宣州谢朓楼饯别校书叔云
唐 李白 〕
弃我去者，昨日之日不可留；
乱我心者，今日之日多烦忧。
长风万里送秋雁，对此可以酣高楼。
蓬莱文章建安骨，中间小谢又清发。
俱怀逸兴壮思飞，欲上青天揽明月。
抽刀断水水更流，举杯销愁愁更愁。
人生在世不称意，明朝散发弄扁舟。
作者生平
李白（701年－762年） ，字太白，号青莲居士，又号“谪仙人”，唐代伟大的浪漫主义诗人，被后人誉为“诗仙”，与杜甫并称为“李杜”，为了与另两位诗人李商隐与杜牧即“小李杜”区别，杜甫与李白又合称“大李杜”。据《新唐书》记载，李白为兴圣皇帝（凉武昭王李暠）九世孙，与李唐诸王同宗。其人爽朗大方，爱饮酒作诗，喜交友。李白深受黄老列庄思想影响，有《李太白集》传世，诗作中多以醉时写的，代表作有《望庐山瀑布》《行路难》《蜀道难》《将进酒》《明堂赋》《早发白帝城》等多首。
创作背景
这首诗大约是作于天宝十二载（公元753年）。此年秋天李白来到宣州，客居宣州不久，他的一位故人李云行至此，很快又要离开，李白陪他登谢朓楼，设宴送行。宣州谢朓楼是南齐诗人谢朓任宣城太守时所建。李白曾多次登临，并写过一首《秋登宣城谢朓北楼》。
译文
弃我而去的昨天，早已不可挽留。
乱我心绪的今天，使人无限烦忧。
万里长风吹送南归的鸿雁，面对此景，正可以登上高楼开怀畅饮。
先生的文章颇具建安风骨，又不时流露出小谢诗风的清秀。
我们都满怀豪情逸兴，飞跃的神思像要腾空而上高高的青天，去摘取那皎洁的明月。
拔刀断水水却更加汹涌奔流，举杯消愁愁情上却更加浓烈。
人生在世不能称心如意，不如披头散发，登上长江一叶扁舟。
注释
此诗《文苑英华》题作《陪侍御叔华登楼歌》，则所别者为李云（官秘书省校书郎)，李华(文学家)。李白另有五言诗《饯校书叔云》，作于某春季，且无登楼事，与此诗无涉。
宣州：今安徽宣城一带。
谢朓（tiǎo）楼：又名北楼、谢公楼，在陵阳山上，谢朓任宣城太守时所建，并改名为叠嶂楼。
饯别：以酒食送行。
校（jiào）书：官名，即秘书省校书郎，掌管朝廷的图书整理工作。
叔云：李云，又名李华（此诗《文苑英华》题作《陪侍御叔华登楼歌》），是当时著名的古文家，任秘书省校书郎，专门负责校对图书。李白称他为叔，但并非族亲关系。
长风：远风，大风。
此：指上句的长风秋雁的景色。
酣（hān）高楼：畅饮于高楼。
蓬莱：此指东汉时藏书之东观。《后汉书》卷二三《窦融列传》附窦章传：“是时学者称东观为老氏藏室，道家蓬莱山”。李贤注：“言东观经籍多也。蓬莱，海中神山，为仙府，幽经秘籍并皆在也。”蓬莱文章：借指李云的文章。建安骨：汉末建安（汉献帝年号，196—220）年间，“三曹”和“七子”等作家所作之诗风骨遒上，后人称之为“建安风骨”。
小谢：指谢朓，字玄晖，南朝齐诗人。后人将他和谢灵运称为大谢、小谢。这里用以自喻。
清发（fā）：指清新秀发的诗风。发：秀发，诗文俊逸。
俱怀：两人都怀有。
逸兴（xìng）：飘逸豪放的兴致，多指山水游兴，超远的意兴。王勃《滕王阁序》：“遥襟甫畅，逸兴遄飞”。李白《送贺宾客归越》：“镜湖流水漾清波，狂客归舟逸兴多。”壮思飞：卢思道《卢记室诔》：“丽词泉涌，壮思云飞。”
壮思：雄心壮志，豪壮的意思。
揽：摘取。
销：另一版本为“消”。。
称（chèn）意：称心如意。
明朝（zhāo）：明天。
散发（fà）：不束冠，意谓不做官。这里是形容狂放不羁。古人束发戴冠，散发表示闲适自在。
弄扁（piān）舟：乘小舟归隐江湖。扁舟：小舟，小船。春秋末年，范蠡辞别越王勾践，“乘扁舟浮于江湖”（《史记·货殖列传》）。
