数学帅才克莱因及其启示
打仗的时候，既需要将才又需要帅才。《三国演义》中，五虎上将是优秀的将才，诸葛孔明是优秀的帅才。相比于率领千军万马攻城掠地，诸葛亮更擅长运筹帷幄、决胜千里。打仗是这样，一个学科的发展也是这样，既需要帅才进行战略布局，又需要将才攻克具体的难题。
在数学的发展历程中，就有这样一位帅才，他不仅有伟大的数学成果，而且极富组织才能，既是哥廷根数学学派的缔造者和主将，又推动建立了哥廷根应用力学学派，为德国数学乃至世界数学的发展做出了伟大贡献。他，就是菲利克斯·克莱因（ F·Klein，1849-1925 ）。今天，中国已然步入世界数学大国之列，然而，我们距离数学强国还有相当的距离。在这样一个关键节点，揭示克莱因取得的成就及其启示具有重要意义。
首先，让我们来看克莱因取得的主要成就。数学研究方面，他提出爱尔兰根纲领，并在自守函数方面做了奠基性的工作。爱尔兰根纲领，以统一的观点用变换群对几何学作了分类，认为几何学是研究几何图形对于某类变换群保持不变的性质的学问。这样，就将以往互不相关的几何学以一个统一的、合理的结构呈现，并提供了未来几何学研究的思路、内容和方法。自守函数是圆函数、指数函数、椭圆函数、双曲函数、模函数等重要函数的推广与统一，引进群论加以研究；自守函数在后来的数学发展中具有广泛的应用。可以看到，克莱因并不单是要做某些数学难题，他在某些重要领域梳理数学的历史发展，揭示其内在本质，力图找到打开未来数学世界大门的钥匙。
数学学派发展方面，他广揽人才，例如希尔伯特、闵可夫斯基、诺特、外尔等大家，振兴哥廷根数学学派。除了在纯粹数学上的成就外，他还大力提倡应用数学，创建了哥廷根应用数学学派。与此同时，他竭力促进数学、力学和其他基础学科在工程技术中的应用，并在哥廷根大学成立了应用力学系，推动了应用力学的发展。克莱因慧眼识珠，引进普朗特，哥廷根应用力学学派从此发扬光大。在数学教育方面，他大力推动数学教改，基础数学与应用数学并重，并将教改推广到全德国，培养出一大批科学与技术兼通、既有深邃眼光又能解决实际问题的人才。他的教改主张如下：
（1）教材的选择排列，应适合学生心理的自然发展；
（2）融合数学各分科，并密切与其他各学科的关系；
（3）不要强调形式的训练，应当强调实用方面、以便充分发展学生对自然界和人类社会诸现象，进行数学观察的能力；
（4）把培养学生的函数思想和空间观察能力作为数学教学的基础，其核心在于强调数学的统一性和应用，他力求代数与几何的统一，并提出把微积分与解析几何下放到中学里。
克莱因为何可以成为数学帅才呢？这和他的志向、对数学的认识、视野以及知识结构是密不可分的。他研究几何学，是要统一以往各种各样的几何学，给出未来几何学发展的规划与纲领；他来到哥廷根，是怀揣着重振哥廷根大学雄风的雄心壮志的。在经过人才的引进与团结、教育的革新与推广等方面的规划和不懈努力后，使得哥廷根成为数学家心中的圣地，成为未来数学家的摇篮。可以看到，克莱因志存高远，这是他成为数学帅才的关键之一。而且能看到他极富战略眼光，对几何学的发展、哥廷根的振兴都是有战略布局的。就对数学的认识而言，他并不把数学看成是脱离现实世界的抽象的纯粹的形式。基础数学，来源于它的应用，服务于它的应用，这样就找到了数学发展的来源与动力，数学与其应用紧密结合，极大地激发了数学发展的活力。而且，克莱因视野开阔，知识结构完善，一个视野和知识结构局限在较小领域范围之内的人是不可能成为数学帅才的。
