数乱白金撒花（花）
虽然有各种各样的问题（喂） ，但非常感谢数乱为我带来了新的电脑桌面，我用了3年多的坏苹果女主就此换成了小7，パチパチパチ（大误）
而且数乱op真的好棒×打完序章看的时候甚至有点热血沸腾（并没有），注意到了8是双子还是兄妹后好感更加upup
以下是全含剧透的人物碎碎念
↓
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↓！！！剧透！！！（评论有图透）
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因为小7不小心写太长了放最后×按顺序是第4条线
小9：与共通接的非常顺畅，因为进线后和共通差不多导致我完全没有进线的感觉甚至怀疑进线只是为了给女主一个理由打他（并不是）。真正的s，虽然我完全看不出来女主对他的喜欢是从哪来（可能是颜吧），某段剧情走向也有点莫名其妙，但女主把他带到数研说这是我们的新成员时配上小9的表情我真的大爆笑。 不过我可能在小1线磕小9比较多×和女主同班同桌同在学生会工作午休还经常遇到要去午睡的女主也经常强制性拉女主去一起工作…这两人在一起的时间确实长[允悲]
和女主在一起其实是因为自己在不知不觉中这被吸引了，嗯，合理（大概）
双子的剧情也在他这边，是我喜欢的双子[开学季]
小1：非常自信而且以家族为荣的孩子。op里和女主打的场景可能是我最期待的场面之一。中期一边念叨自己绝对不会输，一边又想起先喜欢上对方的人输了纠结该怎么办的样子特别可爱× 算说了大部分真相
小6：在别的线沉默寡言到我忘了他会说话（你）因为初中经历绝对的竞争类活动厌恶者，但最后为女主握住了剑还打败了小9的剧情也很王道（？）×烧的烤饭团很好吃（点头）
小4：喜欢怪谈想见到真正的幽灵就很了不起[允悲]逃げてもいい的代表人物。也挺可爱的，而且逐渐执着于力量的过程也很不错（然后再迅速变回去）
但因为家族故事一直向往0所以在意女主，而女主也接受这个理由有点印象深刻
小2：？？？？？？你怎么这么容易就打败了小1这不科学？？？？？ 学姐和小5的主场（嗯，没了）
小7：只要有小7我就觉得数乱值得[开学季]长得乖乖巧巧说话礼貌做事有条有理看上去还是学生会里的唯一正常人，运气不仅自己好还能带动身边人一起好生动阐释了大家好才是真的好（大误），女主自从和他一起行动后不仅午餐能抢到そよぎバーガー甚至还能精准躲开小9的骚扰，好用（并不）程度令人流泪。和女主在一起完全不觉得他是年下反而完全忽视了年龄上的问题觉得他很靠得住×还给女主枕过膝枕让我好感度爆增…！
まあ虽然这些都只是他的一面。他的另一面藏在了他与自己的赌注后面，赌女主是否能发现某个事件的罪魁祸首是他。在楼梯上和女主对峙那一段的剧情语音他狂气的笑我可以看（听）n遍。数乱战中女主对他的伤害是他渴望的惩罚，只是为了这个惩罚，之前他可以毫无顾忌地伤害别人之后可以毫不犹豫地伤害自己。心理学中欲求不满的体现之一为暴力，当自己成为欲望的阻挡者时暴力便会面向自己。之二为固执，体现为即使脱离某个事物的刺激还会一直保持当时的状态。和女主一战之后小7其实就一直处于类似的状态中，他的欲望指向女主，他渴望女主再次拿起剑对准他渴望再次受到惩罚，但和女主的约定和自己的理性也同时约束着他。
他知道自己的狂气，视女主为能给予自己生之意义的存在而执着于她，但如果知道女主不选择他，他也能毫不犹豫为了自己的愿望而离开（be），このような子が好きかも
后续是很常见的发现我不想伤害你，也喜欢你的笑。这或许也是他的欲望从女主给他的意义转为女主本身的体现吧（可能）。虽然当时觉得不给出具体的结局或许会更好但想了想却也很納得[允悲]とにかく好き！
评论也有剧透×
虽然有各种各样的问题（喂） ，但非常感谢数乱为我带来了新的电脑桌面，我用了3年多的坏苹果女主就此换成了小7，パチパチパチ（大误）
