尺规作图的三大难题
大罕
 

两千多年前，古希腊数学家欧几里得编写了一本几何教科书《几何原本》．后来把这本书中的公理、定理、法则体系，称为欧氏几何．其中精彩部分，我国现行的中学教科书还在使用．

在欧氏几何中，几何作图的工具是直尺和圆规．这里的直尺与通常的尺子不同，它没有刻度，只能用来把两点连成线段，或者把线段向两个方向任意延长；圆规只能用来以任意一点为圆心，以任意长为半径画一段弧或一个圆．作图时，这两种工具还不能同时使用．如果能有限次地使用直尺和圆规作出某个图形，就认为这个图形是可以求作的，否则就是不能求作的．

为什么古希腊人把作图工具这样刻意加以限制呢？这固然与当时的作图工具的工艺水平有关，但更重要的原因恐怕是，古希腊人认为使用的作图器械越少、越简单，所绘出的图形越接近理想图形．

当时还盛传着三个作图问题，后来被称为著名的三大几何难题．这就是：

⑴立方倍积：求作一个立方体，使它的体积等于已知立方体的体积的两倍．

⑵三等分任意角：任意给定一个角，求作两条射线把这个角三等分；

⑶化圆为方：求作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积．

这三道题流传了二千多年，引起了许多人的兴趣，也使不少数学家为此绞尽脑汁，结果都失败了．

为什么这些问题始终解决不了？于是有人开始怀疑：问题是不可以从正面加以解决的！那么，怎样从反面入手证明这三大难题是不可解的呢？

1637年，法国数学家笛卡儿（Desartes，1596-1650）发明了解析几何，为解决问题开辟了新的途径．1837年，法国数学家万采尔(Wantzel,1814-1848) 首先证明倍立方问题和三等分任意角问题不能用尺规作图来解决．1882年，德国数学家林德曼(Lindemann,1852~1939)证明了π的超越性，从而确立了尺规化圆为方的不可能．
解决这三个问题的思路，中学生读者是不是大体上能看懂呢？回答是肯定的．

首先，粗略地介绍什么叫几何作图的代数解法．

我们知道，利用尺规可以找出已知线段的中点、作出已知线段的垂线和已知角的平分线．利用这些可以解决一些简单的作图问题（以下等式内所有的字母都表示线段，其中x表示欲求作的线段）：

①x=a± b(两线段的和或差)；

②x=ka或x=a/k，k是自然数(线段的倍量或分量)；

③x=ab/c(三条线段的第四比例项)；

④x=√ab(两线段的比例中项)；

⑤x=√(a^2+b^2) (直角三角形的斜边或直角边)，

其中③的理论根据是平行线截得成比例线段定理（图1），④的根据是直角三角形的射影定理（图2），⑤的根据是勾股定理(图3、图4)．

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