第五五八天，天宫空间站绕地球飞行，它目前的近地点轨道高度是383.7公里，远地点高度393.7公里，从数学上来讲它是一个椭圆形轨道。而对于巨大的地球来说，这是一个距地面约388.6公里的接近圆的轨道。天宫空间站在这个圆轨道上高速飞行，每天要绕地球转15圈半，大约每1个半小时，航天员们就要经历一次日出与日落。
根据天宫空间站的轨道参数，它目前的轨道速度是7.68公里/秒，虽然比所有已知的飞机都快，但低于书上说的第一宇宙速度：7.9km/s。
第一宇宙速度到底是什么？都说航天器只有高于这个速度才能逃脱地心引力，为什么卫星和空间站不会掉落下来呢？
我们向天上扔一块石头，它会很快就掉下来；扔石头的速度不够快，你向天空开枪，子弹出膛的速度大约是800米/秒，够快了吧？但十几秒后它也要落下来。为什么？因为万有引力。
牛顿认为，两个有质量的物体，它们互相之间会产生引力，引力大小与它们的质量有关，跟它们之间的距离也有关系。万有引力定律已经被无数实验证明是正确的。小到你扔石头，大到天体运行，它的运动都符合万有引力定律。
地球够大够重，它对周围的一切物体都有引力，换句话说你的重量就是地球对你的引力大小。石块、子弹、你我、卫星还有空间站都是有质量的物体，地球对它们都有引力。地球质量基本固定，引力的大小取决于物体的质量和距离r。我们处于地球表面，r = 地球半径——也就是地球质心（地心）与地表间距离。
从万有引力公式可以看出：地球质量m₁、地球半径r、万有引力常数G都是固定的，那么我们受到地球引力的大小就取决于我们自身质量的不同。
卫星和空间站要在天上持续运行，它就要克服万有引力的影响。怎么克服？科学家想到了“离心力”。奥运会上运动员投掷链球，就是先把球旋转起来，利用“离心力”将球投掷出去，你旋转速度越快，投掷的距离就越远。
“离心力”是一种虚拟力，物理学上并没有“离心力”一说，所以我给它加上了引号。当一个物体绕牵引力中心做非直线运动时，由于物体有质量，质量产生的惯性会强迫物体朝着运动轨迹的切线方向前进，惯性力作用到牵引力的相反方向上，将物体向外拉扯；运动物体的质量越大、运动速度越快，它所产生的惯性力就越大。
我们坐在一辆高速行驶的车上，车转弯时，你会感觉到自己被向外甩，这是因为身体惯性的作用，惯性产生一个向外的虚拟力，这个“力”就被称为离心力。
一个绕圆心做圆周运动的物体，它的向心力（与“离心力”大小相等方向相反）F受两个因素影响，一是它的向心加速度a，另一个是它自身的质量m。用公式表现为：
F=ma
其中向心加速度a与切线运动速度v以及运动半径r的关系如下：
a=v²/r
所以：
F=mv²/r
对于一颗绕地球做圆周运动的卫星来说，它要保持不掉下来（r稳定），需要做到地球对它的引力与运动产生的“离心力”大小相等、方向相反。于是：
F=Gm₁m₂/r²=m₂v²/r
v²=Gm₁/r
我们知道，地球的质量m₁是固定的，G是万有引力常数，于是卫星的轨道速度v只受r的变化影响，与卫星的质量m₂大小没有关系。
那么，什么是第一宇宙速度呢？
第一宇宙速度是指一个物体贴着海平面飞行（不考虑空气升力和阻力）时，它不落回地面的速度。海平面到地心的距离就是地球的平均半径r，它的值约为6371.4千米。那么：
v² = Gm₁/r ≈ 6.67×10⁻¹¹× 5.965×10²⁴ / 6371400
v ≈ 7.91 km/s
我们将这个海平面飞行速度(v)7.91公里/秒称为“第一宇宙速度”，也就是绕飞地球的速度。
事实上没有一颗卫星能做到以如此快的速度贴着海平面飞行。为了克服空气阻力，我们需要将它发射到100公里以上的大气层外边。于是上边公式中的 r 就变大了。
天宫空间站在388.6公里高度飞行
按照中国空间站388.6公里的平均轨道高度算：
r = 6371.4 + 388.6 = 6760公里
代入轨道速度计算公式后得出：v ≈ 7.68 km/s
这个值显然小于7.91公里/秒的第一宇宙速度。
由此我们可以得出结论：
在轨飞行的航天器，无论是卫星、飞船还是更大更重的空间站，只要它是在近圆轨道上飞行，其轨道高度越高，飞行的速度就越慢。位于3.6万公里高度的静止轨道卫星的速度只有3.1公里/秒，远低于第一宇宙速度。
对于处在椭圆轨道上飞行的卫星（比如我国第一颗卫星“东方红一号”）而言，它的轨道速度是在一个区间里不断变化。有些通信卫星为了在它感兴趣的地区能逗留更长时间，特意采用了一种高度椭圆的轨道（Molniya轨道），它的轨道速度在1.5~10公里/秒的范围内不断变化。
因此，如果有人告诉你天上卫星的速度都是第一宇宙速度，那是他对轨道速度的概念有误解。