而且数乱op真的好棒×打完序章看的时候甚至有点热血沸腾（并没有），注意到了8是双子还是兄妹后好感更加upup
以下是全含剧透的人物碎碎念
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↓！！！剧透！！！（评论有图透）
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因为小7不小心写太长了放最后×按顺序是第4条线
小9：与共通接的非常顺畅，因为进线后和共通差不多导致我完全没有进线的感觉甚至怀疑进线只是为了给女主一个理由打他（并不是）。真正的s，虽然我完全看不出来女主对他的喜欢是从哪来（可能是颜吧），某段剧情走向也有点莫名其妙，但女主把他带到数研说这是我们的新成员时配上小9的表情我真的大爆笑。 不过我可能在小1线磕小9比较多×和女主同班同桌同在学生会工作午休还经常遇到要去午睡的女主也经常强制性拉女主去一起工作…这两人在一起的时间确实长[允悲]
和女主在一起其实是因为自己在不知不觉中这被吸引了，嗯，合理（大概）
双子的剧情也在他这边，是我喜欢的双子[开学季]
小1：非常自信而且以家族为荣的孩子。op里和女主打的场景可能是我最期待的场面之一。中期一边念叨自己绝对不会输，一边又想起先喜欢上对方的人输了纠结该怎么办的样子特别可爱× 算说了大部分真相
小6：在别的线沉默寡言到我忘了他会说话（你）因为初中经历绝对的竞争类活动厌恶者，但最后为女主握住了剑还打败了小9的剧情也很王道（？）×烧的烤饭团很好吃（点头）
小4：喜欢怪谈想见到真正的幽灵就很了不起[允悲]逃げてもいい的代表人物。也挺可爱的，而且逐渐执着于力量的过程也很不错（然后再迅速变回去）
但因为家族故事一直向往0所以在意女主，而女主也接受这个理由有点印象深刻
小2：？？？？？？你怎么这么容易就打败了小1这不科学？？？？？ 学姐和小5的主场（嗯，没了）
小7：只要有小7我就觉得数乱值得[开学季]长得乖乖巧巧说话礼貌做事有条有理看上去还是学生会里的唯一正常人，运气不仅自己好还能带动身边人一起好生动阐释了大家好才是真的好（大误），女主自从和他一起行动后不仅午餐能抢到そよぎバーガー甚至还能精准躲开小9的骚扰，好用（并不）程度令人流泪。和女主在一起完全不觉得他是年下反而完全忽视了年龄上的问题觉得他很靠得住×还给女主枕过膝枕让我好感度爆增…！
まあ虽然这些都只是他的一面。他的另一面藏在了他与自己的赌注后面，赌女主是否能发现某个事件的罪魁祸首是他。在楼梯上和女主对峙那一段的剧情语音他狂气的笑我可以看（听）n遍。数乱战中女主对他的伤害是他渴望的惩罚，只是为了这个惩罚，之前他可以毫无顾忌地伤害别人之后可以毫不犹豫地伤害自己。心理学中欲求不满的体现之一为暴力，当自己成为欲望的阻挡者时暴力便会面向自己。之二为固执，体现为即使脱离某个事物的刺激还会一直保持当时的状态。和女主一战之后小7其实就一直处于类似的状态中，他的欲望指向女主，他渴望女主再次拿起剑对准他渴望再次受到惩罚，但和女主的约定和自己的理性也同时约束着他。
他知道自己的狂气，视女主为能给予自己生之意义的存在而执着于她，但如果知道女主不选择他，他也能毫不犹豫为了自己的愿望而离开（be），このような子が好きかも
后续是很常见的发现我不想伤害你，也喜欢你的笑。这或许也是他的欲望从女主给他的意义转为女主本身的体现吧（可能）。虽然当时觉得不给出具体的结局或许会更好但想了想却也很納得[允悲]とにかく好き！
评论也有剧透×
#如何评价海贼王里的赤犬#
一、赤犬的人物定位和设定（以漫画为主）：
1、实力设定：赤犬的设定是《海贼王》里海军总部兼世界政府最强战斗力。是截止到2021年漫画更新至1010话（排除角色设定看）仍未出现战绩表现可以与之相媲美的角色。上图1、2、3：
