有关质数的两个有名猜想（2）——孪生素数猜想
我给这个科普系列起名 #素数不是吃素的#是因为
第一，因为素数的定义很简单，小学四年级的学生就能理解。
第二，有关素数的著名猜想，孪生素数猜想提出两千多年了，哥德巴赫猜想也有几百年了，至今都未完全解决。
第三，由素数相关猜想引发的数学家们的故事，充满了传奇色彩。
有关哥德巴赫猜想的故事，请看【有关质数的两个有名猜想之一——哥德巴赫猜想】https://t.cn/A6tqKDqu。
今天我来讲讲孪生素数猜想的故事。在上一篇文章中，我们观察过1～1000 的素数表，发现，20以内的素数占1～20 的40%， 100以内的素数有25个，占1～100的25%， 1000以内的素数有168个，占16.8%。随着整数越来越大，素数越来越稀少了！ 100万以内，素数只占7.85%！
关于素数在整数中的分布规律，数学家高斯和勒让德猜测，大不于N的整数中素数的个数可以用公式 N/lnN 近似（ln N称为 N的自然对数，随着N的增加，ln N也会越来越大）。这个猜想在提出大约一百年后被证明。因此，在不大于N的整数中，素数的比例大约为 1/ln N 。随着N的不断增加，这个比例不断缩小，越来越接近0.
如果把素数比喻成绿豆，其他整数比喻成红豆。想象一下，按照自然数的大小顺序，把这些豆子排成队，每两个绿豆出现的间隔会不会越来越大？例如第113颗豆子是绿豆（素数），下一个绿豆要在这之后第14个豆子时才出现，第359783颗豆子是绿豆（素数），下一个绿豆要在这之后第54个豆子时（359837）才出现。
我们随便截取素数表里的大于2的连续素数观察一下：
3 5 7 111317192329
这一组素数，相邻两个素数的差最小是2，最大是6；
7379838997101 103 107 109
这一组素数，相邻两个素数的差最小是2，最大是8；
9013 9029 9041 9043 9049 9059 9067 9091 9103 9109
这一组素数，相邻两个素数的差最小是2，最大是24；
26993270112701727031270432705927061270672707327077
这一组素数，相邻两个素数的差最小是4，最大是18；
358859 358861 358867 358877 358879 358901 358903 358907 358909 358931
这一组素数，相邻两个素数的差最小是2，最大是22。
我们发现上述表中，两个相邻素数的差，最小是2。这个最小差，并没有随着数字的变大而增大。
也就是说，如果玩上述的绿豆红豆游戏，随着数字的变大，有时候一个绿豆之后要等很久才能轮到下一个绿豆，但有时候只需要再放一个红豆就又轮到绿豆了！
像 3和5、 101和103、 9041和9043、 338859和338861 这样相差为2的素数对就像双胞胎一样，所以数学家把他们称为孪生素数（twin prime）。
欧几里得猜测，像3和5这样差为2的素数对，有无穷多对。
自欧几里得首次提出孪生素数猜想已经过去了两千多年，但数学家一直没有找到证明这个猜想的办法。 1900年，大数学家希尔伯特在巴黎数学家大会上做报告，提出了20世纪最重要的23个数学问题，把黎曼猜想、哥德巴赫猜想和孪生素数猜想一同列入了第八个问题——素数问题。
基于孪生素数猜想，数学家波尼亚克还提出了一个更一般的猜想：
