弹性不等于斜率
切勿混淆曲线的弹性与它的斜率。区别二者的常用例子是呈直线状的需求曲线。我们通常将需求曲线描绘成线性关系或直线，因为这样很容易作图。因此，一个自然的问题就是：直线需求曲线的价格弹性是多少？
这个问题的答案很令人吃惊，沿着一条直线需求曲线，价格弹性竟能够从0变动到无穷大！表4-2采用与表4-1相同的技术详细地计算了价格弹性。这张表说明，直线需求曲线的起点处价格弹性高，此处价格高而需求量低。相反，终点处价格弹性很低，此时价格低而需求量高。
这个例子说明了一个要点。当你在图形中考查一条需求曲线时，一般来说较陡的斜率并不意味着缺乏弹性，而较平缓的斜率也不标志着富有弹性。斜率并不等于弹性，这是因为，需求曲线的斜率取决于P和Q的变化，而弹性则取决于它们的百分比变动。惟一的例外是完全有弹性及完全无弹性这两种极端情况。
了解这一点的方法之一是考查图4-2（b），这条需求曲线显然并不是具有固定斜率的直线。然而它具有不变的需求弹性ED=1，因为在曲线的任何一点，价格变动的百分比都等于需求量变动的百分比。因此切记：弹性与斜率全然不同。
▲表4-2 计算线性需求曲线的价格弹性
ΔP代表价格的变动，即ΔP=P2-P1，而ΔQ=Q2-Q1。为了计算弹性的数值，价格变动的百分比等于价格变动ΔP除以平均价格（P2+P1）/2；产量变动的百分比等于ΔQ/Q，这里Q由其平均值（Q2+Q1）/2给定。把所有的数值都取作正数，二者的比例就是需求的价格弹性，ED。注意：对于直线而言，上端弹性大，下端弹性小，中点处弹性恰为1。
图4-4 斜率与弹性并不相同
直线需求曲线上的所有点都具有相同的斜率。但是，在中点的上方，需求富有弹性；在中点的下方，需求缺乏弹性；在中点，需求具有单位弹性。只有在垂直的或水平的需求曲线的情况下，如图4-3所示，你才能直接根据斜率判定价格弹性。
图4-4说明了混淆斜率和弹性的错误之处。这幅图画的是一条线性的或直线的需求曲线。由于它是线性的，因此每一点的斜率都相同。但是，在直线的上端点A附近，价格变动的百分比小，而需求量变动的百分比很大，弹性极高。因此，当我们处于线性曲线DD的上端时，价格弹性较高。相反，当我们位于线性需求曲线的下端时，价格弹性低于1。在横轴附近，弹性趋于0。
更一般地说，在任何直线的中点M的上方，需求富有弹性，ED＞1；中点处，需求具有单位弹性，ED=1；中点以下，需求缺乏弹性，ED＜1。
总之，尽管在需求完全有弹性和完全无弹性这两种极端的情况下，能够纯粹根据需求曲线的斜率确定弹性，但是对于介乎二者之间的绝大多数的实际情况来说，弹性并不能仅从斜率推导出来（图4-5提供了通过图形计算弹性的一种方法）。
图4-5 一个计算需求弹性的简单方法
直线（需求曲线）上一点的弹性等于位于该点之下的线段长度与位于该点之上的线段长度的比值。因此，B点的弹性等于3。对于非直线的需求曲线，先作过该点的切线，然后再计算需求弹性。
计算弹性的捷径 一个简单的技巧可以帮助你计算需求曲线的价格弹性：直线（需求曲线）上任何一点的弹性等于位于该点之下的线段长度与位于该点之上的线段长度的比值。
为了说明这一点，首先请看图4-4。注意：在中点M上方的线段长度（AM）恰好等于M点下方的线段长度（MZ），因此弹性为MZ/AM=1。在B点，运用这一公式得到：ED=BZ/AB=3/1=3，在R点，ED=1/3。
知道了如何计算直线上各点的弹性之后，你就可以计算出如图4-5所示的弯曲的需求曲线上任何一点的弹性。（1）经过你所要计算的点作曲线的切线（如图4-5中的B点）；然后（2）计算直线在该点的弹性（如，在B点的ED等于3）。其计算结果就正是该曲线在B点的弹性。