2、关于世界政府。世界政府是拥有170个以上的加盟国，是OP世界中最庞大的国际组织。其所属组织包括直属秘密间谍机关（CP0-CP9）、海军、王下七武海、科学部队等。在《海贼王》里的区域地牌上留给四皇瓜分的区域只有新世界（伟大航路后半段）。赤犬的实力设定不仅是海军的天花板、也是世界政府的牌面（依姆、五老星是权力，海军大将是战力，要学会区分）。
3、与四皇的差距①：先抛开与老年白胡子的对决，从其他方面入手。其实大将还是可以碰瓷四皇。从事人口贩卖50年的修女说过，大妈是其见过最优秀的商品，放到海军可以做到元帅、大将的，说明大妈凭借资质、潜力完全可以。海军还有比这更高的职位吗？最起码说明大将职位是可以包括四皇实力的。上图4：
与四皇的差距②：剧情进展到和之国，海军已经得到四皇凯多和四皇大妈联手的消息了，大将黄猿主动请缨被元帅赤犬拦住了，理由是和之国还有未知兵力。什么意思我不多说了，请自行体会。上图5：
4、赤犬的生命卡（尾田老师亲自监修）。赤犬的岩浆果实拥有自然系的最强攻击力。上图6：
5、赤犬的人物原型。赤犬是以日本殿堂级演员——菅原文太为原型的。赤犬的铁血军人形象就是借鉴于此人。连生日都一样是8月16日。此人是尾田老师的偶像，对其非常尊敬。菅原文太去世的时候尾田说过这是唯一的男子汉、世界脊梁，要珍惜的画赤犬。（不信可以自行百度） 上图7：
6、来自尾田老师与中田的谈话：主角不可以太强，赤犬是主角的话，一年就可以完结！以一周一话的进度算最多52话就可以完结了。上图8：
7、角色实力是存在波动的，会有“全盛期”概念。目前来看《海贼王》里角色全盛期应该是35岁到60岁之间，前后会有偏差。偏差例如：红发两年后39岁已经成为四皇6年；大妈两年后68岁还没有表现出衰弱的迹象；赤犬两年后55岁的年纪正值全盛期。上图9：
二、赤犬的战绩（以漫画为主）：
1、单挑老年有病受伤的白胡子不弱下风；可以双手踹口袋里单脚踩大刀（区别于动画组）。上图10：被白胡子愤怒+偷袭状态下攻击，能第一时间还手并给予重创。上图11、12：
赤犬的肉体防御力、血量也是强到离谱，零距离受到余威可以震塌海军总部的攻击都死不了。上图13：
2、单挑打败同为大将的青雉，两人激战十天，足见体力之强，并永久性改变当地环境气候。上图14：
3、直言甚平拖延不了时间（相当于会不会秒杀的问题），并给予重创。上图15：
4、一招击败革命军干部人妖王。上图16：
5、一人对抗白胡子团的众多队长+原七武海克洛克达尔，是真动手那种，还干趴下一个。上图17、18：
6、一人吓跑双果实黑胡子+黑胡子团所有干部。
7、击杀保护路飞的艾斯。
截止到漫画1010话除了卡普+罗杰打败洛克斯海贼团的事迹（38年前以白胡子为首的四骑士实力问题、战斗状态等还未完全浮出水面），没有可以与之媲美的。
三、赤犬的人物塑造、性格、表现：
赤犬因为杀了艾斯获得了大量黑粉，连动画组都黑他。
但是我想负责的告诉大家，赤犬可能结局不错。因为最大的赤犬吹是尾田老师！赤犬原型是尾田老师偶像这个前面已经提了。在尾田的塑造下，多次对其行为进行美化，大家注意看漫画里的细节，赤犬还有以下高光时刻：
1、攻击白胡子时，还能出言提醒，不全是一个卑鄙小人作风。
2、为人正直、尽忠职守，不受人情世故影响。知道路飞的身世背景，还敢下杀心。完全不考虑卡普感受，青雉和黄猿敢吗？
3、不畏强权，不怕丢官，敢找五老星讨说法，不全是一个鹰犬、狗奴才形象。
4、面对同事对其升职的反对还能给公平竞争机会，试问一般人做的到吗？
5、一向以“铁血”著称，面对视同水火的对手，还能网开一面，这是反派吗？哪个反派可以这么大度？
6、甚平直言赤犬带领下的海军，比以往更强大，这是赤裸裸美化。而且说的一点不错。赤犬带领下的海军，高层人员结构是元帅赤犬+黄猿、藤虎、绿牛三大将+战国、卡普退居二线+大参谋鹤+桃兔、茶豚两个大将候补！明哥甚至说过海军才是海洋上的唯一霸主。
