#数学趣题#
一次奇妙的数学之旅
丢番图方程(a^2+b^2)(c^2+d^2)=n^2求解
yuange
一、问题
丢番图方程(a^2+b^2)(c^2+d^2)=n^2 (1)的正整数解。
因为齐次，可以只考虑（a,b)*(c,d)=1。
(1)可以等效转化成(1+A^2)(1+B^2)=C^2 (2)的有理数解。
(2)再变化一下(1+A^2)^0.5/(1+B^2)^0.5=m
(1+a^2)^0.5/(1+b^2)^0.5=m (3)
a、b、m的有理数解。
(3)的形式想到了什么？
过原点位于第一象限斜率为a、b的两条直线，其角平分线斜率为k。做直线x=1，由角平分线得到:
(1+a^2)^0.5/(1+b^2)^0.5=m=(a-k)/(k-b)
k=b+(a-b)/(m+1)
k、m同为有理数或者无理数。巧妙的把根号去掉了，成了多项式了。
用三角函数得到：
tanx=a
tan(x+y)=k
tan(x+2y)=b
b>=k>=a>0
b=tan((x+y)+(x+y-x))
=(k+(k-a)/(1+ka))/(1-k*(k-a)/(1+ka))
b=(2k-a+ak^2)/(1+2ka-k^2) (4)
(a+b)k^2+(2-2ab)k-(a+b)=0
a=tan((x+y)+(x+y-(x+2y)))
a、b是对称的，(4)中a、b可以互换。
(3)和(4)等价，任意给定a、k就能确定b了。
(4)可以简单的看出，k=2a是一个a、b的正整数解，可以进一步得到其它正整数解。
a=A/X，(A,X)=1
k=K/Y，(K,Y)=1
b=(2k-a+ak^2)/(1+2ka-k^2)
=(2KXY-AY^2+AK^2)/(XY^2+2KAY-K^2X)
b=(A(K^2-Y^2)+2XKY)/(2AKY-X(K^2-Y^2))
=c/d
（A^2+X^2)((A(K^2-Y^2)+2XKY)^2+(2AKY-X(K^2-Y^2))^2)
（A^2+X^2)((A*(K^2-Y^2)+2X*K*Y)^2+(2A*K*Y-X*(K^2-Y^2))^2)
=(A^2+X^2)^2*(Y^2+K^2)^2
(A^2+X^2)*(c^2+d^2)*m^2=n^2
c^2+d^2=(a(K^2-Y^2)+2bKY)^2+(2aKY-b(K^2-Y^2))^2
A,X,K,Y,4个自由度。
二、有趣的正整数解
考虑(1+a^2)(1+b^2)=c^2 (2)的正整数解。
b=(2k-a+ak^2)/(1+2ka-k^2) (4)
(4)可以简单的看出，k=2a是一个a、b的正整数解，可以进一步得到其它正整数解。研究后发现有一个递推多项式都满足。
多项式数列f(n,x)
f(1,x)=x
f(2,x)=4x^3+3x
f(n+1,x)=(4x^2+2)*f(n,x)-f(n-1,x) (5)
f(3,x)=16x^5+20x^3+5x
f(4,x)=64x^7+112x^5+56x^3+7x
f(5,x)=256x^9+576x^7+432x^5+120x^3+9x
x为任意正整数，任意f(n,x)就是(2)中a、b的一个解。
相同项（k=a=b)或者相邻项可以得到a、b、k的正整数解。
f(n,a)
=1/2*((1+a^2)^0.5-a)*(2*a^2+1+2*a*(1+a^2)^0.5)^n
-1/2*((1+a^2)^0.5+a)*(2*a^2+1-2*a*(1+a^2)^0.5)^n (6)
=1/2*(1+a^2)^0.5*((2*a^2+1+2*a*(1+a^2)^0.5)^n-(2*a^2+1-2*a*(1+a^2)^0.5)^n)-1/2*a*((2*a^2+1+2*a*(1+a^2)^0.5)^n+(2*a^2+1-2*a*(1+a^2)^0.5)^n)