根据天宫空间站的轨道参数，它目前的轨道速度是7.68公里/秒，虽然比所有已知的飞机都快，但低于书上说的第一宇宙速度：7.9km/s。
第一宇宙速度到底是什么？都说航天器只有高于这个速度才能逃脱地心引力，为什么卫星和空间站不会掉落下来呢？
我们向天上扔一块石头，它会很快就掉下来；扔石头的速度不够快，你向天空开枪，子弹出膛的速度大约是800米/秒，够快了吧？但十几秒后它也要落下来。为什么？因为万有引力。
牛顿认为，两个有质量的物体，它们互相之间会产生引力，引力大小与它们的质量有关，跟它们之间的距离也有关系。万有引力定律已经被无数实验证明是正确的。小到你扔石头，大到天体运行，它的运动都符合万有引力定律。
地球够大够重，它对周围的一切物体都有引力，换句话说你的重量就是地球对你的引力大小。石块、子弹、你我、卫星还有空间站都是有质量的物体，地球对它们都有引力。地球质量基本固定，引力的大小取决于物体的质量和距离r。我们处于地球表面，r = 地球半径——也就是地球质心（地心）与地表间距离。
从万有引力公式可以看出：地球质量m₁、地球半径r、万有引力常数G都是固定的，那么我们受到地球引力的大小就取决于我们自身质量的不同。
卫星和空间站要在天上持续运行，它就要克服万有引力的影响。怎么克服？科学家想到了“离心力”。奥运会上运动员投掷链球，就是先把球旋转起来，利用“离心力”将球投掷出去，你旋转速度越快，投掷的距离就越远。
“离心力”是一种虚拟力，物理学上并没有“离心力”一说，所以我给它加上了引号。当一个物体绕牵引力中心做非直线运动时，由于物体有质量，质量产生的惯性会强迫物体朝着运动轨迹的切线方向前进，惯性力作用到牵引力的相反方向上，将物体向外拉扯；运动物体的质量越大、运动速度越快，它所产生的惯性力就越大。
我们坐在一辆高速行驶的车上，车转弯时，你会感觉到自己被向外甩，这是因为身体惯性的作用，惯性产生一个向外的虚拟力，这个“力”就被称为离心力。
一个绕圆心做圆周运动的物体，它的向心力（与“离心力”大小相等方向相反）F受两个因素影响，一是它的向心加速度a，另一个是它自身的质量m。用公式表现为：
F=ma
其中向心加速度a与切线运动速度v以及运动半径r的关系如下：
a=v²/r
所以：
F=mv²/r
对于一颗绕地球做圆周运动的卫星来说，它要保持不掉下来（r稳定），需要做到地球对它的引力与运动产生的“离心力”大小相等、方向相反。于是：
F=Gm₁m₂/r²=m₂v²/r
v²=Gm₁/r
我们知道，地球的质量m₁是固定的，G是万有引力常数，于是卫星的轨道速度v只受r的变化影响，与卫星的质量m₂大小没有关系。
那么，什么是第一宇宙速度呢？
第一宇宙速度是指一个物体贴着海平面飞行（不考虑空气升力和阻力）时，它不落回地面的速度。海平面到地心的距离就是地球的平均半径r，它的值约为6371.4千米。那么：
v² = Gm₁/r ≈ 6.67×10⁻¹¹× 5.965×10²⁴ / 6371400
v ≈ 7.91 km/s
我们将这个海平面飞行速度(v)7.91公里/秒称为“第一宇宙速度”，也就是绕飞地球的速度。
事实上没有一颗卫星能做到以如此快的速度贴着海平面飞行。为了克服空气阻力，我们需要将它发射到100公里以上的大气层外边。于是上边公式中的 r 就变大了。
天宫空间站在388.6公里高度飞行
按照中国空间站388.6公里的平均轨道高度算：
r = 6371.4 + 388.6 = 6760公里
代入轨道速度计算公式后得出：v ≈ 7.68 km/s
这个值显然小于7.91公里/秒的第一宇宙速度。
由此我们可以得出结论：
在轨飞行的航天器，无论是卫星、飞船还是更大更重的空间站，只要它是在近圆轨道上飞行，其轨道高度越高，飞行的速度就越慢。位于3.6万公里高度的静止轨道卫星的速度只有3.1公里/秒，远低于第一宇宙速度。
对于处在椭圆轨道上飞行的卫星（比如我国第一颗卫星“东方红一号”）而言，它的轨道速度是在一个区间里不断变化。有些通信卫星为了在它感兴趣的地区能逗留更长时间，特意采用了一种高度椭圆的轨道（Molniya轨道），它的轨道速度在1.5~10公里/秒的范围内不断变化。
因此，如果有人告诉你天上卫星的速度都是第一宇宙速度，那是他对轨道速度的概念有误解。
航天耐高温材料测试解决方案
热机械疲劳测试系统
Kappa SS-CF
#热机械#
为航空耐高温材料研究提供可靠的力学测试解决方案。继前文谈到ZwickRoell热机械疲劳测试系统Kappa SS-CF以下特点，我们为您继续揭晓更多功能与优势：
定制化TMF控制系统，实现测量数据实时采集、处理和评估。
专利技术确保在循环拉压载荷过程中无过零偏差，精确控制测试力和速度。
感应加热系统适用于不同试样材料，且容量可调节。

