拉格朗日点点计算

随着韦伯望远镜的升空,这几天拉格朗日点成了一个热词。大家都知道拉格朗日点的定义,但是对于其具体计算还是不清楚。实际上,如果真正懂了定义,计算应该不是问题,所以归结起来还是没有完全懂得其定义。有好几个人问我具体定义与计算,给他们讲解以后我干脆把它写出来放到这里,或许别的人也会有兴趣。

拉格朗日点是一个三体问题。一般的三体问题没有简单解答,所以,拉格朗日点实际上是一个有限制的三体问题,三体中的一个的质量与另外两个比起来可以忽略不计(比如卫星与地球和太阳)。

在讨论拉格朗日点以前,我们先来看一个简单情况。在两个静止大质量物体(A, B) 之间的连线上有另一个物体C。如果C离A近,那么它受A的吸引力更大,C就落向A。反之,如果C离B近,那么它受B的吸引力更大,C就落向B。显然,在AB的连线上必然有一点,这个点受到A,B的吸引力相同,这个点上的物体就呆在那里,不向任何一方落去,这个点就是一个不动点。不过,这个不动点是不稳定的,稍微有一点扰动,这个平衡就被打破,物体就向某一方落去。

上面说的那个不动点与拉格朗日点L1有点相似,L1 也是两点连线之间的一个不动点,不过 L1没有这么简单。因为空间中没有静止的东西,两个相近的物体一般来说都是一个绕着另一个转。这个时候的不动点就要考虑角速度。L1就是在这个意义下的不动点,角速度相同。我们就来看一下如何根据这个定义来求这个不定点的位置。

假设地球与太阳之间的距离是R,L1 离地球的距离是 μR, 离太阳的距离是(1-μ) R,太阳的质量是S, 地球的质量是E。在这些定义下,牛顿第二定理告诉我们,地球受太阳的吸引力是 GSE/R^2。开普勒定律说,一个物体绕另一个物体转,离心力与角速度 ɷ 之间的关系是 F = m ɷ^2 R,m 是物体的质量。对地球绕太阳转来说,GSE/R^2 =E ɷ^2 R , 也就是 ɷ^2 = GS/R^3 这个ɷ 就是地球绕太阳公转的角速度。我们再来看处于L1 的质量为m 的小物体绕太阳公转的速度。一般来说,一个物体离另一个物体越近,那么绕它旋转的时候就越快,才能用更大的离心力来平衡更大的重力吸引力。按道理,处于两点连线上的点离太阳更近,应该旋转更快。但是,太阳与地球之间连线上的物体同时受太阳与地球的吸引,距离分别为(1-μ) R 和 μR,吸引力为 GmS/((1-μ) R)^2 - GmE/(μR)^2 。地球的吸引力减弱了这个小物体绕太阳旋转所需要的速度。在某一点,这个速度正好与地球旋转的速度相同,这个点就是拉格朗日点L1 。把上面的力带入开普勒公式,我们有 GmS/((1-μ) R)^2 - GmE/(μR)^2 = m ɷ^2(1-μ) R

也就是说 ɷ^2 = G( S/((1-μ) R)^2 - E/(μR)^2 )/((1-μ) R) , 这个 ɷ 要与前面地球绕太阳公转的ɷ相同,我们可以得到下面这个公式

G(S/((1-μ) R)^2 - E/(μR)^2)= (1-μ)RGS/R^3 ,

两边约去G, R,我们得到

S/(1-μ)^2 - E/μ^2 = (1-μ) S

上式可简化为 S/E = (1-μ)^2/(3μ^3 - 3μ^4 + μ^5 ) . 这个方程精确解不好求,但因为μ 很小,可以约去高阶项求近似解。约去高阶项后,上面的方程就变成 S/E = 1/(3μ3 ) 我们知道S/E 大约等于 330000, 所以μ 大约等于1/100。地球到太阳的距离大约一亿五千万公里,其1/100 就是一百五十万公里。也就是说这个拉格朗日点L1 距离地球大约一百五十万公里,光需要走5秒钟的时间。