给定任意的偶数2k，相差为2k的素数有无穷多对。
这个猜想如果也成立，那么，
像 7 和11、 13和17 这样相差4的素数对（表兄弟素数对）有无限多个；
像13和19、23和29 这样相差6的素数对有无限多个；
…………
随便给一个偶数102，相差102的素数对也有无限多个。
我们跑个题，请大家思考一下，为什么相差都是偶数？有没有相差为奇数的素数对？如果没有，为什么？如果有，有多少对，为什么？
直到2013年4月，数学家张益唐先生在论文《质数间的有界间隔》中证明了相差7000万的素数对有无穷多个。
这一结果具有里程碑式的意义，它是一个从无穷到有限的重大突破。我记得当时很多的数学家都评论说张益唐先生的结论，相当于把大海捞针缩小为小池塘捞针。其实我觉得这一比喻不够精确，因为大海虽然大，但总归是有限的。
在这篇论文之前，有关相邻素数距离的结论是猜想，猜想就有可能是错的。如果猜想是错的，就意味着：随着整数不断增大，相邻两个素数间的距离会越来越大，我们目前还没观察到，只是因为人类算力有限，还没有算到那个现象而已。
这篇论文之后，我们可以相信，即使整数不断增大，总会源源不断涌现出相差7000万的素数对，那么相邻两个素数的差就不会越来越大。 所以，即使人类算力有限，观察到的素数也有限，我们也可以很确定的下结论：相邻素数间的距离，并不会越来越大。因此，这篇论文对于我们认识和解决孪生素数猜想具有划时代的、决定性的意义。
张益唐的论文出版后，整个数学界震惊了，一方面是这个成果实在太重大了；另一方面是，张益唐在当时并不是功成名就的著名数学家，他的人生跌宕起伏，极富传奇色彩。
他年少得志，1978年考入北大，硕士毕业赴美留学攻读博士学位，然而毕业即失业，最潦倒的时候在快餐店当服务员，后来经北大校友推荐在美国新罕布什尔大学谋得一个临时讲师教职，然后在知天命的年龄攻克千年数学难题。
扫地僧证明了千年数学难题，这太具有传奇色彩了。张先生的故事如果拍成电影，一定不输演绎纳什的《美丽心灵》和演绎霍金的《万物理论》，真期待某一天我国的电影公司能投拍他的故事。
最后，我用张先生在某次采访中引用的一句杜甫的诗结束本文：
“庾信生平最萧瑟,暮年诗赋动江关”。
#数学启蒙# #几何原本[超话]#
我给这个科普系列起名 #素数不是吃素的#是因为
第一，因为素数的定义很简单，小学四年级的学生就能理解。
第二，有关素数的著名猜想，孪生素数猜想提出两千多年了，哥德巴赫猜想也有几百年了，至今都未完全解决。
第三，由素数相关猜想引发的数学家们的故事，充满了传奇色彩。
有关哥德巴赫猜想的故事，请看【有关质数的两个有名猜想之一——哥德巴赫猜想】https://t.cn/A6tqKDqu。
今天我来讲讲孪生素数猜想的故事。在上一篇文章中，我们观察过1～1000 的素数表，发现，20以内的素数占1～20 的40%， 100以内的素数有25个，占1～100的25%， 1000以内的素数有168个，占16.8%。随着整数越来越大，素数越来越稀少了！ 100万以内，素数只占7.85%！
关于素数在整数中的分布规律，数学家高斯和勒让德猜测，大不于N的整数中素数的个数可以用公式 N/lnN 近似（ln N称为 N的自然对数，随着N的增加，ln N也会越来越大）。这个猜想在提出大约一百年后被证明。因此，在不大于N的整数中，素数的比例大约为 1/ln N 。随着N的不断增加，这个比例不断缩小，越来越接近0.
