高数指相对于初等数学而言，数学的对象及方法较为繁杂的一部分。
广义地说，初等数学之外的数学都是高等数学，也有将中学较深入的代数、几何以及简单的集合论初步、逻辑初步称为中等数学的，将其作为中小学阶段的初等数学与大学阶段的高等数学的过渡。
通常认为，高等数学是由微积分学，较深入的代数学、几何学以及它们之间的交叉内容所形成的一门基础学科。
主要内容包括：数列、极限、微积分、空间解析几何与线性代数、级数、常微分方程。工科、理科、财经类研究生考试的基础科目。
广义地说，初等数学之外的数学都是高等数学，也有将中学较深入的代数、几何以及简单的集合论初步、逻辑初步称为中等数学的，将其作为中小学阶段的初等数学与大学阶段的高等数学的过渡。
通常认为，高等数学是由微积分学，较深入的代数学、几何学以及它们之间的交叉内容所形成的一门基础学科。
主要内容包括：数列、极限、微积分、空间解析几何与线性代数、级数、常微分方程。工科、理科、财经类研究生考试的基础科目。
普朗克、薛定谔和德布罗意的悲剧
普朗克、薛定谔和德布罗意是什么人？大家都知道他们是量子力学的奠基人。好！光是量子，牛顿是光学的大家，牛顿是量子力学的奠基人吗？牛顿认为光是一种粒子，那么，牛顿算是粒子学家吗？这并不可笑，我们知道，经典物理学的光学（optics）是关于光和视见的科学，optics词早期只用于跟眼睛和视见相联系的事物。广义的光学是研究从微波、红外线、可见光、紫外线直到X射线和γ射线的宽广波段范围内的电磁辐射的产生、传播、接收和显示，以及与物质相互作用的科学。光是量子，这些不同波长的电磁辐射不都是量子吗？经典光学属于量子力学吗？
还有，电子是量子，那么，经典物理学的电动力学算不算量子力学？ 我们知道，电动力学研究的是电磁场的基本属性、运动规律以及电磁场和带电物质的相互作用。请注意电磁力。1865年麦克斯韦指出光、电、磁是同一种东西，都是电磁波的一种形式。1888年，德国物理学家赫兹通过实验发现无线电辐射同样具有波的所有特性并确认了电磁波是横波，具有反射、折射、衍射特性，还如同可见光、热波一样的具有偏振现象。他还发现电磁场方程可以用偏微分方程表达，通常称为波动方程（请注意！！！）。经典物理学的电动力学统一了光学、电学、磁学，请注意，光、电和磁都是量子，难道经典电动力学不算量子力学？现在的主流观点认为，经典物理学是解析宏观宇宙的理论（相对论是替代它的理论），事实上，经典物理学也涵盖了量子力学的领域，是一个涵盖了宏观和微观领域的综合理论。
好了，普朗克、薛定谔、和德布罗意是粒子学家吗？ 有人会说，量子具有波粒二象性，不要分什么波动学家和粒子学家。但是，为什么量子力学专家都自称粒子学家呢？为什么构建了一个粒子标准模型呢？为什么将声波这种“地地道道”的波也量子化为“声波子”呢？为什么将所有微观世界里的物质都量子化（事实上就是粒子化）呢？
普朗克是粒子学家吗？
19世纪末，人们用经典物理学解释黑体辐射实验的时候，出现了著名的“紫外灾变”问题。因为，按照经典电磁理论，绕核运动的电子不断被加速，必然连续辐射电磁波而形成连续光谱，同时能量不断地减少，轨道连续的收缩，将会很快落入核中，这与原子线状光谱和稳定性事实明显不符。也就是说，原子核和电子将不可避免地放出辐射并互相中和，并最终导致体系的崩溃。经典电磁理论的确出了问题，不过，问题出在哪里呢？
德国物理学马克斯•普朗克（Max Planck）认为，不能假定电磁波连续辐射，必须假定辐射（或吸收）的能量不是连续地、而是一份一份地进行的，只能取某个最小数值的整数倍。这个最小数值就叫能量子，辐射频率是ν的能量的最小数值。这就是普朗克方程E=hν。E表示能量，ν为辐射电磁波的频率，h为一常量，即普朗克常数。即能量=普朗克常数×频率。普朗克只是修改了经典电磁理论的一个错误假设，他把连续辐射修改为非连续辐射，经典电磁理论的紫外灾变问题就解决了。
请注意！“万物皆是波”是普朗克提出的！！！普朗克认为宇宙万物都由波构成，可惜的是，到目前为止，经典学派还没有解决“量子波包”的2次量子化问题，但是，他至死都坚信以太的存在，事实上，普朗克是一位地地道道的经典物理学派的物理学家。
薛定谔是粒子学家吗？关于原子的图景，粒子说的原子模型是这样子的。
请注意，最后这个电子云的模型被粒子学家们冠以薛定谔的名字。
其实，电子云模型和薛定谔一点关系都没有。其实，下面这个才是薛定谔的原子模型。
薛定谔认为，电子绕核运动是一种周期现象，其形式与德布罗意对量子化条件的“相波谐振”解释惊人相似。1925年，薛定谔在《关于爱因斯坦的气体理论》中提出：舍弃粒子模型，不是把气体当作单个粒子的集合，而是应用1910年德拜推导普朗克辐射定律的方法，用经典统计把气体作为具有特征频率的振动模式的叠加，并首次运用德布罗意的相波理论计算每个模式的振动频率，得出与爱因斯坦粒子气体模型相符的结果……薛定谔不再把“相波”作为伴随粒子运行出现的一种周期现象、一种假想的波，而认为这种波是物理上真实的、实在的波——物质波，把粒子还原为相波的波包——“物质波理论”；不再把这种物质波作为原子结构中绕核运行、形成稳态轨道的运行处理，而看作是为边界条件特征化的驻波，从而克服了高曲率折射困难——“驻波图像”；而最为关键的是，由于上述两点进展，薛定谔很自然地立即着手去寻找支配这种实在的波、特别是电子驻波的波动方程，从而踏进了波动力学理论框架的门槛。［E•薛定谔，《薛定谔讲演录》，北京大学出版社，2007年，第148页］简单地说，薛定谔原子模型，电子是环状的“驻波图像”，说白了，电子是电子波。
薛定谔认为微观物质的本质是波，把量子客体归结为波，用一群波长略有不同的“波”构成的“波包”来表征粒子。但是，这个“波包”难以重新会聚，即2次量子化难题（事实上，解决了2次量子化的难题，经典物理学就会获得重生）。
薛定谔的波函数是怎么回事儿？