1，7，41，239，1393,8119,47321,275807,1607521,… 2，38，682，12238，219602,… 3,117,4443,168717,6406803,… 4,268,17684,1166876,… 5,515,52525,5457035,… 6,882,128766,18798954,… 7,1393,275807,54608393,…
上面分别是a=1-7的结果，一行里相邻两个数为斜率过原点的直线，角平分线斜率也为整数。
如果a是f(n,b)的一个值，其整个f(n,a)就是f(n,b)的一个子序列。
三、再扩展
(a^2+b^2)=n^2*m (7）
1+a^2=n^2*m (8)
m不是完全平方数，否则方程太平凡。
对于素数p，a^2+b^2=c^2*p (9）
费马定理，p=4k+3无解，否则有c=1的解。
(a^2+b^2)*p1*(c^2+d^2)*p2=((ac+bd)^2+(ad-bc)^2)*(p1*p2)
所以m有4k+3的的1次质因子(7)就无解，否则有解。
(8）是(7)的一个子集，看看有什么结果。
1+a^2=n^2*m (8)变换一下就是a^2-m*n^2=-1就是著名的pell方程二型。m^0.5是奇偶连分数对应无解和有解，解的通用表达式也都有了。
还和著名的丢番图数论pell方程发生了联系，这方程涌现了费马、拉格朗日、欧拉等一帮大牛人。
(9)也可以看成a^2-d*b^2=c(10) 广义pell方程特殊形式。
(8)二型pell方程可以说是所有的pell方程（10）的最本原问题，因为(-1)^2=1，所以如果得到二型的解，两个二型乘积一下就能得到一型，再变换就可以得到广义的解。但有些d是偶连分数，只能得到1而不能得到-1。
(1+a^2)(1+b^2)=n^2 （2）也是pell方程相关，独立得到了二类pell方程(8)通解形式的解。
(5)、（6）这个f(n,a）实际上给出了所有二型pell方程的通解，以及递推形式。
pell方程比较有意思，对数论有兴趣的可以去看看，这个已经完全解决了，这里就不再展开讲了。对数论有兴趣的还可以去看看连分数。连分数对于数的分数逼近具有最佳的效果，以及数论同余简直太重要了，有幸初中接触了一本薄薄的《连分数》，不记得谁写的了，那时候真的是觉得太神奇了。祖冲之得到圆周率Pi的一些近似数值，要用有理的分数表示就可以用连分数来算。
连分数的相邻项积的差值+-1交替出现，这个+-1就是整数的基础，所以很多结果都和它有关。因为是交替出现，所以很多时候也有奇偶问题，对于有些情况比如pell方程的二型的有些m本原就是1，得不到-1就无解。
连分数的介绍：
https://t.cn/RiLQxCL连分数/2715871
四、问题缘由
问题来源于求一道角平分线斜率的题，两条整数斜率的直线发现角平分线不是整数，于是研究什么情况三条线斜率都是整数。竟然发现奇妙的和常见的一个pell丢番图方程是一个问题。
这个扩展也算实现了数学世界里的一次奇妙旅行，走了费马、欧拉等大牛数学家的一次旅游路线。
到了这里，终于算是可以结题了。[微笑]
一次奇妙的数学之旅
丢番图方程(a^2+b^2)(c^2+d^2)=n^2求解
yuange
一、问题
丢番图方程(a^2+b^2)(c^2+d^2)=n^2 (1)的正整数解。
因为齐次，可以只考虑（a,b)*(c,d)=1。
(1)可以等效转化成(1+A^2)(1+B^2)=C^2 (2)的有理数解。
(2)再变化一下(1+A^2)^0.5/(1+B^2)^0.5=m
(1+a^2)^0.5/(1+b^2)^0.5=m (3)
a、b、m的有理数解。
(3)的形式想到了什么？
过原点位于第一象限斜率为a、b的两条直线，其角平分线斜率为k。做直线x=1，由角平分线得到:
