黄鹤楼
昔人已乘黄鹤去，此地空余黄鹤楼。
黄鹤一去不复返，白云千载空悠悠。
晴川历历汉阳树，芳草萋萋鹦鹉洲。
日暮乡关何处是？烟波江上使人愁。
白话译文
昔日的仙人已乘着黄鹤飞去，这地方只留下空荡的黄鹤楼。
黄鹤一去再也没有返回这里，千万年来只有白云飘飘悠悠。
汉阳晴川阁的碧树历历可辨，更能看清芳草繁茂的鹦鹉洲。
时至黄昏不知何处是我家乡？看江面烟波渺渺更使人烦愁！
元人辛文房《唐才子传》记李白登黄鹤楼本欲赋诗，因见崔颢此作，为之敛手，说：“眼前有景道不得，崔颢题诗在上头。”传说或出于后人附会，未必真有其事。然李白确曾两次作诗拟此诗格调。其《鹦鹉洲》诗前四句说：“鹦鹉东过吴江水，江上洲传鹦鹉名。鹦鹉西飞陇山去，芳洲之树何青青。”与崔诗如出一辙。又有《登金陵凤凰台》诗亦是明显地摹学此诗。为此，说诗者众口交誉，如严羽《沧浪诗话》谓：“唐人七言律诗，当以崔颢《黄鹤楼》为第一。”这一来，崔颢的《黄鹤楼》的名气就更大了。
《黄鹤楼》之所以成为千古传颂的名篇佳作，主要还在于诗歌本身具有的美学意蕴。
一是意中有象、虚实结合的意境美。诗从楼的命名之由来着想，借传说落笔，然后生发开去。仙人跨鹤，本属虚无，现以无作有，说它“一去不复返”，就有岁月不再、古人不可见之憾；仙去楼空，唯余天际白云，悠悠千载，正能表现世事茫茫之慨。诗人这几笔写出了那个时代登黄鹤楼的人们常有的感受，气概苍莽，感情真挚。
二是气象恢宏、色彩缤纷的绘画美。诗中有画，历来被认为是山水写景诗的一种艺术标准，《黄鹤楼》也达到了这个高妙的境界。首联在融入仙人乘鹤的传说中，描绘了黄鹤楼的近景，隐含着此楼枕山临江，峥嵘缥缈之形势。颔联在感叹“黄鹤一去不复返”的抒情中，描绘了黄鹤楼的远景，表现了此楼耸入天际、白云缭绕的壮观。颈联游目骋怀，直接勾勒出黄鹤楼外江上明朗的日景。尾联徘徊低吟，间接呈现出黄鹤楼下江上朦胧的晚景。诗篇所展现的整幅画面上，交替出现的有黄鹤楼的近景、远景、日景、晚景，变化奇妙，气象恢宏；相互映衬的则有仙人黄鹤、名楼胜地、蓝天白云、晴川沙洲、绿树芳草、落日暮江，形象鲜明，色彩缤纷。全诗在诗情之中充满了画意，富于绘画美。
前人有“文以气为主”之说，此诗前四句看似随口说出，一气旋转，顺势而下，绝无半点滞碍。“黄鹤”二字再三出现，却因其气势奔腾直下，使读者“手挥五弦，目送飞鸿”，急忙读下去，无暇觉察到它的重叠出现，而这是律诗格律上之大忌，诗人好像忘记了是在写“前有浮声，后须切响”、字字皆有定声的七律。试看：首联的五、六字同出“黄鹤”；第三句几乎全用仄声；第四句又用“空悠悠”这样的三平调煞尾；亦不顾什么对仗，用的全是古体诗的句法。诗人未必是有意在写拗律，但他跟后来杜甫的律诗有意自创别调的情况也不同，是知之而不顾，如《红楼梦》中林黛玉教人做诗时所说的，“若是果有了奇句，连平仄虚实不对都使得的”。在这里，崔颢是依据诗以立意为要和“不以词害意”的原则去进行实践的，所以才写出这样七律中罕见的高唱入云的诗句。此外，双声、叠韵和叠音词或词组的多次运用，如“黄鹤”、“复返”等双声词，双声词组，“此地”，“江上”等叠韵词组，以及“悠悠”、“历历”、“萋萋”等叠音词，造成了此诗声音铿锵，清朗和谐，富于音乐美。
此诗前半首用散调变格，后半首就整饬归正，实写楼中所见所感，写从楼上眺望汉阳城、鹦鹉洲的芳草绿树并由此而引起的乡愁，这是先放后收。倘只放不收，一味不拘常规，不回到格律上来，那么，它就不是一首七律，而成为七古了。此诗前后似成两截，其实文势是从头一直贯注到底的，中间只不过是换了一口气罢了。这种似断实续的连接，从律诗的起、承、转、合来看，也最有章法。元杨载《诗法家数》论律诗第二联要紧承首联时说：“此联要接破题（首联），要如骊龙之珠，抱而不脱。”此诗前四句正是如此，叙仙人乘鹤传说，颔联与破题相接相抱，浑然一体。杨载又论颈联之“转”说：“与前联之意相避，要变化，如疾雷破山，观者惊愕。”疾雷之喻，意在说明章法上至五、六句应有突变，出人意外。此诗转折处，格调上由变归正，境界上与前联截然异趣，恰好符合律法的这个要求。叙昔人黄鹤，杳然已去，给人以渺不可知的感觉；忽一变而为晴川草树，历历在目，萋萋满洲的眼前景象，这一对比，不但能烘染出登楼远眺者的愁绪，也使文势因此而有起伏波澜。《楚辞·招隐士》曰：“王孙游兮不归，春草生兮萋萋。”诗中“芳草萋萋”之语亦借此而逗出结尾乡关何处、归思难禁的意思。末联以写烟波江上日暮怀归之情作结，使诗意重归于开头那种渺茫不可见的境界，这样能回应前面，如豹尾之能绕额的“合”，也是很符合律诗法度的。
正由于此诗艺术上出神入化，取得极大成功，它被人们推崇为题黄鹤楼的绝唱，就是可以理解的了。