如果把素数比喻成绿豆，其他整数比喻成红豆。想象一下，按照自然数的大小顺序，把这些豆子排成队，每两个绿豆出现的间隔会不会越来越大？例如第113颗豆子是绿豆（素数），下一个绿豆要在这之后第14个豆子时才出现，第359783颗豆子是绿豆（素数），下一个绿豆要在这之后第54个豆子时（359837）才出现。
我们随便截取素数表里的大于2的连续素数观察一下：
3 5 7 111317192329
这一组素数，相邻两个素数的差最小是2，最大是6；
7379838997101 103 107 109
这一组素数，相邻两个素数的差最小是2，最大是8；
9013 9029 9041 9043 9049 9059 9067 9091 9103 9109
这一组素数，相邻两个素数的差最小是2，最大是24；
26993270112701727031270432705927061270672707327077
这一组素数，相邻两个素数的差最小是4，最大是18；
358859 358861 358867 358877 358879 358901 358903 358907 358909 358931
这一组素数，相邻两个素数的差最小是2，最大是22。
我们发现上述表中，两个相邻素数的差，最小是2。这个最小差，并没有随着数字的变大而增大。
也就是说，如果玩上述的绿豆红豆游戏，随着数字的变大，有时候一个绿豆之后要等很久才能轮到下一个绿豆，但有时候只需要再放一个红豆就又轮到绿豆了！
像 3和5、 101和103、 9041和9043、 338859和338861 这样相差为2的素数对就像双胞胎一样，所以数学家把他们称为孪生素数（twin prime）。
欧几里得猜测，像3和5这样差为2的素数对，有无穷多对。
自欧几里得首次提出孪生素数猜想已经过去了两千多年，但数学家一直没有找到证明这个猜想的办法。 1900年，大数学家希尔伯特在巴黎数学家大会上做报告，提出了20世纪最重要的23个数学问题，把黎曼猜想、哥德巴赫猜想和孪生素数猜想一同列入了第八个问题——素数问题。
基于孪生素数猜想，数学家波尼亚克还提出了一个更一般的猜想：
给定任意的偶数2k，相差为2k的素数有无穷多对。
这个猜想如果也成立，那么，
像 7 和11、 13和17 这样相差4的素数对（表兄弟素数对）有无限多个；
像13和19、23和29 这样相差6的素数对有无限多个；
…………
随便给一个偶数102，相差102的素数对也有无限多个。
我们跑个题，请大家思考一下，为什么相差都是偶数？有没有相差为奇数的素数对？如果没有，为什么？如果有，有多少对，为什么？
直到2013年4月，数学家张益唐先生在论文《质数间的有界间隔》中证明了相差7000万的素数对有无穷多个。
这一结果具有里程碑式的意义，它是一个从无穷到有限的重大突破。我记得当时很多的数学家都评论说张益唐先生的结论，相当于把大海捞针缩小为小池塘捞针。其实我觉得这一比喻不够精确，因为大海虽然大，但总归是有限的。
在这篇论文之前，有关相邻素数距离的结论是猜想，猜想就有可能是错的。如果猜想是错的，就意味着：随着整数不断增大，相邻两个素数间的距离会越来越大，我们目前还没观察到，只是因为人类算力有限，还没有算到那个现象而已。
这篇论文之后，我们可以相信，即使整数不断增大，总会源源不断涌现出相差7000万的素数对，那么相邻两个素数的差就不会越来越大。 所以，即使人类算力有限，观察到的素数也有限，我们也可以很确定的下结论：相邻素数间的距离，并不会越来越大。因此，这篇论文对于我们认识和解决孪生素数猜想具有划时代的、决定性的意义。