哈密顿认为，在零波长极限，波传播趋向于明确的运动，但他并没有给出一个具体方程来描述这个波动行为。1926年，薛定谔从经典力学和几何光学间的类比，提出了对应于波动光学的波动力学方程。他将物质波的概念和波动方程相结合建立的二阶偏微分方程，通过解方程可得到波函数的具体形式以及对应的能量，从而了解微观系统的性质。薛定谔的波函数本来用于描述自己的电子驻波模型的。
请注意！薛定谔的波函数是描述波的！
所以，薛定谔是一位地地道道的经典物理学派的物理学家。
事实上，粒子说有自己的方程，即海森堡的矩阵力学方程，可惜，这个方程根本无法使用。所以，只好把粒子说的死对头薛定谔拉进自己的阵营，这样，粒子学家们就可以“名正言顺”地使用薛定谔的波函数方程来描述他们心中实实在在的粒子。
德布罗意是粒子学家吗？
1929年，德布罗意在他的诺贝尔获奖演讲中强调：“描述物质的性质也像描述光的性质一样，要同时涉及波和粒子。不能再认为电子是电的单个粒子，它应当是和一个波缔合的，而且这个波并非虚构，它的波长可以测量，它的干涉现象可以预言。德布罗意的氢原子模型里电子是驻波（波状实线）——电子波，实环线表示电子的轨道，虚波线表示非驻波将由于干涉而消失。［录自彼得•柯文尼，罗杰•海菲尔德：《时间之箭》，湖南科学技术出版社，2008年，130页]
德布罗意以物质波为基础提出电子既是粒子也是波，得出这一结论的原因是在迈克尔逊——莫雷实验和爱因斯坦的结论对以太非常不利，所以德布罗意只能被迫接受真空的概念，但又不想放弃波动说的观点，造成他的物质波没有任何物质，虽然他提出了波粒二象性的观点，但本质上，德布罗意持波动说的支持者。
当今，光和电是波还是实实在在的粒子？争论的焦点围绕着最简单、最基本的实验——光、电的双缝干涉实验所产生的干涉现象展开，波粒之争并没有终结，量子力学不过是波动说与粒子说在微观领域冲突的延续。事实上，存在两种量子力学，一种是波动说的量子力学（是经典物理学的延伸），即德布罗意、薛定谔的物质波理论和玻姆的隐变量理论；一种是粒子说的量子力学，由玻尔、海森堡和玻恩的哥本哈根解诠释、费曼的路径求和解释、埃弗雷特的平行宇宙理论、惠勒的延迟实验解释，多历史解释、多维度解释和多伊奇的超级大脑解释等互不相融的解释构成。事实上粒子说的量子力学所涉及的问题，波动说的量子力学都有相对应的解释。
太阳底下没有新鲜事儿，无论经典物理学、相对论、量子力学和弦理论，描述的都是同一个宇宙，谁能自洽地解释宇宙所有的运作原理，谁就是终极理论。客观现象和客观事实就摆在那里，采纳哪一个实验结果或解释，取决于波动说和粒子说谁处于上风状态！谁主导着话语权！很遗憾，目前处于上风是粒子说的量子力学和相对论，掌握着话语权，所以，模糊了普朗克、薛定谔和德布罗意持波动说观点事实，虽然把他们尊为量子力学的奠基人，但是，这样是误导的结果是让人们以为只有一种量子力学，掩盖了理论物理学仍然处于激烈争论的事实。
普朗克、薛定谔和德布罗意是波动学家还是粒子学家，看似小事儿，实则关系重大。当弦理论提出量子是不同振动模式的弦时，量子就不仅具有波粒二象性，而是具有波粒弦三象性。量子是波？是粒子，是弦？如果我们仍然掩耳盗铃，继续混淆波粒之争的本质，那么，人类追寻宇宙真相的道路仍将遥远和曲折。普朗克、薛定谔和德布罗意的悲剧，也是科学的悲剧！
和《七堂极简物理课》这类无立场解读的科普书不同的是，《一只大象——体系与体系的对话》这本书以旁观者的角度对物理学发展史进行了重新梳理，还原了一些不为人知或被扭曲的历史细节，提醒人们注意“证实性偏见”的危害性。受伽利略的《关于托勒密和哥白尼，两大世界体系的对话》的启发，这本书也借四个虚拟人物的对话来阐述四大物理理论针锋相对的观点。书中引用均来自权威专著，并采用页下注。书中还用一些通俗易懂的小寓言来解析复杂的物理理论，相对来说比较通俗易懂。这本书并非严谨的学术著作，仅为读者提供一个了解物理学的新视角，希望能够给喜爱物理学的同学们带来启发。
普朗克、薛定谔和德布罗意是什么人？大家都知道他们是量子力学的奠基人。好！光是量子，牛顿是光学的大家，牛顿是量子力学的奠基人吗？牛顿认为光是一种粒子，那么，牛顿算是粒子学家吗？这并不可笑，我们知道，经典物理学的光学（optics）是关于光和视见的科学，optics词早期只用于跟眼睛和视见相联系的事物。广义的光学是研究从微波、红外线、可见光、紫外线直到X射线和γ射线的宽广波段范围内的电磁辐射的产生、传播、接收和显示，以及与物质相互作用的科学。光是量子，这些不同波长的电磁辐射不都是量子吗？经典光学属于量子力学吗？
还有，电子是量子，那么，经典物理学的电动力学算不算量子力学？ 我们知道，电动力学研究的是电磁场的基本属性、运动规律以及电磁场和带电物质的相互作用。请注意电磁力。1865年麦克斯韦指出光、电、磁是同一种东西，都是电磁波的一种形式。1888年，德国物理学家赫兹通过实验发现无线电辐射同样具有波的所有特性并确认了电磁波是横波，具有反射、折射、衍射特性，还如同可见光、热波一样的具有偏振现象。他还发现电磁场方程可以用偏微分方程表达，通常称为波动方程（请注意！！！）。经典物理学的电动力学统一了光学、电学、磁学，请注意，光、电和磁都是量子，难道经典电动力学不算量子力学？现在的主流观点认为，经典物理学是解析宏观宇宙的理论（相对论是替代它的理论），事实上，经典物理学也涵盖了量子力学的领域，是一个涵盖了宏观和微观领域的综合理论。
好了，普朗克、薛定谔、和德布罗意是粒子学家吗？ 有人会说，量子具有波粒二象性，不要分什么波动学家和粒子学家。但是，为什么量子力学专家都自称粒子学家呢？为什么构建了一个粒子标准模型呢？为什么将声波这种“地地道道”的波也量子化为“声波子”呢？为什么将所有微观世界里的物质都量子化（事实上就是粒子化）呢？
普朗克是粒子学家吗？