昔人已乘黄鹤去，此地空余黄鹤楼。
黄鹤一去不复返，白云千载空悠悠。
晴川历历汉阳树，芳草萋萋鹦鹉洲。
日暮乡关何处是？烟波江上使人愁。
白话译文
昔日的仙人已乘着黄鹤飞去，这地方只留下空荡的黄鹤楼。
黄鹤一去再也没有返回这里，千万年来只有白云飘飘悠悠。
汉阳晴川阁的碧树历历可辨，更能看清芳草繁茂的鹦鹉洲。
时至黄昏不知何处是我家乡？看江面烟波渺渺更使人烦愁！
元人辛文房《唐才子传》记李白登黄鹤楼本欲赋诗，因见崔颢此作，为之敛手，说：“眼前有景道不得，崔颢题诗在上头。”传说或出于后人附会，未必真有其事。然李白确曾两次作诗拟此诗格调。其《鹦鹉洲》诗前四句说：“鹦鹉东过吴江水，江上洲传鹦鹉名。鹦鹉西飞陇山去，芳洲之树何青青。”与崔诗如出一辙。又有《登金陵凤凰台》诗亦是明显地摹学此诗。为此，说诗者众口交誉，如严羽《沧浪诗话》谓：“唐人七言律诗，当以崔颢《黄鹤楼》为第一。”这一来，崔颢的《黄鹤楼》的名气就更大了。
《黄鹤楼》之所以成为千古传颂的名篇佳作，主要还在于诗歌本身具有的美学意蕴。
一是意中有象、虚实结合的意境美。诗从楼的命名之由来着想，借传说落笔，然后生发开去。仙人跨鹤，本属虚无，现以无作有，说它“一去不复返”，就有岁月不再、古人不可见之憾；仙去楼空，唯余天际白云，悠悠千载，正能表现世事茫茫之慨。诗人这几笔写出了那个时代登黄鹤楼的人们常有的感受，气概苍莽，感情真挚。
二是气象恢宏、色彩缤纷的绘画美。诗中有画，历来被认为是山水写景诗的一种艺术标准，《黄鹤楼》也达到了这个高妙的境界。首联在融入仙人乘鹤的传说中，描绘了黄鹤楼的近景，隐含着此楼枕山临江，峥嵘缥缈之形势。颔联在感叹“黄鹤一去不复返”的抒情中，描绘了黄鹤楼的远景，表现了此楼耸入天际、白云缭绕的壮观。颈联游目骋怀，直接勾勒出黄鹤楼外江上明朗的日景。尾联徘徊低吟，间接呈现出黄鹤楼下江上朦胧的晚景。诗篇所展现的整幅画面上，交替出现的有黄鹤楼的近景、远景、日景、晚景，变化奇妙，气象恢宏；相互映衬的则有仙人黄鹤、名楼胜地、蓝天白云、晴川沙洲、绿树芳草、落日暮江，形象鲜明，色彩缤纷。全诗在诗情之中充满了画意，富于绘画美。
前人有“文以气为主”之说，此诗前四句看似随口说出，一气旋转，顺势而下，绝无半点滞碍。“黄鹤”二字再三出现，却因其气势奔腾直下，使读者“手挥五弦，目送飞鸿”，急忙读下去，无暇觉察到它的重叠出现，而这是律诗格律上之大忌，诗人好像忘记了是在写“前有浮声，后须切响”、字字皆有定声的七律。试看：首联的五、六字同出“黄鹤”；第三句几乎全用仄声；第四句又用“空悠悠”这样的三平调煞尾；亦不顾什么对仗，用的全是古体诗的句法。诗人未必是有意在写拗律，但他跟后来杜甫的律诗有意自创别调的情况也不同，是知之而不顾，如《红楼梦》中林黛玉教人做诗时所说的，“若是果有了奇句，连平仄虚实不对都使得的”。在这里，崔颢是依据诗以立意为要和“不以词害意”的原则去进行实践的，所以才写出这样七律中罕见的高唱入云的诗句。此外，双声、叠韵和叠音词或词组的多次运用，如“黄鹤”、“复返”等双声词，双声词组，“此地”，“江上”等叠韵词组，以及“悠悠”、“历历”、“萋萋”等叠音词，造成了此诗声音铿锵，清朗和谐，富于音乐美。
此诗前半首用散调变格，后半首就整饬归正，实写楼中所见所感，写从楼上眺望汉阳城、鹦鹉洲的芳草绿树并由此而引起的乡愁，这是先放后收。倘只放不收，一味不拘常规，不回到格律上来，那么，它就不是一首七律，而成为七古了。此诗前后似成两截，其实文势是从头一直贯注到底的，中间只不过是换了一口气罢了。这种似断实续的连接，从律诗的起、承、转、合来看，也最有章法。元杨载《诗法家数》论律诗第二联要紧承首联时说：“此联要接破题（首联），要如骊龙之珠，抱而不脱。”此诗前四句正是如此，叙仙人乘鹤传说，颔联与破题相接相抱，浑然一体。杨载又论颈联之“转”说：“与前联之意相避，要变化，如疾雷破山，观者惊愕。”疾雷之喻，意在说明章法上至五、六句应有突变，出人意外。此诗转折处，格调上由变归正，境界上与前联截然异趣，恰好符合律法的这个要求。叙昔人黄鹤，杳然已去，给人以渺不可知的感觉；忽一变而为晴川草树，历历在目，萋萋满洲的眼前景象，这一对比，不但能烘染出登楼远眺者的愁绪，也使文势因此而有起伏波澜。《楚辞·招隐士》曰：“王孙游兮不归，春草生兮萋萋。”诗中“芳草萋萋”之语亦借此而逗出结尾乡关何处、归思难禁的意思。末联以写烟波江上日暮怀归之情作结，使诗意重归于开头那种渺茫不可见的境界，这样能回应前面，如豹尾之能绕额的“合”，也是很符合律诗法度的。
正由于此诗艺术上出神入化，取得极大成功，它被人们推崇为题黄鹤楼的绝唱，就是可以理解的了。