克莱因带给我们的最重要的启示，就是要重视数学帅才，培养数学帅才。何谓数学帅才呢？数学帅才是解决数学发展战略问题的人才。那么，数学发展战略问题涵盖了哪些内容呢？首先，就数学研究本身，揭示数学的本质，为数学研究提供统一的基础，完善科学研究方法，揭示数学各部分之间的关系，揭示数学和其他学科之间的关系，建立数学或其某分支的结构体系并指明未来发展的方向等等，属于战略问题。其次，数学研究归根结底是由人来进行的，因此，人才的引进、培养和布局，加强数学工作者之间、数学工作者与其他学科人员的学术交流与合作，避免门户之见甚至是互不买账的局面，使得大家团结起来搞好数学，也属于战略问题。最后，数学的发展需要良好的土壤，数学发展战略问题还包括如何完善数学教育，发展数学文化的问题。好的数学教育，不能只有形式的训练，应该将抽象的形式与具体的应用紧密结合，使受教育者能从具体的问题中提炼出抽象的形式，能从抽象的形式回归到具体的问题。这就需要数学教育重视数学思想的培养，思想的培养，又需要文化的熏陶。试想，非数学专业的人能在闲暇的时候聊数学问题休闲，能坐在咖啡厅里交流对数学的看法，真的到了这一天，我国的数学怎会不走向强大？
今天，我国在诸多领域还被卡着脖子。为了解决卡脖子问题，国家高度重视基础学科的研究，这是相关领导人高瞻远瞩的体现。数学，是基础学科中的基础，应当与其他学科、工程技术密切结合，奠定良好的根基，实现大的发展。数学的历史从不缺少帅才——笛卡尔、牛顿、莱布尼兹、克莱因、庞加莱、希尔伯特……数学的发展呼唤着帅才，让我们一起培育适合帅才发展的土壤，迎接数学发展的新时代！
参考文献：
[1] 李文林.《数学史概论》[M], 第二版, 高等教育出版社, p243.
打仗的时候，既需要将才又需要帅才。《三国演义》中，五虎上将是优秀的将才，诸葛孔明是优秀的帅才。相比于率领千军万马攻城掠地，诸葛亮更擅长运筹帷幄、决胜千里。打仗是这样，一个学科的发展也是这样，既需要帅才进行战略布局，又需要将才攻克具体的难题。
在数学的发展历程中，就有这样一位帅才，他不仅有伟大的数学成果，而且极富组织才能，既是哥廷根数学学派的缔造者和主将，又推动建立了哥廷根应用力学学派，为德国数学乃至世界数学的发展做出了伟大贡献。他，就是菲利克斯·克莱因（ F·Klein，1849-1925 ）。今天，中国已然步入世界数学大国之列，然而，我们距离数学强国还有相当的距离。在这样一个关键节点，揭示克莱因取得的成就及其启示具有重要意义。
首先，让我们来看克莱因取得的主要成就。数学研究方面，他提出爱尔兰根纲领，并在自守函数方面做了奠基性的工作。爱尔兰根纲领，以统一的观点用变换群对几何学作了分类，认为几何学是研究几何图形对于某类变换群保持不变的性质的学问。这样，就将以往互不相关的几何学以一个统一的、合理的结构呈现，并提供了未来几何学研究的思路、内容和方法。自守函数是圆函数、指数函数、椭圆函数、双曲函数、模函数等重要函数的推广与统一，引进群论加以研究；自守函数在后来的数学发展中具有广泛的应用。可以看到，克莱因并不单是要做某些数学难题，他在某些重要领域梳理数学的历史发展，揭示其内在本质，力图找到打开未来数学世界大门的钥匙。