19世纪末，人们用经典物理学解释黑体辐射实验的时候，出现了著名的“紫外灾变”问题。因为，按照经典电磁理论，绕核运动的电子不断被加速，必然连续辐射电磁波而形成连续光谱，同时能量不断地减少，轨道连续的收缩，将会很快落入核中，这与原子线状光谱和稳定性事实明显不符。也就是说，原子核和电子将不可避免地放出辐射并互相中和，并最终导致体系的崩溃。经典电磁理论的确出了问题，不过，问题出在哪里呢？
德国物理学马克斯•普朗克（Max Planck）认为，不能假定电磁波连续辐射，必须假定辐射（或吸收）的能量不是连续地、而是一份一份地进行的，只能取某个最小数值的整数倍。这个最小数值就叫能量子，辐射频率是ν的能量的最小数值。这就是普朗克方程E=hν。E表示能量，ν为辐射电磁波的频率，h为一常量，即普朗克常数。即能量=普朗克常数×频率。普朗克只是修改了经典电磁理论的一个错误假设，他把连续辐射修改为非连续辐射，经典电磁理论的紫外灾变问题就解决了。
请注意！“万物皆是波”是普朗克提出的！！！普朗克认为宇宙万物都由波构成，可惜的是，到目前为止，经典学派还没有解决“量子波包”的2次量子化问题，但是，他至死都坚信以太的存在，事实上，普朗克是一位地地道道的经典物理学派的物理学家。
薛定谔是粒子学家吗？关于原子的图景，粒子说的原子模型是这样子的。
请注意，最后这个电子云的模型被粒子学家们冠以薛定谔的名字。
其实，电子云模型和薛定谔一点关系都没有。其实，下面这个才是薛定谔的原子模型。
薛定谔认为，电子绕核运动是一种周期现象，其形式与德布罗意对量子化条件的“相波谐振”解释惊人相似。1925年，薛定谔在《关于爱因斯坦的气体理论》中提出：舍弃粒子模型，不是把气体当作单个粒子的集合，而是应用1910年德拜推导普朗克辐射定律的方法，用经典统计把气体作为具有特征频率的振动模式的叠加，并首次运用德布罗意的相波理论计算每个模式的振动频率，得出与爱因斯坦粒子气体模型相符的结果……薛定谔不再把“相波”作为伴随粒子运行出现的一种周期现象、一种假想的波，而认为这种波是物理上真实的、实在的波——物质波，把粒子还原为相波的波包——“物质波理论”；不再把这种物质波作为原子结构中绕核运行、形成稳态轨道的运行处理，而看作是为边界条件特征化的驻波，从而克服了高曲率折射困难——“驻波图像”；而最为关键的是，由于上述两点进展，薛定谔很自然地立即着手去寻找支配这种实在的波、特别是电子驻波的波动方程，从而踏进了波动力学理论框架的门槛。［E•薛定谔，《薛定谔讲演录》，北京大学出版社，2007年，第148页］简单地说，薛定谔原子模型，电子是环状的“驻波图像”，说白了，电子是电子波。
薛定谔认为微观物质的本质是波，把量子客体归结为波，用一群波长略有不同的“波”构成的“波包”来表征粒子。但是，这个“波包”难以重新会聚，即2次量子化难题（事实上，解决了2次量子化的难题，经典物理学就会获得重生）。
薛定谔的波函数是怎么回事儿？
哈密顿认为，在零波长极限，波传播趋向于明确的运动，但他并没有给出一个具体方程来描述这个波动行为。1926年，薛定谔从经典力学和几何光学间的类比，提出了对应于波动光学的波动力学方程。他将物质波的概念和波动方程相结合建立的二阶偏微分方程，通过解方程可得到波函数的具体形式以及对应的能量，从而了解微观系统的性质。薛定谔的波函数本来用于描述自己的电子驻波模型的。
请注意！薛定谔的波函数是描述波的！
所以，薛定谔是一位地地道道的经典物理学派的物理学家。
事实上，粒子说有自己的方程，即海森堡的矩阵力学方程，可惜，这个方程根本无法使用。所以，只好把粒子说的死对头薛定谔拉进自己的阵营，这样，粒子学家们就可以“名正言顺”地使用薛定谔的波函数方程来描述他们心中实实在在的粒子。
德布罗意是粒子学家吗？
1929年，德布罗意在他的诺贝尔获奖演讲中强调：“描述物质的性质也像描述光的性质一样，要同时涉及波和粒子。不能再认为电子是电的单个粒子，它应当是和一个波缔合的，而且这个波并非虚构，它的波长可以测量，它的干涉现象可以预言。德布罗意的氢原子模型里电子是驻波（波状实线）——电子波，实环线表示电子的轨道，虚波线表示非驻波将由于干涉而消失。［录自彼得•柯文尼，罗杰•海菲尔德：《时间之箭》，湖南科学技术出版社，2008年，130页]
德布罗意以物质波为基础提出电子既是粒子也是波，得出这一结论的原因是在迈克尔逊——莫雷实验和爱因斯坦的结论对以太非常不利，所以德布罗意只能被迫接受真空的概念，但又不想放弃波动说的观点，造成他的物质波没有任何物质，虽然他提出了波粒二象性的观点，但本质上，德布罗意持波动说的支持者。
当今，光和电是波还是实实在在的粒子？争论的焦点围绕着最简单、最基本的实验——光、电的双缝干涉实验所产生的干涉现象展开，波粒之争并没有终结，量子力学不过是波动说与粒子说在微观领域冲突的延续。事实上，存在两种量子力学，一种是波动说的量子力学（是经典物理学的延伸），即德布罗意、薛定谔的物质波理论和玻姆的隐变量理论；一种是粒子说的量子力学，由玻尔、海森堡和玻恩的哥本哈根解诠释、费曼的路径求和解释、埃弗雷特的平行宇宙理论、惠勒的延迟实验解释，多历史解释、多维度解释和多伊奇的超级大脑解释等互不相融的解释构成。事实上粒子说的量子力学所涉及的问题，波动说的量子力学都有相对应的解释。
太阳底下没有新鲜事儿，无论经典物理学、相对论、量子力学和弦理论，描述的都是同一个宇宙，谁能自洽地解释宇宙所有的运作原理，谁就是终极理论。客观现象和客观事实就摆在那里，采纳哪一个实验结果或解释，取决于波动说和粒子说谁处于上风状态！谁主导着话语权！很遗憾，目前处于上风是粒子说的量子力学和相对论，掌握着话语权，所以，模糊了普朗克、薛定谔和德布罗意持波动说观点事实，虽然把他们尊为量子力学的奠基人，但是，这样是误导的结果是让人们以为只有一种量子力学，掩盖了理论物理学仍然处于激烈争论的事实。
普朗克、薛定谔和德布罗意是波动学家还是粒子学家，看似小事儿，实则关系重大。当弦理论提出量子是不同振动模式的弦时，量子就不仅具有波粒二象性，而是具有波粒弦三象性。量子是波？是粒子，是弦？如果我们仍然掩耳盗铃，继续混淆波粒之争的本质，那么，人类追寻宇宙真相的道路仍将遥远和曲折。普朗克、薛定谔和德布罗意的悲剧，也是科学的悲剧！
