国际奥数包揽金牌:中国人的数学,为何这么厉害?
《史记·留侯列传》中,记载了郦食其劝说刘邦封立六国、张良分析理由并加以阻止的场景,当刘邦兴致勃勃对张良讲述郦食其的观点时,张良答道:“臣请藉前箸为大王筹之。”随即用筷子充当算筹,为刘邦一一数出利弊,这一幕被称为“运筹借箸”。“运筹”原本指用算筹计算,衍生出经略谋划之意,“运筹帷幄之中,决胜千里之外”,就是刘邦后来对张良的评价。现代应用数学学科中的Operations Research引入中国时,也被译为“运筹学”。
在我国古代,数学通常被称为“算学”。算筹——形如筷子的小棍,是先人使用数千年的“计算器”,其运用法则蕴含着中国古代数学中基本的位值思想、表达形式和计算方法,影响不可谓不深远。尽管随着时间推移,算筹在元代以后逐渐淡出,但在它基础上衍生出的算盘和“苏州码”沿用至近现代。
算筹:演天地之数
算筹又名算子、筹策,它究竟在何时出现已不可考。《易经》记载:“上古结绳而治。”可以看作一种最原始的记录事件兼计数方式,其他古文明中亦有应用。在此基础上,先民逐渐研制出更便于使用的计算工具。
南美洲印加人曾用于记事的“奇普”(Quipu),是将多根打结的绳子系在同一根横向绳索的下方,不同形状的绳结可以代表不同数字,也可以用来计算总数,不同颜色则代表时间、物品等复杂信息。
《史记·历书》记载:“黄帝使羲和占日,常仪占月,臾区占星气,伶伦造律吕,大桡作甲子,隶首作算数,容成综此六术而著调历。”虽然隶首为上古传说中的人物,但也可一窥“算数”历史之悠久,并且是为满足人民的实用需求而诞生的。
晋代人整理的《逸周书》中有“卑辞而不听,□财而无枝”之语,有研究者认为,“枝”指的是周代使用的算筹雏形。早期的算筹可能是使用取材方便的竹棒、树枝随意为之,“算”“筹”“策”等字都体现出它的质地。用来盛算筹的容器,叫做“中”,《周礼》中记载“凡射事,饰中,舍算”,后世有注“中,所以盛算也”,它很可能也是竹子制成的筒状容器。
在春秋时期,算筹的使用已经相当普遍,《论语》中有“斗筲之人,何足算也”,《老子》也提到“善计者不用筹策”。1954年,在湖南左家公山的楚国墓葬里出土了40根竹算筹,是目前已知最早的算筹实物。在《汉书·律历志》中,明确了它的制作规范:“其算,法用竹,径一分,长六寸,二百七十一枚而成六觚,为一握。”换算成今天常用的单位,就是直径约0.23厘米、长约13.8厘米的直棒,一套共271根,叫做“一握”,可以放在一个六边形的容器里。
古人常用的算筹除了竹制,亦有金属制、骨制、玉石制。横截面不仅有圆形,也有不易滚动的长方形。《晋书·王戎传》中,用“每自执牙筹,昼夜算计”描述王戎“积实聚钱”的勤奋程度。宋代《邵氏闻见后录》描写了略为灵异的一幕:“盗夜发咸阳原上古墓,有火光出,用剑击之,铿然以坠,视之,白玉帘也。岂至宝久埋藏欲飞去邪?既击碎之,有中官取以作算筹。”古人用帘,需能随意舒卷,因此白玉帘可能不是整片的白玉,而是由多条磨细的玉棒连缀而成,正适合做算筹。
古人为了携带方便,通常将算筹放在一个布袋里,挂在腰带上,这个布袋亦名“算袋”。《旧唐书·舆服志》规定,“一品以下文官并带手巾算袋”。连海中的乌贼也因为外形略似有飘带的袋子,被古人认为“秦皇东游,弃算袋于海,化为此鱼”。
我国胶州湾以南的海域有一种珊瑚纲无脊椎动物沙箸海鳃(Virgularia sp.),因为躯干主体部位呈细长笔直的圆柱形,很像一根算筹,古人称之为“越王余算”,并创造了相关传说:“昔晋安越王渡南海,将黑角白骨作算筹,其有馀者,弃于水中而生此,故叶白者似骨,黑者似角。
纵横布筹,算无遗策
算筹应当如何表达数字和做计算?或许有人会联想起一个经典的笑话:老师教学生写字,讲“‘一’字画一横,‘二’字画两横,‘三’字画三横”,学生马上觉得自己都学会了。父亲让他给姓“万”的人写封信,他画了一天还没画完道道。
