“忠诚奉献，逐梦蓝天”，描绘航天人的理想、奋斗及赤子之心的《逐梦蓝天》也到了27（在地方卫视台），飞鹰首次试飞成功了！是一部十分感动人（航天事业的塑造者之精神）和打动人（有他们作为平凡人的情感与家庭）的好剧，贯穿了七十年的航空工业发展史，足足三代航空人的奋斗，以一种恰如其分的表现向我们娓娓道来—对，我得把最前面的一些剧集补回来！秦天和赵德良，是俩代表人物，一个是战斗机飞行员转型的飞机工程师，一个是西北工业大学的学霸、飞机痴，他们年轻时候第一次相遇就觉得对方很熟悉，此后也就真成了几十年的最佳事业搭档、人生好友，共同的航天目标也是离开其中任何一人都不能达成的，故事应该融合了许多航天原型人物而成其中的角色，演绎得非常好[good]
群作用(Group Action）
在数学中，空间上的群作用是给定群在空间变换群中的群同态。类似地，对一个数学结构的群作用是把一个群的群同态化为该结构的自同态群。据说群体作用于空间或结构。如果一个组对一个结构起作用，那么它通常也会对由该结构构建的对象起作用。例如，欧几里得等距组作用于欧几里得空间，也作用于其中所画的图形。特别地，它作用于所有三角形的集合。类似地，多面体的对称群作用于多面体的顶点、边和面。
在(有限维)向量空间上的群作用称为群表示。它允许用GL(n, K)的子群标识许多群，GL(n, K)是一个域上的维数为n的可逆矩阵群。对称群Sn作用于任何有n个元素的集合，方法是对集合中的元素进行置换。虽然一个集合的所有排列的组形式上依赖于该集合，但是群作用的概念允许人们考虑单个群(不是单群)研究具有相同基数的所有集合的排列。
一. 定义
1. 左群作用
如果G是一个具有单位元素e的群，而X是一个集合，那么G对X的左群作用α是一个函数
α: G x X —> X;
满足以下两个公理：
恒等：α:(e,x) = x；
兼容性：α(g, α(h,x)) = α(gh, z);
当考虑群作用从上下文中明确时，α(g, x) 通常缩短为gx或g⋅x：
恒等：e⋅x = x；
兼容性：g⋅(h,x) = (gh) ⋅ x;
对于G中的所有g和h以及X中的所有的x。据说群G作用于X(从左边开始)。集合X与G的动作一起称为(左)G 集。
根据这两个公理，对于G中的任何固定g，从X到自身的函数把x映射到g ⋅ x是一个双射，反双射是 g^(−1)的对应映射。因此，可以把G对X的群作用等价地定义为从G到从X到其自身的所有双射的对称群Sym(X) 的群同态。
2. 右群作用
同样，G 对 X 的右群作用是一个函数
α: X x G —> X;
考虑的当群作用从上下文中明确时，α(x, g)通常缩短为xg或x⋅g。
满足类似的公理：
恒等：x⋅e = x；
兼容性：(x⋅g) ⋅ h = x ⋅ (gh);
对于G中的所有g和h以及X中的所有x。
左作用和右作用之间的区别在于乘积gh作用于x的顺序。对于左作用，h先作用，然后是g。对于右作用，g先作用，然后是h。由于公式(gh)^(-1) = h^(-1) g^(-1)，可通过组合群的逆运算从右作用构造左作用。同样，群G在X上的右作用可被认为是其相对群G^(op)在X上的左作用。
因此，为建立组动作的一般属性，只考虑左作用就足够。但是，在某些情况下这是不可能的。例如，一个组的乘法导致对组本身的左作用和右作用—分别在左边和右边乘法。
二. 作用类型
G 对X的动作称为：
传递：如果X是非空的并且对于X中的每对x, y存在G中的g使得g⋅x = y，则是可传递的。例如，X的对称群的作用是传递的，向量空间V的一般线性群或特殊线性群对V∖{0} 的作用是传递的，而一个欧几里得的正交群的作用空间E在E∖{0}上不是可传递的(尽管它在E的单位球面上是可传递的)。
