研究人员无论如何都要把它们清理干净。他们过滤掉这些波动，是为了揭示更有意义的趋势。
⚠️这些波动中蕴含着一个重要的#教训#。我把它视为隐喻或寓言，反映了用微积分为真实现象建模的本质。如果我们设法把测量的分辨率推升得过高，在时空中极其细微地观察任何现象，就会看到#光滑度的崩解#。在博尔特的速度数据中，小波动取代了平稳的趋势，让图像看起来就像管道清洁器一样有许多分叉。如果我们可以在分子尺度上进行测量，那么任何形式的运动都会出现同样的情况。在这个级别上，运动变成了一点儿也不平稳的抖动，所以微积分无法再（至少不能直接）给我们提供什么信息。
[微风]然而，如果我们关心的是总体趋势，消除这些小波动可能就足够了。微积分给予我们的关于宇宙中运动和变化本质的巨大洞见，尽管有可能是近似的，但却证明了#光滑度的力量#。
⚠️除此之外，这里还有一个教训：和所有科学领域一样，在建立数学模型时，我们总要对强调什么和忽略什么做出选择。
[微风]抽象的艺术在于——
知道什么是必不可少的，什么是细枝末节的；
知道什么是信号，什么是噪声；
知道什么是趋势，什么是波动。
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