7、面对逃兵，还能给你悔过的机会，现实世界中当逃兵可是直接枪毙的。
8、为人机智，试图用激将法留住敌人。
四、赤犬的狠、卖力体现在对海贼上、对待恶势力上：
不是所有的海贼都像路飞、红发、白胡子一样，其他海贼滥杀无辜、烧杀抢掠是十分平常的。赤犬面对恶势力、强大对手，可以义无反顾、第一时间赶赴一线作战。
1、刚结束顶上战争，就带伤追击黑胡子。
2、不顾部下伤亡，乘胜追击剿杀海贼，对海贼什么手段都可以用，连外人都知道。
赤犬目前为止真正的黑点其实是在奥哈拉宁可错杀一千，不可放过一个的做法。
出于《海贼王》作为少年热血漫，有大量低龄受众考虑，但我还是要做最后声明，收起你们（赤犬黑）不切实际的意淫。以艾斯“年少轻狂、缺乏思考、冲动易怒”的性格不是主角真很难活下去。古话天外有天、人外有人，大丈夫当审时度势、顺势而为，不可逞一时匹夫之勇。古往今来能成大事者受一时胯下之辱，选择卧薪尝胆很难吗？以艾斯的资质就算果实被克，潜心修炼三色霸气+体术，凭借年轻力壮未来一雪前耻不是难事。
大家看漫画一定要把赤犬和黑胡子区分开。黑胡子是尾田老师几乎出于最终BOSS设定刻画的，最起码也是路飞进入最终之岛前的最大对手。路飞最终是否要与政府对立都是未知数。
一、赤犬的人物定位和设定（以漫画为主）：
1、实力设定：赤犬的设定是《海贼王》里海军总部兼世界政府最强战斗力。是截止到2021年漫画更新至1010话（排除角色设定看）仍未出现战绩表现可以与之相媲美的角色。上图1、2、3：
2、关于世界政府。世界政府是拥有170个以上的加盟国，是OP世界中最庞大的国际组织。其所属组织包括直属秘密间谍机关（CP0-CP9）、海军、王下七武海、科学部队等。在《海贼王》里的区域地牌上留给四皇瓜分的区域只有新世界（伟大航路后半段）。赤犬的实力设定不仅是海军的天花板、也是世界政府的牌面（依姆、五老星是权力，海军大将是战力，要学会区分）。
3、与四皇的差距①：先抛开与老年白胡子的对决，从其他方面入手。其实大将还是可以碰瓷四皇。从事人口贩卖50年的修女说过，大妈是其见过最优秀的商品，放到海军可以做到元帅、大将的，说明大妈凭借资质、潜力完全可以。海军还有比这更高的职位吗？最起码说明大将职位是可以包括四皇实力的。上图4：
与四皇的差距②：剧情进展到和之国，海军已经得到四皇凯多和四皇大妈联手的消息了，大将黄猿主动请缨被元帅赤犬拦住了，理由是和之国还有未知兵力。什么意思我不多说了，请自行体会。上图5：
4、赤犬的生命卡（尾田老师亲自监修）。赤犬的岩浆果实拥有自然系的最强攻击力。上图6：
5、赤犬的人物原型。赤犬是以日本殿堂级演员——菅原文太为原型的。赤犬的铁血军人形象就是借鉴于此人。连生日都一样是8月16日。此人是尾田老师的偶像，对其非常尊敬。菅原文太去世的时候尾田说过这是唯一的男子汉、世界脊梁，要珍惜的画赤犬。（不信可以自行百度） 上图7：
6、来自尾田老师与中田的谈话：主角不可以太强，赤犬是主角的话，一年就可以完结！以一周一话的进度算最多52话就可以完结了。上图8：
7、角色实力是存在波动的，会有“全盛期”概念。目前来看《海贼王》里角色全盛期应该是35岁到60岁之间，前后会有偏差。偏差例如：红发两年后39岁已经成为四皇6年；大妈两年后68岁还没有表现出衰弱的迹象；赤犬两年后55岁的年纪正值全盛期。上图9：
二、赤犬的战绩（以漫画为主）：
1、单挑老年有病受伤的白胡子不弱下风；可以双手踹口袋里单脚踩大刀（区别于动画组）。上图10：被白胡子愤怒+偷袭状态下攻击，能第一时间还手并给予重创。上图11、12：
赤犬的肉体防御力、血量也是强到离谱，零距离受到余威可以震塌海军总部的攻击都死不了。上图13：