弹性和收益
许多企业都想知道提高价格是否可以增加或减少收益。对许多企业来说，这是个关键问题。无论是航空公司，还是餐厅或杂志社，都需要决定是否值得提高价格，以及较高价格的收益是否能够弥补较低需求的损失。让我们来看一看需求的价格弹性与总收益之间的关系。
根据定义，总收益（total revenue）等于价格乘以数量（即P×Q）。如果消费者以每单位3美元的价格购买5单位，那么总收益为15美元。如果你知道需求的价格弹性，你就会弄清价格变动对总收益会产生什么影响：
1．当需求缺乏弹性时，降低价格会减少总收益。
2．当需求富有弹性时，降低价格会增加总收益。
3．当需求具有单位弹性时，价格下跌不会引起总收益的任何变动。
在今天的经济生活中，弹性的概念已经得到了广泛的应用，依据不同的弹性对消费者进行分组管理的尝试就是其中的一个例子。该技术已在航空运输业界被广泛倡导和流行（详见下面的专栏）。另一个例子是软件公司，他们尝试着用不同的弹性对其产品制定不同的价格。例如，如果你购买一个全新操作系统的需求非常地迫切，那么你的需求弹性就比较低。在这种情况下，出售者会就可以向你收取一个比较高的价格，从而多获得利润。相反，如果你并不急于更新你的操作系统，则你就可以伺机寻求一个更合适的价格。这种情况下，你的需求弹性就比较高，出售者只能向你索取比较低的价格以卖出他们的产品。
切勿混淆曲线的弹性与它的斜率。区别二者的常用例子是呈直线状的需求曲线。我们通常将需求曲线描绘成线性关系或直线，因为这样很容易作图。因此，一个自然的问题就是：直线需求曲线的价格弹性是多少？
这个问题的答案很令人吃惊，沿着一条直线需求曲线，价格弹性竟能够从0变动到无穷大！表4-2采用与表4-1相同的技术详细地计算了价格弹性。这张表说明，直线需求曲线的起点处价格弹性高，此处价格高而需求量低。相反，终点处价格弹性很低，此时价格低而需求量高。
这个例子说明了一个要点。当你在图形中考查一条需求曲线时，一般来说较陡的斜率并不意味着缺乏弹性，而较平缓的斜率也不标志着富有弹性。斜率并不等于弹性，这是因为，需求曲线的斜率取决于P和Q的变化，而弹性则取决于它们的百分比变动。惟一的例外是完全有弹性及完全无弹性这两种极端情况。
了解这一点的方法之一是考查图4-2（b），这条需求曲线显然并不是具有固定斜率的直线。然而它具有不变的需求弹性ED=1，因为在曲线的任何一点，价格变动的百分比都等于需求量变动的百分比。因此切记：弹性与斜率全然不同。
▲表4-2 计算线性需求曲线的价格弹性
ΔP代表价格的变动，即ΔP=P2-P1，而ΔQ=Q2-Q1。为了计算弹性的数值，价格变动的百分比等于价格变动ΔP除以平均价格（P2+P1）/2；产量变动的百分比等于ΔQ/Q，这里Q由其平均值（Q2+Q1）/2给定。把所有的数值都取作正数，二者的比例就是需求的价格弹性，ED。注意：对于直线而言，上端弹性大，下端弹性小，中点处弹性恰为1。
图4-4 斜率与弹性并不相同
直线需求曲线上的所有点都具有相同的斜率。但是，在中点的上方，需求富有弹性；在中点的下方，需求缺乏弹性；在中点，需求具有单位弹性。只有在垂直的或水平的需求曲线的情况下，如图4-3所示，你才能直接根据斜率判定价格弹性。
图4-4说明了混淆斜率和弹性的错误之处。这幅图画的是一条线性的或直线的需求曲线。由于它是线性的，因此每一点的斜率都相同。但是，在直线的上端点A附近，价格变动的百分比小，而需求量变动的百分比很大，弹性极高。因此，当我们处于线性曲线DD的上端时，价格弹性较高。相反，当我们位于线性需求曲线的下端时，价格弹性低于1。在横轴附近，弹性趋于0。