赏析
本诗是作者在宣州谢朓楼上的饯别之作。诗人感怀万千，既满怀豪情逸兴，又时时掩抑不住郁闷和不平，感情回复跌宕，一波三折。语言明朗，似脱口而出，音调激越高昂。
此诗发端既不写楼，更不叙别，而是陡起壁立，直抒郁结。“昨日之日”与“今日之日”，是指许许多多个弃我而去的“昨日”和接踵而至的“今日”。也就是说，每一天都深感日月不居，时光难驻，心烦意乱，忧愤郁悒。这里既蕴含了“功业莫从就，岁光屡奔迫”的精神苦闷，也融铸着诗人对污浊的政治现实的感受。他的“烦忧”既不自“今日”始，他所“烦忧”者也非止一端。不妨说，这是对他长期以来政治遭遇和政治感受的一个艺术概括。忧愤之深广、强烈，正反映出天宝以来朝政的愈趋腐败和李白个人遭遇的愈趋困窘。理想与现实的尖锐矛盾所引起的强烈精神苦闷，在这里找到了适合的表现形式。破空而来的发端，重叠复沓的语言（既说“弃我去”，又说“不可留”；既言“乱我心”，又称“多烦忧”），以及一气鼓荡、长达十一字的句式，都极生动形象地显示出诗人郁结之深、忧愤之烈、心绪之乱，以及一触即发、发则不可抑止的感情状态。
“长风万里送秋雁，对此可以酣高楼。”两句突作转折：而对着寥廓明净的秋空，遥望万里长风吹送鸿雁的壮美景色，不由得激起酣饮高楼的豪情逸兴。这两句在读者面前展现出一幅壮阔明朗的万里秋空画图，也展示出诗人豪迈阔大的胸襟。从极端苦闷忽然转到朗爽壮阔的境界，仿佛变化无端，不可思议。但这正是李白之所以为李白。正因为他素怀远大的理想抱负，又长期为黑暗污浊的环境所压抑，所以时刻都向往着广大的可以自由驰骋的空间。目接“长风万里送秋雁”之境，不觉精神为之一爽，烦忧为之一扫，感到一种心、境契合的舒畅，“酣饮高楼”的豪情逸兴也就油然而生了。
“蓬莱文章建安骨，中间小谢又清发。”两句承高楼饯别分写主客双方。东汉时学者称东观（政府的藏书机构）为道家蓬莱山，唐人又多以蓬山，蓬阁指秘书省，李云是秘书省校书郎，所以这里用“蓬莱文章”借指李云的文章。建安骨，指刚健遒劲的“建安风骨”。上句赞美李云的文章风格刚健，下句则以“小谢”（即谢朓）自指，说自己的诗像谢朓那样，具有清新秀发的风格。李白非常推崇谢朓，这里自比小谢，正流露出对自己才能的自信。这两句自然地关合了题目中的谢朓楼和校书。
“俱怀逸兴壮思飞，欲上青天览明月。”两句就“酣高楼”进一步渲染双方的意兴，说彼此都怀有豪情逸兴、雄心壮志，酒酣兴发，更是飘然欲飞，想登上青天揽取明月。前面方写晴昼秋空，这里却说到“明月”，可见后者当非实景。“欲上”云云，也说明这是诗人酒酣兴发时的豪语。豪放与天真，在这里得到了和谐的统一。这正是李白的性格。上天揽月，固然是一时兴到之语，未必有所寓托，但这飞动健举的形象却让读者分明感觉到诗人对高洁理想境界的向往追求。这两句笔酣墨饱，淋漓尽致，把面对“长风万里送秋雁”的境界所激起的昂扬情绪推向最高潮，仿佛现实中一切黑暗污浊都已一扫而光，心头的一切烦忧都已丢到了九霄云外。
“抽刀断水水更流”的比喻是奇特而富于独创性的，同时又是自然贴切而富于生活气息的。谢朓楼前，就是终年长流的宛溪水，不尽的流水与无穷的烦忧之间本就极易产生联想，因而很自然地由排遣烦忧的强烈愿望中引发出“抽刀断水”的意念。由于比喻和眼前景的联系密切，从而使它多少具有“兴”的意味，读来便感到自然天成。尽管内心的苦闷无法排遣，但“抽刀断水”这个细节却生动地显示出诗人力图摆脱精神苦闷的要求，这就和沉溺于苦闷而不能自拔者有明显区别。