(1+a^2)^0.5/(1+b^2)^0.5=m=(a-k)/(k-b)
k=b+(a-b)/(m+1)
k、m同为有理数或者无理数。巧妙的把根号去掉了，成了多项式了。
用三角函数得到：
tanx=a
tan(x+y)=k
tan(x+2y)=b
b>=k>=a>0
b=tan((x+y)+(x+y-x))
=(k+(k-a)/(1+ka))/(1-k*(k-a)/(1+ka))
b=(2k-a+ak^2)/(1+2ka-k^2) (4)
(a+b)k^2+(2-2ab)k-(a+b)=0
a=tan((x+y)+(x+y-(x+2y)))
a、b是对称的，(4)中a、b可以互换。
(3)和(4)等价，任意给定a、k就能确定b了。
(4)可以简单的看出，k=2a是一个a、b的正整数解，可以进一步得到其它正整数解。
a=A/X，(A,X)=1
k=K/Y，(K,Y)=1
b=(2k-a+ak^2)/(1+2ka-k^2)
=(2KXY-AY^2+AK^2)/(XY^2+2KAY-K^2X)
b=(A(K^2-Y^2)+2XKY)/(2AKY-X(K^2-Y^2))
=c/d
（A^2+X^2)((A(K^2-Y^2)+2XKY)^2+(2AKY-X(K^2-Y^2))^2)
（A^2+X^2)((A*(K^2-Y^2)+2X*K*Y)^2+(2A*K*Y-X*(K^2-Y^2))^2)
=(A^2+X^2)^2*(Y^2+K^2)^2
(A^2+X^2)*(c^2+d^2)*m^2=n^2
c^2+d^2=(a(K^2-Y^2)+2bKY)^2+(2aKY-b(K^2-Y^2))^2
A,X,K,Y,4个自由度。
二、有趣的正整数解
考虑(1+a^2)(1+b^2)=c^2 (2)的正整数解。
b=(2k-a+ak^2)/(1+2ka-k^2) (4)
(4)可以简单的看出，k=2a是一个a、b的正整数解，可以进一步得到其它正整数解。研究后发现有一个递推多项式都满足。
多项式数列f(n,x)
f(1,x)=x
f(2,x)=4x^3+3x
f(n+1,x)=(4x^2+2)*f(n,x)-f(n-1,x) (5)
f(3,x)=16x^5+20x^3+5x
f(4,x)=64x^7+112x^5+56x^3+7x
f(5,x)=256x^9+576x^7+432x^5+120x^3+9x
x为任意正整数，任意f(n,x)就是(2)中a、b的一个解。
相同项（k=a=b)或者相邻项可以得到a、b、k的正整数解。
f(n,a)
=1/2*((1+a^2)^0.5-a)*(2*a^2+1+2*a*(1+a^2)^0.5)^n
-1/2*((1+a^2)^0.5+a)*(2*a^2+1-2*a*(1+a^2)^0.5)^n (6)
=1/2*(1+a^2)^0.5*((2*a^2+1+2*a*(1+a^2)^0.5)^n-(2*a^2+1-2*a*(1+a^2)^0.5)^n)-1/2*a*((2*a^2+1+2*a*(1+a^2)^0.5)^n+(2*a^2+1-2*a*(1+a^2)^0.5)^n)
1，7，41，239，1393,8119,47321,275807,1607521,… 2，38，682，12238，219602,… 3,117,4443,168717,6406803,… 4,268,17684,1166876,… 5,515,52525,5457035,… 6,882,128766,18798954,… 7,1393,275807,54608393,…
上面分别是a=1-7的结果，一行里相邻两个数为斜率过原点的直线，角平分线斜率也为整数。
如果a是f(n,b)的一个值，其整个f(n,a)就是f(n,b)的一个子序列。
三、再扩展
(a^2+b^2)=n^2*m (7）