Kappa SS-CF测试系统
特 点 与 优 势
主动式压缩空气冷却，可实现精确的温度控制，而不会出现温度过冲现象
四个方向对称均匀排列的扁平喷头精确地对准试样表面，利用冷却空气进行冷却。
比例压力控制阀可对空气流量进行精确控制。
冷却喷嘴的位置是可调的，保证了测试位置的可重复性。
冷却速度最高可以达到25K/s，这取决于试样的几何形状。

感应式加热系统和自动水冷
热电偶缠绕180度于试样中部，易于放置并符合标准的温度控制
用符合标准的热电偶缠绕在被测试样截面中心进行温度测量。
≤ 850° C: Type K
> 850° C: Type S
操作方便--特别是与焊接的热电偶相比。
方便可靠的连接，可调节弹簧预紧力，以获得可靠的接触压力。
180°缠绕在试样周围。
最多可使用三个试样热电偶
匹配适用的试样夹具以确保夹持稳固
沿试样进行水冷，确保温度快速稳定，同时，热量被冷却水沿试样端部带走。
用于普通圆柱形试样的液压夹具，试样直径6毫米，夹持端直径15毫米。
拉压载荷交替过程中，无过零间隙。

水冷液压夹具确保安全夹持
使用接触式引伸计进行可靠的应变测量
可实现水冷管道的快速连接。
专为高温下使用而设计和开发，符合ISO 6892的应变速率控制测试的严格要求。
根据测试要求可自动调整标距长度。
引伸臂与试样接触力可控，确保测试良好的可重复性。
符合ASTM E83 B2级和ISO 95130.5级的精度要求。
配备水冷的A级碳化硅陶瓷传感器，可在高达1,600°C的温度下使用。

接触式引伸计
稳定的环境条件和试样的良好可视性
安全外壳确保对操作者的最佳保护以及稳定的环境条件，特别是对于敏感的应变测量。
透明的安全玻璃和开放的冷却系统设计确保了试样良好的可视性。
通过使用testXpert进行自动化测试，协助操作人员逐步完成工作流程
测试系统的操作设计非常直观。操作者根据指引完成测试的各个步骤，从准备和运行测试到分析结果。根据CoP规定，在热机械疲劳试验前，需先确定样品杨氏模量，并进行预循环，以便进行控制优化。系统用户有专门的测试程序支持，无需单独计算或外部软件。温度控制偏差由温度指令与测量温度之差决定（根据CoP规定，其公差为±5℃或温差的±1%）。
第一步：稳定的温度控制
可重复的温度循环对于精确的机械应变控制至关重要。因此，为了产生所需的热平衡，首先需要进行零载力控制预循环。
第二步：热应变测量
热应变的确定取决于温度。将力控制在零点，测量热应变。