“人生在世不称意，明朝散发弄扁舟。”李白的进步理想与黑暗现实的矛盾，在当时历史条件下，是无法解决的，因此，他总是陷于“不称意”的苦闷中，而且只能找到“散发弄扁舟”这样一条摆脱苦闷的出路。这结论当然不免有些消极，甚至包含着逃避现实的成分。但历史与他所代表的社会阶层都规定了他不可能找到更好的出路。
李白的可贵之处在于，尽管他精神上经受着苦闷的重压，但并没有因此放弃对进步理想的追求。诗中仍然贯注豪迈慷慨的情怀。“长风”二句，“俱怀”二句，更象是在悲怆的乐曲中奏出高昂乐观的音调，在黑暗的云层中露出灿烂明丽的霞光。“抽刀”二句，也在抒写强烈苦闷的同时表现出倔强的性格。因此，整首诗给人的感觉不是阴郁绝望，而是忧愤苦闷中显现出豪迈雄放的气概。这说明诗人既不屈服于环境的压抑，也不屈服于内心的重压。
全诗如歌如诉，情感起伏涨落，韵味深长，一波三折，章法腾挪跌宕，起落无端，断续无迹，语言明朗朴素，音调激越高昂，达到了豪放与自然和谐统一的境界。
唐 李白 〕
弃我去者，昨日之日不可留；
乱我心者，今日之日多烦忧。
长风万里送秋雁，对此可以酣高楼。
蓬莱文章建安骨，中间小谢又清发。
俱怀逸兴壮思飞，欲上青天揽明月。
抽刀断水水更流，举杯销愁愁更愁。
人生在世不称意，明朝散发弄扁舟。
作者生平
李白（701年－762年） ，字太白，号青莲居士，又号“谪仙人”，唐代伟大的浪漫主义诗人，被后人誉为“诗仙”，与杜甫并称为“李杜”，为了与另两位诗人李商隐与杜牧即“小李杜”区别，杜甫与李白又合称“大李杜”。据《新唐书》记载，李白为兴圣皇帝（凉武昭王李暠）九世孙，与李唐诸王同宗。其人爽朗大方，爱饮酒作诗，喜交友。李白深受黄老列庄思想影响，有《李太白集》传世，诗作中多以醉时写的，代表作有《望庐山瀑布》《行路难》《蜀道难》《将进酒》《明堂赋》《早发白帝城》等多首。
创作背景
这首诗大约是作于天宝十二载（公元753年）。此年秋天李白来到宣州，客居宣州不久，他的一位故人李云行至此，很快又要离开，李白陪他登谢朓楼，设宴送行。宣州谢朓楼是南齐诗人谢朓任宣城太守时所建。李白曾多次登临，并写过一首《秋登宣城谢朓北楼》。
译文
弃我而去的昨天，早已不可挽留。
乱我心绪的今天，使人无限烦忧。
万里长风吹送南归的鸿雁，面对此景，正可以登上高楼开怀畅饮。
先生的文章颇具建安风骨，又不时流露出小谢诗风的清秀。
我们都满怀豪情逸兴，飞跃的神思像要腾空而上高高的青天，去摘取那皎洁的明月。
拔刀断水水却更加汹涌奔流，举杯消愁愁情上却更加浓烈。
人生在世不能称心如意，不如披头散发，登上长江一叶扁舟。
注释
此诗《文苑英华》题作《陪侍御叔华登楼歌》，则所别者为李云（官秘书省校书郎)，李华(文学家)。李白另有五言诗《饯校书叔云》，作于某春季，且无登楼事，与此诗无涉。
宣州：今安徽宣城一带。
谢朓（tiǎo）楼：又名北楼、谢公楼，在陵阳山上，谢朓任宣城太守时所建，并改名为叠嶂楼。
饯别：以酒食送行。
校（jiào）书：官名，即秘书省校书郎，掌管朝廷的图书整理工作。
叔云：李云，又名李华（此诗《文苑英华》题作《陪侍御叔华登楼歌》），是当时著名的古文家，任秘书省校书郎，专门负责校对图书。李白称他为叔，但并非族亲关系。
长风：远风，大风。
此：指上句的长风秋雁的景色。
酣（hān）高楼：畅饮于高楼。
蓬莱：此指东汉时藏书之东观。《后汉书》卷二三《窦融列传》附窦章传：“是时学者称东观为老氏藏室，道家蓬莱山”。李贤注：“言东观经籍多也。蓬莱，海中神山，为仙府，幽经秘籍并皆在也。”蓬莱文章：借指李云的文章。建安骨：汉末建安（汉献帝年号，196—220）年间，“三曹”和“七子”等作家所作之诗风骨遒上，后人称之为“建安风骨”。