如果对于G中的每两个不同的g, h 存在一个x在 X 中使得g⋅x ≠ h⋅x，那么为忠实或有效；或者等效地，如果对于 G 中的每个 g ≠ e，则在X中存在一个x，使得g⋅x ≠ x。换句话说，在忠实群作用中，G 的不同元素引起X的不同置换(排列)。 [a]在代数术语中，群G忠实地作用于X当且仅当对称群 G → Sym( X)，有一个平凡的核。因此，对于忠实作用，G嵌入到 X上的置换群中；具体来说，G与其在Sym(X)中的像同构。如果G不忠实于X，我们可很容易地修改群以获得忠实的作用。如定 N = {g in G : g⋅x = x for all x in X}，则N是G的正规子群；实际上，它是同态G →Sym(X) 的核。因子群G/N通过设置(gN)⋅x = g⋅x 忠实地作用于 X。当且仅当N = {e} 时G对X的原始作用是忠实的。对于相同大小的，群可定义忠实作用的最小集合可能会有很大差异。例如：
三个大小为 120 的群是对称群 S5、二十面体群和循环群Z/120Z可定义忠实作用的最小集合的大小分别为 5、12 和 16。
大小为2^n的阿贝尔群包括循环群(Z/(2^nZ)或(Z/2Z)^n(Z/(2Z)的n个副本的直积，但后者忠实地作用于大小为 2n 的集合，而前者不能在比它小的集合上忠实地作用。
自由或半正则或无不动点：如果给定g, h在G 中，x中存在x且g⋅x = h⋅x 意味着g = h。等价地：若g是一个群元素且在X中存在一个x且g⋅x = x (即若g至少有一个不动点)，则g是恒等式。请注意非空集合上的自由作用是忠实的。
........
三. 轨道和稳定子
1. 轨道(orbits)
考虑作用在集合X上的群G。 X中元素x的轨道是 X 中元素的集合，G 的元素可将x移动到该集合。 x的轨道由G⋅x表示：
G ⋅ x = {g ⋅ x | g ∈ G };
群的定义性质保证在G的作用下(点 x in)X的轨道集合形成X的一个划分。相关的等价关系定义为x ∼ y当且仅当G中存在g且g⋅x = y。那么轨道就是这个关系下的等价类；两个元素 x和y是等价的，当且仅当它们的轨道相同，即 G⋅x = G⋅y。
群作用是可传递的，当且仅当它只有一个轨道，也就是说，如果在X中存在x且G⋅x = X。这是当且仅当G⋅x = X对于X中的所有x (鉴于X非空）。
在G的作用下X的所有轨道的集合被写为X/G(或G\X)且被称为作用的商。在几何情况下，它可能被称为轨道空间，而在代数情况下，它可能被称为共变量空间，并写作XG，与不变量(不动点)相反，表示为XG：共变量是商，而不变量是一个子集。共变术语和符号特别用于群上同调和群同调，它们使用相同的上标/下标约定。
2. 不变子空间
3. 不动点和稳定子群(stabilizers)
给定G中的g和X中的x且 g⋅x = x，可以说“x 是g的不动点”或“g 固定 x”。对于X中的每个 x，G 相对于x的稳定子群（也称为各向同性群或小群 [7]）是 G 中所有固定 x 的元素的集合：
G_{x}= {g ∈ G | g ⋅ x = x};
这是G的一个子群，虽然通常不是正规的。当且仅当所有稳定器都是平凡的时，G对X的作用是自由的。具有对称群G → Sym(X)的同态的核N由X中所有x的稳定子Gx的交集给出。如果N是平凡的，那么称该动作是忠实的或有效的。
设x和y是X中的两个元素，设g是一个群元素，使得y = g⋅x。那么两个稳定子群Gx 和 Gy 的关系为 Gy = g Gx g^(−1)。证明：根据定义，h ∈ Gy 当且仅当 h⋅(g⋅x) = g⋅x。将g^(−1) 应用于这个等式的两边产生(g^(−1)hg)⋅x = x；即g^(−1)hg ∈ Gx。通过取 h∈Gx并假设x = g^(−1)⋅y 类似地遵循相反的包含。
上面说在同一轨道上的元素的稳定子是相互共轭的。因此，对于每个轨道，我们可将G的一个子群即该子群的所有共轭的集合的一个共轭类相关联。令(H)表示H的共轭类。那么轨道O的类型为(H)。如果稳定子G_{x}在轨道O中的一些/任何x属于(H)。最大轨道类型通常称为主轨道类型。
wi/Group_action
在数学中，空间上的群作用是给定群在空间变换群中的群同态。类似地，对一个数学结构的群作用是把一个群的群同态化为该结构的自同态群。据说群体作用于空间或结构。如果一个组对一个结构起作用，那么它通常也会对由该结构构建的对象起作用。例如，欧几里得等距组作用于欧几里得空间，也作用于其中所画的图形。特别地，它作用于所有三角形的集合。类似地，多面体的对称群作用于多面体的顶点、边和面。