1+a^2=n^2*m (8)
m不是完全平方数，否则方程太平凡。
对于素数p，a^2+b^2=c^2*p (9）
费马定理，p=4k+3无解，否则有c=1的解。
(a^2+b^2)*p1*(c^2+d^2)*p2=((ac+bd)^2+(ad-bc)^2)*(p1*p2)
所以m有4k+3的的1次质因子(7)就无解，否则有解。
(8）是(7)的一个子集，看看有什么结果。
1+a^2=n^2*m (8)变换一下就是a^2-m*n^2=-1就是著名的pell方程二型。m^0.5是奇偶连分数对应无解和有解，解的通用表达式也都有了。
还和著名的丢番图数论pell方程发生了联系，这方程涌现了费马、拉格朗日、欧拉等一帮大牛人。
(9)也可以看成a^2-d*b^2=c(10) 广义pell方程特殊形式。
(8)二型pell方程可以说是所有的pell方程（10）的最本原问题，因为(-1)^2=1，所以如果得到二型的解，两个二型乘积一下就能得到一型，再变换就可以得到广义的解。但有些d是偶连分数，只能得到1而不能得到-1。
(1+a^2)(1+b^2)=n^2 （2）也是pell方程相关，独立得到了二类pell方程(8)通解形式的解。
(5)、（6）这个f(n,a）实际上给出了所有二型pell方程的通解，以及递推形式。
pell方程比较有意思，对数论有兴趣的可以去看看，这个已经完全解决了，这里就不再展开讲了。对数论有兴趣的还可以去看看连分数。连分数对于数的分数逼近具有最佳的效果，以及数论同余简直太重要了，有幸初中接触了一本薄薄的《连分数》，不记得谁写的了，那时候真的是觉得太神奇了。祖冲之得到圆周率Pi的一些近似数值，要用有理的分数表示就可以用连分数来算。
连分数的相邻项积的差值+-1交替出现，这个+-1就是整数的基础，所以很多结果都和它有关。因为是交替出现，所以很多时候也有奇偶问题，对于有些情况比如pell方程的二型的有些m本原就是1，得不到-1就无解。
连分数的介绍：
https://t.cn/RiLQxCL连分数/2715871
四、问题缘由
问题来源于求一道角平分线斜率的题，两条整数斜率的直线发现角平分线不是整数，于是研究什么情况三条线斜率都是整数。竟然发现奇妙的和常见的一个pell丢番图方程是一个问题。
这个扩展也算实现了数学世界里的一次奇妙旅行，走了费马、欧拉等大牛数学家的一次旅游路线。
到了这里，终于算是可以结题了。[微笑]
#offtay[超话]#
神奇的脑洞：等你下课之offtay版本[doge]（可能是tayoff[求关注][羞嗒嗒][羞嗒嗒]）朱拉隆功x艺术大学[ok]
“p'tay，那个艺术大学的帅哥又来接你了欸。”
“嗷，他什么时候来的？”
“就在刚才，学妹亲你、大家起哄的时候。”
tay：！！
学姐问：他是你的谁啊。
tay无奈地两手一摊：就是一个朋友。
虽然亲密无间，但真的是朋友。
仪仗队的学姐笑嘻嘻地说：那个艺术大学的帅哥天天来接你，他有没有女朋友啊？你这排练的一个月，他每天下午杵着门口等你，又高又白，就像韩国欧巴……隔壁社团都来眼红，还问是不是我们招的新学弟呢。
tay赶紧问：他现在去哪了？
学姐耸耸肩：刚摔门走了。
tay：……
时间倒回到一刻钟以前。
仪仗队和戏剧团排练，底下的学弟学妹非起哄把tay往中央拱，说戏剧社的社长人美声甜，配他们帅气内敛的仪仗队队长正好。
tay只想逃跑。这种场面他应对不来，也没兴趣。
然而大家还说什么“好配啊，校之月和校之星在一起”之类的，起哄说亲一下脸。
后面的人推了tay一把，虽然没碰到，但是靠的很近，大家都以为亲到了。
拿脚趾头都能猜到，E'off肯定也是这么以为的。tay想。
tay扶额和叹息，今天真的诸事不顺，估计穿衣服颜色选错了。
tay出去找off，正好被戏剧社的副社长看到了。副社长是个愣头青，看tay一脸急色，就悄悄跟在tay后面，想看看他去干什么。