小谢：指谢朓，字玄晖，南朝齐诗人。后人将他和谢灵运称为大谢、小谢。这里用以自喻。
清发（fā）：指清新秀发的诗风。发：秀发，诗文俊逸。
俱怀：两人都怀有。
逸兴（xìng）：飘逸豪放的兴致，多指山水游兴，超远的意兴。王勃《滕王阁序》：“遥襟甫畅，逸兴遄飞”。李白《送贺宾客归越》：“镜湖流水漾清波，狂客归舟逸兴多。”壮思飞：卢思道《卢记室诔》：“丽词泉涌，壮思云飞。”
壮思：雄心壮志，豪壮的意思。
揽：摘取。
销：另一版本为“消”。。
称（chèn）意：称心如意。
明朝（zhāo）：明天。
散发（fà）：不束冠，意谓不做官。这里是形容狂放不羁。古人束发戴冠，散发表示闲适自在。
弄扁（piān）舟：乘小舟归隐江湖。扁舟：小舟，小船。春秋末年，范蠡辞别越王勾践，“乘扁舟浮于江湖”（《史记·货殖列传》）。
赏析
本诗是作者在宣州谢朓楼上的饯别之作。诗人感怀万千，既满怀豪情逸兴，又时时掩抑不住郁闷和不平，感情回复跌宕，一波三折。语言明朗，似脱口而出，音调激越高昂。
此诗发端既不写楼，更不叙别，而是陡起壁立，直抒郁结。“昨日之日”与“今日之日”，是指许许多多个弃我而去的“昨日”和接踵而至的“今日”。也就是说，每一天都深感日月不居，时光难驻，心烦意乱，忧愤郁悒。这里既蕴含了“功业莫从就，岁光屡奔迫”的精神苦闷，也融铸着诗人对污浊的政治现实的感受。他的“烦忧”既不自“今日”始，他所“烦忧”者也非止一端。不妨说，这是对他长期以来政治遭遇和政治感受的一个艺术概括。忧愤之深广、强烈，正反映出天宝以来朝政的愈趋腐败和李白个人遭遇的愈趋困窘。理想与现实的尖锐矛盾所引起的强烈精神苦闷，在这里找到了适合的表现形式。破空而来的发端，重叠复沓的语言（既说“弃我去”，又说“不可留”；既言“乱我心”，又称“多烦忧”），以及一气鼓荡、长达十一字的句式，都极生动形象地显示出诗人郁结之深、忧愤之烈、心绪之乱，以及一触即发、发则不可抑止的感情状态。
“长风万里送秋雁，对此可以酣高楼。”两句突作转折：而对着寥廓明净的秋空，遥望万里长风吹送鸿雁的壮美景色，不由得激起酣饮高楼的豪情逸兴。这两句在读者面前展现出一幅壮阔明朗的万里秋空画图，也展示出诗人豪迈阔大的胸襟。从极端苦闷忽然转到朗爽壮阔的境界，仿佛变化无端，不可思议。但这正是李白之所以为李白。正因为他素怀远大的理想抱负，又长期为黑暗污浊的环境所压抑，所以时刻都向往着广大的可以自由驰骋的空间。目接“长风万里送秋雁”之境，不觉精神为之一爽，烦忧为之一扫，感到一种心、境契合的舒畅，“酣饮高楼”的豪情逸兴也就油然而生了。
“蓬莱文章建安骨，中间小谢又清发。”两句承高楼饯别分写主客双方。东汉时学者称东观（政府的藏书机构）为道家蓬莱山，唐人又多以蓬山，蓬阁指秘书省，李云是秘书省校书郎，所以这里用“蓬莱文章”借指李云的文章。建安骨，指刚健遒劲的“建安风骨”。上句赞美李云的文章风格刚健，下句则以“小谢”（即谢朓）自指，说自己的诗像谢朓那样，具有清新秀发的风格。李白非常推崇谢朓，这里自比小谢，正流露出对自己才能的自信。这两句自然地关合了题目中的谢朓楼和校书。
“俱怀逸兴壮思飞，欲上青天览明月。”两句就“酣高楼”进一步渲染双方的意兴，说彼此都怀有豪情逸兴、雄心壮志，酒酣兴发，更是飘然欲飞，想登上青天揽取明月。前面方写晴昼秋空，这里却说到“明月”，可见后者当非实景。“欲上”云云，也说明这是诗人酒酣兴发时的豪语。豪放与天真，在这里得到了和谐的统一。这正是李白的性格。上天揽月，固然是一时兴到之语，未必有所寓托，但这飞动健举的形象却让读者分明感觉到诗人对高洁理想境界的向往追求。这两句笔酣墨饱，淋漓尽致，把面对“长风万里送秋雁”的境界所激起的昂扬情绪推向最高潮，仿佛现实中一切黑暗污浊都已一扫而光，心头的一切烦忧都已丢到了九霄云外。
