#为什么会存在无理数#
首先我们说明一下无理数的存在性。举一个举烂了的例子，边长为一的正方形对角线长度为c，由勾股定理可知正数c满足c²=2，接下来证明c不是有理数。反证法：如果c是有理数，则c一定能表示为既约分数形式，即存在互质的两个正整数m，n，使得c=m/n。那么c²=（m/n）²=m²/n²=2，也就是说m²=2n²。我们知道，等号右侧为偶数，左侧是m²，如果m为奇数，那么m²一定为奇数，等式不成立，所以m一定为偶数，所以有m=2r，其中r为正整数。那么m²=2n²=（2r）²=4r²，也就是说n²=2r²，那么由上面的推断同样可以知道n为偶数，这里就会得到m与n都是偶数，与题设中m，n互质是矛盾的，所以c为不是有理数。如果在数轴上，以0和1之间的线段为一条边作正方形，以0为圆心，对角线长度c为半径画圆弧，与数轴有一个交点，那么这个交点代表的数值理应为c，而不是与c相近的其他数（这个是理论上的尺规作图）。
也就是说，数轴上存在c这样的一类数，并且我们证明了它不是有理数，并把它命名为无理数。这是无理数的存在性，哪怕你知道有理数在数轴上稠密，但仍然存在无理点。这里我们指明一下，在数轴上：整数点具有离散性，也就是说你能一个点一个点看出来，虽然看不到全部的整数点（毕竟整数点有无穷多个），但是能用肉眼将他们分离开来；有理数点具有稠密性，不存在有理数真空区域，也就是说对于任意给定的一个区间上面，必定存在无穷多个有理数，举个很简单的例子，（1，2）内，有限小数有1.1加十分之一，十分十二，……，十分之九，百分之一，……，千分之一，等等，这个区间内无限循环小数也是无穷多个，这都是（1，2）内的有理数学了有理数的无限小数表示形式，就能用不足近似与过剩近似来理解，对于任意两个有理数a，b，若a＜b，则存在n使得a的n为过剩近似与b的n为不足近似的算数平均值在a和b之间，这也说明了任意两个有理数之间必定存在另一个有理数，也就说明了有理数的稠密性。
但这里要注意，稠密性，不等于连续性。即便有理点在数轴上稠密，但有理点在数轴上并不连续。这句话怎么理解呢？意思就是说，在任意给定的区间上面，会有无穷多个有理点，这是必然，但即便这无穷多个有理点之间“很挤”，但它们之间仍有空隙，而这个空隙上面的点就是所谓“异己”，也就是不属于有理数的数——无理数。要说明这一点，我们只需要证明：对于任意的两个不相等的有理数a，b，必定存在无理数c介于两者之间。证明如下：证明：前面我们知道，边长为一的正方形对角线长度c=√2是无理数，且无理数与有理数的和一定是无理数。不妨假设a＜b，这里的a与b都是用无限小数表示的（有限小数用循环节为9的无限小数表示，例如3=2.999……），那么一定存在一个正整数n，使得a的n位过剩近似小于b的n位不足近似，分别记为an上面加一横和bn。那么下面不等式显然成立：这个是很容易证明的，去分母然后移项就能证明。
接下来要证明的是中间的数为无理数，分母有理化，得到
显然，这是“有理数+无理数×有理数”的形式，这是一个无理数，所以我们证明了对于任意两个有理数a，b，如果a＜b，必定存在这样一个无理数介于它们之间。这是什么意思，这就说明了，有理数点在实数轴上一定不连续，因为任意两个有理数之间我们至少能找到一个“异己”，所以它不具有连续性。
这就是所谓稠密性和连续性的差别，我们说有理数集具有稠密性，实数集也具有，但有理数集不具有连续性，所以我们需要补充一个集合来填补有理数之间的空隙，这便是无理数集。至于有理数集与无理数集是否充满了整个数轴，或者换而言之，无理数集是否填满了有理数集在数轴上的所有空隙，这就是实数集完备性理论，数学分析教材应该都有详细介绍，这里不再赘余。回到你的问题上，上述理论既说明了有理数集的稠密性，也说明了它不连续，任意两个有理数之间都存在无理数。
