平面简谐波的波动方程（动力学）
一维线性波动方程
推导的基本思路：在介质中取一质元dm ，分析质元所受的合力，代入牛顿方程F=ma
平面简谐波的波函数

y=y（x，t）=A·cos［ω（t-x/u）+φ］

=A·cos（ωt-kx+φ）

∂²y/∂t²=-ω²A·cos（ωt-kx+φ）=-ω²y

∂²y/∂x²=-k²A·cos（ωt-kx+φ）=-ω²y/u²

⇨

∂²y/∂t²-u²·∂²y/∂x²=0
质元的加速度⤶

⤷质元的受力

当介质的形变较小时，介质可当作弹性介质，即对介质施加一个力，介质会发生形变，当力撤去以后，形变能够完全恢复。
介质的弹性行为由弹性模量描述，根据形变类型的不同，弹性模量分为：杨氏模量、剪切模量和体积模量，图一所示

流体的剪切模量约为零，因此流体不能传播横波。

（a）弦的波动方程（横波）
图三所示，设弦的张力T，线密度ρ，
分析一小段弦的受力
弦在x位置，偏离平衡位置的位移y=y（x，t）
弦沿x方向无位移

T₁·cos θ₁=T₂·cos θ₂=T
（弦发生形变时，弦中的张力也会发生变化，

张力沿弦的切线方向）
弦所受合力 ΔF=T₂·sin θ₂-T₁·sin θ₁

=T₂·cos θ₂·tan θ₂-T₁·cos θ₁·tan θ₁

=T（tan θ₂-tan θ₁）

=T（∂y/∂x | ₓ₊Δₓ

-∂y/∂x| ₓ）

=T·∂²y/∂x² ·Δx
牛顿第二定律

ΔF=ρΔx·∂²y/∂t²
弦的波动方程

∂²y/∂t²-T/ρ·∂²y/∂x²=0

波速u=√（T/ρ）

以纵波为例（图二所示）
取一小段，长度Δx=x₂-x₁
偏离平衡位置的位移y
y=y（x，t）
y‘ₓ=

lim

（y₂-y₁/x₂-x₁）

表示相对拉伸程度

（ x₂-x₁）→0
y₂-y₁=0表示位移大小相同，没有拉伸，y对x的一阶偏导数为零；若一阶偏导数为正，则介质处于拉伸状态；为负，则处于压缩状态。

（b）均匀弹性棒中纵波、横波的波动方程
设横截面积S，密度ρ，沿棒取为x方向，偏离平衡位置的位移y
取一小段Δx ，Δm=ρ·SΔx
在x处的纵向（横向）弹力为
F（x）=E·∂y/∂x | ₓ ·S ，F（x）=G·∂y/∂x | ₓ ·S
在x+Δx处的纵向（横向）弹力为
F（x+Δx）=E·∂y/∂x | ₓ₊Δₓ ·S ，
F（x+Δx）=G·∂y/∂x | ₓ₊Δₓ ·S
这一小段所受合力为
E·∂y/∂x | ₓ₊Δₓ ·S-E·∂y/∂x | ₓ ·S=E·∂²y/∂x² ·ΔxS
G·∂y/∂x | ₓ₊Δₓ ·S-G·∂y/∂x | ₓ ·S=G·∂²y/∂x² ΔxS
代入牛顿第二定律

E·∂²y/∂x² ·ΔxS=ρ·SΔx·∂²y/∂t²

G·∂²y/∂x² ΔxS=ρ·SΔx·∂²y/∂t²
得
∂²y/∂t²-E/ρ·∂²y/∂x² =0 ，∂²y/∂t²-G/ρ·∂²y/∂x² =0
纵波波速 u=√（E/ρ）

横波波速u=√（G/ρ）

三维波动方程与一维的形式相同，只是纵波的波速略有不同 https://t.cn/R2WxOVh

别管了别管了
深夜看剧的后遗症就是
一遍一遍地get到孙泽源
陆一白的 sin²x＋cos²x=我们 让我直接发疯
小表情完全拿捏了
还有就是说他翻唱的《崇拜》我已经循环了二百多遍了
有生之年不知道可乐能不能出个完整版
新剧《天王助理》第一次看直接看到心跳加速手出汗
已经狂刷N次了还是停不下来
由老师让我明白陆一白是我对孙泽源最大的误解
啊啊啊啊啊啊啊啊啊

深夜发疯的cherry
体谅一下

浅放一张陆一白和最喜欢的一张照片代表我此刻的心情
想放的太多了
#孙泽源[超话]#

#KBShinya[超话]##KBShinya0314生日快乐[超话]#

云蛋糕企划号⑭选手白菜菜祝KBShinya生日快乐

y=cos²x+sin²x=1 支持KB始终如一[鲜花]

啊哈，我终于参加了一次云企划啦！

祝俺们KBgg生日快乐！（撒花[好喜欢])

希望还是如同往年一样，祝你可以一直开心[心]

祝我们早日解封，真的还想看一次展子[抱一抱][抱一抱]

最后又是期盼专辑快快到的一天