2、单挑打败同为大将的青雉，两人激战十天，足见体力之强，并永久性改变当地环境气候。上图14：
3、直言甚平拖延不了时间（相当于会不会秒杀的问题），并给予重创。上图15：
4、一招击败革命军干部人妖王。上图16：
5、一人对抗白胡子团的众多队长+原七武海克洛克达尔，是真动手那种，还干趴下一个。上图17、18：
6、一人吓跑双果实黑胡子+黑胡子团所有干部。
7、击杀保护路飞的艾斯。
截止到漫画1010话除了卡普+罗杰打败洛克斯海贼团的事迹（38年前以白胡子为首的四骑士实力问题、战斗状态等还未完全浮出水面），没有可以与之媲美的。
三、赤犬的人物塑造、性格、表现：
赤犬因为杀了艾斯获得了大量黑粉，连动画组都黑他。
但是我想负责的告诉大家，赤犬可能结局不错。因为最大的赤犬吹是尾田老师！赤犬原型是尾田老师偶像这个前面已经提了。在尾田的塑造下，多次对其行为进行美化，大家注意看漫画里的细节，赤犬还有以下高光时刻：
1、攻击白胡子时，还能出言提醒，不全是一个卑鄙小人作风。
2、为人正直、尽忠职守，不受人情世故影响。知道路飞的身世背景，还敢下杀心。完全不考虑卡普感受，青雉和黄猿敢吗？
3、不畏强权，不怕丢官，敢找五老星讨说法，不全是一个鹰犬、狗奴才形象。
4、面对同事对其升职的反对还能给公平竞争机会，试问一般人做的到吗？
5、一向以“铁血”著称，面对视同水火的对手，还能网开一面，这是反派吗？哪个反派可以这么大度？
6、甚平直言赤犬带领下的海军，比以往更强大，这是赤裸裸美化。而且说的一点不错。赤犬带领下的海军，高层人员结构是元帅赤犬+黄猿、藤虎、绿牛三大将+战国、卡普退居二线+大参谋鹤+桃兔、茶豚两个大将候补！明哥甚至说过海军才是海洋上的唯一霸主。
7、面对逃兵，还能给你悔过的机会，现实世界中当逃兵可是直接枪毙的。
8、为人机智，试图用激将法留住敌人。
四、赤犬的狠、卖力体现在对海贼上、对待恶势力上：
不是所有的海贼都像路飞、红发、白胡子一样，其他海贼滥杀无辜、烧杀抢掠是十分平常的。赤犬面对恶势力、强大对手，可以义无反顾、第一时间赶赴一线作战。
1、刚结束顶上战争，就带伤追击黑胡子。
2、不顾部下伤亡，乘胜追击剿杀海贼，对海贼什么手段都可以用，连外人都知道。
赤犬目前为止真正的黑点其实是在奥哈拉宁可错杀一千，不可放过一个的做法。
出于《海贼王》作为少年热血漫，有大量低龄受众考虑，但我还是要做最后声明，收起你们（赤犬黑）不切实际的意淫。以艾斯“年少轻狂、缺乏思考、冲动易怒”的性格不是主角真很难活下去。古话天外有天、人外有人，大丈夫当审时度势、顺势而为，不可逞一时匹夫之勇。古往今来能成大事者受一时胯下之辱，选择卧薪尝胆很难吗？以艾斯的资质就算果实被克，潜心修炼三色霸气+体术，凭借年轻力壮未来一雪前耻不是难事。
大家看漫画一定要把赤犬和黑胡子区分开。黑胡子是尾田老师几乎出于最终BOSS设定刻画的，最起码也是路飞进入最终之岛前的最大对手。路飞最终是否要与政府对立都是未知数。
群作用(Group Action）
在数学中，空间上的群作用是给定群在空间变换群中的群同态。类似地，对一个数学结构的群作用是把一个群的群同态化为该结构的自同态群。据说群体作用于空间或结构。如果一个组对一个结构起作用，那么它通常也会对由该结构构建的对象起作用。例如，欧几里得等距组作用于欧几里得空间，也作用于其中所画的图形。特别地，它作用于所有三角形的集合。类似地，多面体的对称群作用于多面体的顶点、边和面。
在(有限维)向量空间上的群作用称为群表示。它允许用GL(n, K)的子群标识许多群，GL(n, K)是一个域上的维数为n的可逆矩阵群。对称群Sn作用于任何有n个元素的集合，方法是对集合中的元素进行置换。虽然一个集合的所有排列的组形式上依赖于该集合，但是群作用的概念允许人们考虑单个群(不是单群)研究具有相同基数的所有集合的排列。