你也许知道这是两个事实，却还会疑问，所谓稠密不应该是指连在一起，就是所谓连续吗？以前我们知道，有些事物是量子化的，比如带电量，只能是元电荷电量的整数倍，不存在1.5e这样的电量，而温度等都是连续变化的，没有一个最小的“一份”。量子化的是整数点一般具有离散性，而连续性的温度等是实数集一般具有连续性，那有理数集算什么呢？我认为，你可以将有理数集看成量子化的，因为任意两个有理数之间总存在一个数，使得这个个数在有理数集中是取不到的，就好像把所有的电荷量记为一个集合，那么1e的电荷量与2e的电荷量之间从存在1.5e，但是这个数的电荷量在人世间是取不到的（这个我只能这么表示。。。），所以有理数集类似于这样量子化的过程，但是它又同时没有最小的“一份”，也就是无法达到最小量化，这一点也是显而易见的。所以，在我看来，有理数集具有量子化的部分性质，但是它又具有连续的部分性质。我认为这就是所谓的稠密，既没有绝对的真空地带，也不具备绝对的连续性。
首先我们说明一下无理数的存在性。举一个举烂了的例子，边长为一的正方形对角线长度为c，由勾股定理可知正数c满足c²=2，接下来证明c不是有理数。反证法：如果c是有理数，则c一定能表示为既约分数形式，即存在互质的两个正整数m，n，使得c=m/n。那么c²=（m/n）²=m²/n²=2，也就是说m²=2n²。我们知道，等号右侧为偶数，左侧是m²，如果m为奇数，那么m²一定为奇数，等式不成立，所以m一定为偶数，所以有m=2r，其中r为正整数。那么m²=2n²=（2r）²=4r²，也就是说n²=2r²，那么由上面的推断同样可以知道n为偶数，这里就会得到m与n都是偶数，与题设中m，n互质是矛盾的，所以c为不是有理数。如果在数轴上，以0和1之间的线段为一条边作正方形，以0为圆心，对角线长度c为半径画圆弧，与数轴有一个交点，那么这个交点代表的数值理应为c，而不是与c相近的其他数（这个是理论上的尺规作图）。
也就是说，数轴上存在c这样的一类数，并且我们证明了它不是有理数，并把它命名为无理数。这是无理数的存在性，哪怕你知道有理数在数轴上稠密，但仍然存在无理点。这里我们指明一下，在数轴上：整数点具有离散性，也就是说你能一个点一个点看出来，虽然看不到全部的整数点（毕竟整数点有无穷多个），但是能用肉眼将他们分离开来；有理数点具有稠密性，不存在有理数真空区域，也就是说对于任意给定的一个区间上面，必定存在无穷多个有理数，举个很简单的例子，（1，2）内，有限小数有1.1加十分之一，十分十二，……，十分之九，百分之一，……，千分之一，等等，这个区间内无限循环小数也是无穷多个，这都是（1，2）内的有理数学了有理数的无限小数表示形式，就能用不足近似与过剩近似来理解，对于任意两个有理数a，b，若a＜b，则存在n使得a的n为过剩近似与b的n为不足近似的算数平均值在a和b之间，这也说明了任意两个有理数之间必定存在另一个有理数，也就说明了有理数的稠密性。
但这里要注意，稠密性，不等于连续性。即便有理点在数轴上稠密，但有理点在数轴上并不连续。这句话怎么理解呢？意思就是说，在任意给定的区间上面，会有无穷多个有理点，这是必然，但即便这无穷多个有理点之间“很挤”，但它们之间仍有空隙，而这个空隙上面的点就是所谓“异己”，也就是不属于有理数的数——无理数。要说明这一点，我们只需要证明：对于任意的两个不相等的有理数a，b，必定存在无理数c介于两者之间。证明如下：证明：前面我们知道，边长为一的正方形对角线长度c=√2是无理数，且无理数与有理数的和一定是无理数。不妨假设a＜b，这里的a与b都是用无限小数表示的（有限小数用循环节为9的无限小数表示，例如3=2.999……），那么一定存在一个正整数n，使得a的n位过剩近似小于b的n位不足近似，分别记为an上面加一横和bn。那么下面不等式显然成立：这个是很容易证明的，去分母然后移项就能证明。
接下来要证明的是中间的数为无理数，分母有理化，得到
显然，这是“有理数+无理数×有理数”的形式，这是一个无理数，所以我们证明了对于任意两个有理数a，b，如果a＜b，必定存在这样一个无理数介于它们之间。这是什么意思，这就说明了，有理数点在实数轴上一定不连续，因为任意两个有理数之间我们至少能找到一个“异己”，所以它不具有连续性。
