The Spitz Model A Planetarium|施皮茨A型天象仪

1946年，阿曼德·N·斯皮茨教授，费城富兰克林学院的教育主任，想要制造一个每个人都负担得起的天象仪。因为他是在家里开发这个天象仪，他的方法有时有点粗糙，很多时候他都是在厨房的桌子上完成这个项目的。他用扁平的塑料片，切割成五边形，形成一个十二面体的整体形状，用于天象仪。阿曼德曾希望通过使用扁平的塑料片，他可以把它们堆在一起。通过一次在几个板上堆叠和钻孔“星形”孔，可以使它们的生产速度更快，成本更低。阿曼德很快就发现这是行不通的。他发现，必须先组装好每个十二面体，然后再分别钻出每个“星形”孔。有了这些知识，十二面体的制造就交给了费城郊外的一家塑料公司。

斯皮茨十二面体天象仪有许多不同的版本。A型、A-1型和A-2型。A型使用一个新月形的支撑来支撑十二面体。星型投影完全是针孔投影。它还有一个行星卷筒，使用同样的针孔投影。所有控制装置都位于其锥形基座上。

A和A-1的最大区别是用于第一级星等的光学投影仪。这些放映机不仅能锐化恒星图像，还能给它们上色，A-1有一个改进的纬度控制与表盘读数，使其更容易控制观看。A-1型控制台类型是第一个统一的全尺寸控制台。他们还为十二面体设计了新的支架。该设计取消了从两端支撑十二面体的设计，改进了北极区域的投影观看效果。

A-2型的控制台类型与A-1型非常相似，主要的不同之处在于行星投影仪使用了实心银环触点来改进滑环。这个模型还引入了银河天象仪。

#差分法求级数和#

写一个完整严格的：
f(m)=Σ1/a^n*n^m （a<>1)
求和Σ都是从n=1到n=∞。

变换一下下标：
f(m)=1/a+1/a*Σ1/a^n*(n+1)^m

f(m)-1/a*f(m)=1/a+1/a*Σ1/a^n*((n+1)^m-n^m)

(a-1)f(m)=1+Σ1/a^n*((n+1)^m-n^m)

f(0)=1/(a-1)

根据不同的m展开(n+1)^m-n^m，消去x^m项降幂。展开后，n的k次幂系数都是常数提到求和外面，求和就是f(k)，系数就是杨辉三角的系数。

a=2:
f(0)=1
f(1)=1+f(0)=2
f(2)=1+2f(1)+f(0)=6
f(3)=1+3f(2)+3f(1)+f(0)=26
f(4)=1+4f(3)+6f(2)+4f(1)+1=150
……

差分法能降幂的，基本上都可以这么用。

#差分法求级数和#

写一个完整严格的：
f(m)=Σ1/a^n*n^m （a<>1)
求和Σ都是从n=1到n=∞。

变换一下下标：
f(m)=1/a+1/a*Σ1/a^n*(n+1)^m

f(m)-1/a*f(m)=1/a+1/a*Σ1/a^n*((n+1)^m-n^m)

(a-1)f(m)=1+Σ1/a^n*((n+1)^m-n^m)

f(0)=1/(a-1)

根据不同的m展开(n+1)^m-n^m，消去x^m项降幂。展开后，n的k次幂系数都是常数提到求和外面，求和就是f(k)，系数就是杨辉三角的系数。

a=2:
f(0)=1
f(1)=1+f(0)=2
f(2)=1+2f(1)+f(0)=6
f(3)=1+3f(2)+3f(1)+f(0)=26
f(4)=1+4f(3)+6f(2)+4f(1)+1=150
……

差分法能降幂的，基本上都可以这么用。