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一个简单的生养子女数量决策模型及其对提高生育率的启示
1.写作本文的缘起
今天，我的儿子正好满周岁。我给我儿子取的大名的含义是“灵心慧性，守正出奇”，小名的含义是“潇洒的湖湘子弟”。我对他的人生寄予厚望，希望他活得比我潇洒一万倍。在他周岁之时，我写下这篇对生养子女数量进行简单的经济学分析的文字。
2.一个简单的生养子女数量决策模型
我将应用消费者效用最大化理论来分析父母的生养子女数量决策。虽然我行文中写的是父母，但实际上这个模型也适用于单亲（子女可以是非婚生子女）。
一对父母的效用取决于消费（C）、子女的数量（N）、对子女效用的预期（V），其中对子女效用的预期既取决于父母对子女的投资（I），也取决于父母对社会发展的预期、对人生的看法。为简单计，令V(I)=kI+h，其中，k反映了父母对子女的投资对子女效用的效果，h表示了对社会发展的预期、对人生的看法。如果父母对社会发展持乐观态度、对人生持积极态度，h的取值就会大；如果足够悲观，h甚至可能为负。
父母面临的预算约束表示为C+(p+I)N=Y，其中，p表示生养一个子女的基本支出，I表示父母对单个子女的额外投资，Y表示父母的收入。显然，此处假设父母对多个子女是一视同仁的。
为了求出显示解，不妨假设父母的效用函数为Cobb-Douglas形式（图·1）
alpha和beta取值越大，则父母对自己的消费和子女的数量给自己带来的效用越重视，对子女的效用越不重视。
为了尽可能简化并得到合理的解，我再做出两个假设：
(1) 1-alpha-beta父母的效用最大化问题为（图2）
运用标准的优化求解方法可以得到父母生养子女的最优数量为（图3）
3.最优生养子女数量的性质
标准的比较静态分析告诉我们，
父母生养子女的最优数量N与父母的收入Y、父母对社会发展的预期的乐观程度和对人生的看法的积极程度h、父母对自己消费的重视程度（alpha）、父母对子女数量的重视程度（beta）正相关；
父母生养子女的最优数量N与生养一个子女的基本支出p、父母对子女的投资对子女效用的效果k、父母对子女的效用重视程度（1-alpha-beta）负相关。
以上结论大都与直觉相符。特别需要解释的是父母对子女的投资对子女效用的效果k对N的影响。如果不进行更多的思考，k越大，则说明要使子女的效用达到给定水平所需要的投资越小，似乎这会促进生育；但进一步思考会发现，正是由于k大，在较少子女身上集中投资比在较多子女身上分散投资能够给父母带来更多的效用。
也许有人对父母生养子女的最优数量N与父母的收入Y正相关这一结论持有不同看法。这里可以做两点说明。第一，这个结论是在假设除父母收入以外的所有因素都不变的条件下得出的（学过计量经济学的人应该都明白，其他因素均应作为控制变量）；第二，改变效用函数的形式有可能得出相反的结论，例如，对某些父母来说，孩子可能是低档品（inferior goods）。
4.模型结果对提高生育率的启示
基于上述分析，可以得到关于如何提高生育率的几点启示。
(1) 要提高人们的可支配收入。减税、以家庭为单位征税、生养孩子的某些费用抵税、甚至直接给生养孩子提供补贴等等都是行之有效的政策。
(2) 要引导人们对社会发展有乐观的预期、对人生持积极的态度。提高社会保障水平，让人们不用为住房发愁、不用为看病发愁、不用为失业发愁，都是非常有益的。如果父母都觉得生活很艰难，他们又怎么会生很多孩子让孩子受苦呢？
(3) 要降低生养一个子女的基本支出。在农村生养一个子女的基本支出远低于在城市，所以农村的父母生育的子女比城市的多。城里“不让孩子输在起跑线上”、“要给孩子准备婚房”等观念都推高了生养一个子女的基本支出，使得城里人不敢多生孩子。要引导社会改变这样的观念。扩大义务教育的范围，比如从幼儿园直到大学本科，以及前面提到的生养孩子的某些费用抵税、直接给生养孩子提供补贴也都是可以降低生养子女基本支出的政策。
(4) 要适当引导父母提高对自己消费的重视程度和对子女数量的重视程度、弱化对子女的效用重视程度。正是由于大多数父母非常重视子女的效用才导致很多父母少生孩子。如果做长辈的相信“自己也要适当享受”“儿孙自有儿孙福”，那么，生育率应该会更高。实际上，随着技术进步，一代人总比上一代人生活得更好，做长辈的更加重视自己的消费和儿孙满堂给自己带来的效用无可厚非。
(5)降低父母对子女的投资对子女效用的效果这一条不太地道，所以我放到最后简单提一下。教育部取消很多高考加分项目对应的就是这一条了。事实上，教育孩子热爱和享受生活对子女效用的效果可能更大，成本也更低。（完）