群作用(Group Action）
在数学中，空间上的群作用是给定群在空间变换群中的群同态。类似地，对一个数学结构的群作用是把一个群的群同态化为该结构的自同态群。据说群体作用于空间或结构。如果一个组对一个结构起作用，那么它通常也会对由该结构构建的对象起作用。例如，欧几里得等距组作用于欧几里得空间，也作用于其中所画的图形。特别地，它作用于所有三角形的集合。类似地，多面体的对称群作用于多面体的顶点、边和面。
在(有限维)向量空间上的群作用称为群表示。它允许用GL(n, K)的子群标识许多群，GL(n, K)是一个域上的维数为n的可逆矩阵群。对称群Sn作用于任何有n个元素的集合，方法是对集合中的元素进行置换。虽然一个集合的所有排列的组形式上依赖于该集合，但是群作用的概念允许人们考虑单个群(不是单群)研究具有相同基数的所有集合的排列。
一. 定义
1. 左群作用
如果G是一个具有单位元素e的群，而X是一个集合，那么G对X的左群作用α是一个函数
α: G x X —> X;
满足以下两个公理：
恒等：α:(e,x) = x；
兼容性：α(g, α(h,x)) = α(gh, z);
当考虑群作用从上下文中明确时，α(g, x) 通常缩短为gx或g⋅x：
恒等：e⋅x = x；
兼容性：g⋅(h,x) = (gh) ⋅ x;
对于G中的所有g和h以及X中的所有的x。据说群G作用于X(从左边开始)。集合X与G的动作一起称为(左)G 集。
根据这两个公理，对于G中的任何固定g，从X到自身的函数把x映射到g ⋅ x是一个双射，反双射是 g^(−1)的对应映射。因此，可以把G对X的群作用等价地定义为从G到从X到其自身的所有双射的对称群Sym(X) 的群同态。
2. 右群作用
同样，G 对 X 的右群作用是一个函数
α: X x G —> X;
考虑的当群作用从上下文中明确时，α(x, g)通常缩短为xg或x⋅g。
满足类似的公理：
恒等：x⋅e = x；
兼容性：(x⋅g) ⋅ h = x ⋅ (gh);
对于G中的所有g和h以及X中的所有x。
左作用和右作用之间的区别在于乘积gh作用于x的顺序。对于左作用，h先作用，然后是g。对于右作用，g先作用，然后是h。由于公式(gh)^(-1) = h^(-1) g^(-1)，可通过组合群的逆运算从右作用构造左作用。同样，群G在X上的右作用可被认为是其相对群G^(op)在X上的左作用。
因此，为建立组动作的一般属性，只考虑左作用就足够。但是，在某些情况下这是不可能的。例如，一个组的乘法导致对组本身的左作用和右作用—分别在左边和右边乘法。
二. 作用类型
G 对X的动作称为：
传递：如果X是非空的并且对于X中的每对x, y存在G中的g使得g⋅x = y，则是可传递的。例如，X的对称群的作用是传递的，向量空间V的一般线性群或特殊线性群对V∖{0} 的作用是传递的，而一个欧几里得的正交群的作用空间E在E∖{0}上不是可传递的(尽管它在E的单位球面上是可传递的)。
如果对于G中的每两个不同的g, h 存在一个x在 X 中使得g⋅x ≠ h⋅x，那么为忠实或有效；或者等效地，如果对于 G 中的每个 g ≠ e，则在X中存在一个x，使得g⋅x ≠ x。换句话说，在忠实群作用中，G 的不同元素引起X的不同置换(排列)。 [a]在代数术语中，群G忠实地作用于X当且仅当对称群 G → Sym( X)，有一个平凡的核。因此，对于忠实作用，G嵌入到 X上的置换群中；具体来说，G与其在Sym(X)中的像同构。如果G不忠实于X，我们可很容易地修改群以获得忠实的作用。如定 N = {g in G : g⋅x = x for all x in X}，则N是G的正规子群；实际上，它是同态G →Sym(X) 的核。因子群G/N通过设置(gN)⋅x = g⋅x 忠实地作用于 X。当且仅当N = {e} 时G对X的原始作用是忠实的。对于相同大小的，群可定义忠实作用的最小集合可能会有很大差异。例如：
三个大小为 120 的群是对称群 S5、二十面体群和循环群Z/120Z可定义忠实作用的最小集合的大小分别为 5、12 和 16。
大小为2^n的阿贝尔群包括循环群(Z/(2^nZ)或(Z/2Z)^n(Z/(2Z)的n个副本的直积，但后者忠实地作用于大小为 2n 的集合，而前者不能在比它小的集合上忠实地作用。
自由或半正则或无不动点：如果给定g, h在G 中，x中存在x且g⋅x = h⋅x 意味着g = h。等价地：若g是一个群元素且在X中存在一个x且g⋅x = x (即若g至少有一个不动点)，则g是恒等式。请注意非空集合上的自由作用是忠实的。
........