更一般地说，在任何直线的中点M的上方，需求富有弹性，ED＞1；中点处，需求具有单位弹性，ED=1；中点以下，需求缺乏弹性，ED＜1。
总之，尽管在需求完全有弹性和完全无弹性这两种极端的情况下，能够纯粹根据需求曲线的斜率确定弹性，但是对于介乎二者之间的绝大多数的实际情况来说，弹性并不能仅从斜率推导出来（图4-5提供了通过图形计算弹性的一种方法）。
图4-5 一个计算需求弹性的简单方法
直线（需求曲线）上一点的弹性等于位于该点之下的线段长度与位于该点之上的线段长度的比值。因此，B点的弹性等于3。对于非直线的需求曲线，先作过该点的切线，然后再计算需求弹性。
计算弹性的捷径 一个简单的技巧可以帮助你计算需求曲线的价格弹性：直线（需求曲线）上任何一点的弹性等于位于该点之下的线段长度与位于该点之上的线段长度的比值。
为了说明这一点，首先请看图4-4。注意：在中点M上方的线段长度（AM）恰好等于M点下方的线段长度（MZ），因此弹性为MZ/AM=1。在B点，运用这一公式得到：ED=BZ/AB=3/1=3，在R点，ED=1/3。
知道了如何计算直线上各点的弹性之后，你就可以计算出如图4-5所示的弯曲的需求曲线上任何一点的弹性。（1）经过你所要计算的点作曲线的切线（如图4-5中的B点）；然后（2）计算直线在该点的弹性（如，在B点的ED等于3）。其计算结果就正是该曲线在B点的弹性。
弹性和收益
许多企业都想知道提高价格是否可以增加或减少收益。对许多企业来说，这是个关键问题。无论是航空公司，还是餐厅或杂志社，都需要决定是否值得提高价格，以及较高价格的收益是否能够弥补较低需求的损失。让我们来看一看需求的价格弹性与总收益之间的关系。
根据定义，总收益（total revenue）等于价格乘以数量（即P×Q）。如果消费者以每单位3美元的价格购买5单位，那么总收益为15美元。如果你知道需求的价格弹性，你就会弄清价格变动对总收益会产生什么影响：
1．当需求缺乏弹性时，降低价格会减少总收益。
2．当需求富有弹性时，降低价格会增加总收益。
3．当需求具有单位弹性时，价格下跌不会引起总收益的任何变动。
在今天的经济生活中，弹性的概念已经得到了广泛的应用，依据不同的弹性对消费者进行分组管理的尝试就是其中的一个例子。该技术已在航空运输业界被广泛倡导和流行（详见下面的专栏）。另一个例子是软件公司，他们尝试着用不同的弹性对其产品制定不同的价格。例如，如果你购买一个全新操作系统的需求非常地迫切，那么你的需求弹性就比较低。在这种情况下，出售者会就可以向你收取一个比较高的价格，从而多获得利润。相反，如果你并不急于更新你的操作系统，则你就可以伺机寻求一个更合适的价格。这种情况下，你的需求弹性就比较高，出售者只能向你索取比较低的价格以卖出他们的产品。
原来鞋子选不对真的毁关节，以后少穿这4种鞋！

导 语
鞋子好不好，只有脚知道，鞋子到底该怎么选？先问问你的关节。
这几种鞋子伤膝关节！！！
高跟鞋
无论鞋跟的形状和高度如何，都会对膝盖造成一定的损伤。《骨科研究杂志》上的一项研究成果显示，无论是穿10厘米以上的细高跟鞋，还是5厘米~10厘米的粗跟鞋、坡跟鞋，走路时都会对膝盖施加额外的压力，为患上膝骨关节炎埋下了隐患。
硬地运动鞋
如果鞋底过硬，鞋底的前端和中部的结合部位不易弯曲，这会妨碍跖趾关节活动，前足不能顺利完成推进动作，这时候膝关节承受应力将增大，导致疼痛。