和《七堂极简物理课》这类无立场解读的科普书不同的是，《一只大象——体系与体系的对话》这本书以旁观者的角度对物理学发展史进行了重新梳理，还原了一些不为人知或被扭曲的历史细节，提醒人们注意“证实性偏见”的危害性。受伽利略的《关于托勒密和哥白尼，两大世界体系的对话》的启发，这本书也借四个虚拟人物的对话来阐述四大物理理论针锋相对的观点。书中引用均来自权威专著，并采用页下注。书中还用一些通俗易懂的小寓言来解析复杂的物理理论，相对来说比较通俗易懂。这本书并非严谨的学术著作，仅为读者提供一个了解物理学的新视角，希望能够给喜爱物理学的同学们带来启发。
#∞·分享# 漫谈高数——泰勒级数的物理意义
高等数学干嘛要研究级数问题？
是为了把简单的问题弄复杂来表明自己的高深？ No,是为了把各种简单的问题/复杂的问题，他们的求解过程用一种通用的方法来表示。
提一个问题，99*99等于多少？相信我们不会傻到列式子去算，口算也太难了而是会做一个迂回的 方法，99*(100-1)，这样更好算。那么995*998呢？问题更复杂了，（1000-5)*(1000-2)，式子比直接计算要复杂，但是口算却成为了可能。
归纳一下，x*y这样的乘法运算或者幂次运算，如何直接计算很 麻烦的话，我们可以用因式分解的方法(中学生都能理解)来求解。
但是因式分解仍然不够通用，因为我们 总是需要通过观察"特定"的待求解式子，找到一种规律，然后才能因式分解，这是我们从小学到中学数学 方法的全部：特定问题特定的解答方法。那么，到了高等数学，怎么办？研宄一种方之四海皆准的，通用的方法。
泰勒级数的物理意义是什么？就是把方程g(x)=0的解，写成曲线方程的形式看看和X轴有什么交 点。
例如f(x)=x^2=5等价于g(x)=x^2-5=0和x轴的交点。而这个曲线交点可以用直线切线的逼近 方法(牛顿迭代法)来实现，这就是泰勒级数的物理意义:点+—次切线+2次切线+... + N次切线。每次切 线公式的常数，就是泰勒级数第N项的常数。OK,从泰勒级数的式子可以看到，为了保证两边相等，且 取N次导数以后仍然相等，常数系数需要除以n!，因为x^n取导数会产生n!的系数。
泰勒级数，就是切 线逼近法的非跌代的，展开式。泰勒公式怎么来的，其实根据牛顿逼近法就可以得到从1阶一直可以推导 到 N 阶。假设 f1(x)=f(x)-f(a)，由牛顿逼近法有 f1(x)=f'(a)(x-a)+o(x-a)^2，所以 f(x)=f(a)+f’(a)(x-a)+o(x-a)^2 同理，假设 f2(x)=f(x)-f(a)-f'(x)(x-a),
两边求导,f2'(x)=f，(x)-f，(x)-f"(x)(x-a)=-f"(a)(x-a)
再求不定积分f2(x)=-(1/2)f"(a)(x-a)^2+C, C就是那个高阶无穷小(需要证明）所以f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f"(a)(x-a)A2+o(x-a)^3依次类推，最后就有了泰勒公式。另一种证明过 程干脆就是先写出来g(x)=a0+a1(x-a)+a2(x-a)^2+...+an(x-a)^n，然后从等式序列， g(a)=f(a),g'(a)=f'(a),...g…"(a)=f…"(a)......就得到所有的a0-an的泰勒展示系数了。
泰勒级数展开函数，能做什么？对于特定的x取值，可以求它附近的函数。y=xA100展开以后可 以求x = 1附近的0.9999的100次方等于多少，计算过程和结果不但更直观，而且可以通过舍弃一些高 阶项的方法来避免不必要的精度计算，简化了计算，节省了计算时间(如果是计算机计算复杂数字的话)。
在图像处理的计算机软件中，经常要用到开方和幂次计算，而Quake III的源代码中就对于此类的计算做 了优化，采用泰勒技术展开和保留基本项的办法，比纯粹的此类运算快了4倍以上。
还可以做什么呢？对于曲线交点的问题，用方程求解的办法有时候找不到答案，方程太复杂解不出 来，那么用泰勒级数的办法求这个交点，那么交点的精度要提高，相当于泰勒级数的保留项要增加，而这 个过程对应于牛顿--莱布尼茨的迭代过程，曲线交点的解在精度要求确定的情况下，有了被求出的可能。
看到了吧，泰勒级数用来求解高方程问题，是一种通用的方法，而不是像中学时代那样一种问题一 种解决办法，高等数学之所以成为"高等"，就是它足够抽象，抽象到外延无穷大。
那么，更感兴趣的一个问题是，对于高阶的微分方程表达的问题，怎么求解呢？泰勒级数不行了， 就要到傅立叶级数-傅立叶变换-拉普拉斯变化。这几个工具广泛用于各个领域的数学分析，从信号与系统 到数理方程的求解。
中学数学和高等数学最大的区别是什么？中学数学研宄的是定解问题，例如根号4等于2。高等数 学研宄什么呢----它包含了不定解问题的求解，例如用一个有限小数位的实数来表示根号5的值。我们用 泰勒级数展开求出的根号5的近似值，无论保留多少位小数，它都严格不等于根号5,但是实际应用己经 足够了。
不可解的问题，用高等数学的通解办法，可以求出一个有理数的近似解，它可以无限接近于上帝 给出的那个无理数的定解。通解可行性的前提是，我们要证明这种接近的收敛性，所以我们会看到高等数 学上册的课本里面，不厌其烦的，一章接一章，一遍又一遍的讲，一个函数，在某个开区间上，满足某个 条件，就能被证明收敛于某种求和式子。初等数学求的是定解，那么如果没有定解呢？高等数学可以求近 似解。牛顿莱布尼茨就是切线逼近法的始祖。例如求解一般的3次方程的根，求解公式可以是定解形式。但是问题是根号内的无理数仍然无法表示出来。
那么逼近法求一个数的N次方根就派上用场了。
f{m}=m(k+1) = m(K)+{A/m^2.(k)-m(k)}1/n.