数学学派发展方面，他广揽人才，例如希尔伯特、闵可夫斯基、诺特、外尔等大家，振兴哥廷根数学学派。除了在纯粹数学上的成就外，他还大力提倡应用数学，创建了哥廷根应用数学学派。与此同时，他竭力促进数学、力学和其他基础学科在工程技术中的应用，并在哥廷根大学成立了应用力学系，推动了应用力学的发展。克莱因慧眼识珠，引进普朗特，哥廷根应用力学学派从此发扬光大。在数学教育方面，他大力推动数学教改，基础数学与应用数学并重，并将教改推广到全德国，培养出一大批科学与技术兼通、既有深邃眼光又能解决实际问题的人才。他的教改主张如下：
（1）教材的选择排列，应适合学生心理的自然发展；
（2）融合数学各分科，并密切与其他各学科的关系；
（3）不要强调形式的训练，应当强调实用方面、以便充分发展学生对自然界和人类社会诸现象，进行数学观察的能力；
（4）把培养学生的函数思想和空间观察能力作为数学教学的基础，其核心在于强调数学的统一性和应用，他力求代数与几何的统一，并提出把微积分与解析几何下放到中学里。
克莱因为何可以成为数学帅才呢？这和他的志向、对数学的认识、视野以及知识结构是密不可分的。他研究几何学，是要统一以往各种各样的几何学，给出未来几何学发展的规划与纲领；他来到哥廷根，是怀揣着重振哥廷根大学雄风的雄心壮志的。在经过人才的引进与团结、教育的革新与推广等方面的规划和不懈努力后，使得哥廷根成为数学家心中的圣地，成为未来数学家的摇篮。可以看到，克莱因志存高远，这是他成为数学帅才的关键之一。而且能看到他极富战略眼光，对几何学的发展、哥廷根的振兴都是有战略布局的。就对数学的认识而言，他并不把数学看成是脱离现实世界的抽象的纯粹的形式。基础数学，来源于它的应用，服务于它的应用，这样就找到了数学发展的来源与动力，数学与其应用紧密结合，极大地激发了数学发展的活力。而且，克莱因视野开阔，知识结构完善，一个视野和知识结构局限在较小领域范围之内的人是不可能成为数学帅才的。
克莱因带给我们的最重要的启示，就是要重视数学帅才，培养数学帅才。何谓数学帅才呢？数学帅才是解决数学发展战略问题的人才。那么，数学发展战略问题涵盖了哪些内容呢？首先，就数学研究本身，揭示数学的本质，为数学研究提供统一的基础，完善科学研究方法，揭示数学各部分之间的关系，揭示数学和其他学科之间的关系，建立数学或其某分支的结构体系并指明未来发展的方向等等，属于战略问题。其次，数学研究归根结底是由人来进行的，因此，人才的引进、培养和布局，加强数学工作者之间、数学工作者与其他学科人员的学术交流与合作，避免门户之见甚至是互不买账的局面，使得大家团结起来搞好数学，也属于战略问题。最后，数学的发展需要良好的土壤，数学发展战略问题还包括如何完善数学教育，发展数学文化的问题。好的数学教育，不能只有形式的训练，应该将抽象的形式与具体的应用紧密结合，使受教育者能从具体的问题中提炼出抽象的形式，能从抽象的形式回归到具体的问题。这就需要数学教育重视数学思想的培养，思想的培养，又需要文化的熏陶。试想，非数学专业的人能在闲暇的时候聊数学问题休闲，能坐在咖啡厅里交流对数学的看法，真的到了这一天，我国的数学怎会不走向强大？
今天，我国在诸多领域还被卡着脖子。为了解决卡脖子问题，国家高度重视基础学科的研究，这是相关领导人高瞻远瞩的体现。数学，是基础学科中的基础，应当与其他学科、工程技术密切结合，奠定良好的根基，实现大的发展。数学的历史从不缺少帅才——笛卡尔、牛顿、莱布尼兹、克莱因、庞加莱、希尔伯特……数学的发展呼唤着帅才，让我们一起培育适合帅才发展的土壤，迎接数学发展的新时代！
参考文献：
[1] 李文林.《数学史概论》[M], 第二版, 高等教育出版社, p243.
