从正多边形的作图到费尔马素数
大罕
你会用尺规作出圆内接正三角形、正方形、正五边形、正六边形和正十边形吗?
正方形的两条对角线,把正方形分为四个全等的等腰直角三角形.只要在圆内作两条互相垂直的直径,顺次连接两条直径的四个端点,就能得到一个正方形.
正六边形的边长等于外接圆半径.只要在圆周上用半径的长截取六个等分点,就能得到圆内接正六边形.连接圆的六等分点中隔着一个点的三个点就能得到正三角形.
正五边形可以通过正十边形的作图可以得到.
设正十边形A1A2…A10的外接圆为圆O,半径为1,则∠A1OA2=36°,
则A1A2=2 sin18°,
计算sin18°的值:
∵cos54°=sin36°,
∴4(cos18°)^3-3cos18°=2sin18°cos18°,
⇒4(cos18°)^2-3=2sin18°,
⇒4(sin18°)^2+2sin18°-1=0,
解得sin18°=(√5-1)/4,
因此,正十边形的边长为A1A2=2sin18°=(√5-1)/2.
据此,可以这样求作完成正十边形的边长:
第一步,在半径为1的圆O中,作互相垂直的直径MN和 A1A6,如图2;
第二步,取半径OM的中点K;
第三步,以OM为直径作圆K,连接A1K交圆K于点H,则A1H即为正十边形的边长.
其证明相当简单:
在Rt△A1OK中,A1K=√[1+(1/2)^2]=√5/2,
∴A1H= A1K-KH=(√5-1)/2,
连接圆的十等分点中隔着一个点的五个点就能得到正五边形.
不过,人们更喜欢直接用尺规作图得到正五边形。作法如下:
第一步,在半径为1的圆O中,作互相垂直的直径MN和 AP;
第二步,取半径ON的中点K;
第三步,以 K为圆心,KA为半径画弧与 OM交于 H, AH即为正五边形的边长;
第四步,以AH为弦长,在圆周上截得B、C、D、E各点,顺次连接这些点即得正五边形ABCDE,如图3.
下面我们予以证明。回顾作图过程,有
在Rt△AOK中,AK=√[1+(1/2)^2]=√5/2,
∴OH=(√5-1)/2,
在Rt△AOH中,
AH^2=1+[(√5-1)/2]^2=(10-2√5)/4,
∴AH=[√(10-2√5)]/2.
下面我们推算半径为1的圆内接正五边形的边长.
如图4,正五边形ABCDE内接于圆O,延长BO交DE于点Q,
在Rt△BQE中,BQ=1+cos36°,QE=sin36°,BE=2sin72°,
∴(1+cos36°)^2+(sin36°)^2=(2sin72°)^2,
化简,得
1+cos36°=2(sin72°)^2,
⇒1+cos36°=8[1-(cos36°)^2](cos36°)^2,
令x=cos36°,就有
1+x=8x^2(1+x)(1-x),⇒8x^3-8x^2+1=0,
⇒(2x-1)(4x^2-2x-1)=0,⇒x=cos36°=(√5+1)/4,
⇒sin36°=[√(10-2√5)]/4,
∴圆内接正五边形ABCDE的边长DE=2sin36°
=[√(10-2√5)]/2.
用尺规作正n边形,是欧氏几何的一个重要内容,历史上曾占有重要的地位.与此相关的数学问题,例如费尔马素数问题,至今仍然没有解决.
说到费尔马素数,必然把它与两位著名数学家——费尔马和高斯联系起来.
欧几里得在《几何原本》里,除了介绍正三角形、正方形、正五边形和正六边形的作法外,还介绍了正十五边形的作法.
由于圆内接正三角形和正五边形可以作图,而2/5-1/3=1/15,只要把圆三等分于A,B,C,再将圆五等分于A,P,Q,R,S,就可以可出正十五边形来.
进一步,通过连续平分角或弧,就可以作出3×2^k、4×2^k、5×2^k、15×2^k(k=0,1,2,…)个边的正多边形.二千多年以来,一直没有人能用直尺和圆规作出新的正多边形来.(未完待续) https://t.cn/R2V0eeO
大罕
你会用尺规作出圆内接正三角形、正方形、正五边形、正六边形和正十边形吗?
正方形的两条对角线,把正方形分为四个全等的等腰直角三角形.只要在圆内作两条互相垂直的直径,顺次连接两条直径的四个端点,就能得到一个正方形.
正六边形的边长等于外接圆半径.只要在圆周上用半径的长截取六个等分点,就能得到圆内接正六边形.连接圆的六等分点中隔着一个点的三个点就能得到正三角形.
正五边形可以通过正十边形的作图可以得到.
设正十边形A1A2…A10的外接圆为圆O,半径为1,则∠A1OA2=36°,
则A1A2=2 sin18°,
计算sin18°的值:
∵cos54°=sin36°,
∴4(cos18°)^3-3cos18°=2sin18°cos18°,
⇒4(cos18°)^2-3=2sin18°,
⇒4(sin18°)^2+2sin18°-1=0,
解得sin18°=(√5-1)/4,
因此,正十边形的边长为A1A2=2sin18°=(√5-1)/2.
据此,可以这样求作完成正十边形的边长:
第一步,在半径为1的圆O中,作互相垂直的直径MN和 A1A6,如图2;
第二步,取半径OM的中点K;
第三步,以OM为直径作圆K,连接A1K交圆K于点H,则A1H即为正十边形的边长.
