#StickToThePlan#这是最近睡前读的三本书，只看封皮分别是数学史、哲学史、量子物理学科普读物，仔细一读发现三本书都从古希腊的米利都学派和毕达哥拉斯学派讲起，思想的起点和线索高度一致。其中关于“连续-离散-极限”的思想史演绎极为有趣。庄子曾提出过“一尺之棰， 日取其半，万世不竭”，一位长者[并不简单]曾引述这段话为晚生们讲解极限概念，即1/2+1/4+1/8+1/16…的和收敛于1，这与古希腊人芝诺悖论中阿基里斯永远追不上乌龟的思想实验不谋而合。人类在数学上对极限的理解相比对物质世界的理解显然要“早熟”很多，德谟克利特论证了物质世界并非无限可分，他早在两千多年前洞见到物质到原子大小时无法再分，但由于物理学家从未真正观察到原子，一直到20世纪初，仍然有科学家反对或者无法完全相信原子论，这样的假设与质疑贯穿了整个理性主义发展史，影响到宗教、政治哲学等多个领域，从亚里士多德到牛顿，从毕达哥拉斯到费曼，庞大的自然哲学体系开枝散叶，繁星闪耀。直到爱因斯坦最著名的三篇论文中第一篇的横空出世，而当爱因斯坦洞见到这一层次时，人类对于时间与空间本质的认知才刚刚摸到门道，即量子物理学，而这门学科从诞生到现在的一百多年间，几乎没有重大的理论突破，不管是弦论还是圈量子引力理论，都仍然还有漫长的道路有待探索。可叹的是，这一宏伟的历史演绎过程，东方人参与甚少，除了遥远的庄子，离我们最近的参与其中的人，据我所知是杨振宁，而他们之间的这条历史线索是断是连，不得而知，也许是天然的空白，也许是失传留下的空白。

用〈芝诺乌龟〉的思想解释0.9循环

长1米线段，永无止境的切，每次切的位置是上一次的一半，所以切出的长度是1/2+1/4+1/8+……，
永无止境的切，永远切不到1米的位置终点，
所以切出的长度：（1/2+1/4+1/8+……）→1、＜1、≠1

（1/2+1/4+1/8+……）与（0.9+0.09+0.009+……）有类似的'无限思想'，
（1/2+1/4+1/8+……）→1、<1、≠1
（0.9+0.09+0.009+……）→1、＜1、≠1

长1米线段，永无止境的切，第一次切在0.9米位置，以后每次切的长度是上一次的1/10，所以切出的长度是0.9+0.09+0.009+……，
永无止境的切，，永远切不到1米的位置终点，
所以切出的长度：（0.9+0.09+0.009+……）→1、＜1、≠1

有人说：凭什么你说，'永远切不到1米的位置终点'？

好吧、就算你说的对，
那这个切的操作流程与上面的操作流程是类似的、是不是？
上面肯定切不到1米位置，所以（1/2+14+1/8+……）→1、＜1、≠1

类似的操作手法，所以：（0.9+0.09+0.009+……）→a、＜a、≠a
你说a不是1，那就当它是另一个常数（比如2）吧，
那也是→2、＜2、≠2是不是？
绝不可能是常数！

所以0.9循环=（0.9+0.09+0.009+……）绝不可能是常数1

无限思想：永远达不到，就是`没有穷尽、没有终点'的意思，
所以：切的长度永远不可能是一个常数、而是永无止境的以不断增大的趋势变化演绎下去，所以肯定不可能是一个确定的长度！

无限的思想，就是`无限接近、但永远达不到'，你说达到了（变成一个常数）、那就不算`无限'的思想，
无限的思想是没有穷尽、没有终点、永无止境的延伸

一一一一一一一一一一一一一一一一一一
辰々飞： 还永远切不到1米？
几千年前的芝诺都知道在脑海里面切好像切不到，而实际上是可以切到1米的，所以才叫悖论，到你这里连悖论都没了，直接永远了。

回：你依据什么切到了？

就算切到1米，但它还是在'永无止境的切'，所以切的长度还是在不停的增大变化进行中……怎么可能是`常数'？
一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一
0.9循环能辑1比较大小吗？