张益唐的论文出版后，整个数学界震惊了，一方面是这个成果实在太重大了；另一方面是，张益唐在当时并不是功成名就的著名数学家，他的人生跌宕起伏，极富传奇色彩。
他年少得志，1978年考入北大，硕士毕业赴美留学攻读博士学位，然而毕业即失业，最潦倒的时候在快餐店当服务员，后来经北大校友推荐在美国新罕布什尔大学谋得一个临时讲师教职，然后在知天命的年龄攻克千年数学难题。
扫地僧证明了千年数学难题，这太具有传奇色彩了。张先生的故事如果拍成电影，一定不输演绎纳什的《美丽心灵》和演绎霍金的《万物理论》，真期待某一天我国的电影公司能投拍他的故事。
最后，我用张先生在某次采访中引用的一句杜甫的诗结束本文：
“庾信生平最萧瑟,暮年诗赋动江关”。
#数学启蒙# #几何原本[超话]#
我是一个审美能力很一般的人，去美术馆看画展一般都没什么感觉。欣赏一副艺术作品，如何才能感受到美呢？最近一位朋友分享了她对神经美学的理解，让我重新简单地理解了审美的过程。
神经科学研究发现，审美能力差异大的人，视觉神经区域成像几乎无异，但在眶额叶皮层认知情感作用的功能脑区的活性，审美感受力强的人在欣赏艺术作品时，远超审美能力一般的人。
视觉神经区域成像部分是我们对外界环境的输入，眶额叶皮层负责认知情感作用的脑区则存储了我们在社会实践的大图景下，人与人之间相互联结时的情感和记忆。环境和自然本身是毫无意义的，是人与人在其中的关联赋予了人丰富的情感与意义。
比如，我们写作的时候，能打动人的文章，讲究情景交融，融情入景；这里的景，作为人与人的情感关联的背景，才成为了人在穿越浩瀚自我的宇宙时难以抹去的一幕。如果明白了这个道理，写作时如何选景？选那些越多人有共鸣的景越好。孤帆远景碧空净，唯见长江天际流。这样的诗句千年没有过时，因为孤帆和江边送行，就是离别这一场景最好的背景，已经在我们的文化、影视作品和经历中成为集体记忆。
作为成年人，每一个人都一定曾经历过自我的跋涉。在成长的路上，经历尤其是情感方面的经历越丰富，这方面的积累越多，眶额叶皮层关于情感和认知的神经链接越丰富。这可能来自具身的经历，也可以是阅读伟大的文学作品时心灵感受到的激荡。
同样储备的人，依然表现出审美能力的差异，这是为什么呢？
这是因为从外部环境（也即视觉神经区域成像部分）到内部的情感和认知（眶额叶皮层关于情感和认知的神经链接），还需要有意识的连接起来。
某天你经过了城市里一座古老的城墙。那座古老的城墙，是否让你想起文学作品中那些战火不断的古代岁月？是“国破山河在，春城草木深”的满目凄然，是“十年生死两茫茫，不思量自难忘”的生死枯等。历史的车轮不会在乎任何人的悲欢离合，但人类在乎；人类总是走在创造更幸福的生活的路上。缓过神来，城墙下川流不息的车辆和来来往往的人群，岁月静好就是最好的时光啊！那是万历十五年来无数中华儿女跋涉过的漫漫的复兴之路。如果你感受到了幸福，更要担负责任。
再如，看着画展里一块毛玻璃上的雨滴，你是否想起那一夜的雨，你也在看着窗外玻璃上的雨滴。或者是失恋了，又或者是高考不顺，你听了一夜的梧桐点滴。最终你还是收拾了心情，穿越了茫茫的成长之旅；今天的你，是以什么心绪看待这一成长的片段？这幅画不再是一副没有生命的纸张和颜料，它是你自我的一部分。
如果你读过张爱玲《半生缘》里的这段描写 “火油炉子烧得久了，火焰渐渐变成美丽的蓝色，蓝汪汪的火 ，蓝得像水一样。”你会拍案叫绝。水火本不相融，竟然有人敢把火比喻成水，还写得如此贴切。张爱玲是隐喻高手，如果读过的《我们赖以生存的隐喻》，你就会明白这其中的原理。乔治·莱考夫的概念隐喻理论认为，隐喻是从一个具体的概念域向一个抽象的概念域的系统映射；隐喻是思维方式和认知手段，不是语言问题，但可以反映在语言中。也就是说，张爱玲超越了已有认知，从看似没有相似性的事物中，找到了它们之间的新的相似性，创造了新的感觉。