其证明相当简单:
在Rt△A1OK中,A1K=√[1+(1/2)^2]=√5/2,
∴A1H= A1K-KH=(√5-1)/2,
连接圆的十等分点中隔着一个点的五个点就能得到正五边形.
不过,人们更喜欢直接用尺规作图得到正五边形。作法如下:
第一步,在半径为1的圆O中,作互相垂直的直径MN和 AP;
第二步,取半径ON的中点K;
第三步,以 K为圆心,KA为半径画弧与 OM交于 H, AH即为正五边形的边长;
第四步,以AH为弦长,在圆周上截得B、C、D、E各点,顺次连接这些点即得正五边形ABCDE,如图3.
下面我们予以证明。回顾作图过程,有
在Rt△AOK中,AK=√[1+(1/2)^2]=√5/2,
∴OH=(√5-1)/2,
在Rt△AOH中,
AH^2=1+[(√5-1)/2]^2=(10-2√5)/4,
∴AH=[√(10-2√5)]/2.
下面我们推算半径为1的圆内接正五边形的边长.
如图4,正五边形ABCDE内接于圆O,延长BO交DE于点Q,
在Rt△BQE中,BQ=1+cos36°,QE=sin36°,BE=2sin72°,
∴(1+cos36°)^2+(sin36°)^2=(2sin72°)^2,
化简,得
1+cos36°=2(sin72°)^2,
⇒1+cos36°=8[1-(cos36°)^2](cos36°)^2,
令x=cos36°,就有
1+x=8x^2(1+x)(1-x),⇒8x^3-8x^2+1=0,
⇒(2x-1)(4x^2-2x-1)=0,⇒x=cos36°=(√5+1)/4,
⇒sin36°=[√(10-2√5)]/4,
∴圆内接正五边形ABCDE的边长DE=2sin36°
=[√(10-2√5)]/2.
用尺规作正n边形,是欧氏几何的一个重要内容,历史上曾占有重要的地位.与此相关的数学问题,例如费尔马素数问题,至今仍然没有解决.
说到费尔马素数,必然把它与两位著名数学家——费尔马和高斯联系起来.
欧几里得在《几何原本》里,除了介绍正三角形、正方形、正五边形和正六边形的作法外,还介绍了正十五边形的作法.
由于圆内接正三角形和正五边形可以作图,而2/5-1/3=1/15,只要把圆三等分于A,B,C,再将圆五等分于A,P,Q,R,S,就可以可出正十五边形来.
进一步,通过连续平分角或弧,就可以作出3×2^k、4×2^k、5×2^k、15×2^k(k=0,1,2,…)个边的正多边形.二千多年以来,一直没有人能用直尺和圆规作出新的正多边形来.(未完待续) https://t.cn/R2V0eeO
#威廉·埃因托芬#(1860.5.21 - 1927.9.29)是一位医师与生理学家,在1903年发明了最早的#心电图#与量测装置,并因此在1924年获得#诺贝尔生理学或医学奖#。
#心脏#是人体最忙碌的器官之一,它每天要搏动近10万次,如何检测它是否健康非常重要。
1895年,他在生理学家#沃勒#的基础上开始心脏动作电流的研究,改进了德·阿森瓦氏的镜影电流计。1901年他设计了弦线式电流计,采用直径为0.002毫米的镀银石英丝代替动圈和反射镜记录心动电流及心音,克服了以往仪器的缺点。两年后,他确定心电图的标准测量单位,即描记记录的影线在纵坐标上波动1厘米,代表1毫伏的电位差,在横坐标上移动1厘米为0.4秒。采用P、Q、R、S、T等字母标出心电图上的各波,并选择双手与左脚安放电极板,组成3种标准导联。
之后,心电图机被广泛应用于临床,逐渐成为确诊急性冠脉综合征必不可少的辅助诊断工具,是诊断室内阻滞和心律失常的方法之一。
#心脏#是人体最忙碌的器官之一,它每天要搏动近10万次,如何检测它是否健康非常重要。
1895年,他在生理学家#沃勒#的基础上开始心脏动作电流的研究,改进了德·阿森瓦氏的镜影电流计。1901年他设计了弦线式电流计,采用直径为0.002毫米的镀银石英丝代替动圈和反射镜记录心动电流及心音,克服了以往仪器的缺点。两年后,他确定心电图的标准测量单位,即描记记录的影线在纵坐标上波动1厘米,代表1毫伏的电位差,在横坐标上移动1厘米为0.4秒。采用P、Q、R、S、T等字母标出心电图上的各波,并选择双手与左脚安放电极板,组成3种标准导联。
之后,心电图机被广泛应用于临床,逐渐成为确诊急性冠脉综合征必不可少的辅助诊断工具,是诊断室内阻滞和心律失常的方法之一。
《声母表和韵母表》声母表 23 b p m f d t n l g k h j q x zh ch sh r z c s y w 韵母表 24 a o e i u v ai ei ui ao ou iu ie ve er an en in un vn ang eng ing ong 扩展资料: 首先,韵母一共39个。 单元音韵母一共十个。 根据发音,分为以下几类: 1.舌面元音发音:a o e ê i u ü 2.特殊元音韵母,舌尖元音韵母:-i(前) -i(后) 卷舌韵母:er 我们来看看,有几个韵母是看不懂的,-i(前)和-i(后)还有 ê 简单的说一下, 普通话里ê韵母不和任何辅音声母相拼,自成音节的字只https://t.cn/A6VGn3iK
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