一. 定义
1. 左群作用
如果G是一个具有单位元素e的群，而X是一个集合，那么G对X的左群作用α是一个函数
α: G x X —> X;
满足以下两个公理：
恒等：α:(e,x) = x；
兼容性：α(g, α(h,x)) = α(gh, z);
当考虑群作用从上下文中明确时，α(g, x) 通常缩短为gx或g⋅x：
恒等：e⋅x = x；
兼容性：g⋅(h,x) = (gh) ⋅ x;
对于G中的所有g和h以及X中的所有的x。据说群G作用于X(从左边开始)。集合X与G的动作一起称为(左)G 集。
根据这两个公理，对于G中的任何固定g，从X到自身的函数把x映射到g ⋅ x是一个双射，反双射是 g^(−1)的对应映射。因此，可以把G对X的群作用等价地定义为从G到从X到其自身的所有双射的对称群Sym(X) 的群同态。
2. 右群作用
同样，G 对 X 的右群作用是一个函数
α: X x G —> X;
考虑的当群作用从上下文中明确时，α(x, g)通常缩短为xg或x⋅g。
满足类似的公理：
恒等：x⋅e = x；
兼容性：(x⋅g) ⋅ h = x ⋅ (gh);
对于G中的所有g和h以及X中的所有x。
左作用和右作用之间的区别在于乘积gh作用于x的顺序。对于左作用，h先作用，然后是g。对于右作用，g先作用，然后是h。由于公式(gh)^(-1) = h^(-1) g^(-1)，可通过组合群的逆运算从右作用构造左作用。同样，群G在X上的右作用可被认为是其相对群G^(op)在X上的左作用。
因此，为建立组动作的一般属性，只考虑左作用就足够。但是，在某些情况下这是不可能的。例如，一个组的乘法导致对组本身的左作用和右作用—分别在左边和右边乘法。
二. 作用类型
G 对X的动作称为：
传递：如果X是非空的并且对于X中的每对x, y存在G中的g使得g⋅x = y，则是可传递的。例如，X的对称群的作用是传递的，向量空间V的一般线性群或特殊线性群对V∖{0} 的作用是传递的，而一个欧几里得的正交群的作用空间E在E∖{0}上不是可传递的(尽管它在E的单位球面上是可传递的)。
如果对于G中的每两个不同的g, h 存在一个x在 X 中使得g⋅x ≠ h⋅x，那么为忠实或有效；或者等效地，如果对于 G 中的每个 g ≠ e，则在X中存在一个x，使得g⋅x ≠ x。换句话说，在忠实群作用中，G 的不同元素引起X的不同置换(排列)。 [a]在代数术语中，群G忠实地作用于X当且仅当对称群 G → Sym( X)，有一个平凡的核。因此，对于忠实作用，G嵌入到 X上的置换群中；具体来说，G与其在Sym(X)中的像同构。如果G不忠实于X，我们可很容易地修改群以获得忠实的作用。如定 N = {g in G : g⋅x = x for all x in X}，则N是G的正规子群；实际上，它是同态G →Sym(X) 的核。因子群G/N通过设置(gN)⋅x = g⋅x 忠实地作用于 X。当且仅当N = {e} 时G对X的原始作用是忠实的。对于相同大小的，群可定义忠实作用的最小集合可能会有很大差异。例如：
三个大小为 120 的群是对称群 S5、二十面体群和循环群Z/120Z可定义忠实作用的最小集合的大小分别为 5、12 和 16。
大小为2^n的阿贝尔群包括循环群(Z/(2^nZ)或(Z/2Z)^n(Z/(2Z)的n个副本的直积，但后者忠实地作用于大小为 2n 的集合，而前者不能在比它小的集合上忠实地作用。
自由或半正则或无不动点：如果给定g, h在G 中，x中存在x且g⋅x = h⋅x 意味着g = h。等价地：若g是一个群元素且在X中存在一个x且g⋅x = x (即若g至少有一个不动点)，则g是恒等式。请注意非空集合上的自由作用是忠实的。
........