在(有限维)向量空间上的群作用称为群表示。它允许用GL(n, K)的子群标识许多群，GL(n, K)是一个域上的维数为n的可逆矩阵群。对称群Sn作用于任何有n个元素的集合，方法是对集合中的元素进行置换。虽然一个集合的所有排列的组形式上依赖于该集合，但是群作用的概念允许人们考虑单个群(不是单群)研究具有相同基数的所有集合的排列。
一. 定义
1. 左群作用
如果G是一个具有单位元素e的群，而X是一个集合，那么G对X的左群作用α是一个函数
α: G x X —> X;
满足以下两个公理：
恒等：α:(e,x) = x；
兼容性：α(g, α(h,x)) = α(gh, z);
当考虑群作用从上下文中明确时，α(g, x) 通常缩短为gx或g⋅x：
恒等：e⋅x = x；
兼容性：g⋅(h,x) = (gh) ⋅ x;
对于G中的所有g和h以及X中的所有的x。据说群G作用于X(从左边开始)。集合X与G的动作一起称为(左)G 集。
根据这两个公理，对于G中的任何固定g，从X到自身的函数把x映射到g ⋅ x是一个双射，反双射是 g^(−1)的对应映射。因此，可以把G对X的群作用等价地定义为从G到从X到其自身的所有双射的对称群Sym(X) 的群同态。
2. 右群作用
同样，G 对 X 的右群作用是一个函数
α: X x G —> X;
考虑的当群作用从上下文中明确时，α(x, g)通常缩短为xg或x⋅g。
满足类似的公理：
恒等：x⋅e = x；
兼容性：(x⋅g) ⋅ h = x ⋅ (gh);
对于G中的所有g和h以及X中的所有x。
左作用和右作用之间的区别在于乘积gh作用于x的顺序。对于左作用，h先作用，然后是g。对于右作用，g先作用，然后是h。由于公式(gh)^(-1) = h^(-1) g^(-1)，可通过组合群的逆运算从右作用构造左作用。同样，群G在X上的右作用可被认为是其相对群G^(op)在X上的左作用。
因此，为建立组动作的一般属性，只考虑左作用就足够。但是，在某些情况下这是不可能的。例如，一个组的乘法导致对组本身的左作用和右作用—分别在左边和右边乘法。
二. 作用类型
G 对X的动作称为：
传递：如果X是非空的并且对于X中的每对x, y存在G中的g使得g⋅x = y，则是可传递的。例如，X的对称群的作用是传递的，向量空间V的一般线性群或特殊线性群对V∖{0} 的作用是传递的，而一个欧几里得的正交群的作用空间E在E∖{0}上不是可传递的(尽管它在E的单位球面上是可传递的)。
如果对于G中的每两个不同的g, h 存在一个x在 X 中使得g⋅x ≠ h⋅x，那么为忠实或有效；或者等效地，如果对于 G 中的每个 g ≠ e，则在X中存在一个x，使得g⋅x ≠ x。换句话说，在忠实群作用中，G 的不同元素引起X的不同置换(排列)。 [a]在代数术语中，群G忠实地作用于X当且仅当对称群 G → Sym( X)，有一个平凡的核。因此，对于忠实作用，G嵌入到 X上的置换群中；具体来说，G与其在Sym(X)中的像同构。如果G不忠实于X，我们可很容易地修改群以获得忠实的作用。如定 N = {g in G : g⋅x = x for all x in X}，则N是G的正规子群；实际上，它是同态G →Sym(X) 的核。因子群G/N通过设置(gN)⋅x = g⋅x 忠实地作用于 X。当且仅当N = {e} 时G对X的原始作用是忠实的。对于相同大小的，群可定义忠实作用的最小集合可能会有很大差异。例如：
三个大小为 120 的群是对称群 S5、二十面体群和循环群Z/120Z可定义忠实作用的最小集合的大小分别为 5、12 和 16。
大小为2^n的阿贝尔群包括循环群(Z/(2^nZ)或(Z/2Z)^n(Z/(2Z)的n个副本的直积，但后者忠实地作用于大小为 2n 的集合，而前者不能在比它小的集合上忠实地作用。
自由或半正则或无不动点：如果给定g, h在G 中，x中存在x且g⋅x = h⋅x 意味着g = h。等价地：若g是一个群元素且在X中存在一个x且g⋅x = x (即若g至少有一个不动点)，则g是恒等式。请注意非空集合上的自由作用是忠实的。
........