我们欣赏艺术作品的时候也是如此，当你凝望一幅画作，它也在凝望你。不同的是，你是翻山越岭，徒步走过茫茫的太阳系来到它面前。那一刻，通过寻找画作的纹理，色彩，图像中的某种记忆之勾，与眶额叶皮层中某种相似的回忆联结起来，融入新的理解，与新的环境再次匹配，你便重新创造了这个时刻。
我们总是梦想财富自由。但很多人只是狭隘地认为，金钱才是财富。听听保罗格雷厄姆怎么说，你也许会改变想法。他在《黑客与画家》一书中说，“金钱不等于财富。财富是最基本的东西。我们需要的东西就是财富，食品、服装、住房 、汽车、生活用品、外出旅行等都是财富。即使你没有钱，你也能拥有财富。 ”
哪些能丰富你的人生，让你感受到生命的乐趣，感受到人间值得的，都是财富。比如阳光，比如与孩子的温馨互动。是的，欣赏艺术，阅读伟大的文学作品，这些每一个与他人共创美和全新感觉的时刻，就是无价的财富。而这些巨量的无价的财富，很多往往还是免费的或者不需要花很多钱，随时等你来再次创造它们的价值。
当你逼着孩子天天刷题，上各种辅导班，无条件服从你的时候，你正在一步步修剪去你的孩子眶额叶皮层中的情感库中神经链接数量。学业之外，有更广阔的更浩瀚的世界；那些无忧无虑的童年嬉笑，阳光关灿烂的户外时光，亲子阅读的温馨时刻，成长之旅中自由探索的痛苦和快乐，是你可以给孩子巨量的财富。
#一起家庭教育#
神经科学研究发现，审美能力差异大的人，视觉神经区域成像几乎无异，但在眶额叶皮层认知情感作用的功能脑区的活性，审美感受力强的人在欣赏艺术作品时，远超审美能力一般的人。
视觉神经区域成像部分是我们对外界环境的输入，眶额叶皮层负责认知情感作用的脑区则存储了我们在社会实践的大图景下，人与人之间相互联结时的情感和记忆。环境和自然本身是毫无意义的，是人与人在其中的关联赋予了人丰富的情感与意义。
比如，我们写作的时候，能打动人的文章，讲究情景交融，融情入景；这里的景，作为人与人的情感关联的背景，才成为了人在穿越浩瀚自我的宇宙时难以抹去的一幕。如果明白了这个道理，写作时如何选景？选那些越多人有共鸣的景越好。孤帆远景碧空净，唯见长江天际流。这样的诗句千年没有过时，因为孤帆和江边送行，就是离别这一场景最好的背景，已经在我们的文化、影视作品和经历中成为集体记忆。
作为成年人，每一个人都一定曾经历过自我的跋涉。在成长的路上，经历尤其是情感方面的经历越丰富，这方面的积累越多，眶额叶皮层关于情感和认知的神经链接越丰富。这可能来自具身的经历，也可以是阅读伟大的文学作品时心灵感受到的激荡。
同样储备的人，依然表现出审美能力的差异，这是为什么呢？
这是因为从外部环境（也即视觉神经区域成像部分）到内部的情感和认知（眶额叶皮层关于情感和认知的神经链接），还需要有意识的连接起来。
某天你经过了城市里一座古老的城墙。那座古老的城墙，是否让你想起文学作品中那些战火不断的古代岁月？是“国破山河在，春城草木深”的满目凄然，是“十年生死两茫茫，不思量自难忘”的生死枯等。历史的车轮不会在乎任何人的悲欢离合，但人类在乎；人类总是走在创造更幸福的生活的路上。缓过神来，城墙下川流不息的车辆和来来往往的人群，岁月静好就是最好的时光啊！那是万历十五年来无数中华儿女跋涉过的漫漫的复兴之路。如果你感受到了幸福，更要担负责任。
再如，看着画展里一块毛玻璃上的雨滴，你是否想起那一夜的雨，你也在看着窗外玻璃上的雨滴。或者是失恋了，又或者是高考不顺，你听了一夜的梧桐点滴。最终你还是收拾了心情，穿越了茫茫的成长之旅；今天的你，是以什么心绪看待这一成长的片段？这幅画不再是一副没有生命的纸张和颜料，它是你自我的一部分。