三. 轨道和稳定子
1. 轨道(orbits)
考虑作用在集合X上的群G。 X中元素x的轨道是 X 中元素的集合，G 的元素可将x移动到该集合。 x的轨道由G⋅x表示：
G ⋅ x = {g ⋅ x | g ∈ G };
群的定义性质保证在G的作用下(点 x in)X的轨道集合形成X的一个划分。相关的等价关系定义为x ∼ y当且仅当G中存在g且g⋅x = y。那么轨道就是这个关系下的等价类；两个元素 x和y是等价的，当且仅当它们的轨道相同，即 G⋅x = G⋅y。
群作用是可传递的，当且仅当它只有一个轨道，也就是说，如果在X中存在x且G⋅x = X。这是当且仅当G⋅x = X对于X中的所有x (鉴于X非空）。
在G的作用下X的所有轨道的集合被写为X/G(或G\X)且被称为作用的商。在几何情况下，它可能被称为轨道空间，而在代数情况下，它可能被称为共变量空间，并写作XG，与不变量(不动点)相反，表示为XG：共变量是商，而不变量是一个子集。共变术语和符号特别用于群上同调和群同调，它们使用相同的上标/下标约定。
2. 不变子空间
3. 不动点和稳定子群(stabilizers)
给定G中的g和X中的x且 g⋅x = x，可以说“x 是g的不动点”或“g 固定 x”。对于X中的每个 x，G 相对于x的稳定子群（也称为各向同性群或小群 [7]）是 G 中所有固定 x 的元素的集合：
G_{x}= {g ∈ G | g ⋅ x = x};
这是G的一个子群，虽然通常不是正规的。当且仅当所有稳定器都是平凡的时，G对X的作用是自由的。具有对称群G → Sym(X)的同态的核N由X中所有x的稳定子Gx的交集给出。如果N是平凡的，那么称该动作是忠实的或有效的。
设x和y是X中的两个元素，设g是一个群元素，使得y = g⋅x。那么两个稳定子群Gx 和 Gy 的关系为 Gy = g Gx g^(−1)。证明：根据定义，h ∈ Gy 当且仅当 h⋅(g⋅x) = g⋅x。将g^(−1) 应用于这个等式的两边产生(g^(−1)hg)⋅x = x；即g^(−1)hg ∈ Gx。通过取 h∈Gx并假设x = g^(−1)⋅y 类似地遵循相反的包含。
上面说在同一轨道上的元素的稳定子是相互共轭的。因此，对于每个轨道，我们可将G的一个子群即该子群的所有共轭的集合的一个共轭类相关联。令(H)表示H的共轭类。那么轨道O的类型为(H)。如果稳定子G_{x}在轨道O中的一些/任何x属于(H)。最大轨道类型通常称为主轨道类型。
wi/Group_action
在数学中，空间上的群作用是给定群在空间变换群中的群同态。类似地，对一个数学结构的群作用是把一个群的群同态化为该结构的自同态群。据说群体作用于空间或结构。如果一个组对一个结构起作用，那么它通常也会对由该结构构建的对象起作用。例如，欧几里得等距组作用于欧几里得空间，也作用于其中所画的图形。特别地，它作用于所有三角形的集合。类似地，多面体的对称群作用于多面体的顶点、边和面。
在(有限维)向量空间上的群作用称为群表示。它允许用GL(n, K)的子群标识许多群，GL(n, K)是一个域上的维数为n的可逆矩阵群。对称群Sn作用于任何有n个元素的集合，方法是对集合中的元素进行置换。虽然一个集合的所有排列的组形式上依赖于该集合，但是群作用的概念允许人们考虑单个群(不是单群)研究具有相同基数的所有集合的排列。
一. 定义
1. 左群作用
如果G是一个具有单位元素e的群，而X是一个集合，那么G对X的左群作用α是一个函数
α: G x X —> X;
满足以下两个公理：
恒等：α:(e,x) = x；
兼容性：α(g, α(h,x)) = α(gh, z);
当考虑群作用从上下文中明确时，α(g, x) 通常缩短为gx或g⋅x：
恒等：e⋅x = x；
兼容性：g⋅(h,x) = (gh) ⋅ x;
对于G中的所有g和h以及X中的所有的x。据说群G作用于X(从左边开始)。集合X与G的动作一起称为(左)G 集。
根据这两个公理，对于G中的任何固定g，从X到自身的函数把x映射到g ⋅ x是一个双射，反双射是 g^(−1)的对应映射。因此，可以把G对X的群作用等价地定义为从G到从X到其自身的所有双射的对称群Sym(X) 的群同态。
2. 右群作用
同样，G 对 X 的右群作用是一个函数
α: X x G —> X;
考虑的当群作用从上下文中明确时，α(x, g)通常缩短为xg或x⋅g。
满足类似的公理：
恒等：x⋅e = x；
兼容性：(x⋅g) ⋅ h = x ⋅ (gh);
对于G中的所有g和h以及X中的所有x。
左作用和右作用之间的区别在于乘积gh作用于x的顺序。对于左作用，h先作用，然后是g。对于右作用，g先作用，然后是h。由于公式(gh)^(-1) = h^(-1) g^(-1)，可通过组合群的逆运算从右作用构造左作用。同样，群G在X上的右作用可被认为是其相对群G^(op)在X上的左作用。
因此，为建立组动作的一般属性，只考虑左作用就足够。但是，在某些情况下这是不可能的。例如，一个组的乘法导致对组本身的左作用和右作用—分别在左边和右边乘法。
二. 作用类型
G 对X的动作称为：
传递：如果X是非空的并且对于X中的每对x, y存在G中的g使得g⋅x = y，则是可传递的。例如，X的对称群的作用是传递的，向量空间V的一般线性群或特殊线性群对V∖{0} 的作用是传递的，而一个欧几里得的正交群的作用空间E在E∖{0}上不是可传递的(尽管它在E的单位球面上是可传递的)。
如果对于G中的每两个不同的g, h 存在一个x在 X 中使得g⋅x ≠ h⋅x，那么为忠实或有效；或者等效地，如果对于 G 中的每个 g ≠ e，则在X中存在一个x，使得g⋅x ≠ x。换句话说，在忠实群作用中，G 的不同元素引起X的不同置换(排列)。 [a]在代数术语中，群G忠实地作用于X当且仅当对称群 G → Sym( X)，有一个平凡的核。因此，对于忠实作用，G嵌入到 X上的置换群中；具体来说，G与其在Sym(X)中的像同构。如果G不忠实于X，我们可很容易地修改群以获得忠实的作用。如定 N = {g in G : g⋅x = x for all x in X}，则N是G的正规子群；实际上，它是同态G →Sym(X) 的核。因子群G/N通过设置(gN)⋅x = g⋅x 忠实地作用于 X。当且仅当N = {e} 时G对X的原始作用是忠实的。对于相同大小的，群可定义忠实作用的最小集合可能会有很大差异。例如：
三个大小为 120 的群是对称群 S5、二十面体群和循环群Z/120Z可定义忠实作用的最小集合的大小分别为 5、12 和 16。
大小为2^n的阿贝尔群包括循环群(Z/(2^nZ)或(Z/2Z)^n(Z/(2Z)的n个副本的直积，但后者忠实地作用于大小为 2n 的集合，而前者不能在比它小的集合上忠实地作用。
自由或半正则或无不动点：如果给定g, h在G 中，x中存在x且g⋅x = h⋅x 意味着g = h。等价地：若g是一个群元素且在X中存在一个x且g⋅x = x (即若g至少有一个不动点)，则g是恒等式。请注意非空集合上的自由作用是忠实的。
........