三. 轨道和稳定子
1. 轨道(orbits)
考虑作用在集合X上的群G。 X中元素x的轨道是 X 中元素的集合，G 的元素可将x移动到该集合。 x的轨道由G⋅x表示：
G ⋅ x = {g ⋅ x | g ∈ G };
群的定义性质保证在G的作用下(点 x in)X的轨道集合形成X的一个划分。相关的等价关系定义为x ∼ y当且仅当G中存在g且g⋅x = y。那么轨道就是这个关系下的等价类；两个元素 x和y是等价的，当且仅当它们的轨道相同，即 G⋅x = G⋅y。
群作用是可传递的，当且仅当它只有一个轨道，也就是说，如果在X中存在x且G⋅x = X。这是当且仅当G⋅x = X对于X中的所有x (鉴于X非空）。
在G的作用下X的所有轨道的集合被写为X/G(或G\X)且被称为作用的商。在几何情况下，它可能被称为轨道空间，而在代数情况下，它可能被称为共变量空间，并写作XG，与不变量(不动点)相反，表示为XG：共变量是商，而不变量是一个子集。共变术语和符号特别用于群上同调和群同调，它们使用相同的上标/下标约定。
2. 不变子空间
3. 不动点和稳定子群(stabilizers)
给定G中的g和X中的x且 g⋅x = x，可以说“x 是g的不动点”或“g 固定 x”。对于X中的每个 x，G 相对于x的稳定子群（也称为各向同性群或小群 [7]）是 G 中所有固定 x 的元素的集合：
G_{x}= {g ∈ G | g ⋅ x = x};
这是G的一个子群，虽然通常不是正规的。当且仅当所有稳定器都是平凡的时，G对X的作用是自由的。具有对称群G → Sym(X)的同态的核N由X中所有x的稳定子Gx的交集给出。如果N是平凡的，那么称该动作是忠实的或有效的。
设x和y是X中的两个元素，设g是一个群元素，使得y = g⋅x。那么两个稳定子群Gx 和 Gy 的关系为 Gy = g Gx g^(−1)。证明：根据定义，h ∈ Gy 当且仅当 h⋅(g⋅x) = g⋅x。将g^(−1) 应用于这个等式的两边产生(g^(−1)hg)⋅x = x；即g^(−1)hg ∈ Gx。通过取 h∈Gx并假设x = g^(−1)⋅y 类似地遵循相反的包含。
上面说在同一轨道上的元素的稳定子是相互共轭的。因此，对于每个轨道，我们可将G的一个子群即该子群的所有共轭的集合的一个共轭类相关联。令(H)表示H的共轭类。那么轨道O的类型为(H)。如果稳定子G_{x}在轨道O中的一些/任何x属于(H)。最大轨道类型通常称为主轨道类型。
wi/Group_action
30个句子，助你看透事物的本质
CEO语录 
许多人认为，黑格尔的思想，标志着19世纪德国唯心主义哲学运动的顶峰，对后世哲学流派，如存在主义和马克思的历史唯物主义都产生了深远的影响。黑格尔哲学是19世纪德国的世界观体系。它集德国古典哲学之大成，具有百科全书式的丰富性，居于整个近代哲学的高峰。在黑格尔哲学中，表现了丰富的辩证法内容与保守体系的深刻矛盾。
而就在只言片语中，黑格尔的思想也往往能直透事物的本质。
黑格尔如是说
1、人应尊敬他自己，并应自视能配得上最高尚的东西。
2、一个志在有大成就的人，它必须如歌德所说，知道限制自己。反之，什么事都想做的人，其实什么事都不能做，而终归于失败。
3、一个民族有一群仰望星空的人，他们才有希望。
4、人类从历史学到的唯一的教训，就是人类没有从历史中吸取任何教训。
5、个性像白纸，一经污染，便永不能再如以前的洁白。