回：能

0.9循环：虽然不是数，它是一个变量描述，但它是一个`边界'，
这个边界→、＜1、≠1
可以和1比较大小，

如图示，
x→∞，1/x→0，它不是一个数，而是个演化变量描述（边界），它无限接近0、但永不等于0，
因为它在y轴正向演化，所以>0，
可以和0比较大小，

类似的有：x→∞，1/3x丨另一个边界）→0、＞0、≠0
……如图1

同理：0.9循环也是个边界，它是n→∞、函数f（n）=1-1/10^n得到的一个演化变量描述，也是一个边界，由图示，它→1、<1

类似的有：0.99循环、0.999循环

0.99循环：是n→∞、函数f（n）=1-1/10^（n+1）得到的一个演化变量描述，也是一个边界，由图示，它→1、<1

0.999循环：是n→∞、函数f（n）=1-1/10^（n+2）得到的一个演化变量描述，也是一个边界，由图示，它→1、<1
……如图2

#有哪些著名思想实验已经实现#
有人提到“芝诺悖论”系列中有关运动的“阿基里斯与乌龟赛跑”悖论（另外还有二分法悖论、飞矢不动悖论等），并且用高大上的量子力学普朗克长度、空间不连续的概念去解释。这显然是混淆了数学的理想化与物理现实之间的界限。

本质上，芝诺悖论并不是为了说明时空是否连续无限可分，而是说明无穷多个正数之和可以是有上界的，竟然不一定能达到无穷大。学过无穷级数的收敛和发散后，就会明白无穷多个指数级缩小的正数 1+1/2+1/4+1/8+... 相加绝不会超过2。芝诺就是发现了“无限相加，结果有界”、“过程无限，时间有限”这个貌似违背直觉的现象，用悖论的形式生动地表述出来了。

其一，从数学的理想化来说，这也是芝诺悖论可以得到精确描述的方式。试想，如果芝诺悖论不用乌龟和英雄，而是用稠密的实数轴上的两个运动的几何点追赶来描述，难道还可以用最小空间来证明吗？
其二，从物理现实来说。试想，乌龟和英雄都是由分子原子构成的有机体。请思考几个问题：
如何定义阿基里斯或者乌龟的位置？胸膛还是鼻尖？
鼻尖上有多少个分子在杂乱无章地热运动？以哪个为准？
这个分子里哪个波粒二象性的质子中子电子可以定义和测量出位置？
这个位置还能达到普朗克长度1.6x10^-35米的精度？来看看这些粒子的大小吧，它们比起普朗克长度都是庞然大物，数量级大约相当于拿地球与原子相比。

事实上，宏观物体的位置根本不能定义到普朗克长度的精度，就像两个城市之间的距离无法定义到毫米。城市之间的距离若要精确到千米，就需要有千米级别的标记比如车站；若要精确到毫米，就需要一根细细的固定刻度线。
如果物体(夸克数量级在10^-18米，并且在高速运动)位置的定义都不能精确到普朗克长度(1.6x10^-35米)，请问还如何在普朗克长度上判断乌龟和英雄的追逐？阿基里斯能不能精确控制自己前进几个普朗克长度？阿基里斯或者乌龟的“精确位置”根本就不是一个有良好定义（well defined）的概念。

总而言之，凡是用物理空间不连续来解释芝诺悖论的人，都是混淆了理想化和物理现实。他们在考虑阿基里斯和乌龟的位置的时候，采用的是数学理想化的几何点定义；然后把这两个几何点放在物理空间上比赛，岂不怪哉？
照这样混淆的话，既可以得出一个质点的压强可以穿透地球；还可以推论出足够长的旋转刚体末端可以超光速。
质点和刚体属于数学理想化的范畴，地球和光速则属于物理实体。
当你读完了这些文字，就完成了一次思想实验。真理是什么，你已经了然于胸。
芝诺在两千多年前提出如此深刻的思想实验，时至今日依然光辉灿烂。无论做为一个理想化的数学问题，还是作为对时空物理本质的探讨，都能带给人巨大的启发。但是如果把这两种情况混在一起解读，那就是真的谬误。