“抽刀断水水更流”的比喻是奇特而富于独创性的，同时又是自然贴切而富于生活气息的。谢朓楼前，就是终年长流的宛溪水，不尽的流水与无穷的烦忧之间本就极易产生联想，因而很自然地由排遣烦忧的强烈愿望中引发出“抽刀断水”的意念。由于比喻和眼前景的联系密切，从而使它多少具有“兴”的意味，读来便感到自然天成。尽管内心的苦闷无法排遣，但“抽刀断水”这个细节却生动地显示出诗人力图摆脱精神苦闷的要求，这就和沉溺于苦闷而不能自拔者有明显区别。
“人生在世不称意，明朝散发弄扁舟。”李白的进步理想与黑暗现实的矛盾，在当时历史条件下，是无法解决的，因此，他总是陷于“不称意”的苦闷中，而且只能找到“散发弄扁舟”这样一条摆脱苦闷的出路。这结论当然不免有些消极，甚至包含着逃避现实的成分。但历史与他所代表的社会阶层都规定了他不可能找到更好的出路。
李白的可贵之处在于，尽管他精神上经受着苦闷的重压，但并没有因此放弃对进步理想的追求。诗中仍然贯注豪迈慷慨的情怀。“长风”二句，“俱怀”二句，更象是在悲怆的乐曲中奏出高昂乐观的音调，在黑暗的云层中露出灿烂明丽的霞光。“抽刀”二句，也在抒写强烈苦闷的同时表现出倔强的性格。因此，整首诗给人的感觉不是阴郁绝望，而是忧愤苦闷中显现出豪迈雄放的气概。这说明诗人既不屈服于环境的压抑，也不屈服于内心的重压。
全诗如歌如诉，情感起伏涨落，韵味深长，一波三折，章法腾挪跌宕，起落无端，断续无迹，语言明朗朴素，音调激越高昂，达到了豪放与自然和谐统一的境界。
#周末# 可能己经过了“吃”的年龄，对那些所谓的八级小明星的pi事毫无兴趣[白眼]认都不认识[疑问]，有那闲工夫还是和娃一起分析分析期末试卷来的实际，扣的每一分都不能放过，因为有句话从我上学时老师就常说：“别小看丢掉的每一分，最后高考时一分能干掉一操场，这话一点儿不假，到如今也许是一天安门又或是一鸟巢也不夸张”[摊手]#就这一刻#
【跃远】公务员/银行校招笔试行测技巧：乘法原理
乘法原理，是指乘法的运算结果成为积，是数学概率方面的基本原理。
比如，做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法。那么完成这件事共有N=m1×m2×m3×…×mn种不同的方法。
例：从A城到B城中间必须经过C城，从A城到C城共有3条路线（设为a，b，c），从C城到B城共有2条路线（设为m，t），那么，从A城到B城共有3×2=6条路线，它们是：am，at，bm，bt，cm，ct
下面我们通过一些例子来说明这两个原理在计数中的应用
例1：利用数字1，2，3，4，5共可组成
⑴多少个数字不重复的三位数？
⑵多少个数字不重复的三位偶数？
⑶多少个数字不重复的偶数？
解：⑴百位数有5种选择；十位数有4种选择；个位数有3种选择所以共有5×4×3=60个数字不重复的三位数
⑵先选个位数，共有两种选择：2或4在个位数选定后，十位数还有4种选择；百位数有3种选择所以共有2×4×3=24个数字不重复的三位偶数
⑶分为5种情况：
一位偶数，只有两个：2和4
二位偶数，共有8个：12，32，42，52，14，24，34，54
三位偶数由上述⑵中求得为24个
四位偶数共有2×（4×3×2)=48个括号外面的2表示个位数有2种选择（2或4）
五位偶数共有2×（4×3×2×1)=48个