三. 轨道和稳定子
1. 轨道(orbits)
考虑作用在集合X上的群G。 X中元素x的轨道是 X 中元素的集合，G 的元素可将x移动到该集合。 x的轨道由G⋅x表示：
G ⋅ x = {g ⋅ x | g ∈ G };
群的定义性质保证在G的作用下(点 x in)X的轨道集合形成X的一个划分。相关的等价关系定义为x ∼ y当且仅当G中存在g且g⋅x = y。那么轨道就是这个关系下的等价类；两个元素 x和y是等价的，当且仅当它们的轨道相同，即 G⋅x = G⋅y。
群作用是可传递的，当且仅当它只有一个轨道，也就是说，如果在X中存在x且G⋅x = X。这是当且仅当G⋅x = X对于X中的所有x (鉴于X非空）。
在G的作用下X的所有轨道的集合被写为X/G(或G\X)且被称为作用的商。在几何情况下，它可能被称为轨道空间，而在代数情况下，它可能被称为共变量空间，并写作XG，与不变量(不动点)相反，表示为XG：共变量是商，而不变量是一个子集。共变术语和符号特别用于群上同调和群同调，它们使用相同的上标/下标约定。
2. 不变子空间
3. 不动点和稳定子群(stabilizers)
给定G中的g和X中的x且 g⋅x = x，可以说“x 是g的不动点”或“g 固定 x”。对于X中的每个 x，G 相对于x的稳定子群（也称为各向同性群或小群 [7]）是 G 中所有固定 x 的元素的集合：
G_{x}= {g ∈ G | g ⋅ x = x};
这是G的一个子群，虽然通常不是正规的。当且仅当所有稳定器都是平凡的时，G对X的作用是自由的。具有对称群G → Sym(X)的同态的核N由X中所有x的稳定子Gx的交集给出。如果N是平凡的，那么称该动作是忠实的或有效的。
设x和y是X中的两个元素，设g是一个群元素，使得y = g⋅x。那么两个稳定子群Gx 和 Gy 的关系为 Gy = g Gx g^(−1)。证明：根据定义，h ∈ Gy 当且仅当 h⋅(g⋅x) = g⋅x。将g^(−1) 应用于这个等式的两边产生(g^(−1)hg)⋅x = x；即g^(−1)hg ∈ Gx。通过取 h∈Gx并假设x = g^(−1)⋅y 类似地遵循相反的包含。
上面说在同一轨道上的元素的稳定子是相互共轭的。因此，对于每个轨道，我们可将G的一个子群即该子群的所有共轭的集合的一个共轭类相关联。令(H)表示H的共轭类。那么轨道O的类型为(H)。如果稳定子G_{x}在轨道O中的一些/任何x属于(H)。最大轨道类型通常称为主轨道类型。
wi/Group_action
在数学中，空间上的群作用是给定群在空间变换群中的群同态。类似地，对一个数学结构的群作用是把一个群的群同态化为该结构的自同态群。据说群体作用于空间或结构。如果一个组对一个结构起作用，那么它通常也会对由该结构构建的对象起作用。例如，欧几里得等距组作用于欧几里得空间，也作用于其中所画的图形。特别地，它作用于所有三角形的集合。类似地，多面体的对称群作用于多面体的顶点、边和面。
在(有限维)向量空间上的群作用称为群表示。它允许用GL(n, K)的子群标识许多群，GL(n, K)是一个域上的维数为n的可逆矩阵群。对称群Sn作用于任何有n个元素的集合，方法是对集合中的元素进行置换。虽然一个集合的所有排列的组形式上依赖于该集合，但是群作用的概念允许人们考虑单个群(不是单群)研究具有相同基数的所有集合的排列。
一. 定义
1. 左群作用
如果G是一个具有单位元素e的群，而X是一个集合，那么G对X的左群作用α是一个函数
α: G x X —> X;
满足以下两个公理：
恒等：α:(e,x) = x；
兼容性：α(g, α(h,x)) = α(gh, z);
当考虑群作用从上下文中明确时，α(g, x) 通常缩短为gx或g⋅x：
恒等：e⋅x = x；
兼容性：g⋅(h,x) = (gh) ⋅ x;
对于G中的所有g和h以及X中的所有的x。据说群G作用于X(从左边开始)。集合X与G的动作一起称为(左)G 集。
根据这两个公理，对于G中的任何固定g，从X到自身的函数把x映射到g ⋅ x是一个双射，反双射是 g^(−1)的对应映射。因此，可以把G对X的群作用等价地定义为从G到从X到其自身的所有双射的对称群Sym(X) 的群同态。
2. 右群作用
同样，G 对 X 的右群作用是一个函数
α: X x G —> X;
考虑的当群作用从上下文中明确时，α(x, g)通常缩短为xg或x⋅g。
满足类似的公理：
恒等：x⋅e = x；
兼容性：(x⋅g) ⋅ h = x ⋅ (gh);
对于G中的所有g和h以及X中的所有x。
左作用和右作用之间的区别在于乘积gh作用于x的顺序。对于左作用，h先作用，然后是g。对于右作用，g先作用，然后是h。由于公式(gh)^(-1) = h^(-1) g^(-1)，可通过组合群的逆运算从右作用构造左作用。同样，群G在X上的右作用可被认为是其相对群G^(op)在X上的左作用。