6、有嫉妒心的人，自己不能完成伟大的事业，乃尽量去低估他人的伟大，贬抑他人的伟大使之与他人相齐。
7、人们往往把任性也叫做自由，但是任性只是非理性的自由，人性的选择和自觉都不是出于意志的理性，而是出于偶然的动机以及这种动机对感性外在世界的依赖。
8、 存在即合理。
9、 纪律是自由的第一条件。
10、有一些宝贵的东西作为生活的目标时，生活才有价值。
11、无知者是最不自由的，因为他要面对的是一个完全黑暗的世界。
12、什么是悲剧？悲剧就是善的冲突。
13、一个拥有真正美的心灵总是有所作为的，并且是一个实实在在的人。
14、我们可以断言，没有激情，任何伟大的事业都不能完成。
15、只有那些永远躺在坑里从不仰望高空的人，才不会掉进坑里。
16、谁中途动摇信心，谁就是意志薄弱。
17、美具有引人向善的作用和力量。
18、世上大概有两种人，“一种人毕生致力于拥有，另一种人毕生致力于有所作为。”一心渴望拥有，一旦没有达到目的，就会失落、痛苦和绝望。心无旁鹜，专心于事业的追求，就会忘掉许多烦恼，找到许多努力过程中的快乐。默默耕耘的人其实是最智慧的人。
19、对现实的抽象就是对现实的毁灭。
20、时代的艰苦使人对于日常生活中平凡的琐屑兴趣予以太大的重视，现实上很多的利益和为了这些利益而作的斗争，曾经过多地占据了精神上一切的能力和力量以及外在的手段，因而使得人们没有自由的心情去理会那较高的内心生活和较纯洁的精神活动，以致许多较优秀的人才都为这种艰苦环境所束缚，并且部分地被牺牲在里面。因为世界精神太忙碌于现实，所以它不能转向内心，回复到自身。
21、审美的感官需要文化修养……借助修养才能了解美，发现美。
22、真理是在漫长的发展着的认识过程中被掌握的，在这一过程中，每一步都是它前一步的直接继续。
23、每个人都是一个整体，本身就是世界，每个人都是一个完满的有生气的人，而不是某种孤立的性格特征的寓言式的抽象品。
24、一个人如果把从别人那里学来的东西算作自己的发现，这也很接近于虚骄。
25、 智慧之鸟的猫头鹰，在文明的暮色中才开始起飞。
26、 爱情确实有一种高尚的品质，因为它不只停留在性欲上，而且显出一种本身丰富的高尚优秀的心灵，要求以生动活泼，勇敢和牺牲的精神和另一个人达到统一。
27、 真理诚然是一个崇高的字眼，然而更是一桩崇高的业绩。如果人的心灵与情感依然健康，则其心潮必将为之激荡不已。
28、 只有经过长时间完成其发展的艰苦工作，并长期埋头沉没于其中的任务，方可有所成就。
29、 精神的生命不是表现为害怕死亡，与荒芜保持绝对的距离，而是表现为承受死亡，并在死亡中保存自身。只有当精神在一种相当绝对的支离破碎状态下重新找到自 己，他才赢得它的真理。精神作为这样一种肯定的事物，并没有逃避否定的事物……同样，当虚假成为真理的一个环节，它也不再是一个虚假的东西。
30、一句哲理在年轻人嘴里说出和在老年人嘴里说出是不一样的。年轻人说的只是这句哲理本身，尽管他可能理解得完全正确。而老年人不只是说了这句哲理，其中还包含了他的全部生活。
CEO语录 
许多人认为，黑格尔的思想，标志着19世纪德国唯心主义哲学运动的顶峰，对后世哲学流派，如存在主义和马克思的历史唯物主义都产生了深远的影响。黑格尔哲学是19世纪德国的世界观体系。它集德国古典哲学之大成，具有百科全书式的丰富性，居于整个近代哲学的高峰。在黑格尔哲学中，表现了丰富的辩证法内容与保守体系的深刻矛盾。
而就在只言片语中，黑格尔的思想也往往能直透事物的本质。