“宝山楼”潘氏兄弟珍藏宋蜀大字本
《后山居士文集》简介
1919年秋天，吴县书市曾出现一部宋蜀大字本《后山居士文集》二十卷，由于纸色晦暗，大家都以为是明代翻刻本而不屑一顾。潘氏兄弟（潘承厚、潘承弼）两人慧眼独具，毅然以二百元收下。此集字大如钱，字体古朴浑厚，用黄麻纸印刷，钤有“晋府书画之印”、“敬德堂图书印”等印记。由此他们将藏书处取名“宝山楼”，以示珍重。
《后山居士文集》为北宋陈师道(号后山居士)作。二十卷。凡诗六卷,文十四卷。附图中为1982年上海古籍出版社影印宋蜀刻本《后山居士文集》。
宝山楼的藏书，现大部分已入图书馆或博物馆。1949年后，潘景郑（潘承弼）将余藏善本佳椠，以及清代缙绅录朱卷等献给了上海市历史文献图书馆（上海图书馆前身）。后又将所存六朝、隋、唐墓志，六朝造像，宋辽金元经幢，汉砖汉瓦百余种，以及唐代井栏的拓片等统统捐赠苏南文管会。而“字大如钱”的《后山居士文集》则归北京图书馆收藏。
《后山居士文集》简介
1919年秋天，吴县书市曾出现一部宋蜀大字本《后山居士文集》二十卷，由于纸色晦暗，大家都以为是明代翻刻本而不屑一顾。潘氏兄弟（潘承厚、潘承弼）两人慧眼独具，毅然以二百元收下。此集字大如钱，字体古朴浑厚，用黄麻纸印刷，钤有“晋府书画之印”、“敬德堂图书印”等印记。由此他们将藏书处取名“宝山楼”，以示珍重。
《后山居士文集》为北宋陈师道(号后山居士)作。二十卷。凡诗六卷,文十四卷。附图中为1982年上海古籍出版社影印宋蜀刻本《后山居士文集》。
宝山楼的藏书，现大部分已入图书馆或博物馆。1949年后，潘景郑（潘承弼）将余藏善本佳椠，以及清代缙绅录朱卷等献给了上海市历史文献图书馆（上海图书馆前身）。后又将所存六朝、隋、唐墓志，六朝造像，宋辽金元经幢，汉砖汉瓦百余种，以及唐代井栏的拓片等统统捐赠苏南文管会。而“字大如钱”的《后山居士文集》则归北京图书馆收藏。
【借我借我一双慧眼吧，让我把这世界看的清清楚楚明明白白真真切】————（谁搞事，谁造谣，哥就撕谁的脸！）
周闪闪:《起底司马南背后的流量机器和变现之谜》_____【司马南的动机也不太纯，神似当年的王自如】
_____ 【致力于新媒体公关的危机公关大师李肃；长期经营爱国流量、深谙话题运作专家饶谨；此两位也不像是什么好鸟】
纯科学汪涛:《联想，搬出北京吧！这或许是唯一的出路》
_____【联想事件深度前因后果】
王小锋:《不许联想，偏要联想》
_____ 【联想事件言论纷扰的最得体解析概括】
吴海军:《神舟电脑董事长：关于司马南质疑联想的几点回应》
_____ 【同行行业衬托，合情在理】全文献上
司马南质疑联想的视频在网上引起了巨大关注，很多言论充斥着对联想的否定，甚至有置联想于死地而后快的感觉，我作为联想的同行和竞争对手神舟电脑的创始人，忍不住想说几句。
1. 联想能将电脑做到全球第一，无疑是一家值得中国人尊敬和自豪的优秀企业，试问中国有多少品牌能做到全球第一？在电脑行业联想第一，惠普第二，戴尔第三，在今天中美激烈竞争的大背景下，打压联想，得利的是美国品牌惠普戴尔，干这种亲者痛仇者快的事，是不是有些人别有用心在帮助美国企业赢得竞争？
2. 关于联想改制过程中是否涉及国有资产流失，这自有国家相关部门核查。我只是从投资角度来看，当年中科院计算所投资20万，09年转让29％就收回去了27.55亿，现在留着的股份市值至少百亿左右，中科院这笔投资收益还是相当不错的！大家再看看北大方正，清华紫光，长城电脑，是不是感慨良多！