三. 轨道和稳定子
1. 轨道(orbits)
考虑作用在集合X上的群G。 X中元素x的轨道是 X 中元素的集合，G 的元素可将x移动到该集合。 x的轨道由G⋅x表示：
G ⋅ x = {g ⋅ x | g ∈ G };
群的定义性质保证在G的作用下(点 x in)X的轨道集合形成X的一个划分。相关的等价关系定义为x ∼ y当且仅当G中存在g且g⋅x = y。那么轨道就是这个关系下的等价类；两个元素 x和y是等价的，当且仅当它们的轨道相同，即 G⋅x = G⋅y。
群作用是可传递的，当且仅当它只有一个轨道，也就是说，如果在X中存在x且G⋅x = X。这是当且仅当G⋅x = X对于X中的所有x (鉴于X非空）。
在G的作用下X的所有轨道的集合被写为X/G(或G\X)且被称为作用的商。在几何情况下，它可能被称为轨道空间，而在代数情况下，它可能被称为共变量空间，并写作XG，与不变量(不动点)相反，表示为XG：共变量是商，而不变量是一个子集。共变术语和符号特别用于群上同调和群同调，它们使用相同的上标/下标约定。
2. 不变子空间
3. 不动点和稳定子群(stabilizers)
给定G中的g和X中的x且 g⋅x = x，可以说“x 是g的不动点”或“g 固定 x”。对于X中的每个 x，G 相对于x的稳定子群（也称为各向同性群或小群 [7]）是 G 中所有固定 x 的元素的集合：
G_{x}= {g ∈ G | g ⋅ x = x};
这是G的一个子群，虽然通常不是正规的。当且仅当所有稳定器都是平凡的时，G对X的作用是自由的。具有对称群G → Sym(X)的同态的核N由X中所有x的稳定子Gx的交集给出。如果N是平凡的，那么称该动作是忠实的或有效的。
设x和y是X中的两个元素，设g是一个群元素，使得y = g⋅x。那么两个稳定子群Gx 和 Gy 的关系为 Gy = g Gx g^(−1)。证明：根据定义，h ∈ Gy 当且仅当 h⋅(g⋅x) = g⋅x。将g^(−1) 应用于这个等式的两边产生(g^(−1)hg)⋅x = x；即g^(−1)hg ∈ Gx。通过取 h∈Gx并假设x = g^(−1)⋅y 类似地遵循相反的包含。
上面说在同一轨道上的元素的稳定子是相互共轭的。因此，对于每个轨道，我们可将G的一个子群即该子群的所有共轭的集合的一个共轭类相关联。令(H)表示H的共轭类。那么轨道O的类型为(H)。如果稳定子G_{x}在轨道O中的一些/任何x属于(H)。最大轨道类型通常称为主轨道类型。
wi/Group_action
#药王孙真人《福寿论》#：遵道守分，方能福集寿臻！
近来读《唐太古妙应孙真人福寿论》，被里面的深意所吸引，不禁产生了下笔的想法。
今天想写的主旨是“遵道守分，福集寿臻”，然后结合孙真人的《福寿论》进行写作。我们首先要谈到“遵道守分”。遵什么道，怎么遵道？而“守分”，又是守什么分，如何守分？
天道与本分
“道者何也？虚无之系，造化之根，神明之本，天地之元。”这是《玄纲论》里对道的一个大的概述。再往小些往人性上说，道者何也？
《中庸》上说：“天之命谓性，率性之谓道，修道之谓教”。所谓“天之命谓性”，是指人的天性。“率性之谓道”，是说人们自我教育之道就是按照人们的天性办事情。“修道之谓教”，是说自我教育就是按照人道的原则去进行修治。
《黄帝阴符经》上说：“天性人也，人心机也。立天之道，以定人也。”人秉天地之气而生，生成之后，人又是天地的一个小化身。太空中一点不昧的虚灵，即天性。此性长清常静，无情无意，无思无为，但它应变事物无有休停。此性应之于人，即为人心。
人心因为有情有意，想思有虑，时时在动，故谓：“人心，机也”。而天道，是世间万物的主宰。所以要想得到人类社会的太平，人身自我身命的安宁，必须返本归根，依循常清常静、无思无为、无情无意的天道。这就是遵循本分。
一. 仁与俭：天道所常，人之本分