由加法原理，偶数的个数共有2+8+24+48+48=130
例2：从1到300的自然数中，完全不含有数字3的有多少个？
解法1：将符合要求的自然数分为以下三类：
⑴一位数，有1，2，4，5，6，7，8，9共8个
⑵二位数，在十位上出现的数字有1，2，4，5，6，7，8，9 8种情形，在个位上出现的数字除以上八个数字外还有0，共9种情形，故二位数有8×9=72个
⑶三位数，在百位上出现的数字有1，2两种情形，在十位、个位上出现的数字则有0，1，2，4，5，6，7，8，9九种情形，故三位数有2×9×9=162个
因此，从1到300的自然数中完全不含数字3的共有8+72+162=242个
解法2：将0到299的整数都看成三位数，其中数字3不出现的，百位数字可以是0，1或2三种情况十位数字与个位数字均有九种，因此除去0共有3×9×9-1=242（个）
例3：在小于10000的自然数中，含有数字1的数有多少个？
解：不妨将1至9999的自然数均看作四位数，凡位数不到四位的自然数在前面补0使之成为四位数
先求不含数字1的这样的四位数共有几个，即有0，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字所组成的四位数的个数由于每一位都可有9种写法，所以，根据乘法原理，由这九个数字组成的四位数个数为9×9×9×9=6561，所以比10000小的不含数字1的自然数的个数是6561+1=6562（算上0），于是，小于10000且含有数字1的自然数共有10000-6562=3438个
例4：求正整数1400的正因数的个数
解：因为任何一个正整数的任何一个正因数（除1外）都是这个数的一些质因数的积，因此，我们先把1400分解成质因数的连乘积1400=2×2×2×5×5×7
所以这个数的任何一个正因数都是由2，5，7中的n个相乘而得到（有的可重复）于是取1400的一个正因数，这件事情是分如下三个步骤完成的：
⑴取2×2×2的正因数是1，2，2×2，2×2×2，共3+1种；『注：1表示取0个；2表示取1个2；2×2表示取2个2；2×2×2表示取3个2下面同理』
⑵取5×5的正因数是1，5，5×5，共2+1种；
⑶取7的正因数是1，7，共1+1种
所以1400的正因数个数为（3+1）×（2+1）×（1+1)=24
说明：利用本题的方法，可得如下结论：
若将正整数a分解成质因数pi（i=1，2，…，r）的连乘积时，其中质因数pi的个数是ai（i=1，2，…，r），则正整数a的不同的正因数的个数是(a1+1)×(a2+1）×…×（ar+1）
例5：求五位数中至少出现一个6，且能被3整除的数的个数
⑴从左向右计，如果最后一个6出现在第5位，即a5=6，那么a2，a3，a4可以是0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这十个数字之一，但a1不能是任意的，它是由a2+a3+a4+a5被3除后的余数所决定因此，为了保证a1+a2+a3+a4+a5能被3整除，a1只有3种可能，根据乘法原理，5位数中最后一位是6，而被3整除的数有3×10×10×10=3000（个）
⑵最后一个6出现在第四位，即a4=6，于是a5只有9种可能（因为a5不能等于6），a2，a3各有10种可能，为了保证a1+a2+a3+a4+a5被3整除，a1有3种可能，根据乘法原理，属于这一类的5位数有3×10×10×9=2700（个）