上面的方程约去了一些细节,比如说地球实际上不是围绕太阳中心转,而是围绕太阳与地球的总质量的重心转。只是地球实在太小,这个差别可以忽略不计。如果要精确计算,要考虑这些的话,就还需要加入其它小项,方程就没有那么简单了。我们这里为了简洁介绍方法,省去了这些项。上面这个近似解与实际解相差很小。如果看别处的关与L1的介绍,都会说它离地球大约一百五十万公里。

这次这个韦伯望远镜将会在L2点附近旋转,L2 在地球与太阳的连线的延长线上,在地球远离太阳那一边。L2 的解法与上面相同。如果不考虑一些高阶项的话,只需把上面的减号换成加号。再约去高阶项后,最后的结果也是1/100. 几乎与 L1 对称。

以后有机会再讲L3,L4,L5 。

#人民的公义#推一部电影,是大一的时候我的思修老师带我们看的(看完写千字论文那种[单身狗]),当时只是把它当成一个比较轻松的作业来看,6年后想起这部电影,才发现初听不识曲中意,再听已是曲中人。
这部电影就是《十二公民》,原版是1957年黑白电影《十二怒汉》,曾经被拍成了多个版本流传,我们思修老师带我们看的就是中国版《十二公民》。
这部剧讲了什么呢?
不想剧透的可以直接划掉,自己去搜来看看吧,剧透剧情我放在下面了,因为年代过久,剧情记不太清,叙述可能有误,有误请指出。