n是方次，A被开方数。
例如，A=5, 5介于1的3次方至2的3次方之间。我们可以随意代入一个数m，例如2,那么：
第一步，2 + [5/ (2x2) -2]x1/3 = 1.7;
第二步，1.7+[5/(1.7x1.7)-1.7]x1/3 = 1.71;
第三步，1.71 + [5/(1.71x1.71)-1.71]x1/3 = 1.709;
每次多取一位数。公式会自动反馈到正确的数值。
具体的求解过程：先说说泰勒级数：一个方程，f(x)=0,求解X，它唯一对应x-f(x)二维图像上的 一条曲线。那么x的求解过程可以用牛顿-莱布尼茨逼近法求得（迭代）。例如x^2=5可以看成 f(x)=x^2-5 = 0的求曲线和X轴的交点。牛顿迭代法可以用来求解线性方程的近似解。
那么如何求解非 线性方程呢？ f(x)用泰勒级数展开，取前N项(通常N = 2)，得到一个线性的方程，这个方程相当于是原来 的曲线在求解点附近做了一条切线，其求解过程和牛顿迭代法等价。迭代次数越多，越接近非线性。用泰 勒级数来分解sin(t)，把一个光滑的函数变成一些列有楞有角的波形的叠加。用傅立叶级数来分解方波， 把有楞有角的波形变成一些光滑曲线的集合。
但是傅立叶级数舍弃项的时候，会产生高频的吉布斯毛刺(上 升下降的边沿，迪利赫里条件不符合)。局部的收敛性不如泰勒级数展开----因为泰勒级数展开有逐项衰减 的常数因子。
举个例子，用泰勒级数求解欧拉公式。没有欧拉公式，就没有傅立叶变换，就没有拉普拉斯变化，就不能把高阶导数映射到e的倒数上面，也就无法把微分方程等价为一个限行方程。欧拉公式有什么用？它 把实数的三角运算变成了复数的旋转运算，把指数运算变成了乘积运算，把纯微分方程的求解过程变成了 指数方程的求解过程，大大简化了运算。
推广一下。怎么分析一个函数?怎么分析一个几何的相交问题?怎么解决一个多维的问题？初等的方 法是根据函数或者图形的几何性质，去凑答案----当然大部分情况是凑不到答案的，因为能凑到答案是因 为问题/题目给出了一些特殊的数学关系以使得我们恰好能凑到答案！
例如一个圆球在正方体里面，求通过 某个顶点的切面方程或者距离什么的，我们可以通过做辅助面求得。但是这个求解太特殊了，对于普通的 点，例如切面方程13x+615y+72z-2=0这样的，初等方法就无能为力了。说白了初等方法就是牛顿在《自然哲学的数学原理 》提到的几何方法，牛顿并没有把微积分上升到解析的思想。
普通数学分析则提 出了解析的代数运算思想，把具体的问题用通用的方式来求得，而问题的题设只是一种把函数的实际参数 带入形式参数的过程，使得问题可以形式化了----如果数学问题不能形式化就不能通过状态机来求解，试 想，计算机怎么会画辅助线呢？几何图形是有意义的，但是形式求解本身没有意义，它必须把实际的"意义 "问题变成代数运算，例如求最大值最小值变成导数=0。电路分析当中的模型是什么？就是数学建模。
因为电压和电流是可以测量的量，那么我们就要看什么量是不变量/变量，什么量是自变量/因变量。如果电 压是不变量，我们认为是理想电压源；如果电流是不变量就是理想电流源，如果电压电流的比例不变就是 恒定电阻；如果电压电流乘积不变就是理想功率源。把控制电路作为一个整体，那么电压/电流控制电压/ 电流，作为一个黑盒，对外的特性就是电压转移系数，电流转移系数，转移电阻和转移电抗。
在物理学的 电场分析当中电压/电势是一个矢量，但是到了集总电路分析的领域就退化成了一个标量。对于复杂问题的 分析，好比物理学当中的动量/能量守恒，电路分析是以电流守恒为基础的，于是就有了节电电流法和环路 电压法的概念。这些概念的建立都是为了分析的目的而存在的，是分析工具。
我们首先得到一个工具，当 直接分析很困难的时候，我们采用逼近的方法来解决----因为极限就是我们所求的。正是因为解析的思想 是一种通用的求解方式，爱因斯坦在晚年才会追求4大场的统一理论，当然他忽略了这个"解析"的形式系 统本身在量子的尺度上失效了，忽略了不确定性和概率的影响，令人惋惜。
说的太远了，高数里面为什么 有那么多种正交展开？泰勒级数，傅立叶级数，罗朗级数----其实就是因为初等的方法无法精确分析出定 解，那么就去寻找一种"不断逼近"的方法来求解。复变函数研宄的就是如何用幂级数不断的逼近原函数这 个基本命题。
泰勒是怎么想出来的？
为什么泰勒级数，傅立叶级数，这些展开式都可以写成某个通项公式的和呢？是不是真理都是简单 的美的，就像毕达哥拉斯所设想的一样？这个观点也许搞反了因果的方向。
我们看一下泰勒级数是怎么得到的。泰勒假设f(x)=f(a)+f’(x)(x-a)+o(x-a)^2,这个是牛顿莱布尼茨公式可以推出来的，那么有了 一次项以后，如何继续逼近？方法类似，一次的求解是g1(x)=f(x)-f(a)=f’(x)(x-a)，那么可以写出 g2(x)=f(x)-f(a)-f’(x)(x-a)两边对x求导再求不定积分，就得到了 2阶的泰勒级数。依次类推，可以得 到N阶的泰勒级数。
由于每一阶的推导过程是"相似"的，所以泰勒项数的子项肯定也就具有了某种形式意 义上的相似性。说白了，不是因为客观存在某种规律使得函数可以展开成具有通项公式的幂级数，而是为 了把函数展开成具有通项公式的幂级数再去看每个子项应该等于什么，然后为了保证严格再给出收敛以及 一致收敛的条件。
