一道初中几何题的多解
大罕
 
【题目】如图1，半圆的直径为AB，它位于正方形ABCD内，半圆上有一点H（异于A,B）,延长AH至点E，使得AH=HE，以AE为边作正方形AEFG，求角CEF的度数.
 
【解法1】连接AC，交半圆于点M，如图2，则点M是半圆弧的中点，也是AC的中点.
连接MH，则MH∥EC,连接BH，则BH⊥AE，
∴BH⊥∥EF.
∴∠MHB＝∠CEF，而∠MHB所对弧是1/4圆周，故∠MHB＝45°，
∴∠CEF＝45°.
 
【解法2】连接BE、BH，如图3，
∵H是AE中点，BH⊥AE，∴BE=BA=BC，
∴∠BCE=∠BEC，∠BAE=∠BEA，
由四边形ABCE内角之和为360°，知
∠CEA=∠BEC+∠BEA=(360-90°)/2=135°，
∴∠CEF=135°-90°=45°.
 
【解法3】如图，建立直角坐标系，设正方形边长为2，则A(0,0) ，C(-2,2)，B(0,2)，
设点H在半圆上，设H(cosθ, 1+sinθ)，则E(2cosθ, 2+2sinθ)，
k(EC)=sinθ/(1+cosθ)=tan(θ/2),
k(HB)=(-1+sinθ)/cosθ=-tan(π/4-θ/2),
∴tan∠CEF= tan∠(HB,EC)
=[tan(θ/2)+tan(π/4-θ/2)]/[1-tan(θ/2)tan(π/4-θ/2)]
=tan(π/4)=1,
所以∠CEF=45°.

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