黑格尔如是说
1、人应尊敬他自己，并应自视能配得上最高尚的东西。
2、一个志在有大成就的人，它必须如歌德所说，知道限制自己。反之，什么事都想做的人，其实什么事都不能做，而终归于失败。
3、一个民族有一群仰望星空的人，他们才有希望。
4、人类从历史学到的唯一的教训，就是人类没有从历史中吸取任何教训。
5、个性像白纸，一经污染，便永不能再如以前的洁白。
6、有嫉妒心的人，自己不能完成伟大的事业，乃尽量去低估他人的伟大，贬抑他人的伟大使之与他人相齐。
7、人们往往把任性也叫做自由，但是任性只是非理性的自由，人性的选择和自觉都不是出于意志的理性，而是出于偶然的动机以及这种动机对感性外在世界的依赖。
8、 存在即合理。
9、 纪律是自由的第一条件。
10、有一些宝贵的东西作为生活的目标时，生活才有价值。
11、无知者是最不自由的，因为他要面对的是一个完全黑暗的世界。
12、什么是悲剧？悲剧就是善的冲突。
13、一个拥有真正美的心灵总是有所作为的，并且是一个实实在在的人。
14、我们可以断言，没有激情，任何伟大的事业都不能完成。
15、只有那些永远躺在坑里从不仰望高空的人，才不会掉进坑里。
16、谁中途动摇信心，谁就是意志薄弱。
17、美具有引人向善的作用和力量。
18、世上大概有两种人，“一种人毕生致力于拥有，另一种人毕生致力于有所作为。”一心渴望拥有，一旦没有达到目的，就会失落、痛苦和绝望。心无旁鹜，专心于事业的追求，就会忘掉许多烦恼，找到许多努力过程中的快乐。默默耕耘的人其实是最智慧的人。
19、对现实的抽象就是对现实的毁灭。
20、时代的艰苦使人对于日常生活中平凡的琐屑兴趣予以太大的重视，现实上很多的利益和为了这些利益而作的斗争，曾经过多地占据了精神上一切的能力和力量以及外在的手段，因而使得人们没有自由的心情去理会那较高的内心生活和较纯洁的精神活动，以致许多较优秀的人才都为这种艰苦环境所束缚，并且部分地被牺牲在里面。因为世界精神太忙碌于现实，所以它不能转向内心，回复到自身。
21、审美的感官需要文化修养……借助修养才能了解美，发现美。
22、真理是在漫长的发展着的认识过程中被掌握的，在这一过程中，每一步都是它前一步的直接继续。
23、每个人都是一个整体，本身就是世界，每个人都是一个完满的有生气的人，而不是某种孤立的性格特征的寓言式的抽象品。
24、一个人如果把从别人那里学来的东西算作自己的发现，这也很接近于虚骄。
25、 智慧之鸟的猫头鹰，在文明的暮色中才开始起飞。
26、 爱情确实有一种高尚的品质，因为它不只停留在性欲上，而且显出一种本身丰富的高尚优秀的心灵，要求以生动活泼，勇敢和牺牲的精神和另一个人达到统一。
27、 真理诚然是一个崇高的字眼，然而更是一桩崇高的业绩。如果人的心灵与情感依然健康，则其心潮必将为之激荡不已。
28、 只有经过长时间完成其发展的艰苦工作，并长期埋头沉没于其中的任务，方可有所成就。
29、 精神的生命不是表现为害怕死亡，与荒芜保持绝对的距离，而是表现为承受死亡，并在死亡中保存自身。只有当精神在一种相当绝对的支离破碎状态下重新找到自 己，他才赢得它的真理。精神作为这样一种肯定的事物，并没有逃避否定的事物……同样，当虚假成为真理的一个环节，它也不再是一个虚假的东西。
30、一句哲理在年轻人嘴里说出和在老年人嘴里说出是不一样的。年轻人说的只是这句哲理本身，尽管他可能理解得完全正确。而老年人不只是说了这句哲理，其中还包含了他的全部生活。
✋热门推荐