⑶最后一个6出现在第3位，即a3=6，被3整除的数应有3×10×9×9=2430（个）
⑷最后一个6出现在第2位，即a2=6，被3整除的数应有3×9×9×9=2187（个）
⑸a1=6，被3整除的数应有3×9×9×9=2187（个）
根据加法原理，5位数中至少出现一个6而被3整除的数应有3000+2700+2430+2187+2187=12504（个）
例6：在6×6的棋盘上剪下一个由四个小方格组成的凸字形，有多少种不同的剪法？
解：我们把凸字形上面那个小方格称为它的头，每个凸字形有并且只有一个头
凸字形可以分为两类：第一类凸字形的头在棋盘的边框，但是棋盘的四个角是不能充当凸字形的头的于是，边框上（不是角）的小方格共有4×4=16个，每一个都是一个凸字形的头，所以，这类凸字形有16个
第二类凸字形的头在棋盘的内部，棋盘内部的每一个小方格可以作为4个凸字形的头（即头朝上，头朝下，头朝左，头朝右），所以，这类凸字形有4×（4×4)=64（个）
由加法原理知，有16+64=80种不同的凸字形剪法
乘法原理，是指乘法的运算结果成为积，是数学概率方面的基本原理。
比如，做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法。那么完成这件事共有N=m1×m2×m3×…×mn种不同的方法。
例：从A城到B城中间必须经过C城，从A城到C城共有3条路线（设为a，b，c），从C城到B城共有2条路线（设为m，t），那么，从A城到B城共有3×2=6条路线，它们是：am，at，bm，bt，cm，ct
下面我们通过一些例子来说明这两个原理在计数中的应用
例1：利用数字1，2，3，4，5共可组成
⑴多少个数字不重复的三位数？
⑵多少个数字不重复的三位偶数？
⑶多少个数字不重复的偶数？
解：⑴百位数有5种选择；十位数有4种选择；个位数有3种选择所以共有5×4×3=60个数字不重复的三位数
⑵先选个位数，共有两种选择：2或4在个位数选定后，十位数还有4种选择；百位数有3种选择所以共有2×4×3=24个数字不重复的三位偶数
⑶分为5种情况：
一位偶数，只有两个：2和4
二位偶数，共有8个：12，32，42，52，14，24，34，54
三位偶数由上述⑵中求得为24个
四位偶数共有2×（4×3×2)=48个括号外面的2表示个位数有2种选择（2或4）
五位偶数共有2×（4×3×2×1)=48个
由加法原理，偶数的个数共有2+8+24+48+48=130
例2：从1到300的自然数中，完全不含有数字3的有多少个？
解法1：将符合要求的自然数分为以下三类：
⑴一位数，有1，2，4，5，6，7，8，9共8个
⑵二位数，在十位上出现的数字有1，2，4，5，6，7，8，9 8种情形，在个位上出现的数字除以上八个数字外还有0，共9种情形，故二位数有8×9=72个
⑶三位数，在百位上出现的数字有1，2两种情形，在十位、个位上出现的数字则有0，1，2，4，5，6，7，8，9九种情形，故三位数有2×9×9=162个
因此，从1到300的自然数中完全不含数字3的共有8+72+162=242个
解法2：将0到299的整数都看成三位数，其中数字3不出现的，百位数字可以是0，1或2三种情况十位数字与个位数字均有九种，因此除去0共有3×9×9-1=242（个）
例3：在小于10000的自然数中，含有数字1的数有多少个？
解：不妨将1至9999的自然数均看作四位数，凡位数不到四位的自然数在前面补0使之成为四位数