第一步：稳定的温度控制
第二步：热应变测量
第三步：零应力测试验证
验证热应变补偿的准确性。因此，在这个循环中，机械应变保持为零(εme=0)，这导致总应变与热应变的对应关系(εt=εth)。根据CoP，所产生的应力不得超过以下公差范围。
最大值。小于试验应力差值的5%。
平均值。小于试验应力差值的2%

第三步：零应力测试验证
第四步：进行测试
软件根据选定的测试参数执行当前的测试，测试数据如下：
1. 试样：铝材料试样
2. 试样形状：圆柱形
3. L0: 10 mm
4. 测试类型：同相位
第四步：测试（同相位）
测试配置简单，测试结果可追溯
智能向导向用户显示必须配置哪些测试参数，并自动检查所有条目的合理性。
可自由选择加热斜坡、最高和最低温度、保载时间等。
加热和冷却的独立参数设定。
相位差可调。
可自由选择预循环次数。
储存试验参数，后续实验可直接调用。
测试系统和系统设置的记录。
保证测试数据的可追溯性：记录每次测试的时间，操作人员，测试目的和负责人。

智能向导

测试配置易于设置
确定杨氏模量，以验证试验操作是否正确
根据《欧洲测试准则》，确定室温下的杨氏模量。温度、最低温度、最高温度，以及至少一个额外的平均温度。
建议在每次试验前对在不同温度下的杨氏模量值进行测量。随后将测量的杨氏模量值与参考数据库中的数据进行比较，以验证力、应变和温度的控制和测量值是否正确。如果测量值在最大的公差范围内5%，那么可以确保正确的测试操作。
确保测试操作的正确性，灵活而方便的评估选项
存储所有的测试周期，具有明确的评估选项和可理解的NI TDMS文件格式的导出接口，便于进一步使用，例如在Excel中使用。
软件可完整记录多达500个循环，单独或分组显示。
对在保护模式下获得的测试数据进行额外验证。
可将数据轻松导出到通用的评估/分析平台。
特定测试类型循环应力-应变曲线的比较
循环测试结果的记录包括：Fmin、Fmax、Dmin和Dmax。
热机械疲劳测试系统
Kappa SS-CF
#热机械#
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Kappa SS-CF测试系统
特 点 与 优 势
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比例压力控制阀可对空气流量进行精确控制。
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冷却速度最高可以达到25K/s，这取决于试样的几何形状。

感应式加热系统和自动水冷
热电偶缠绕180度于试样中部，易于放置并符合标准的温度控制
用符合标准的热电偶缠绕在被测试样截面中心进行温度测量。
≤ 850° C: Type K
> 850° C: Type S
操作方便--特别是与焊接的热电偶相比。
方便可靠的连接，可调节弹簧预紧力，以获得可靠的接触压力。
180°缠绕在试样周围。
最多可使用三个试样热电偶
匹配适用的试样夹具以确保夹持稳固
沿试样进行水冷，确保温度快速稳定，同时，热量被冷却水沿试样端部带走。
用于普通圆柱形试样的液压夹具，试样直径6毫米，夹持端直径15毫米。
拉压载荷交替过程中，无过零间隙。

水冷液压夹具确保安全夹持
使用接触式引伸计进行可靠的应变测量
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专为高温下使用而设计和开发，符合ISO 6892的应变速率控制测试的严格要求。
根据测试要求可自动调整标距长度。
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符合ASTM E83 B2级和ISO 95130.5级的精度要求。
配备水冷的A级碳化硅陶瓷传感器，可在高达1,600°C的温度下使用。

接触式引伸计
稳定的环境条件和试样的良好可视性
安全外壳确保对操作者的最佳保护以及稳定的环境条件，特别是对于敏感的应变测量。
透明的安全玻璃和开放的冷却系统设计确保了试样良好的可视性。
通过使用testXpert进行自动化测试，协助操作人员逐步完成工作流程
测试系统的操作设计非常直观。操作者根据指引完成测试的各个步骤，从准备和运行测试到分析结果。根据CoP规定，在热机械疲劳试验前，需先确定样品杨氏模量，并进行预循环，以便进行控制优化。系统用户有专门的测试程序支持，无需单独计算或外部软件。温度控制偏差由温度指令与测量温度之差决定（根据CoP规定，其公差为±5℃或温差的±1%）。
第一步：稳定的温度控制
可重复的温度循环对于精确的机械应变控制至关重要。因此，为了产生所需的热平衡，首先需要进行零载力控制预循环。
第二步：热应变测量
热应变的确定取决于温度。将力控制在零点，测量热应变。