不是客观存在某种''简单而且美"的真理，而是主体把某种''简单而且美"的形式强加给客观，再看客 观在"强加"语境下的特性如何。傅立叶级数的思想，频率分析的思想，和这个相似，是把我们心中的某个 概念赋予外界的实在，按主管意识的想法来拆借外界----只有这样，思想才能被理解。
当然，实数范围的泰勒级数和傅立叶级数展开的条件仍然比较严格，复变函数引入了对应的洛朗级数和傅立叶/拉普拉斯变 换，通用性强多了。说白了，复变函数就是函数逼近论。为了解决初等思想没法解决的不可能想明白的问 题而引入的高等方法。逼近思想的一个应用就是理解曲率的公式A=|y’’|/sqrt(1+y’A2)。画出逼近图形 就可以理解了，用两个相似三角形就可以证明这个公式。
复变函数说白了就是 2 维正交元素组成的数域。 (1+i)^i=exp(iLn(1+i))=exp(i[Ln|1+i|+i(arg(1+i)+2kPi])=exp(-Pi)(1/4+2k)*(cos[ln2/2]+isin[ln2/2])，是一个正交的表达式，它保留了两个方向上的分量，使得2维分析变得可能。这样一来，高等数学当中的曲线积分，积分的变量不再是x和y而是只剩下了 z，形式上简 单多了。
假设曲线积分S1=S(Pdx+Qdy)其中Q=xA2-2xy-yA2,P=xA2-yA2+2xy,显然满足格林公式。 然后负数积分 S(zA2)dz=S(xA2+2xyi-yA2)d(x+yi)=S( (xA2-2xy)dx+(yA2-2xy)dy )。而 S(xA2+2xyi-yA2)d(x+yi)实部=S(xA2-yA2)dx-2xyA2dy，虚部=S(2xydx+(xA2- yA2)dy)，实部和虚部相加就是S1，也就是说，S是S1(曲线积分和路径无关)的复数形式。我们可以验证S(z^2)dz 沿不同积分路线从起点到终点的积分结果。zA2=(xA2-yA2)+i2xy，显然满足柯西-黎曼条件。于是它和实数积分的格林公式统一了。
实际的模型总是难以精确的解释的，所以我们创造一些理想模型去逼近现实。当然，两者不会相等， 但是只要误差在容许的范围之内，我们认为数学的分析就成功了。这就是一切数学建模的思想。工科电子类的专业课，第一门数学建模的课程就是电路分析。这里传输线的问题被一个等效电路替代了。
实际电源 被一个理想的电压源加上一个电阻替代了，三级管放大电路的理论模型就是电流控制的电流源。一切都是 为了分析的方便。只要结果足够近似，我们就认为自己的理论是有效的。
出了这个边界，理论就需要修正。 理论反映的不是客观实在，而是我们''如何去认识"的水平，理论是一种主观的存在，当实际情况可以影射 到同一种理论的时候，我们说理论上有了一种主观的”普遍联系”，就像电路分析和网络流量的拓扑分析有很多共同点。这种普遍联系不是客体的属性，只和主体的观点有关。
高等数学干嘛要研究级数问题？
是为了把简单的问题弄复杂来表明自己的高深？ No,是为了把各种简单的问题/复杂的问题，他们的求解过程用一种通用的方法来表示。
提一个问题，99*99等于多少？相信我们不会傻到列式子去算，口算也太难了而是会做一个迂回的 方法，99*(100-1)，这样更好算。那么995*998呢？问题更复杂了，（1000-5)*(1000-2)，式子比直接计算要复杂，但是口算却成为了可能。
归纳一下，x*y这样的乘法运算或者幂次运算，如何直接计算很 麻烦的话，我们可以用因式分解的方法(中学生都能理解)来求解。
但是因式分解仍然不够通用，因为我们 总是需要通过观察"特定"的待求解式子，找到一种规律，然后才能因式分解，这是我们从小学到中学数学 方法的全部：特定问题特定的解答方法。那么，到了高等数学，怎么办？研宄一种方之四海皆准的，通用的方法。
泰勒级数的物理意义是什么？就是把方程g(x)=0的解，写成曲线方程的形式看看和X轴有什么交 点。
例如f(x)=x^2=5等价于g(x)=x^2-5=0和x轴的交点。而这个曲线交点可以用直线切线的逼近 方法(牛顿迭代法)来实现，这就是泰勒级数的物理意义:点+—次切线+2次切线+... + N次切线。每次切 线公式的常数，就是泰勒级数第N项的常数。OK,从泰勒级数的式子可以看到，为了保证两边相等，且 取N次导数以后仍然相等，常数系数需要除以n!，因为x^n取导数会产生n!的系数。
泰勒级数，就是切 线逼近法的非跌代的，展开式。泰勒公式怎么来的，其实根据牛顿逼近法就可以得到从1阶一直可以推导 到 N 阶。假设 f1(x)=f(x)-f(a)，由牛顿逼近法有 f1(x)=f'(a)(x-a)+o(x-a)^2，所以 f(x)=f(a)+f’(a)(x-a)+o(x-a)^2 同理，假设 f2(x)=f(x)-f(a)-f'(x)(x-a),
两边求导,f2'(x)=f，(x)-f，(x)-f"(x)(x-a)=-f"(a)(x-a)
再求不定积分f2(x)=-(1/2)f"(a)(x-a)^2+C, C就是那个高阶无穷小(需要证明）所以f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f"(a)(x-a)A2+o(x-a)^3依次类推，最后就有了泰勒公式。另一种证明过 程干脆就是先写出来g(x)=a0+a1(x-a)+a2(x-a)^2+...+an(x-a)^n，然后从等式序列， g(a)=f(a),g'(a)=f'(a),...g…"(a)=f…"(a)......就得到所有的a0-an的泰勒展示系数了。