厚底运动鞋
过于厚底的运动鞋会导致脚部对地面的感知能力下降。在不平地面行走时，容易出现踝关节扭伤，膝关节活动受限，进而导致膝关节疼痛。
木底鞋
市面上很多女士厚底鞋、凉鞋、高跟鞋或拖鞋等的鞋底采用不易变形的木底。这种鞋底没有弹性，走路时不会随着脚步的动作而贴合脚面。因此，穿着这种鞋走路会给膝盖施加很大的压力，特别是关节炎患者，走路非常容易导致膝盖疼痛。
什么样的鞋子最合脚？
所谓合脚的鞋，应该包括两个方面，一是大小合适，二是结构合适。
大小合适：指鞋既不能太大，也不能太小。鞋太大，脚在里面得不到充分固定，来回摩擦容易造成损伤；鞋太小，会对脚的各个部位造成挤压，从而产生物理伤害。比较合适的鞋的大小应该是最长的脚趾尖和鞋尖内侧边缘间有1厘米的间隙，也就是脚趾与鞋尖应留有一横指的距离。
结构合适：指鞋的各个组成部分设计和选材合理。比如鞋面，应该选择透气性好的材料，否则容易捂脚、臭脚。鞋底，应该选择有弹性的材料。鞋的设计应重视对足弓的支撑。
人在衰老的时候，足从结构和功能都会出现改变，老年人易足弓塌陷，如何选择一双合适的“老人鞋”呢？
老年人选鞋三不要
不要鞋底太软
能够“扭成麻花”或者很容易就能够对折的鞋子，不适合老年人穿。
过于柔软的鞋底对足弓起不到足够的支撑作用，会增加崴脚、扭脚和足底的损伤的风险。
不要鞋底太平
老人脚后跟脂肪垫变薄，缓冲能力变弱，过于平坦的鞋子极易因为路面不平而引发足跟的疼痛，发生足底筋膜炎的几率也会变高。
厚底运动鞋
过于厚底的运动鞋会导致脚部对地面的感知能力下降。在不平地面行走时，容易出现踝关节扭伤，膝关节活动受限，进而导致膝关节疼痛。
不要绒毛太长
鞋子内里的绒毛过长，脚底容易出汗，足部卫生就可能得不到保障。
特别是糖尿病人，末梢循环和神经感知较差，如果足部溃烂，鞋内绒毛过长不利于创面恢复，有可能加重病情。
如何选适合老人的鞋子？
合脚！试过才能选
一双合脚的鞋的前提是不挤脚。
脚趾前留出的空间基本在0.5cm~1cm左右，预留出足够的空间让脚趾有充分的空间活动，鞋的尺寸要以最长的脚趾（主要是二脚趾）的长度为主。
“老人鞋”合不合适，不能凭经验，一定要试！
注意：傍晚（大概17：00-19：00之间）是一天之中脚部最浮肿的时候，也是试穿鞋子的最佳时机。试穿时至少要穿十几分钟，来回多走动一会，不磨脚再买。
防滑！橡胶颗粒鞋底是关键
好的防滑底一般都有三个特点：橡胶大底+左右横纹+表面粗糙。
橡胶是所有材料中防滑性能最好的，以天然橡胶为首选。
此外，选择鞋底沟纹深且多的鞋子，既不容易卡砂石，还能帮助排水。宜选择横向向左右两边延伸，并在边缘处设计为开口的款式为主。
最后，选择鞋底的表面粗糙的鞋子，鞋底越细小越粗糙，其防滑能力就更强。
减震！买前按压鞋底测一测
老年人走路时脚步重，长期穿着减震不好的鞋子，便会对脚底板造成冲击，造成足部炎症。尤其对肥胖者、扁平足的伤害尤其明显。
如何判断减震是否合理？
很简单，按压鞋底，手指按下去之后，鞋底有一定的形变，然后又能感觉到一个力量回送过来。
良好的回弹性能才能更好地保持行走过程中缓冲、减震的效果。
支撑！试时左右翻一翻
老年人很容易出现足弓塌陷，鞋跟处和鞋垫足弓处要有足够的支撑才行。如果鞋子后面的支撑不够，走路极其容易崴脚。
如何判断支撑是否合格？
这就需要试穿过程中，站立时双脚向左右两侧翻一翻，来测试鞋子的稳定度。
如果脚踝部分很容易翻过去，建议不要购买，否则穿上容易崴脚。
方便灵活防绊倒
一般老年人行动不是很方便，弯腰十分困难，手指也不太灵活。使用粘扣带对他们来说会更方便的，穿脱都比较容易。另外也会避免由于鞋带松开，产生绊倒的危险情况。