因此，为建立组动作的一般属性，只考虑左作用就足够。但是，在某些情况下这是不可能的。例如，一个组的乘法导致对组本身的左作用和右作用—分别在左边和右边乘法。
二. 作用类型
G 对X的动作称为：
传递：如果X是非空的并且对于X中的每对x, y存在G中的g使得g⋅x = y，则是可传递的。例如，X的对称群的作用是传递的，向量空间V的一般线性群或特殊线性群对V∖{0} 的作用是传递的，而一个欧几里得的正交群的作用空间E在E∖{0}上不是可传递的(尽管它在E的单位球面上是可传递的)。
如果对于G中的每两个不同的g, h 存在一个x在 X 中使得g⋅x ≠ h⋅x，那么为忠实或有效；或者等效地，如果对于 G 中的每个 g ≠ e，则在X中存在一个x，使得g⋅x ≠ x。换句话说，在忠实群作用中，G 的不同元素引起X的不同置换(排列)。 [a]在代数术语中，群G忠实地作用于X当且仅当对称群 G → Sym( X)，有一个平凡的核。因此，对于忠实作用，G嵌入到 X上的置换群中；具体来说，G与其在Sym(X)中的像同构。如果G不忠实于X，我们可很容易地修改群以获得忠实的作用。如定 N = {g in G : g⋅x = x for all x in X}，则N是G的正规子群；实际上，它是同态G →Sym(X) 的核。因子群G/N通过设置(gN)⋅x = g⋅x 忠实地作用于 X。当且仅当N = {e} 时G对X的原始作用是忠实的。对于相同大小的，群可定义忠实作用的最小集合可能会有很大差异。例如：
三个大小为 120 的群是对称群 S5、二十面体群和循环群Z/120Z可定义忠实作用的最小集合的大小分别为 5、12 和 16。
大小为2^n的阿贝尔群包括循环群(Z/(2^nZ)或(Z/2Z)^n(Z/(2Z)的n个副本的直积，但后者忠实地作用于大小为 2n 的集合，而前者不能在比它小的集合上忠实地作用。
自由或半正则或无不动点：如果给定g, h在G 中，x中存在x且g⋅x = h⋅x 意味着g = h。等价地：若g是一个群元素且在X中存在一个x且g⋅x = x (即若g至少有一个不动点)，则g是恒等式。请注意非空集合上的自由作用是忠实的。
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三. 轨道和稳定子
1. 轨道(orbits)
考虑作用在集合X上的群G。 X中元素x的轨道是 X 中元素的集合，G 的元素可将x移动到该集合。 x的轨道由G⋅x表示：
G ⋅ x = {g ⋅ x | g ∈ G };
群的定义性质保证在G的作用下(点 x in)X的轨道集合形成X的一个划分。相关的等价关系定义为x ∼ y当且仅当G中存在g且g⋅x = y。那么轨道就是这个关系下的等价类；两个元素 x和y是等价的，当且仅当它们的轨道相同，即 G⋅x = G⋅y。
群作用是可传递的，当且仅当它只有一个轨道，也就是说，如果在X中存在x且G⋅x = X。这是当且仅当G⋅x = X对于X中的所有x (鉴于X非空）。
在G的作用下X的所有轨道的集合被写为X/G(或G\X)且被称为作用的商。在几何情况下，它可能被称为轨道空间，而在代数情况下，它可能被称为共变量空间，并写作XG，与不变量(不动点)相反，表示为XG：共变量是商，而不变量是一个子集。共变术语和符号特别用于群上同调和群同调，它们使用相同的上标/下标约定。
2. 不变子空间
3. 不动点和稳定子群(stabilizers)
给定G中的g和X中的x且 g⋅x = x，可以说“x 是g的不动点”或“g 固定 x”。对于X中的每个 x，G 相对于x的稳定子群（也称为各向同性群或小群 [7]）是 G 中所有固定 x 的元素的集合：
G_{x}= {g ∈ G | g ⋅ x = x};
这是G的一个子群，虽然通常不是正规的。当且仅当所有稳定器都是平凡的时，G对X的作用是自由的。具有对称群G → Sym(X)的同态的核N由X中所有x的稳定子Gx的交集给出。如果N是平凡的，那么称该动作是忠实的或有效的。
设x和y是X中的两个元素，设g是一个群元素，使得y = g⋅x。那么两个稳定子群Gx 和 Gy 的关系为 Gy = g Gx g^(−1)。证明：根据定义，h ∈ Gy 当且仅当 h⋅(g⋅x) = g⋅x。将g^(−1) 应用于这个等式的两边产生(g^(−1)hg)⋅x = x；即g^(−1)hg ∈ Gx。通过取 h∈Gx并假设x = g^(−1)⋅y 类似地遵循相反的包含。
上面说在同一轨道上的元素的稳定子是相互共轭的。因此，对于每个轨道，我们可将G的一个子群即该子群的所有共轭的集合的一个共轭类相关联。令(H)表示H的共轭类。那么轨道O的类型为(H)。如果稳定子G_{x}在轨道O中的一些/任何x属于(H)。最大轨道类型通常称为主轨道类型。
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