一个男孩杀了自己的生父,人证物证铁证如山,物证是啥?一把刀。人证是啥?一个住他家楼下的老爷爷,一个住他家对面的女士。
刀是男孩的刀,这把刀很难买到,刚好男孩的刀丢了。
住楼下的老爷爷说他听到男孩与父亲争吵,后来听到倒地的声音,等他出门的时候,看到男孩跑下楼的身影。
住他家对面的女士说,她和他们家隔着一条铁轨,当晚睡不着看向窗外,恰好列车经过,透过列车的车窗看见男孩杀了生父。
根据各种走访得出,男孩和生父之间经常争吵,感情不和,男孩是个吊儿郎当的社会青年,事发前刚好买了那把凶刀。
舆论倾向于认为他有罪。
不考虑指纹,不考虑DNA,就以上人证物证,召集了12位“陪审员”讨论此事。
12位“陪审员”来自各行各业,都是普通人,有穷有富。
面对“铁证如山”,有11位陪审员投了有罪,仅8号陪审员投无罪。
8号陪审员就如此“板上钉钉”的事情提出质疑,称自己也不知道他有罪无罪,只是想讨论一下,因为自己的决定关乎孩子的命运。
其他几位陪审员觉得很荒谬,为了赶时间散会去做自己的事,纷纷“摆事实讲依据”说服8号陪审员。
其中的论述过程相当精彩,不看原片无法感受到思想的碰撞,所以这部分我建议看原片,我文笔不好,复述出来只会干巴巴。
首先,其他陪审员用物证说服,称此刀长得比较特殊,只有男孩有,又恰好男孩的刀丢了,不可能这么巧合。
随后,8号陪审员掏出了一把一模一样的刀,称是自己听说了这件事后,某宝花了几十块钱买的,还包邮。但是这样,并没有说服其他陪审员,因为8号陪审员无法排除凶器就是男孩的刀的可能,其他陪审员也无法排除凶器不是男孩的刀的可能。
接着,大家开始讨论人证,其他陪审员认为,住楼下的老爷爷和住死者对面的女士都和死者凶手没有利害关系,也都很淳朴,没有理由说谎,既然一个亲眼看见一个亲耳听见,证据链完整,可以认为男孩有罪。
但8号陪审员和他的支持者还是找到了一个漏洞,就是凶案发生时,对面楼上女士是通过列车车窗看见的凶案,而列车经过时会发出巨大的噪音,住楼下的老爷爷不可能同时听到尸体倒地的声音,证词出现了矛盾。
此时,有几位其他陪审员开始动摇并认真思考起来。很显然,证词出现了矛盾,那必然要重新审核证词的准确性。
其后,有一位陪审员提到,老爷爷腿脚不好,他的证词里面提到,自己花了十几秒从床上走到大门口打开门看见了男孩下楼,但他认为这个十几秒描述得并不准确。
所以,全体陪审员做了一个实验,用老爷爷走路的速度,模拟从床上走到大门所用的时间,最后得出四十几秒,与证词里的“十几秒”相差很远。
但依然不能排除,老爷爷记错了或者描述错了的可能性,而还有一位证人的证词表明,她确实看见男孩杀了人。
讨论陷入了僵局,谁也说服不了谁。
直到一位年级很大的陪审员提出,女士看东西喜欢眯眼睛,鼻梁上有两个很深的窝,那是长期戴眼镜造成的,如果是深夜睡不着看向窗外,不可能戴着眼镜睡觉,那么又是黑夜又是这么远的距离,她是极有可能看错人的。
最后,因为8号陪审员的坚持,在人证物证诸多漏洞的情况下,以疑罪从无原则判断,此案证据不足,男孩无罪。
后来,案件真凶被抓,男孩得以真正清白。
在社会舆论下,在“铁证如山”下,一般人很容易就会被所谓的“证据”蒙蔽双眼,如果不具备相当的法律逻辑,很容易产生冤假错案。
中国版的《十二公民》只是一个模拟法庭,中国没有陪审员制度,极大避免了因为陪审员法律知识欠缺产生的错误判定,但我们的公民依然需要养成法律意识,不能事不关己高高挂起。
原版的《十二怒汉》是真实的法庭,假如没有8号陪审员的质疑,那个男孩很可能就此入狱。
需要知道的是,不论《十二公民》还是《十二怒汉》,都没有直接证据证明男孩无罪,只是人证物证有漏洞,需要打回重新调查,获取更完善的证据,但以疑罪从无原则来说,宁可错放,不可错杀,只要证据有疑点有矛盾,就不能就此判定嫌疑人有罪,这是对嫌疑人权利的最大保障。
有趣的是,电影不仅讲述了司法公正,还通过一场辩论刻画了12个社会各行各业的缩影人物。
有一下子被说服投有罪一下子被说服投无罪的墙头草,有真心认为证据已经构成犯罪并认真分析辩论的理智陪审员,也有事不关己高高挂起只想快点结束辩论所以哪一边票多就投哪一边的陪审员,也有真情实感心疼那个孩子虽然不知道漏洞在哪里但依然愿意投无罪的陪审员,更有不讲道理“不听我不听,因为男孩是个逆子所以他就一定是凶手”的陪审员。
总之,这部电影是你明知结局却依然可以被辩论过程吸引的作品,值得一看,这部电影,给刚上大学的我塑造了质疑证据的思维模式,我认为我们都需要养成这样的思维模式,哪怕铁证如山,只要证据链不100%指向有罪,都可以认为证据有问题,可以是无罪的。
但电影是电影,艺术来源于生活,但生活远复杂于艺术,所以吃瓜群众还是谨慎吃瓜比较好。

网友:我是在2012年的5月份入手了这台英菲尼迪FX车辆落地,价格差不多是在86万左右。当时我把这台车提回来的时候,公司里面的同事都说这台车挺好看的,芬芬询问我这台车要不要三五十万,但是当我把这台车的真实价格告诉他们的时候,他们都觉得难以置信,因为在他们看来,如果你想买一台八九十万的车型,最优的选择肯定是要考虑BBA车型的,而我却买了一台车标跟奇瑞非常相似的英菲尼迪。

我可以理解他们这种想法,毕竟对他们这些刚刚踏入社会没几年的年轻人来讲,买车肯定还是得以BBA为首的一线品牌,稍微有点排面。但是我就不一样了,因为我在买这台车,之前我自己开的就是宝马5系,我都已经尝试过一件豪华品牌是什么样子的,再选择一台宝马或者奔驰,对我来讲意义不大,而且平时的商务接待用那台宝马5系完全就足够了,再买这台车的时候我就考虑过了,我一定要选一台各方面表现都符合我的要求的车子,我不会再为了所谓的客户或者是代步或者是空间而妥协。