off在树下，一看到tay转身就要走，tay眼疾手快抓住他的包，说：等多久了？生气了？
突然，off把身边的易拉罐朝垃圾桶用力一踢。
哐！
易拉罐撞到垃圾桶，掉在地上。它的表面凹了进去。
off把易拉罐捡起来，慢慢丢进垃圾桶。
他转过身来，轻描淡写地说：我不生气啊。
行了，tay想，这人估计已经烧成小火苗了。
tay拽住他的手臂说：你不生气是吧，好啊，那跟我去吃饭。
off挣开他，冷笑道：亲都亲上了，怎么不找你的校之星吃饭？郎才女貌，我可不做电灯泡。
俩人的动作都不小，远远看来就像打架前的推搡。
后面跟着的副社长慌了，外校的人来找茬了，两人要打在一起了！
他立刻跑过去，分开两个人，然后把off狠狠一推。
off往后踉跄了两步，tay立刻伸手，想去拉他。
戏剧副社长直接一个箭步，把tay挡在身后，恶狠狠对off说：少来朱拉找茬！你喜欢我们社长就自己去追，别来找p’tay的麻烦！
off&tay：？？？
off用眼神询问tay：这谁？你们仪仗队的？
tay迷惑地摇摇头，用眼神说：不认识啊。
tay听到这人说社长，就明白应该是戏剧社的人，说：nong，你误会了，我和他其实……
副社长打断他说：p’tay，你就是人太好了。你别为他说话了，这个人天天下午来守着看我们社长！你和我们社长两情相悦，不用怕这种人。
tay：……
其实，呃，他应该不是来看你们社长的，tay腹诽，看来今天真的出门没看幸运色表。
这傻帽到底从哪冒出来的？
off听到这也明白了，敢情这小子以为自己喜欢那个校之星，和tay是竞争对手。
off一眼都没看他们中间的那个副社长，他的眼神穿过那个人，直勾勾地盯着tay。
——朋，两情相悦是真的吗？
off直接说。
tay迎着他的目光，一点儿也没躲，定定地开口：你说过我说啥你都信，你的话还算数吗？
off点头，眼睛里有一点点亮光。
tay注视着他说：两情相悦是假的。
off拍拍衣服上的灰，随意说：那行了，走吧。我可不做拆鸳鸯的罪人。
tay忍不住笑了，off看起来瞬间就偃旗息鼓了。不，是熄火。
这回轮到副社长懵了：你们，你们不打架啊？
off没理他，走到tay身边，催他快点走。
tay朝那个副社长笑了笑，说了个再见。副社长呆呆地跟他们挥了挥手。
等那个副社长跟他们离得远了，tay把手伸进off上衣的口袋里，调笑道：这下不生气了？
off一只手和他插在同一个口袋里，另一只手佯装要去打tay的头。
tay的头一歪，朝他做了个鬼脸。
off任由tay的手在自己口袋里动来动去，漫不经心地说：我还生着气呢，我就喜欢那个校之星，是你的竞争对手，你最好跟我保持距离。
tay敷衍地回答：嗯嗯，好的。
随即却跟他靠得更近，肩膀挤肩膀。
off半真半假地说：你究竟跟谁两情相悦？校之星应该没我帅吧。
tay凑近他，笑眯眯地说：人家是美女，你却和别人比帅。缺不缺德？真记仇，肚量比芝麻还小。
tay的一只手还在off的口袋里，悄悄握住他的手，然后一点点摩挲着，逐渐变成和他十指相扣。
off感觉到了什么，偏头看了他一眼。
tay无辜地回看他。
一秒。
两秒。
……
off眨眨眼睛，眼角微微藏着一点笑，不着痕迹得捏了捏tay的手：我饿了。
tay说：那我带你去吃意面，上次说好的。
off说：好，但我不要番茄、不要酱。
---------------------------------
[哆啦A梦微笑]off：快带我去吃饭！两情相悦又不能当饭吃。
[怒骂]tay：你太挑食了！饿着算了！
新年终于牵手手了[吃瓜]简单来说，我想两个宝了[衰]
神奇的脑洞：等你下课之offtay版本[doge]（可能是tayoff[求关注][羞嗒嗒][羞嗒嗒]）朱拉隆功x艺术大学[ok]
“p'tay，那个艺术大学的帅哥又来接你了欸。”
“嗷，他什么时候来的？”
“就在刚才，学妹亲你、大家起哄的时候。”