先求不含数字1的这样的四位数共有几个，即有0，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字所组成的四位数的个数由于每一位都可有9种写法，所以，根据乘法原理，由这九个数字组成的四位数个数为9×9×9×9=6561，所以比10000小的不含数字1的自然数的个数是6561+1=6562（算上0），于是，小于10000且含有数字1的自然数共有10000-6562=3438个
例4：求正整数1400的正因数的个数
解：因为任何一个正整数的任何一个正因数（除1外）都是这个数的一些质因数的积，因此，我们先把1400分解成质因数的连乘积1400=2×2×2×5×5×7
所以这个数的任何一个正因数都是由2，5，7中的n个相乘而得到（有的可重复）于是取1400的一个正因数，这件事情是分如下三个步骤完成的：
⑴取2×2×2的正因数是1，2，2×2，2×2×2，共3+1种；『注：1表示取0个；2表示取1个2；2×2表示取2个2；2×2×2表示取3个2下面同理』
⑵取5×5的正因数是1，5，5×5，共2+1种；
⑶取7的正因数是1，7，共1+1种
所以1400的正因数个数为（3+1）×（2+1）×（1+1)=24
说明：利用本题的方法，可得如下结论：
若将正整数a分解成质因数pi（i=1，2，…，r）的连乘积时，其中质因数pi的个数是ai（i=1，2，…，r），则正整数a的不同的正因数的个数是(a1+1)×(a2+1）×…×（ar+1）
例5：求五位数中至少出现一个6，且能被3整除的数的个数
⑴从左向右计，如果最后一个6出现在第5位，即a5=6，那么a2，a3，a4可以是0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这十个数字之一，但a1不能是任意的，它是由a2+a3+a4+a5被3除后的余数所决定因此，为了保证a1+a2+a3+a4+a5能被3整除，a1只有3种可能，根据乘法原理，5位数中最后一位是6，而被3整除的数有3×10×10×10=3000（个）
⑵最后一个6出现在第四位，即a4=6，于是a5只有9种可能（因为a5不能等于6），a2，a3各有10种可能，为了保证a1+a2+a3+a4+a5被3整除，a1有3种可能，根据乘法原理，属于这一类的5位数有3×10×10×9=2700（个）
⑶最后一个6出现在第3位，即a3=6，被3整除的数应有3×10×9×9=2430（个）
⑷最后一个6出现在第2位，即a2=6，被3整除的数应有3×9×9×9=2187（个）
⑸a1=6，被3整除的数应有3×9×9×9=2187（个）
根据加法原理，5位数中至少出现一个6而被3整除的数应有3000+2700+2430+2187+2187=12504（个）
例6：在6×6的棋盘上剪下一个由四个小方格组成的凸字形，有多少种不同的剪法？
解：我们把凸字形上面那个小方格称为它的头，每个凸字形有并且只有一个头
凸字形可以分为两类：第一类凸字形的头在棋盘的边框，但是棋盘的四个角是不能充当凸字形的头的于是，边框上（不是角）的小方格共有4×4=16个，每一个都是一个凸字形的头，所以，这类凸字形有16个
第二类凸字形的头在棋盘的内部，棋盘内部的每一个小方格可以作为4个凸字形的头（即头朝上，头朝下，头朝左，头朝右），所以，这类凸字形有4×（4×4)=64（个）
由加法原理知，有16+64=80种不同的凸字形剪法
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