第一步：稳定的温度控制
第二步：热应变测量
第三步：零应力测试验证
验证热应变补偿的准确性。因此，在这个循环中，机械应变保持为零(εme=0)，这导致总应变与热应变的对应关系(εt=εth)。根据CoP，所产生的应力不得超过以下公差范围。
最大值。小于试验应力差值的5%。
平均值。小于试验应力差值的2%

第三步：零应力测试验证
第四步：进行测试
软件根据选定的测试参数执行当前的测试，测试数据如下：
1. 试样：铝材料试样
2. 试样形状：圆柱形
3. L0: 10 mm
4. 测试类型：同相位
第四步：测试（同相位）
测试配置简单，测试结果可追溯
智能向导向用户显示必须配置哪些测试参数，并自动检查所有条目的合理性。
可自由选择加热斜坡、最高和最低温度、保载时间等。
加热和冷却的独立参数设定。
相位差可调。
可自由选择预循环次数。
储存试验参数，后续实验可直接调用。
测试系统和系统设置的记录。
保证测试数据的可追溯性：记录每次测试的时间，操作人员，测试目的和负责人。

智能向导

测试配置易于设置
确定杨氏模量，以验证试验操作是否正确
根据《欧洲测试准则》，确定室温下的杨氏模量。温度、最低温度、最高温度，以及至少一个额外的平均温度。
建议在每次试验前对在不同温度下的杨氏模量值进行测量。随后将测量的杨氏模量值与参考数据库中的数据进行比较，以验证力、应变和温度的控制和测量值是否正确。如果测量值在最大的公差范围内5%，那么可以确保正确的测试操作。
确保测试操作的正确性，灵活而方便的评估选项
存储所有的测试周期，具有明确的评估选项和可理解的NI TDMS文件格式的导出接口，便于进一步使用，例如在Excel中使用。
软件可完整记录多达500个循环，单独或分组显示。
对在保护模式下获得的测试数据进行额外验证。
可将数据轻松导出到通用的评估/分析平台。
特定测试类型循环应力-应变曲线的比较
循环测试结果的记录包括：Fmin、Fmax、Dmin和Dmax。
群作用(Group Action）
在数学中，空间上的群作用是给定群在空间变换群中的群同态。类似地，对一个数学结构的群作用是把一个群的群同态化为该结构的自同态群。据说群体作用于空间或结构。如果一个组对一个结构起作用，那么它通常也会对由该结构构建的对象起作用。例如，欧几里得等距组作用于欧几里得空间，也作用于其中所画的图形。特别地，它作用于所有三角形的集合。类似地，多面体的对称群作用于多面体的顶点、边和面。
在(有限维)向量空间上的群作用称为群表示。它允许用GL(n, K)的子群标识许多群，GL(n, K)是一个域上的维数为n的可逆矩阵群。对称群Sn作用于任何有n个元素的集合，方法是对集合中的元素进行置换。虽然一个集合的所有排列的组形式上依赖于该集合，但是群作用的概念允许人们考虑单个群(不是单群)研究具有相同基数的所有集合的排列。
一. 定义
1. 左群作用
如果G是一个具有单位元素e的群，而X是一个集合，那么G对X的左群作用α是一个函数
α: G x X —> X;
满足以下两个公理：
恒等：α:(e,x) = x；
兼容性：α(g, α(h,x)) = α(gh, z);
当考虑群作用从上下文中明确时，α(g, x) 通常缩短为gx或g⋅x：
恒等：e⋅x = x；
兼容性：g⋅(h,x) = (gh) ⋅ x;
对于G中的所有g和h以及X中的所有的x。据说群G作用于X(从左边开始)。集合X与G的动作一起称为(左)G 集。
根据这两个公理，对于G中的任何固定g，从X到自身的函数把x映射到g ⋅ x是一个双射，反双射是 g^(−1)的对应映射。因此，可以把G对X的群作用等价地定义为从G到从X到其自身的所有双射的对称群Sym(X) 的群同态。
2. 右群作用
同样，G 对 X 的右群作用是一个函数
α: X x G —> X;
考虑的当群作用从上下文中明确时，α(x, g)通常缩短为xg或x⋅g。
满足类似的公理：
恒等：x⋅e = x；
兼容性：(x⋅g) ⋅ h = x ⋅ (gh);
对于G中的所有g和h以及X中的所有x。