tay：！！
学姐问：他是你的谁啊。
tay无奈地两手一摊：就是一个朋友。
虽然亲密无间，但真的是朋友。
仪仗队的学姐笑嘻嘻地说：那个艺术大学的帅哥天天来接你，他有没有女朋友啊？你这排练的一个月，他每天下午杵着门口等你，又高又白，就像韩国欧巴……隔壁社团都来眼红，还问是不是我们招的新学弟呢。
tay赶紧问：他现在去哪了？
学姐耸耸肩：刚摔门走了。
tay：……
时间倒回到一刻钟以前。
仪仗队和戏剧团排练，底下的学弟学妹非起哄把tay往中央拱，说戏剧社的社长人美声甜，配他们帅气内敛的仪仗队队长正好。
tay只想逃跑。这种场面他应对不来，也没兴趣。
然而大家还说什么“好配啊，校之月和校之星在一起”之类的，起哄说亲一下脸。
后面的人推了tay一把，虽然没碰到，但是靠的很近，大家都以为亲到了。
拿脚趾头都能猜到，E'off肯定也是这么以为的。tay想。
tay扶额和叹息，今天真的诸事不顺，估计穿衣服颜色选错了。
tay出去找off，正好被戏剧社的副社长看到了。副社长是个愣头青，看tay一脸急色，就悄悄跟在tay后面，想看看他去干什么。
off在树下，一看到tay转身就要走，tay眼疾手快抓住他的包，说：等多久了？生气了？
突然，off把身边的易拉罐朝垃圾桶用力一踢。
哐！
易拉罐撞到垃圾桶，掉在地上。它的表面凹了进去。
off把易拉罐捡起来，慢慢丢进垃圾桶。
他转过身来，轻描淡写地说：我不生气啊。
行了，tay想，这人估计已经烧成小火苗了。
tay拽住他的手臂说：你不生气是吧，好啊，那跟我去吃饭。
off挣开他，冷笑道：亲都亲上了，怎么不找你的校之星吃饭？郎才女貌，我可不做电灯泡。
俩人的动作都不小，远远看来就像打架前的推搡。
后面跟着的副社长慌了，外校的人来找茬了，两人要打在一起了！
他立刻跑过去，分开两个人，然后把off狠狠一推。
off往后踉跄了两步，tay立刻伸手，想去拉他。
戏剧副社长直接一个箭步，把tay挡在身后，恶狠狠对off说：少来朱拉找茬！你喜欢我们社长就自己去追，别来找p’tay的麻烦！
off&tay：？？？
off用眼神询问tay：这谁？你们仪仗队的？
tay迷惑地摇摇头，用眼神说：不认识啊。
tay听到这人说社长，就明白应该是戏剧社的人，说：nong，你误会了，我和他其实……
副社长打断他说：p’tay，你就是人太好了。你别为他说话了，这个人天天下午来守着看我们社长！你和我们社长两情相悦，不用怕这种人。
tay：……
其实，呃，他应该不是来看你们社长的，tay腹诽，看来今天真的出门没看幸运色表。
这傻帽到底从哪冒出来的？
off听到这也明白了，敢情这小子以为自己喜欢那个校之星，和tay是竞争对手。
off一眼都没看他们中间的那个副社长，他的眼神穿过那个人，直勾勾地盯着tay。
——朋，两情相悦是真的吗？
off直接说。
tay迎着他的目光，一点儿也没躲，定定地开口：你说过我说啥你都信，你的话还算数吗？
off点头，眼睛里有一点点亮光。
tay注视着他说：两情相悦是假的。
off拍拍衣服上的灰，随意说：那行了，走吧。我可不做拆鸳鸯的罪人。
tay忍不住笑了，off看起来瞬间就偃旗息鼓了。不，是熄火。
这回轮到副社长懵了：你们，你们不打架啊？
off没理他，走到tay身边，催他快点走。
tay朝那个副社长笑了笑，说了个再见。副社长呆呆地跟他们挥了挥手。
等那个副社长跟他们离得远了，tay把手伸进off上衣的口袋里，调笑道：这下不生气了？
off一只手和他插在同一个口袋里，另一只手佯装要去打tay的头。
tay的头一歪，朝他做了个鬼脸。
off任由tay的手在自己口袋里动来动去，漫不经心地说：我还生着气呢，我就喜欢那个校之星，是你的竞争对手，你最好跟我保持距离。
tay敷衍地回答：嗯嗯，好的。
随即却跟他靠得更近，肩膀挤肩膀。
off半真半假地说：你究竟跟谁两情相悦？校之星应该没我帅吧。