清代悟元子刘一明祖师则补充解释说：“天性者，天赋之性，即真如之性。所谓真心，不识不知，顺帝之则，而人得以为人者是也。”如果没有做到守道，或者超过了限度，就是非分。
《唐太古妙应孙真人福寿论》里的提到了富贵者与贫贱者的非分：“富贵者，以轾势取，为非分也。贫贱者，以佞盗取，为非分也。”之后又举了例子：官爵之非分者，车马之非分者，妻妾之非分者，童仆之非分者，而这四种非分总结起来就是不仁之非分。
道与儒不同，这里的“仁”不是儒家的“仁”的含义，不是指仁义，而是指廉谨。廉，即棱角分明、是非分明；谨，即谨慎。这里的“不仁”，就是指是非不分，恣情纵欲。
后面的屋宇之非分者，粟帛之非分者，衣食之非分者，饮食之非分者，这四种总结起来就是不俭之非分。不俭，简单来说就是不节俭。
《道德经》有言：吾有三宝：一曰慈，二曰俭，三曰不敢为天下先。”由此可见节俭的重要性，做不到的话，自然也是非分。
不仁不俭，如此种种，皆与造善之积不符。积不仁之多，造不善之广，神皆记之，神而追之则矣。尚不能逃其往负之灾。
道教是讲承负的，《文昌帝君阴骘文》里讲：“诸恶莫作，众善奉行。永无恶曜加临，常有吉神拥护。近报则在自己，远报则在儿孙。”
因此孙真人说：“如此者，于我如浮云，不足以为富也。”若是真有以此为富的，也不过是为富不仁，积不善之多而煞其命也。此非分也，神已记之，人不知也。
二.元载：不遵道，不守分，福寿全无
我印象中最不“遵道守分”的人，当属唐代宗李豫时期的宰相元载了。他是中国历史上巨贪之一。抄他家时，起赃无数。就冲他家中藏有赃物胡椒八百石，钟乳五百两，就略可知其奢糜腐败的程度。
这也最为让人记忆深刻。胡椒日常用量极少，一餐饭，数粒即足。然而，从其家抄没的差不多有现今的六十多吨重。这就得需要上百峰骆驼，才能从印度洋的海滨，运到唐首都长安，现今航空距离也得有三千多公里，何况是当时的驼队？何等辛苦不易！
元载遂兼任度支使时，志得意满，自恃除恶之功，非议前贤。他认为满朝文武，无人比得上自己。后来，元载为独揽大权，上奏皇帝，要求吏部、兵部对六品以下官员的任命不得检验考核，并于公府门前杖杀了弹劾他的大臣。从此人们再也不敢公开非议元载，就算走在路上，也不敢交谈，只是以目示意。
周幽王时期的“防民之口，甚于防川”，在唐朝完美的重现了。当时，元载独揽朝政，贪财纳贿，培植亲信，排除异己，凡是想求官仕进的，都要向他的儿子、亲信赠送厚礼。元载任相时，宣州有一老者向他求官。元载只给了他一封书信便打发走。
老者走到幽州，拆信观看，见上面只有元载的署名，别无他话，非常生气，但只得持信去求见当地节度使。节度使见了元载所书，将老者迎到馆舍，加以款待，又赠送他绢帛千匹。元载得势之威势，可见一斑。
唐代宗对元载所为非常清楚，但考虑到元载任相多年，想让他善始善终，因而单独召见，加以劝诫，希望他有所收敛，元载却不思改过。
嚯！皇帝亲自来劝还不听，古往今来也是没谁了，利令智昏莫过于是。
后来代宗下诏赐死元载，妻及子并赐死，并且挖开元载父祖坟墓，劈棺弃尸。这可就不只是“死有余责，秧其子孙”了，连死去的宗祖都要一起受辱。史书称：“及死，行路无嗟惜者”。他得势时是如此的倒行逆施，人们对他的死无人叹息也就不足为怪了。
《资治通鉴》上说元载临死前，刽子手问他还有什么要求，元载知道逃不过一死，于是他央求：“愿得快死！”刽子手说：“相公须受少污辱，勿怪！”于是脱下脏袜子塞其口而杀之。
《新唐书》称元载“嗜学，工属文”。《旧唐书》称他“性惠敏，博览子史，尤学道书”。元载出身寒微，应当知晓百姓之苦，然而当他做了宰相，却大兴土木，全然不顾庶民之生死。
他好读书，尤擅道书，考虑到他的时代，很还可能是读过孙真人的福寿论的，可他干的全是非分之事，更别说遵道守分了。此等不仁之富，也就促成他最后成了真正的为富不“人”。
三. 福与寿：祸福无门，惟人自召
接下来，“福集寿臻”要怎么做到呢？这其实也就是孙真人的这篇福寿论里探讨的主旨“福”与“寿”。那么，问题来了：什么是福？什么是寿？为什么说福满了寿就会到来呢?