这就是所谓稠密性和连续性的差别，我们说有理数集具有稠密性，实数集也具有，但有理数集不具有连续性，所以我们需要补充一个集合来填补有理数之间的空隙，这便是无理数集。至于有理数集与无理数集是否充满了整个数轴，或者换而言之，无理数集是否填满了有理数集在数轴上的所有空隙，这就是实数集完备性理论，数学分析教材应该都有详细介绍，这里不再赘余。回到你的问题上，上述理论既说明了有理数集的稠密性，也说明了它不连续，任意两个有理数之间都存在无理数。
你也许知道这是两个事实，却还会疑问，所谓稠密不应该是指连在一起，就是所谓连续吗？以前我们知道，有些事物是量子化的，比如带电量，只能是元电荷电量的整数倍，不存在1.5e这样的电量，而温度等都是连续变化的，没有一个最小的“一份”。量子化的是整数点一般具有离散性，而连续性的温度等是实数集一般具有连续性，那有理数集算什么呢？我认为，你可以将有理数集看成量子化的，因为任意两个有理数之间总存在一个数，使得这个个数在有理数集中是取不到的，就好像把所有的电荷量记为一个集合，那么1e的电荷量与2e的电荷量之间从存在1.5e，但是这个数的电荷量在人世间是取不到的（这个我只能这么表示。。。），所以有理数集类似于这样量子化的过程，但是它又同时没有最小的“一份”，也就是无法达到最小量化，这一点也是显而易见的。所以，在我看来，有理数集具有量子化的部分性质，但是它又具有连续的部分性质。我认为这就是所谓的稠密，既没有绝对的真空地带，也不具备绝对的连续性。
#营业悖论[超话]#
关于真爱几率，本高中理科狗在百度的帮助下去理解了一下（测度论的百度不是我这种凡夫俗子看得懂的[抓狂]）
简单地说，把数轴看做一个一定长度的线段，而有理数仅是数轴上的一个点，点是不具有长度的，所以 有理数/数轴 近视为 点/线段 即 0/无穷 =0，所以说在数轴上取到有理数的概率是0。（我也不确定我说的是不是足够正确）
但是在数学的概率论里（高中学过的知识）
不可能事件概率为0，但是概率为0的事件并不一定是不可能事件，这是一个包含关系（画了个简图在下面）。
觉夏哥哥的理论（也是他的爱情观）是概率为0的事件，但并不是不可能事件。而听觉的爱情产生在两个不懂爱不信爱的孩子之间，看起来是概率为0的，但实际并不是不可能的。所以他们就是彼此的真爱！而且在理论证实下更加坚定！[污][污][污]（为楚楚疯狂爆灯！！！好想和她谈恋爱！！！！！）
关于真爱几率，本高中理科狗在百度的帮助下去理解了一下（测度论的百度不是我这种凡夫俗子看得懂的[抓狂]）
简单地说，把数轴看做一个一定长度的线段，而有理数仅是数轴上的一个点，点是不具有长度的，所以 有理数/数轴 近视为 点/线段 即 0/无穷 =0，所以说在数轴上取到有理数的概率是0。（我也不确定我说的是不是足够正确）
但是在数学的概率论里（高中学过的知识）
不可能事件概率为0，但是概率为0的事件并不一定是不可能事件，这是一个包含关系（画了个简图在下面）。
觉夏哥哥的理论（也是他的爱情观）是概率为0的事件，但并不是不可能事件。而听觉的爱情产生在两个不懂爱不信爱的孩子之间，看起来是概率为0的，但实际并不是不可能的。所以他们就是彼此的真爱！而且在理论证实下更加坚定！[污][污][污]（为楚楚疯狂爆灯！！！好想和她谈恋爱！！！！！）
人は孤独ではありませんて、数軸の上に無限のいくつかの道理があるように、あなたのいかなる1つの小さい隣の地域の中ですべてあなたの仲間を探し当てることができます。しかし、人はまた寂しいです。まるで全軸の理不尽な点をマークした後で、一人も会えなくなりました。
人是不孤独的，正如数轴上有无限多个有理点，在你的任意一个小邻域内都可以找到你的伙伴。但人又是寂寞的，正如把整个数轴的无理点标记上以后，就一个人都见不到了。
人是不孤独的，正如数轴上有无限多个有理点，在你的任意一个小邻域内都可以找到你的伙伴。但人又是寂寞的，正如把整个数轴的无理点标记上以后，就一个人都见不到了。
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