tay凑近他，笑眯眯地说：人家是美女，你却和别人比帅。缺不缺德？真记仇，肚量比芝麻还小。
tay的一只手还在off的口袋里，悄悄握住他的手，然后一点点摩挲着，逐渐变成和他十指相扣。
off感觉到了什么，偏头看了他一眼。
tay无辜地回看他。
一秒。
两秒。
……
off眨眨眼睛，眼角微微藏着一点笑，不着痕迹得捏了捏tay的手：我饿了。
tay说：那我带你去吃意面，上次说好的。
off说：好，但我不要番茄、不要酱。
---------------------------------
[哆啦A梦微笑]off：快带我去吃饭！两情相悦又不能当饭吃。
[怒骂]tay：你太挑食了！饿着算了！
新年终于牵手手了[吃瓜]简单来说，我想两个宝了[衰]
有哪些20岁不信，30岁却深信不疑的道理？
1.早起的人，远比熬夜的人可怕。
2.入错行，泪两行。
3.最短的距离是从手到嘴，最长的距离是从说到做。
4.不谈恋爱死不了，脱贫比脱单更重要。
5.不要跟眼界不一样的人争辩。
6.做你害怕做的事情，然后你发现，不过如此。
7.三观不合真的很难做朋友，因为思想，经历，感官，全都不一样。就像我说大海很漂亮，你却说淹死过很多人。
8.年轻的时候，我们爱得死去活来，可随着年岁渐长，你就会发现，爱情并不是生活的全部。
善良，努力，读书，健身，让自己变得更好才是人生最重要的事。
9.如果你丢了一部iPhone6s，你妈妈知道了又给你买了一部iPhone7，你还是会很高兴；如果你的对象跟你分手，但是你爱慕已久的男神却跟你表白，你还是会不由自主地高兴起来。
人们并不是害怕失去，而是害怕失去以后没有更好的可以代替。
10.如果你是对的，你没必要发脾气；如果你是错的，你没资格发脾气。
11.求人不如求己，靠得住的永远都是自己。
12.再爱的前任，提一次复合就够了，你可以爱三五个人渣，但你不能爱一个人渣三五次。
13.生活是否永远艰辛？总是如此。成人的世界里，本没有容易二字。
14.结婚过日子，钱真的很重要。
15.能用钱解决的事情，千万不要用人情。
16.便宜的东西，只有在你买的那一刻是开心的，用的时侯没有一天是开心的；品质好的东西，给钱那一刻是心疼的，用的时侯每天都是快乐的，感觉特别值得。
17.你越在意什么，什么就会折磨你。
18.所有的失恋都是在给真爱铺路。
19.想送你回家的人，东南西北都顺路；愿陪你吃饭的人，酸甜苦辣都爱吃；想见你的人，千山万水都能赶来。
20.那些依靠投机取巧走上“人生巅峰”的人，总有一天，会因为一件不经意的小事露出马脚。
21.没有那么多人关注你，所以，放轻松点，你没有那么多观众。
22.有时候，你把别人当好朋友，但人家并没有这么想。你所有的朋友都活着，但你还会感到孤独。
23.永远不要忘记善良。但也不要“过于”善良，因为人们只会挑软柿子捏。
24.无论是友情还是爱情，跟谁在一起舒服就和谁在一起，累了就躲远一点。你取悦别人的模样，真的不好看。
25.一个人不主动联系你就是不想你，也可能就是不喜欢你；对话时总是三言两语就是对你没兴趣；说一大串走心的话 却没有实际行动的就是把你当备胎。不要再为别人找借口了，事实上，Ta没那么喜欢你，尽快直面或者放弃吧。
26.别不好意思拒绝，那些好意思为难你的人，反正也都不是什么好人。
27.在利益面前，感情是次要的。利益一致的人，讨厌的人也可以变成同 盟队 友。利 益冲 突，再亲密的朋友也可能变成敌人。
28.如果不能感同身受，就不要肆意地妄加评判。
29.当你不确定Ta爱不爱你的时候，那么能确定的是，Ta已经不爱你了。
30.不要忘记爱父母，他们会永远对你好。
31.所有关系变淡的原因：一个不说，一个不问；或者一个问得尴尬，一个答得敷衍。
32.你开始背后说别人的时候，你就已经输了。把别人当成议论的话题，而别人却觉得你不值一提。
