【聊聊数学史】刘徽的数学成就（二）：化归的思想

刘徽《九章算术注原序》中说:“事类相推，各有攸归。故枝条虽分而同本干者，知发其一端而已。”认为数学对象总可以归并为若干类型，掌握了某些基本的关系与方法后，就可引而伸之，触类旁通。因此，各种数学方法和理论，虽然形式多样，但它们之间是有联系的，犹如一株枝繁叶茂的大树，尽管分成不同的枝条，却有着同一的主干，发生于同一个根源。

这种将问题归结为基本的数量关系或图形结构的思想和方法，在刘徽的注文中是非常普遍的。如《九章算术》粟米、衰分和均输三章都是关于比例和比例分配的问题，内容交错、重复。刘徽用“率”统一了这三章的方法，不仅把比例、比例分配归结为“今有术”，而且将分数、追及、行程、程功、利息、均输等一般算术问题都化为今有术问题，指出:今有术，“此都术也。”刘徽又推而广之，将“率”应用于面积、体积、解勾股形、盈不足、方程等问题，使“率”成为计算问题的纲纪，强调说:“乘以散之，约以聚之，齐同以通之，此其算之纲纪乎。”即将“率”作为计算问题的基础。

化归思想体现最为突出的是在所谓的“棋验法”中。关于方亭(平截头方锥)、方锥、刍甍(上底为一线段，下底为矩形的拟柱体)与刍童的体积公式，刘徽是通过将它们分解为立方、堑堵(底面为直角三角形的直三棱台)、阳马三种标准“棋”来推证的，他称这三种“棋”为“三品棋”，如图1所示。并指出:“此章有堑堵、阳马，皆合而成立方。盖说算者乃立棋三品，以效高深之积。”

图1：“三品棋”示意图
图2：《数学简史》立体封面图

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