（完）
本文首发于我的微信公众号：小瞩漫谈经济学。欢迎关注！
https://t.cn/RdyDho6 (二维码自动识别)
1.写作本文的缘起
今天，我的儿子正好满周岁。我给我儿子取的大名的含义是“灵心慧性，守正出奇”，小名的含义是“潇洒的湖湘子弟”。我对他的人生寄予厚望，希望他活得比我潇洒一万倍。在他周岁之时，我写下这篇对生养子女数量进行简单的经济学分析的文字。
2.一个简单的生养子女数量决策模型
我将应用消费者效用最大化理论来分析父母的生养子女数量决策。虽然我行文中写的是父母，但实际上这个模型也适用于单亲（子女可以是非婚生子女）。
一对父母的效用取决于消费（C）、子女的数量（N）、对子女效用的预期（V），其中对子女效用的预期既取决于父母对子女的投资（I），也取决于父母对社会发展的预期、对人生的看法。为简单计，令V(I)=kI+h，其中，k反映了父母对子女的投资对子女效用的效果，h表示了对社会发展的预期、对人生的看法。如果父母对社会发展持乐观态度、对人生持积极态度，h的取值就会大；如果足够悲观，h甚至可能为负。
父母面临的预算约束表示为C+(p+I)N=Y，其中，p表示生养一个子女的基本支出，I表示父母对单个子女的额外投资，Y表示父母的收入。显然，此处假设父母对多个子女是一视同仁的。
为了求出显示解，不妨假设父母的效用函数为Cobb-Douglas形式（图·1）
alpha和beta取值越大，则父母对自己的消费和子女的数量给自己带来的效用越重视，对子女的效用越不重视。
为了尽可能简化并得到合理的解，我再做出两个假设：
(1) 1-alpha-beta
运用标准的优化求解方法可以得到父母生养子女的最优数量为（图3）
3.最优生养子女数量的性质
标准的比较静态分析告诉我们，
父母生养子女的最优数量N与父母的收入Y、父母对社会发展的预期的乐观程度和对人生的看法的积极程度h、父母对自己消费的重视程度（alpha）、父母对子女数量的重视程度（beta）正相关；
父母生养子女的最优数量N与生养一个子女的基本支出p、父母对子女的投资对子女效用的效果k、父母对子女的效用重视程度（1-alpha-beta）负相关。
以上结论大都与直觉相符。特别需要解释的是父母对子女的投资对子女效用的效果k对N的影响。如果不进行更多的思考，k越大，则说明要使子女的效用达到给定水平所需要的投资越小，似乎这会促进生育；但进一步思考会发现，正是由于k大，在较少子女身上集中投资比在较多子女身上分散投资能够给父母带来更多的效用。
也许有人对父母生养子女的最优数量N与父母的收入Y正相关这一结论持有不同看法。这里可以做两点说明。第一，这个结论是在假设除父母收入以外的所有因素都不变的条件下得出的（学过计量经济学的人应该都明白，其他因素均应作为控制变量）；第二，改变效用函数的形式有可能得出相反的结论，例如，对某些父母来说，孩子可能是低档品（inferior goods）。
4.模型结果对提高生育率的启示
基于上述分析，可以得到关于如何提高生育率的几点启示。
(1) 要提高人们的可支配收入。减税、以家庭为单位征税、生养孩子的某些费用抵税、甚至直接给生养孩子提供补贴等等都是行之有效的政策。
(2) 要引导人们对社会发展有乐观的预期、对人生持积极的态度。提高社会保障水平，让人们不用为住房发愁、不用为看病发愁、不用为失业发愁，都是非常有益的。如果父母都觉得生活很艰难，他们又怎么会生很多孩子让孩子受苦呢？
(3) 要降低生养一个子女的基本支出。在农村生养一个子女的基本支出远低于在城市，所以农村的父母生育的子女比城市的多。城里“不让孩子输在起跑线上”、“要给孩子准备婚房”等观念都推高了生养一个子女的基本支出，使得城里人不敢多生孩子。要引导社会改变这样的观念。扩大义务教育的范围，比如从幼儿园直到大学本科，以及前面提到的生养孩子的某些费用抵税、直接给生养孩子提供补贴也都是可以降低生养子女基本支出的政策。
(4) 要适当引导父母提高对自己消费的重视程度和对子女数量的重视程度、弱化对子女的效用重视程度。正是由于大多数父母非常重视子女的效用才导致很多父母少生孩子。如果做长辈的相信“自己也要适当享受”“儿孙自有儿孙福”，那么，生育率应该会更高。实际上，随着技术进步，一代人总比上一代人生活得更好，做长辈的更加重视自己的消费和儿孙满堂给自己带来的效用无可厚非。
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