如果你读过张爱玲《半生缘》里的这段描写 “火油炉子烧得久了，火焰渐渐变成美丽的蓝色，蓝汪汪的火 ，蓝得像水一样。”你会拍案叫绝。水火本不相融，竟然有人敢把火比喻成水，还写得如此贴切。张爱玲是隐喻高手，如果读过的《我们赖以生存的隐喻》，你就会明白这其中的原理。乔治·莱考夫的概念隐喻理论认为，隐喻是从一个具体的概念域向一个抽象的概念域的系统映射；隐喻是思维方式和认知手段，不是语言问题，但可以反映在语言中。也就是说，张爱玲超越了已有认知，从看似没有相似性的事物中，找到了它们之间的新的相似性，创造了新的感觉。
我们欣赏艺术作品的时候也是如此，当你凝望一幅画作，它也在凝望你。不同的是，你是翻山越岭，徒步走过茫茫的太阳系来到它面前。那一刻，通过寻找画作的纹理，色彩，图像中的某种记忆之勾，与眶额叶皮层中某种相似的回忆联结起来，融入新的理解，与新的环境再次匹配，你便重新创造了这个时刻。
我们总是梦想财富自由。但很多人只是狭隘地认为，金钱才是财富。听听保罗格雷厄姆怎么说，你也许会改变想法。他在《黑客与画家》一书中说，“金钱不等于财富。财富是最基本的东西。我们需要的东西就是财富，食品、服装、住房 、汽车、生活用品、外出旅行等都是财富。即使你没有钱，你也能拥有财富。 ”
哪些能丰富你的人生，让你感受到生命的乐趣，感受到人间值得的，都是财富。比如阳光，比如与孩子的温馨互动。是的，欣赏艺术，阅读伟大的文学作品，这些每一个与他人共创美和全新感觉的时刻，就是无价的财富。而这些巨量的无价的财富，很多往往还是免费的或者不需要花很多钱，随时等你来再次创造它们的价值。
当你逼着孩子天天刷题，上各种辅导班，无条件服从你的时候，你正在一步步修剪去你的孩子眶额叶皮层中的情感库中神经链接数量。学业之外，有更广阔的更浩瀚的世界；那些无忧无虑的童年嬉笑，阳光关灿烂的户外时光，亲子阅读的温馨时刻，成长之旅中自由探索的痛苦和快乐，是你可以给孩子巨量的财富。
#一起家庭教育#
途径红尘，途径某一段铭心的往事，或许，亦会生出淡淡的惆怅，却不会扰了心底那一份笃定。红尘渡口，擦肩与重逢熙熙攘攘，有人忽略你，就会有人喜欢你。所以，我们不必把什么都放在心上。该遗忘的遗忘，该铭记的铭记，该珍惜的珍惜，开心快乐过好每一个不可复制的今天。
生活中的快乐，处处可见，时时可遇。它不在于我们获得多少，或者失去多少。若持一颗平常心，随心，随性，随缘。得到不以物喜，失去不以己悲，便是淡到极致，淡出繁华。
一路繁华，终究会随时光走远，与我们不辞而别。到那时，取些许经年的光阴，滤去浮尘，唯留一些琉璃的情怀。在淡淡红尘里，盈一份素简，淡淡行走，浅浅爱。无畏艰辛，无悔付出。
走过春花，走过秋月，走过夏雨，走过冬雪，就让生命中，那些无言的静美，蔓延成浅浅的诗行。只待，经年以后，在午后的时光里拿来翻阅，依旧会有一种熟悉的气息，携带着温暖，一一与你温柔相认，这算不算是一种圆满？
生活中的快乐，处处可见，时时可遇。它不在于我们获得多少，或者失去多少。若持一颗平常心，随心，随性，随缘。得到不以物喜，失去不以己悲，便是淡到极致，淡出繁华。
一路繁华，终究会随时光走远，与我们不辞而别。到那时，取些许经年的光阴，滤去浮尘，唯留一些琉璃的情怀。在淡淡红尘里，盈一份素简，淡淡行走，浅浅爱。无畏艰辛，无悔付出。
走过春花，走过秋月，走过夏雨，走过冬雪，就让生命中，那些无言的静美，蔓延成浅浅的诗行。只待，经年以后，在午后的时光里拿来翻阅，依旧会有一种熟悉的气息，携带着温暖，一一与你温柔相认，这算不算是一种圆满？
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