泰勒级数展开函数，能做什么？对于特定的x取值，可以求它附近的函数。y=xA100展开以后可 以求x = 1附近的0.9999的100次方等于多少，计算过程和结果不但更直观，而且可以通过舍弃一些高 阶项的方法来避免不必要的精度计算，简化了计算，节省了计算时间(如果是计算机计算复杂数字的话)。
在图像处理的计算机软件中，经常要用到开方和幂次计算，而Quake III的源代码中就对于此类的计算做 了优化，采用泰勒技术展开和保留基本项的办法，比纯粹的此类运算快了4倍以上。
还可以做什么呢？对于曲线交点的问题，用方程求解的办法有时候找不到答案，方程太复杂解不出 来，那么用泰勒级数的办法求这个交点，那么交点的精度要提高，相当于泰勒级数的保留项要增加，而这 个过程对应于牛顿--莱布尼茨的迭代过程，曲线交点的解在精度要求确定的情况下，有了被求出的可能。
看到了吧，泰勒级数用来求解高方程问题，是一种通用的方法，而不是像中学时代那样一种问题一 种解决办法，高等数学之所以成为"高等"，就是它足够抽象，抽象到外延无穷大。
那么，更感兴趣的一个问题是，对于高阶的微分方程表达的问题，怎么求解呢？泰勒级数不行了， 就要到傅立叶级数-傅立叶变换-拉普拉斯变化。这几个工具广泛用于各个领域的数学分析，从信号与系统 到数理方程的求解。
中学数学和高等数学最大的区别是什么？中学数学研宄的是定解问题，例如根号4等于2。高等数 学研宄什么呢----它包含了不定解问题的求解，例如用一个有限小数位的实数来表示根号5的值。我们用 泰勒级数展开求出的根号5的近似值，无论保留多少位小数，它都严格不等于根号5,但是实际应用己经 足够了。
不可解的问题，用高等数学的通解办法，可以求出一个有理数的近似解，它可以无限接近于上帝 给出的那个无理数的定解。通解可行性的前提是，我们要证明这种接近的收敛性，所以我们会看到高等数 学上册的课本里面，不厌其烦的，一章接一章，一遍又一遍的讲，一个函数，在某个开区间上，满足某个 条件，就能被证明收敛于某种求和式子。初等数学求的是定解，那么如果没有定解呢？高等数学可以求近 似解。牛顿莱布尼茨就是切线逼近法的始祖。例如求解一般的3次方程的根，求解公式可以是定解形式。但是问题是根号内的无理数仍然无法表示出来。
那么逼近法求一个数的N次方根就派上用场了。
f{m}=m(k+1) = m(K)+{A/m^2.(k)-m(k)}1/n.
n是方次，A被开方数。
例如，A=5, 5介于1的3次方至2的3次方之间。我们可以随意代入一个数m，例如2,那么：
第一步，2 + [5/ (2x2) -2]x1/3 = 1.7;
第二步，1.7+[5/(1.7x1.7)-1.7]x1/3 = 1.71;
第三步，1.71 + [5/(1.71x1.71)-1.71]x1/3 = 1.709;
每次多取一位数。公式会自动反馈到正确的数值。
具体的求解过程：先说说泰勒级数：一个方程，f(x)=0,求解X，它唯一对应x-f(x)二维图像上的 一条曲线。那么x的求解过程可以用牛顿-莱布尼茨逼近法求得（迭代）。例如x^2=5可以看成 f(x)=x^2-5 = 0的求曲线和X轴的交点。牛顿迭代法可以用来求解线性方程的近似解。
那么如何求解非 线性方程呢？ f(x)用泰勒级数展开，取前N项(通常N = 2)，得到一个线性的方程，这个方程相当于是原来 的曲线在求解点附近做了一条切线，其求解过程和牛顿迭代法等价。迭代次数越多，越接近非线性。用泰 勒级数来分解sin(t)，把一个光滑的函数变成一些列有楞有角的波形的叠加。用傅立叶级数来分解方波， 把有楞有角的波形变成一些光滑曲线的集合。
但是傅立叶级数舍弃项的时候，会产生高频的吉布斯毛刺(上 升下降的边沿，迪利赫里条件不符合)。局部的收敛性不如泰勒级数展开----因为泰勒级数展开有逐项衰减 的常数因子。
举个例子，用泰勒级数求解欧拉公式。没有欧拉公式，就没有傅立叶变换，就没有拉普拉斯变化，就不能把高阶导数映射到e的倒数上面，也就无法把微分方程等价为一个限行方程。欧拉公式有什么用？它 把实数的三角运算变成了复数的旋转运算，把指数运算变成了乘积运算，把纯微分方程的求解过程变成了 指数方程的求解过程，大大简化了运算。
推广一下。怎么分析一个函数?怎么分析一个几何的相交问题?怎么解决一个多维的问题？初等的方 法是根据函数或者图形的几何性质，去凑答案----当然大部分情况是凑不到答案的，因为能凑到答案是因 为问题/题目给出了一些特殊的数学关系以使得我们恰好能凑到答案！
例如一个圆球在正方体里面，求通过 某个顶点的切面方程或者距离什么的，我们可以通过做辅助面求得。但是这个求解太特殊了，对于普通的 点，例如切面方程13x+615y+72z-2=0这样的，初等方法就无能为力了。说白了初等方法就是牛顿在《自然哲学的数学原理 》提到的几何方法，牛顿并没有把微积分上升到解析的思想。
普通数学分析则提 出了解析的代数运算思想，把具体的问题用通用的方式来求得，而问题的题设只是一种把函数的实际参数 带入形式参数的过程，使得问题可以形式化了----如果数学问题不能形式化就不能通过状态机来求解，试 想，计算机怎么会画辅助线呢？几何图形是有意义的，但是形式求解本身没有意义，它必须把实际的"意义 "问题变成代数运算，例如求最大值最小值变成导数=0。电路分析当中的模型是什么？就是数学建模。