左作用和右作用之间的区别在于乘积gh作用于x的顺序。对于左作用，h先作用，然后是g。对于右作用，g先作用，然后是h。由于公式(gh)^(-1) = h^(-1) g^(-1)，可通过组合群的逆运算从右作用构造左作用。同样，群G在X上的右作用可被认为是其相对群G^(op)在X上的左作用。
因此，为建立组动作的一般属性，只考虑左作用就足够。但是，在某些情况下这是不可能的。例如，一个组的乘法导致对组本身的左作用和右作用—分别在左边和右边乘法。
二. 作用类型
G 对X的动作称为：
传递：如果X是非空的并且对于X中的每对x, y存在G中的g使得g⋅x = y，则是可传递的。例如，X的对称群的作用是传递的，向量空间V的一般线性群或特殊线性群对V∖{0} 的作用是传递的，而一个欧几里得的正交群的作用空间E在E∖{0}上不是可传递的(尽管它在E的单位球面上是可传递的)。
如果对于G中的每两个不同的g, h 存在一个x在 X 中使得g⋅x ≠ h⋅x，那么为忠实或有效；或者等效地，如果对于 G 中的每个 g ≠ e，则在X中存在一个x，使得g⋅x ≠ x。换句话说，在忠实群作用中，G 的不同元素引起X的不同置换(排列)。 [a]在代数术语中，群G忠实地作用于X当且仅当对称群 G → Sym( X)，有一个平凡的核。因此，对于忠实作用，G嵌入到 X上的置换群中；具体来说，G与其在Sym(X)中的像同构。如果G不忠实于X，我们可很容易地修改群以获得忠实的作用。如定 N = {g in G : g⋅x = x for all x in X}，则N是G的正规子群；实际上，它是同态G →Sym(X) 的核。因子群G/N通过设置(gN)⋅x = g⋅x 忠实地作用于 X。当且仅当N = {e} 时G对X的原始作用是忠实的。对于相同大小的，群可定义忠实作用的最小集合可能会有很大差异。例如：
三个大小为 120 的群是对称群 S5、二十面体群和循环群Z/120Z可定义忠实作用的最小集合的大小分别为 5、12 和 16。
大小为2^n的阿贝尔群包括循环群(Z/(2^nZ)或(Z/2Z)^n(Z/(2Z)的n个副本的直积，但后者忠实地作用于大小为 2n 的集合，而前者不能在比它小的集合上忠实地作用。
自由或半正则或无不动点：如果给定g, h在G 中，x中存在x且g⋅x = h⋅x 意味着g = h。等价地：若g是一个群元素且在X中存在一个x且g⋅x = x (即若g至少有一个不动点)，则g是恒等式。请注意非空集合上的自由作用是忠实的。
........
三. 轨道和稳定子
1. 轨道(orbits)
考虑作用在集合X上的群G。 X中元素x的轨道是 X 中元素的集合，G 的元素可将x移动到该集合。 x的轨道由G⋅x表示：
G ⋅ x = {g ⋅ x | g ∈ G };
群的定义性质保证在G的作用下(点 x in)X的轨道集合形成X的一个划分。相关的等价关系定义为x ∼ y当且仅当G中存在g且g⋅x = y。那么轨道就是这个关系下的等价类；两个元素 x和y是等价的，当且仅当它们的轨道相同，即 G⋅x = G⋅y。
群作用是可传递的，当且仅当它只有一个轨道，也就是说，如果在X中存在x且G⋅x = X。这是当且仅当G⋅x = X对于X中的所有x (鉴于X非空）。
在G的作用下X的所有轨道的集合被写为X/G(或G\X)且被称为作用的商。在几何情况下，它可能被称为轨道空间，而在代数情况下，它可能被称为共变量空间，并写作XG，与不变量(不动点)相反，表示为XG：共变量是商，而不变量是一个子集。共变术语和符号特别用于群上同调和群同调，它们使用相同的上标/下标约定。
2. 不变子空间
3. 不动点和稳定子群(stabilizers)
给定G中的g和X中的x且 g⋅x = x，可以说“x 是g的不动点”或“g 固定 x”。对于X中的每个 x，G 相对于x的稳定子群（也称为各向同性群或小群 [7]）是 G 中所有固定 x 的元素的集合：
G_{x}= {g ∈ G | g ⋅ x = x};
这是G的一个子群，虽然通常不是正规的。当且仅当所有稳定器都是平凡的时，G对X的作用是自由的。具有对称群G → Sym(X)的同态的核N由X中所有x的稳定子Gx的交集给出。如果N是平凡的，那么称该动作是忠实的或有效的。