其实在我买车那会奥迪Q7跟宝马X5,这两台车的名气是相当大的,而且八九十万这个价位,想买一下这两台车的,其中任何一台都是绰绰有余的,但是我对于这两款车型倒不怎么感冒,说实话这两款车最大的优点就是在于空间嘛,大空间舒适度肯定就好,但是它的操控性一定是跟不上的,奥迪Q7和宝马X5这两款车都有漏油的现象,Q7还会烧机油呢!我不知道大家知不知道,所以出于对车辆品质的要求我就淘汰了这两款车,选择了我认为操控性最好的同级别中大型SUV,也就是这台英菲尼迪FX。

尽管认识我的人都觉得我花八九十万去买这样一台英菲尼迪,有点浪费,甚至有些人还觉得我是不是脑袋进水了才会去买这台车,但是我只能说每个人的要求不同,做出的选择也就不一样,或者换句更通俗一点的来讲,我自己手里面有足够多的钱,想买什么样的车是我自己的决定,跟别人有什么关系呢?干嘛要在乎别人的意见?

事实上这些年下来,我对于这台车的一些表现是非常满意的。或许这台车的整体尺寸不是很到位,毕竟这台车的车身长度不到4.9米,车内的空间肯定跟那些动辄超过5米的中大型SUV没有办法比,不过这台车在整体的操控性能动力加速,内饰做工使用材料等方面那是相当讲究的,即便单论这个外观设计,哪怕是放在当前以我们的审美观来看,这台车仍然是显得相当霸气。

我可以跟大家简单聊一聊,这台车在我手里面的一些用车体验,希望能够改善大家对于英菲尼迪这个品牌比较落伍的印象。

首先你不要觉得这台车的外观造型设计比较紧凑,就觉得他的空间不好,事实上这台车的空间表现是相当充足的,我自己是将近1.85的身高,坐在前排丝毫不会觉得拥挤,而后排空间相对来说确实会小一点,但是比起中型SUV的空间也是相当有优势的,只不过说因为他后排采取的一个是小溜背的设计,所以,头部空间多多少少会受到一部分的影响,但我却认为,毕竟买这台车的人,恐怕追求空间的车主应该是没有的,更多的还是看重它的操控性能。

其次是这台车的内饰设计风格,当然如果按照现在人的眼光来看,这台车的内饰设计确实是有点土,但是整体的搭配水准还是很到位的,另外在做工材料方面也基本上舍得下本,你可以摸到的几乎全部都采用的是真皮材质的,包括质感一下子就上去了,而且整体采用的是一个360度的环保设计,这就能够给人感觉车里面的结构布局非常的紧致,特别适合谈运动风格SUV的定位。

再有就是这台车的动力表现了,这台车搭载的是3.5升V6自然吸气发动机,匹配的是7AT变速箱,最大马力能够达到332匹,使用到了有多片离合器的全时四驱系统,这套动力系统的表现那是相当给力的加速性能,但凡是给点油,车子就跑得非常欢快,基本上在路上见到谁都不用觉得动力不够用,想超车那也是分分钟的事情,尤其是他这个社区系统,动力能够均衡地分配到4个车轮,所以哪怕是遇到雨雪天气,路面比较湿滑的状态下,这台车仍然有比较不错的状态保持,通过性也是很ok的。

这台车的底盘悬架采用的是,前独立双叉臂以及后多连杆式独立悬架,前后悬架都采用了横向稳定杆,这能够给车辆提供更好的支撑性的同时,也能够确保车辆行驶过程中的姿态得到保证,对于操控性的表现起到了至关重要的作用,同时方向盘的转向力度非常的轻盈,哪怕是女生驾驶这样一台大车,也是得心应手,很容易操作。

不过这台车它的使用成本还是挺高的,首先因为它的大排量自吸发动机加速性能很强的同时它的油耗肯定是比别人高的,百公里十三四升的油耗都是很正常的,再加上它的保养价格不便宜,我这个人对于保养的要求还是比较高的,尽可能的做一些比较精准的项目,该换的零部件换该做的项目做,保持车子最好的状态,没点钱,还真的玩不起这样的好车!”

你觉得英菲尼迪FX这台车的表现怎么样呢?#汽车杂谈#


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