3. 联想电脑能做到全球第一，证明联想的改制无疑是成功的，充分尊重了企业家，调动了企业家的积极性。要知道电脑行业是一个高度竞争的行业，非常难做！曾经有几十万上百万家企业经营电脑，现在还留有几家？
4.关于联想高管高薪酬的问题，我不认为是问题，对于一家年销售额4000多亿的国际化公司，高管薪酬10亿左右，仅占销售额的千分之二点五左右，大家研究一下其他上市公司，联想这个比例是很正常的。另外整个社会对企业家的收入要开放包容，企业家毕竟是给社会创造财富的！想想有些明星一年赚几个亿，一些大咖靠资本运作甚至炒股一年赚几亿几十亿，而且有些还不好好交税，大家是不是更应该关注！要将一家高竞争行业的企业做到全球第一，企业家需要付出呕心沥血，需要非常卓越的才能！
5.一家企业做大后的社会意义是非常巨大的，首先他给员工带来就业和收入，给国家上交税收，给上下游企业带来业务，最后才是这家企业自己的盈利，一家企业只要合法纳税并且盈利就对得起国家和社会。
6.说联想负债1000多亿资不抵债会爆雷，是缺少基本常识。对于一家年销售额4000多亿的企业，仅3个月销售额的负债是非常健康的，对于制造业来说，上游一般都会有3到6个月的帐期，就连英特尔微软三星对我们神舟电脑这样的公司都会有一到三个月的纯信用帐期，更何况联想！
7.至于联想国外卖的比国内便宜，这有多种原因，但我要说的是，一个品牌没有母国消费者的支持，怎么能应对激烈的国际竞争？当年一亿三千万日本人支持日本品牌才有那么多日本品牌走向世界，到今天日本品牌在日本本土基本都比日本之外卖的贵，相信有十四亿中国人的支持，一定有更多的中国品牌在全世界取得成功，成为全球第一！
8.目前和平和发展是国际主流，人民解放军跨过太平洋走向大西洋不太可能，而我们的企业雄纠纠气昂昂跨过太平洋，走向大西洋，让世界的每个角落都有中国的品牌和产品，为中华民族赢取荣耀和利益，所以这个时代，企业家才是真正的民族英雄。相信随着中华民族的崛起，更多中国企业会象大唐盛世一样使用大量的国际人才，相信到时国人就再也不会对联想多用了几个外国高管而少见多怪了，毕竟大唐连将军都用很多外国人，也没人担心国家安全！但中国的文化常常是将军在外辛苦打仗，开疆拓土，一堆文官在后面说三道四。虽然五千年中华文明出了不少民族英雄，也出了不少汉奸，但现在的中国人一定能看清楚谁在煽动民意打压中国公司以便帮到美国公司！
9.过去一段时间，看网上的舆论发酵，实在不吐不快！现在电脑市场国产品牌份额总和还不到50％，其中联想占了绝大部分，如果把联想搞倒，覆巢之下，岂有完卵，国产品牌将更加艰难。神舟和联想是同行，也是竞争对手。过去十年，我与联想任何人都未有任何联系，更没有中间人找过我，上述文字纯属个人观点。
周闪闪:《起底司马南背后的流量机器和变现之谜》_____【司马南的动机也不太纯，神似当年的王自如】
_____ 【致力于新媒体公关的危机公关大师李肃；长期经营爱国流量、深谙话题运作专家饶谨；此两位也不像是什么好鸟】
纯科学汪涛:《联想，搬出北京吧！这或许是唯一的出路》
_____【联想事件深度前因后果】
王小锋:《不许联想，偏要联想》
_____ 【联想事件言论纷扰的最得体解析概括】
吴海军:《神舟电脑董事长：关于司马南质疑联想的几点回应》
_____ 【同行行业衬托，合情在理】全文献上
司马南质疑联想的视频在网上引起了巨大关注，很多言论充斥着对联想的否定，甚至有置联想于死地而后快的感觉，我作为联想的同行和竞争对手神舟电脑的创始人，忍不住想说几句。