设x和y是X中的两个元素，设g是一个群元素，使得y = g⋅x。那么两个稳定子群Gx 和 Gy 的关系为 Gy = g Gx g^(−1)。证明：根据定义，h ∈ Gy 当且仅当 h⋅(g⋅x) = g⋅x。将g^(−1) 应用于这个等式的两边产生(g^(−1)hg)⋅x = x；即g^(−1)hg ∈ Gx。通过取 h∈Gx并假设x = g^(−1)⋅y 类似地遵循相反的包含。
上面说在同一轨道上的元素的稳定子是相互共轭的。因此，对于每个轨道，我们可将G的一个子群即该子群的所有共轭的集合的一个共轭类相关联。令(H)表示H的共轭类。那么轨道O的类型为(H)。如果稳定子G_{x}在轨道O中的一些/任何x属于(H)。最大轨道类型通常称为主轨道类型。
wi/Group_action
在数学中，空间上的群作用是给定群在空间变换群中的群同态。类似地，对一个数学结构的群作用是把一个群的群同态化为该结构的自同态群。据说群体作用于空间或结构。如果一个组对一个结构起作用，那么它通常也会对由该结构构建的对象起作用。例如，欧几里得等距组作用于欧几里得空间，也作用于其中所画的图形。特别地，它作用于所有三角形的集合。类似地，多面体的对称群作用于多面体的顶点、边和面。
在(有限维)向量空间上的群作用称为群表示。它允许用GL(n, K)的子群标识许多群，GL(n, K)是一个域上的维数为n的可逆矩阵群。对称群Sn作用于任何有n个元素的集合，方法是对集合中的元素进行置换。虽然一个集合的所有排列的组形式上依赖于该集合，但是群作用的概念允许人们考虑单个群(不是单群)研究具有相同基数的所有集合的排列。
一. 定义
1. 左群作用
如果G是一个具有单位元素e的群，而X是一个集合，那么G对X的左群作用α是一个函数
α: G x X —> X;
满足以下两个公理：
恒等：α:(e,x) = x；
兼容性：α(g, α(h,x)) = α(gh, z);
当考虑群作用从上下文中明确时，α(g, x) 通常缩短为gx或g⋅x：
恒等：e⋅x = x；
兼容性：g⋅(h,x) = (gh) ⋅ x;
对于G中的所有g和h以及X中的所有的x。据说群G作用于X(从左边开始)。集合X与G的动作一起称为(左)G 集。
根据这两个公理，对于G中的任何固定g，从X到自身的函数把x映射到g ⋅ x是一个双射，反双射是 g^(−1)的对应映射。因此，可以把G对X的群作用等价地定义为从G到从X到其自身的所有双射的对称群Sym(X) 的群同态。
2. 右群作用
同样，G 对 X 的右群作用是一个函数
α: X x G —> X;
考虑的当群作用从上下文中明确时，α(x, g)通常缩短为xg或x⋅g。
满足类似的公理：
恒等：x⋅e = x；
兼容性：(x⋅g) ⋅ h = x ⋅ (gh);
对于G中的所有g和h以及X中的所有x。
左作用和右作用之间的区别在于乘积gh作用于x的顺序。对于左作用，h先作用，然后是g。对于右作用，g先作用，然后是h。由于公式(gh)^(-1) = h^(-1) g^(-1)，可通过组合群的逆运算从右作用构造左作用。同样，群G在X上的右作用可被认为是其相对群G^(op)在X上的左作用。
因此，为建立组动作的一般属性，只考虑左作用就足够。但是，在某些情况下这是不可能的。例如，一个组的乘法导致对组本身的左作用和右作用—分别在左边和右边乘法。
二. 作用类型
G 对X的动作称为：
传递：如果X是非空的并且对于X中的每对x, y存在G中的g使得g⋅x = y，则是可传递的。例如，X的对称群的作用是传递的，向量空间V的一般线性群或特殊线性群对V∖{0} 的作用是传递的，而一个欧几里得的正交群的作用空间E在E∖{0}上不是可传递的(尽管它在E的单位球面上是可传递的)。