古人认为，富贵寿考等齐备为福，与“祸”相对。老子在《道德经》里说：“祸兮福之所倚，福兮祸之所伏。”这是对福与祸的一种辩证认识。《礼记》则曰：“福者，备也。备者，百顺之名也。”也就是说，“福”有顺利、诸事如意的含义。
许慎《说文》里提到：“福，佑也”。有着赐福，保佑之意。
纵观古今，人们对“福”字的认知各有侧重点。孙真人福寿论的第二段开头就说道：“福者，造善之积；祸者，造不善之积也。”也就是说，人之所以有福或者有祸，全因自己善或不善的作为。
《太上感应篇》里也有：“祸福无门，惟人自召。善恶之报，如影随形”。其认为祸、福虽然难以预测，但是会因为人自己的行为而转化、改变。
《尚书·洪范》曰：“五福：一曰寿，二曰富，三曰康宁，四曰攸好德，五曰考终命。”因此，一般人都会认为长寿便是有福。五福从来先说寿，其次云何？直至三公未足多。
然何为寿？《说文》里提到：“寿，久也”。在古代寿的含义代表着祈福平安，延年兴旺长久之意。“寿”字寄托着人们的期盼、祝福和向往。如何能被称为久？那自然是长生才能久视。
韩非子也说：“全寿富贵之谓福。”而孙真人却说：“贫者多寿，富者多促，贫者多寿，以贫穷自困而常不足，不可罚寿。富者多促，而奢侈有余，所以折其命也。乃天损有余而补不足。”
由此可见，仅仅多寿还不能被称为有福，只是因贫穷而不罚寿罢了。宋代大诗人陆游也曾在他诗作的《贫歌》中说道：“寿居福之首，贫为士之常。造物赋我贫，乃以寿见偿。”
宋代另一位大诗人杨万里则在他的《病中感秋》一诗中说道：“寿外康宁方是福，不然徒寿不须休。”这些都说明了“福”里囊括了“寿”，但与“福”相比较起来，“寿”却不能代表“福”。这就像是数学里的集合，福为母集，而寿只是子集。
五福齐备，百福骈臻，才能以寿为福，从而福集寿臻。如果只是长寿，贫穷而又困苦，或者体弱多病，常年卧床不起，这种长寿反而使人痛苦，自然也称不上享福，甚至可能还是一种受罪。
乡下把结婚和有些老人的去世，谓之为红白喜事。之所以把有的老人的去世称作喜事，就是因为他们虽然得到了长寿，却常年瘫在床上，动弹不得，生不如死。因此，福寿双全，才应该是人们所追求的目标。这也是孙真人在福寿论里，倡导大众所追寻的根本目标。
《道德经》云：“知人者智，自知者明。”而福寿论中也将人也分成了圣人、贤人、达人、信人等等，人贵要有自知之明，只有知道了自己的不足，了解自己的缺点，进而虚心改过，取长补短。
恰如《福寿论》最后所说：“人若奉阴德而不欺者，圣人知之，贤人护之，天乃爱之，人以悦之，鬼神敬之。居其富而不失其富，居其贵而不失其贵。祸不及也，寿不折矣。攻劫之患去矣，水火之灾除矣，必可保生全天寿矣”。如此这般，自然证得福寿双全。那么福集寿臻，福寿骈集，又哪里是什么难事呢？
作者：逍遥顽仙 腾讯道学
近来读《唐太古妙应孙真人福寿论》，被里面的深意所吸引，不禁产生了下笔的想法。
今天想写的主旨是“遵道守分，福集寿臻”，然后结合孙真人的《福寿论》进行写作。我们首先要谈到“遵道守分”。遵什么道，怎么遵道？而“守分”，又是守什么分，如何守分？
天道与本分
“道者何也？虚无之系，造化之根，神明之本，天地之元。”这是《玄纲论》里对道的一个大的概述。再往小些往人性上说，道者何也？
《中庸》上说：“天之命谓性，率性之谓道，修道之谓教”。所谓“天之命谓性”，是指人的天性。“率性之谓道”，是说人们自我教育之道就是按照人们的天性办事情。“修道之谓教”，是说自我教育就是按照人道的原则去进行修治。
《黄帝阴符经》上说：“天性人也，人心机也。立天之道，以定人也。”人秉天地之气而生，生成之后，人又是天地的一个小化身。太空中一点不昧的虚灵，即天性。此性长清常静，无情无意，无思无为，但它应变事物无有休停。此性应之于人，即为人心。
人心因为有情有意，想思有虑，时时在动，故谓：“人心，机也”。而天道，是世间万物的主宰。所以要想得到人类社会的太平，人身自我身命的安宁，必须返本归根，依循常清常静、无思无为、无情无意的天道。这就是遵循本分。
一. 仁与俭：天道所常，人之本分
清代悟元子刘一明祖师则补充解释说：“天性者，天赋之性，即真如之性。所谓真心，不识不知，顺帝之则，而人得以为人者是也。”如果没有做到守道，或者超过了限度，就是非分。
《唐太古妙应孙真人福寿论》里的提到了富贵者与贫贱者的非分：“富贵者，以轾势取，为非分也。贫贱者，以佞盗取，为非分也。”之后又举了例子：官爵之非分者，车马之非分者，妻妾之非分者，童仆之非分者，而这四种非分总结起来就是不仁之非分。
道与儒不同，这里的“仁”不是儒家的“仁”的含义，不是指仁义，而是指廉谨。廉，即棱角分明、是非分明；谨，即谨慎。这里的“不仁”，就是指是非不分，恣情纵欲。
后面的屋宇之非分者，粟帛之非分者，衣食之非分者，饮食之非分者，这四种总结起来就是不俭之非分。不俭，简单来说就是不节俭。
《道德经》有言：吾有三宝：一曰慈，二曰俭，三曰不敢为天下先。”由此可见节俭的重要性，做不到的话，自然也是非分。
不仁不俭，如此种种，皆与造善之积不符。积不仁之多，造不善之广，神皆记之，神而追之则矣。尚不能逃其往负之灾。
道教是讲承负的，《文昌帝君阴骘文》里讲：“诸恶莫作，众善奉行。永无恶曜加临，常有吉神拥护。近报则在自己，远报则在儿孙。”
因此孙真人说：“如此者，于我如浮云，不足以为富也。”若是真有以此为富的，也不过是为富不仁，积不善之多而煞其命也。此非分也，神已记之，人不知也。
二.元载：不遵道，不守分，福寿全无