对于老人而言，一双好鞋必须 “脚鞋一体”。 特别是有了病理改变的老人脚，例如拇外翻、平足、高弓足等，这些脚需要去医院配置特定的矫形鞋或鞋垫。
小贴士
扁平足的人：应该选择有足弓支撑的鞋子，且鞋底不要过软，建议选择系带的鞋子，稳定性更强。
拇外翻的人：前端不要太窄，鞋底也不要太软，鞋跟高度在2.5厘米~3厘米。
容易崴脚的人：选择高帮鞋，对脚踝有一定的保护和稳定作用。
来 源 / 京医通、CCTV生活圈 https://t.cn/RI1ENXb

导 语
鞋子好不好，只有脚知道，鞋子到底该怎么选？先问问你的关节。
这几种鞋子伤膝关节！！！
高跟鞋
无论鞋跟的形状和高度如何，都会对膝盖造成一定的损伤。《骨科研究杂志》上的一项研究成果显示，无论是穿10厘米以上的细高跟鞋，还是5厘米~10厘米的粗跟鞋、坡跟鞋，走路时都会对膝盖施加额外的压力，为患上膝骨关节炎埋下了隐患。
硬地运动鞋
如果鞋底过硬，鞋底的前端和中部的结合部位不易弯曲，这会妨碍跖趾关节活动，前足不能顺利完成推进动作，这时候膝关节承受应力将增大，导致疼痛。
厚底运动鞋
过于厚底的运动鞋会导致脚部对地面的感知能力下降。在不平地面行走时，容易出现踝关节扭伤，膝关节活动受限，进而导致膝关节疼痛。
木底鞋
市面上很多女士厚底鞋、凉鞋、高跟鞋或拖鞋等的鞋底采用不易变形的木底。这种鞋底没有弹性，走路时不会随着脚步的动作而贴合脚面。因此，穿着这种鞋走路会给膝盖施加很大的压力，特别是关节炎患者，走路非常容易导致膝盖疼痛。
什么样的鞋子最合脚？
所谓合脚的鞋，应该包括两个方面，一是大小合适，二是结构合适。
大小合适：指鞋既不能太大，也不能太小。鞋太大，脚在里面得不到充分固定，来回摩擦容易造成损伤；鞋太小，会对脚的各个部位造成挤压，从而产生物理伤害。比较合适的鞋的大小应该是最长的脚趾尖和鞋尖内侧边缘间有1厘米的间隙，也就是脚趾与鞋尖应留有一横指的距离。
结构合适：指鞋的各个组成部分设计和选材合理。比如鞋面，应该选择透气性好的材料，否则容易捂脚、臭脚。鞋底，应该选择有弹性的材料。鞋的设计应重视对足弓的支撑。
人在衰老的时候，足从结构和功能都会出现改变，老年人易足弓塌陷，如何选择一双合适的“老人鞋”呢？
老年人选鞋三不要
不要鞋底太软
能够“扭成麻花”或者很容易就能够对折的鞋子，不适合老年人穿。
过于柔软的鞋底对足弓起不到足够的支撑作用，会增加崴脚、扭脚和足底的损伤的风险。
不要鞋底太平
老人脚后跟脂肪垫变薄，缓冲能力变弱，过于平坦的鞋子极易因为路面不平而引发足跟的疼痛，发生足底筋膜炎的几率也会变高。
厚底运动鞋
过于厚底的运动鞋会导致脚部对地面的感知能力下降。在不平地面行走时，容易出现踝关节扭伤，膝关节活动受限，进而导致膝关节疼痛。
不要绒毛太长
鞋子内里的绒毛过长，脚底容易出汗，足部卫生就可能得不到保障。
特别是糖尿病人，末梢循环和神经感知较差，如果足部溃烂，鞋内绒毛过长不利于创面恢复，有可能加重病情。
如何选适合老人的鞋子？
合脚！试过才能选
一双合脚的鞋的前提是不挤脚。
脚趾前留出的空间基本在0.5cm~1cm左右，预留出足够的空间让脚趾有充分的空间活动，鞋的尺寸要以最长的脚趾（主要是二脚趾）的长度为主。
“老人鞋”合不合适，不能凭经验，一定要试！
注意：傍晚（大概17：00-19：00之间）是一天之中脚部最浮肿的时候，也是试穿鞋子的最佳时机。试穿时至少要穿十几分钟，来回多走动一会，不磨脚再买。
防滑！橡胶颗粒鞋底是关键