如果对于G中的每两个不同的g, h 存在一个x在 X 中使得g⋅x ≠ h⋅x，那么为忠实或有效；或者等效地，如果对于 G 中的每个 g ≠ e，则在X中存在一个x，使得g⋅x ≠ x。换句话说，在忠实群作用中，G 的不同元素引起X的不同置换(排列)。 [a]在代数术语中，群G忠实地作用于X当且仅当对称群 G → Sym( X)，有一个平凡的核。因此，对于忠实作用，G嵌入到 X上的置换群中；具体来说，G与其在Sym(X)中的像同构。如果G不忠实于X，我们可很容易地修改群以获得忠实的作用。如定 N = {g in G : g⋅x = x for all x in X}，则N是G的正规子群；实际上，它是同态G →Sym(X) 的核。因子群G/N通过设置(gN)⋅x = g⋅x 忠实地作用于 X。当且仅当N = {e} 时G对X的原始作用是忠实的。对于相同大小的，群可定义忠实作用的最小集合可能会有很大差异。例如：
三个大小为 120 的群是对称群 S5、二十面体群和循环群Z/120Z可定义忠实作用的最小集合的大小分别为 5、12 和 16。
大小为2^n的阿贝尔群包括循环群(Z/(2^nZ)或(Z/2Z)^n(Z/(2Z)的n个副本的直积，但后者忠实地作用于大小为 2n 的集合，而前者不能在比它小的集合上忠实地作用。
自由或半正则或无不动点：如果给定g, h在G 中，x中存在x且g⋅x = h⋅x 意味着g = h。等价地：若g是一个群元素且在X中存在一个x且g⋅x = x (即若g至少有一个不动点)，则g是恒等式。请注意非空集合上的自由作用是忠实的。
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三. 轨道和稳定子
1. 轨道(orbits)
考虑作用在集合X上的群G。 X中元素x的轨道是 X 中元素的集合，G 的元素可将x移动到该集合。 x的轨道由G⋅x表示：
G ⋅ x = {g ⋅ x | g ∈ G };
群的定义性质保证在G的作用下(点 x in)X的轨道集合形成X的一个划分。相关的等价关系定义为x ∼ y当且仅当G中存在g且g⋅x = y。那么轨道就是这个关系下的等价类；两个元素 x和y是等价的，当且仅当它们的轨道相同，即 G⋅x = G⋅y。
群作用是可传递的，当且仅当它只有一个轨道，也就是说，如果在X中存在x且G⋅x = X。这是当且仅当G⋅x = X对于X中的所有x (鉴于X非空）。
在G的作用下X的所有轨道的集合被写为X/G(或G\X)且被称为作用的商。在几何情况下，它可能被称为轨道空间，而在代数情况下，它可能被称为共变量空间，并写作XG，与不变量(不动点)相反，表示为XG：共变量是商，而不变量是一个子集。共变术语和符号特别用于群上同调和群同调，它们使用相同的上标/下标约定。
2. 不变子空间
3. 不动点和稳定子群(stabilizers)
给定G中的g和X中的x且 g⋅x = x，可以说“x 是g的不动点”或“g 固定 x”。对于X中的每个 x，G 相对于x的稳定子群（也称为各向同性群或小群 [7]）是 G 中所有固定 x 的元素的集合：
G_{x}= {g ∈ G | g ⋅ x = x};
这是G的一个子群，虽然通常不是正规的。当且仅当所有稳定器都是平凡的时，G对X的作用是自由的。具有对称群G → Sym(X)的同态的核N由X中所有x的稳定子Gx的交集给出。如果N是平凡的，那么称该动作是忠实的或有效的。
设x和y是X中的两个元素，设g是一个群元素，使得y = g⋅x。那么两个稳定子群Gx 和 Gy 的关系为 Gy = g Gx g^(−1)。证明：根据定义，h ∈ Gy 当且仅当 h⋅(g⋅x) = g⋅x。将g^(−1) 应用于这个等式的两边产生(g^(−1)hg)⋅x = x；即g^(−1)hg ∈ Gx。通过取 h∈Gx并假设x = g^(−1)⋅y 类似地遵循相反的包含。
上面说在同一轨道上的元素的稳定子是相互共轭的。因此，对于每个轨道，我们可将G的一个子群即该子群的所有共轭的集合的一个共轭类相关联。令(H)表示H的共轭类。那么轨道O的类型为(H)。如果稳定子G_{x}在轨道O中的一些/任何x属于(H)。最大轨道类型通常称为主轨道类型。
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