33.走路抬头挺胸。心情不好时，不想跟人招呼，点头微笑，径直走过。
34.不要随意发脾气，谁都不欠你的。
35.别低估任何人。
36.过去的事情可以不忘记，但一定要放下。
37.社 会是有等 级的，很多事不公平，别抱怨，因为没有用 。
38.学会妥协的同时，也要坚持自己最基本的原则。
39.赠人玫瑰，手留余香。
1.早起的人，远比熬夜的人可怕。
2.入错行，泪两行。
3.最短的距离是从手到嘴，最长的距离是从说到做。
4.不谈恋爱死不了，脱贫比脱单更重要。
5.不要跟眼界不一样的人争辩。
6.做你害怕做的事情，然后你发现，不过如此。
7.三观不合真的很难做朋友，因为思想，经历，感官，全都不一样。就像我说大海很漂亮，你却说淹死过很多人。
8.年轻的时候，我们爱得死去活来，可随着年岁渐长，你就会发现，爱情并不是生活的全部。
善良，努力，读书，健身，让自己变得更好才是人生最重要的事。
9.如果你丢了一部iPhone6s，你妈妈知道了又给你买了一部iPhone7，你还是会很高兴；如果你的对象跟你分手，但是你爱慕已久的男神却跟你表白，你还是会不由自主地高兴起来。
人们并不是害怕失去，而是害怕失去以后没有更好的可以代替。
10.如果你是对的，你没必要发脾气；如果你是错的，你没资格发脾气。
11.求人不如求己，靠得住的永远都是自己。
12.再爱的前任，提一次复合就够了，你可以爱三五个人渣，但你不能爱一个人渣三五次。
13.生活是否永远艰辛？总是如此。成人的世界里，本没有容易二字。
14.结婚过日子，钱真的很重要。
15.能用钱解决的事情，千万不要用人情。
16.便宜的东西，只有在你买的那一刻是开心的，用的时侯没有一天是开心的；品质好的东西，给钱那一刻是心疼的，用的时侯每天都是快乐的，感觉特别值得。
17.你越在意什么，什么就会折磨你。
18.所有的失恋都是在给真爱铺路。
19.想送你回家的人，东南西北都顺路；愿陪你吃饭的人，酸甜苦辣都爱吃；想见你的人，千山万水都能赶来。
20.那些依靠投机取巧走上“人生巅峰”的人，总有一天，会因为一件不经意的小事露出马脚。
21.没有那么多人关注你，所以，放轻松点，你没有那么多观众。
22.有时候，你把别人当好朋友，但人家并没有这么想。你所有的朋友都活着，但你还会感到孤独。
23.永远不要忘记善良。但也不要“过于”善良，因为人们只会挑软柿子捏。
24.无论是友情还是爱情，跟谁在一起舒服就和谁在一起，累了就躲远一点。你取悦别人的模样，真的不好看。
25.一个人不主动联系你就是不想你，也可能就是不喜欢你；对话时总是三言两语就是对你没兴趣；说一大串走心的话 却没有实际行动的就是把你当备胎。不要再为别人找借口了，事实上，Ta没那么喜欢你，尽快直面或者放弃吧。
26.别不好意思拒绝，那些好意思为难你的人，反正也都不是什么好人。
27.在利益面前，感情是次要的。利益一致的人，讨厌的人也可以变成同 盟队 友。利 益冲 突，再亲密的朋友也可能变成敌人。
28.如果不能感同身受，就不要肆意地妄加评判。
29.当你不确定Ta爱不爱你的时候，那么能确定的是，Ta已经不爱你了。
30.不要忘记爱父母，他们会永远对你好。
31.所有关系变淡的原因：一个不说，一个不问；或者一个问得尴尬，一个答得敷衍。
32.你开始背后说别人的时候，你就已经输了。把别人当成议论的话题，而别人却觉得你不值一提。
33.走路抬头挺胸。心情不好时，不想跟人招呼，点头微笑，径直走过。
34.不要随意发脾气，谁都不欠你的。
35.别低估任何人。
36.过去的事情可以不忘记，但一定要放下。
37.社 会是有等 级的，很多事不公平，别抱怨，因为没有用 。
38.学会妥协的同时，也要坚持自己最基本的原则。
39.赠人玫瑰，手留余香。
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