我印象中最不“遵道守分”的人，当属唐代宗李豫时期的宰相元载了。他是中国历史上巨贪之一。抄他家时，起赃无数。就冲他家中藏有赃物胡椒八百石，钟乳五百两，就略可知其奢糜腐败的程度。
这也最为让人记忆深刻。胡椒日常用量极少，一餐饭，数粒即足。然而，从其家抄没的差不多有现今的六十多吨重。这就得需要上百峰骆驼，才能从印度洋的海滨，运到唐首都长安，现今航空距离也得有三千多公里，何况是当时的驼队？何等辛苦不易！
元载遂兼任度支使时，志得意满，自恃除恶之功，非议前贤。他认为满朝文武，无人比得上自己。后来，元载为独揽大权，上奏皇帝，要求吏部、兵部对六品以下官员的任命不得检验考核，并于公府门前杖杀了弹劾他的大臣。从此人们再也不敢公开非议元载，就算走在路上，也不敢交谈，只是以目示意。
周幽王时期的“防民之口，甚于防川”，在唐朝完美的重现了。当时，元载独揽朝政，贪财纳贿，培植亲信，排除异己，凡是想求官仕进的，都要向他的儿子、亲信赠送厚礼。元载任相时，宣州有一老者向他求官。元载只给了他一封书信便打发走。
老者走到幽州，拆信观看，见上面只有元载的署名，别无他话，非常生气，但只得持信去求见当地节度使。节度使见了元载所书，将老者迎到馆舍，加以款待，又赠送他绢帛千匹。元载得势之威势，可见一斑。
唐代宗对元载所为非常清楚，但考虑到元载任相多年，想让他善始善终，因而单独召见，加以劝诫，希望他有所收敛，元载却不思改过。
嚯！皇帝亲自来劝还不听，古往今来也是没谁了，利令智昏莫过于是。
后来代宗下诏赐死元载，妻及子并赐死，并且挖开元载父祖坟墓，劈棺弃尸。这可就不只是“死有余责，秧其子孙”了，连死去的宗祖都要一起受辱。史书称：“及死，行路无嗟惜者”。他得势时是如此的倒行逆施，人们对他的死无人叹息也就不足为怪了。
《资治通鉴》上说元载临死前，刽子手问他还有什么要求，元载知道逃不过一死，于是他央求：“愿得快死！”刽子手说：“相公须受少污辱，勿怪！”于是脱下脏袜子塞其口而杀之。
《新唐书》称元载“嗜学，工属文”。《旧唐书》称他“性惠敏，博览子史，尤学道书”。元载出身寒微，应当知晓百姓之苦，然而当他做了宰相，却大兴土木，全然不顾庶民之生死。
他好读书，尤擅道书，考虑到他的时代，很还可能是读过孙真人的福寿论的，可他干的全是非分之事，更别说遵道守分了。此等不仁之富，也就促成他最后成了真正的为富不“人”。
三. 福与寿：祸福无门，惟人自召
接下来，“福集寿臻”要怎么做到呢？这其实也就是孙真人的这篇福寿论里探讨的主旨“福”与“寿”。那么，问题来了：什么是福？什么是寿？为什么说福满了寿就会到来呢?
古人认为，富贵寿考等齐备为福，与“祸”相对。老子在《道德经》里说：“祸兮福之所倚，福兮祸之所伏。”这是对福与祸的一种辩证认识。《礼记》则曰：“福者，备也。备者，百顺之名也。”也就是说，“福”有顺利、诸事如意的含义。
许慎《说文》里提到：“福，佑也”。有着赐福，保佑之意。
纵观古今，人们对“福”字的认知各有侧重点。孙真人福寿论的第二段开头就说道：“福者，造善之积；祸者，造不善之积也。”也就是说，人之所以有福或者有祸，全因自己善或不善的作为。
《太上感应篇》里也有：“祸福无门，惟人自召。善恶之报，如影随形”。其认为祸、福虽然难以预测，但是会因为人自己的行为而转化、改变。
《尚书·洪范》曰：“五福：一曰寿，二曰富，三曰康宁，四曰攸好德，五曰考终命。”因此，一般人都会认为长寿便是有福。五福从来先说寿，其次云何？直至三公未足多。
然何为寿？《说文》里提到：“寿，久也”。在古代寿的含义代表着祈福平安，延年兴旺长久之意。“寿”字寄托着人们的期盼、祝福和向往。如何能被称为久？那自然是长生才能久视。
韩非子也说：“全寿富贵之谓福。”而孙真人却说：“贫者多寿，富者多促，贫者多寿，以贫穷自困而常不足，不可罚寿。富者多促，而奢侈有余，所以折其命也。乃天损有余而补不足。”
由此可见，仅仅多寿还不能被称为有福，只是因贫穷而不罚寿罢了。宋代大诗人陆游也曾在他诗作的《贫歌》中说道：“寿居福之首，贫为士之常。造物赋我贫，乃以寿见偿。”
宋代另一位大诗人杨万里则在他的《病中感秋》一诗中说道：“寿外康宁方是福，不然徒寿不须休。”这些都说明了“福”里囊括了“寿”，但与“福”相比较起来，“寿”却不能代表“福”。这就像是数学里的集合，福为母集，而寿只是子集。
五福齐备，百福骈臻，才能以寿为福，从而福集寿臻。如果只是长寿，贫穷而又困苦，或者体弱多病，常年卧床不起，这种长寿反而使人痛苦，自然也称不上享福，甚至可能还是一种受罪。
乡下把结婚和有些老人的去世，谓之为红白喜事。之所以把有的老人的去世称作喜事，就是因为他们虽然得到了长寿，却常年瘫在床上，动弹不得，生不如死。因此，福寿双全，才应该是人们所追求的目标。这也是孙真人在福寿论里，倡导大众所追寻的根本目标。
《道德经》云：“知人者智，自知者明。”而福寿论中也将人也分成了圣人、贤人、达人、信人等等，人贵要有自知之明，只有知道了自己的不足，了解自己的缺点，进而虚心改过，取长补短。
恰如《福寿论》最后所说：“人若奉阴德而不欺者，圣人知之，贤人护之，天乃爱之，人以悦之，鬼神敬之。居其富而不失其富，居其贵而不失其贵。祸不及也，寿不折矣。攻劫之患去矣，水火之灾除矣，必可保生全天寿矣”。如此这般，自然证得福寿双全。那么福集寿臻，福寿骈集，又哪里是什么难事呢？
作者：逍遥顽仙 腾讯道学
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