好的防滑底一般都有三个特点：橡胶大底+左右横纹+表面粗糙。
橡胶是所有材料中防滑性能最好的，以天然橡胶为首选。
此外，选择鞋底沟纹深且多的鞋子，既不容易卡砂石，还能帮助排水。宜选择横向向左右两边延伸，并在边缘处设计为开口的款式为主。
最后，选择鞋底的表面粗糙的鞋子，鞋底越细小越粗糙，其防滑能力就更强。
减震！买前按压鞋底测一测
老年人走路时脚步重，长期穿着减震不好的鞋子，便会对脚底板造成冲击，造成足部炎症。尤其对肥胖者、扁平足的伤害尤其明显。
如何判断减震是否合理？
很简单，按压鞋底，手指按下去之后，鞋底有一定的形变，然后又能感觉到一个力量回送过来。
良好的回弹性能才能更好地保持行走过程中缓冲、减震的效果。
支撑！试时左右翻一翻
老年人很容易出现足弓塌陷，鞋跟处和鞋垫足弓处要有足够的支撑才行。如果鞋子后面的支撑不够，走路极其容易崴脚。
如何判断支撑是否合格？
这就需要试穿过程中，站立时双脚向左右两侧翻一翻，来测试鞋子的稳定度。
如果脚踝部分很容易翻过去，建议不要购买，否则穿上容易崴脚。
方便灵活防绊倒
一般老年人行动不是很方便，弯腰十分困难，手指也不太灵活。使用粘扣带对他们来说会更方便的，穿脱都比较容易。另外也会避免由于鞋带松开，产生绊倒的危险情况。
对于老人而言，一双好鞋必须 “脚鞋一体”。 特别是有了病理改变的老人脚，例如拇外翻、平足、高弓足等，这些脚需要去医院配置特定的矫形鞋或鞋垫。
小贴士
扁平足的人：应该选择有足弓支撑的鞋子，且鞋底不要过软，建议选择系带的鞋子，稳定性更强。
拇外翻的人：前端不要太窄，鞋底也不要太软，鞋跟高度在2.5厘米~3厘米。
容易崴脚的人：选择高帮鞋，对脚踝有一定的保护和稳定作用。
来 源 / 京医通、CCTV生活圈 https://t.cn/RI1ENXb
#很喜欢的一首诗#
你的孩子不是你的孩子
作者：纪伯伦
你的孩子，其实不是你的孩子，
他们是生命对于自身渴望而诞生的孩子。
他们通过你来到这世界，
却非因你而来，
他们在你身边，却并不属于你。
你可以给予他们的是你的爱，
却不是你的想法，
因为他们自己有自己的思想。
你可以庇护的是他们的身体，
却不是他们的灵魂，
因为他们的灵魂属于明天，
属于你做梦也无法达到的明天。
你可以拼尽全力，变得象他们一样，
却不要让他们变得和你一样，
因为生命不会后退，也不在过去停留。
你是弓，儿女是从你那里射出的箭。
弓箭手望着未来之路上的箭靶，
他用尽力气将你拉开，
使他的箭射得又快又远。
怀着快乐的心情，
在弓箭手的手里弯曲吧，
因为他爱一路飞翔的箭，
也爱无比稳定的弓。 https://t.cn/z8cKNit
你的孩子不是你的孩子
作者：纪伯伦
你的孩子，其实不是你的孩子，
他们是生命对于自身渴望而诞生的孩子。
他们通过你来到这世界，
却非因你而来，
他们在你身边，却并不属于你。
你可以给予他们的是你的爱，
却不是你的想法，
因为他们自己有自己的思想。
你可以庇护的是他们的身体，
却不是他们的灵魂，
因为他们的灵魂属于明天，
属于你做梦也无法达到的明天。
你可以拼尽全力，变得象他们一样，
却不要让他们变得和你一样，
因为生命不会后退，也不在过去停留。
你是弓，儿女是从你那里射出的箭。
弓箭手望着未来之路上的箭靶，
他用尽力气将你拉开，
使他的箭射得又快又远。
怀着快乐的心情，
在弓箭手的手里弯曲吧，
因为他爱一路飞翔的箭，
也爱无比稳定的弓。 https://t.cn/z8cKNit
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