1. 联想能将电脑做到全球第一，无疑是一家值得中国人尊敬和自豪的优秀企业，试问中国有多少品牌能做到全球第一？在电脑行业联想第一，惠普第二，戴尔第三，在今天中美激烈竞争的大背景下，打压联想，得利的是美国品牌惠普戴尔，干这种亲者痛仇者快的事，是不是有些人别有用心在帮助美国企业赢得竞争？
2. 关于联想改制过程中是否涉及国有资产流失，这自有国家相关部门核查。我只是从投资角度来看，当年中科院计算所投资20万，09年转让29％就收回去了27.55亿，现在留着的股份市值至少百亿左右，中科院这笔投资收益还是相当不错的！大家再看看北大方正，清华紫光，长城电脑，是不是感慨良多！
3. 联想电脑能做到全球第一，证明联想的改制无疑是成功的，充分尊重了企业家，调动了企业家的积极性。要知道电脑行业是一个高度竞争的行业，非常难做！曾经有几十万上百万家企业经营电脑，现在还留有几家？
4.关于联想高管高薪酬的问题，我不认为是问题，对于一家年销售额4000多亿的国际化公司，高管薪酬10亿左右，仅占销售额的千分之二点五左右，大家研究一下其他上市公司，联想这个比例是很正常的。另外整个社会对企业家的收入要开放包容，企业家毕竟是给社会创造财富的！想想有些明星一年赚几个亿，一些大咖靠资本运作甚至炒股一年赚几亿几十亿，而且有些还不好好交税，大家是不是更应该关注！要将一家高竞争行业的企业做到全球第一，企业家需要付出呕心沥血，需要非常卓越的才能！
5.一家企业做大后的社会意义是非常巨大的，首先他给员工带来就业和收入，给国家上交税收，给上下游企业带来业务，最后才是这家企业自己的盈利，一家企业只要合法纳税并且盈利就对得起国家和社会。
6.说联想负债1000多亿资不抵债会爆雷，是缺少基本常识。对于一家年销售额4000多亿的企业，仅3个月销售额的负债是非常健康的，对于制造业来说，上游一般都会有3到6个月的帐期，就连英特尔微软三星对我们神舟电脑这样的公司都会有一到三个月的纯信用帐期，更何况联想！
7.至于联想国外卖的比国内便宜，这有多种原因，但我要说的是，一个品牌没有母国消费者的支持，怎么能应对激烈的国际竞争？当年一亿三千万日本人支持日本品牌才有那么多日本品牌走向世界，到今天日本品牌在日本本土基本都比日本之外卖的贵，相信有十四亿中国人的支持，一定有更多的中国品牌在全世界取得成功，成为全球第一！
8.目前和平和发展是国际主流，人民解放军跨过太平洋走向大西洋不太可能，而我们的企业雄纠纠气昂昂跨过太平洋，走向大西洋，让世界的每个角落都有中国的品牌和产品，为中华民族赢取荣耀和利益，所以这个时代，企业家才是真正的民族英雄。相信随着中华民族的崛起，更多中国企业会象大唐盛世一样使用大量的国际人才，相信到时国人就再也不会对联想多用了几个外国高管而少见多怪了，毕竟大唐连将军都用很多外国人，也没人担心国家安全！但中国的文化常常是将军在外辛苦打仗，开疆拓土，一堆文官在后面说三道四。虽然五千年中华文明出了不少民族英雄，也出了不少汉奸，但现在的中国人一定能看清楚谁在煽动民意打压中国公司以便帮到美国公司！
9.过去一段时间，看网上的舆论发酵，实在不吐不快！现在电脑市场国产品牌份额总和还不到50％，其中联想占了绝大部分，如果把联想搞倒，覆巢之下，岂有完卵，国产品牌将更加艰难。神舟和联想是同行，也是竞争对手。过去十年，我与联想任何人都未有任何联系，更没有中间人找过我，上述文字纯属个人观点。
✋热门推荐