因为电压和电流是可以测量的量，那么我们就要看什么量是不变量/变量，什么量是自变量/因变量。如果电 压是不变量，我们认为是理想电压源；如果电流是不变量就是理想电流源，如果电压电流的比例不变就是 恒定电阻；如果电压电流乘积不变就是理想功率源。把控制电路作为一个整体，那么电压/电流控制电压/ 电流，作为一个黑盒，对外的特性就是电压转移系数，电流转移系数，转移电阻和转移电抗。
在物理学的 电场分析当中电压/电势是一个矢量，但是到了集总电路分析的领域就退化成了一个标量。对于复杂问题的 分析，好比物理学当中的动量/能量守恒，电路分析是以电流守恒为基础的，于是就有了节电电流法和环路 电压法的概念。这些概念的建立都是为了分析的目的而存在的，是分析工具。
我们首先得到一个工具，当 直接分析很困难的时候，我们采用逼近的方法来解决----因为极限就是我们所求的。正是因为解析的思想 是一种通用的求解方式，爱因斯坦在晚年才会追求4大场的统一理论，当然他忽略了这个"解析"的形式系 统本身在量子的尺度上失效了，忽略了不确定性和概率的影响，令人惋惜。
说的太远了，高数里面为什么 有那么多种正交展开？泰勒级数，傅立叶级数，罗朗级数----其实就是因为初等的方法无法精确分析出定 解，那么就去寻找一种"不断逼近"的方法来求解。复变函数研宄的就是如何用幂级数不断的逼近原函数这 个基本命题。
泰勒是怎么想出来的？
为什么泰勒级数，傅立叶级数，这些展开式都可以写成某个通项公式的和呢？是不是真理都是简单 的美的，就像毕达哥拉斯所设想的一样？这个观点也许搞反了因果的方向。
我们看一下泰勒级数是怎么得到的。泰勒假设f(x)=f(a)+f’(x)(x-a)+o(x-a)^2,这个是牛顿莱布尼茨公式可以推出来的，那么有了 一次项以后，如何继续逼近？方法类似，一次的求解是g1(x)=f(x)-f(a)=f’(x)(x-a)，那么可以写出 g2(x)=f(x)-f(a)-f’(x)(x-a)两边对x求导再求不定积分，就得到了 2阶的泰勒级数。依次类推，可以得 到N阶的泰勒级数。
由于每一阶的推导过程是"相似"的，所以泰勒项数的子项肯定也就具有了某种形式意 义上的相似性。说白了，不是因为客观存在某种规律使得函数可以展开成具有通项公式的幂级数，而是为 了把函数展开成具有通项公式的幂级数再去看每个子项应该等于什么，然后为了保证严格再给出收敛以及 一致收敛的条件。
不是客观存在某种''简单而且美"的真理，而是主体把某种''简单而且美"的形式强加给客观，再看客 观在"强加"语境下的特性如何。傅立叶级数的思想，频率分析的思想，和这个相似，是把我们心中的某个 概念赋予外界的实在，按主管意识的想法来拆借外界----只有这样，思想才能被理解。
当然，实数范围的泰勒级数和傅立叶级数展开的条件仍然比较严格，复变函数引入了对应的洛朗级数和傅立叶/拉普拉斯变 换，通用性强多了。说白了，复变函数就是函数逼近论。为了解决初等思想没法解决的不可能想明白的问 题而引入的高等方法。逼近思想的一个应用就是理解曲率的公式A=|y’’|/sqrt(1+y’A2)。画出逼近图形 就可以理解了，用两个相似三角形就可以证明这个公式。
复变函数说白了就是 2 维正交元素组成的数域。 (1+i)^i=exp(iLn(1+i))=exp(i[Ln|1+i|+i(arg(1+i)+2kPi])=exp(-Pi)(1/4+2k)*(cos[ln2/2]+isin[ln2/2])，是一个正交的表达式，它保留了两个方向上的分量，使得2维分析变得可能。这样一来，高等数学当中的曲线积分，积分的变量不再是x和y而是只剩下了 z，形式上简 单多了。
假设曲线积分S1=S(Pdx+Qdy)其中Q=xA2-2xy-yA2,P=xA2-yA2+2xy,显然满足格林公式。 然后负数积分 S(zA2)dz=S(xA2+2xyi-yA2)d(x+yi)=S( (xA2-2xy)dx+(yA2-2xy)dy )。而 S(xA2+2xyi-yA2)d(x+yi)实部=S(xA2-yA2)dx-2xyA2dy，虚部=S(2xydx+(xA2- yA2)dy)，实部和虚部相加就是S1，也就是说，S是S1(曲线积分和路径无关)的复数形式。我们可以验证S(z^2)dz 沿不同积分路线从起点到终点的积分结果。zA2=(xA2-yA2)+i2xy，显然满足柯西-黎曼条件。于是它和实数积分的格林公式统一了。
实际的模型总是难以精确的解释的，所以我们创造一些理想模型去逼近现实。当然，两者不会相等， 但是只要误差在容许的范围之内，我们认为数学的分析就成功了。这就是一切数学建模的思想。工科电子类的专业课，第一门数学建模的课程就是电路分析。这里传输线的问题被一个等效电路替代了。
实际电源 被一个理想的电压源加上一个电阻替代了，三级管放大电路的理论模型就是电流控制的电流源。一切都是 为了分析的方便。只要结果足够近似，我们就认为自己的理论是有效的。
出了这个边界，理论就需要修正。 理论反映的不是客观实在，而是我们''如何去认识"的水平，理论是一种主观的存在，当实际情况可以影射 到同一种理论的时候，我们说理论上有了一种主观的”普遍联系”，就像电路分析和网络流量的拓扑分析有很多共同点。这种普遍联系不是客体的属性，只和主体的观点有关。
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