看上去像一根根小棍的算筹,要怎么表达数字呢?难道也像这个故事里的学生那样,表达数字“一”摆一根,数字“十”摆十根,数字“万”摆一万根吗?其实,古代的算筹记数依据是“位值制”记数法,即每个数字所表达的数值不仅取决于它本身,而取决于它在记数中所处的位置,这样就能够用较少的符号表达较大的数。算筹的位值制记数法建立在十进制基础上,即每满十数进位,相比于二十进制、六十进制,这种进位制的应用最广泛,我们今天使用的运算法则也是基于十进制的。
至迟在春秋时期,我国的十进位值制已经成熟。《墨子·经下》中提到:“一少于二,而多于五,说在建。”意思是,如果一和二都位于个位,一比二小;但如果一位于十位及以上,它代表的数字就比位于个位的五大。《左传·襄公三十年》记载,晋国绛县老人自称“臣生之岁,正月甲子朔,四百有四十五甲子矣,其季于今,三之一也”。意思是他出生以来经历了445个甲子日,最后一个甲子日是20天前。官吏询问大臣他应该有多少岁,师旷说:“73年。”史赵则给出了一个字谜:“亥有二首六身,下二如身,是其日数也。”答案也是73年。“亥”字的篆体上有二横,下面是三个“人”字,形同“六”字,如果把上面的“二”移到下方,就成了“二六六六零”,将天数折合为年就是73年。(如果是2666天,和现实不符)
约成书于公元3世纪前的《孙子算经》记载了基本的算筹记数法则:“凡算之法,先识其位。一纵十横,百立千僵,千十相望,万百相当。”
“一纵十横,百立千僵”直观地说明了算筹采用的纵式和横式两种记数方法,个位用纵式,十位用横式,百位再用纵式……这样相邻数位纵横交替摆放,避免数位太多时发生混淆。从1到5的数字可以直接摆放对数目的算筹,如果要用算筹表达从6到9的数字,则不需要摆和数字一样多的根数,而是先摆一根代表5,再在和它垂直交叉的方向放上1到4根,就可以分别代表从6到9的数字。算筹中没有表达“零”的字符,用空位代替0。《夏侯阳算经》概括为“满六已上,五在上方,六不积算,五不单张”。
算筹摆位的时候,高位在左,低位在右,和现代的阿拉伯数字相同。如果要摆数字“71824”,并不需要摆71824根,只需要在个位摆4根,十位摆2根,百位摆8根,千位摆1根,万位摆7根就可以。因此,现代认为,“算筹系统是世界上唯一只用一个符号的组合,表示任何十进位数字的系统”。
与之相比,其他古文明中的记数法则显得较为繁琐。比如,以古埃及的数字形式表达“3244”,需要写3个表达1000的文字、2个表达100的文字、4个表达10的文字和4个表达1的文字,并且外形各不相同。古希腊数字则是用不同的字母表达从1到9的数、10到90的十位数和从100到900的百位数,在书写数字时,将对应的字母写在一起,如写“241”就是将代表200的σ、代表40的μ和代表1的α三个字母并列。如果数字较大,则不利于计算和记录得数。
石刻上左栏中间表达数字为2,中下为2/3,底部为1/12;中栏中间表达数字为60,右栏顶部为1/30,中间为1/40。
用算筹做加法、减法,是按照从左到右的顺序,从高位到低位逐位相加、相减,随着加减的结果及时摆出对应位上的算筹,也可以直接在被加或被减的数字上操作,把每位数的结果摆成新的。乘除法也类似,以乘法为例,古人的做法是“上下相乘,实居中央”,先把乘数和被乘数按上下位置摆好,按从左到右的顺序用上面的数的第一位乘下面数的每一位,把乘得的积摆在上下两数中间,然后去掉上面的数的第一位,把下面的数往右移动一位;再用上面数的第二位乘下面数的每一位,把结果和中间的乘积相加……这样以此类推,直到计算完成。做除法是将被除数放中排,除数放下排,商数放上排,余数放在最下一排,刘徽《九章算术注》中定义,在上的筹称“实”,在下的筹称为“法”。
如果用算筹做涉及负数的计算,可以将算筹涂上不同的颜色,宋代使用红色的算筹表示正数、黑色的表示负数;如果使用同色算筹,就在数字最后一位斜放一根,以示区分。做小数计算的话,要将小数部分和整数部分区分开,南宋秦九韶采用的方式是在个位数下记单位名称,比如要计算天数,就在个位数下面标一“日”字。元代刘瑾则将小数部分整体下移一格。做分数计算时,和现代的分数表达形式一样上下摆放,《孙子算经》称在上的筹为“子”,在下的筹为“母”,这就是“分子”“分母”的由来。
算筹能够将每一步的计算结果清晰地表达出来,甚至连视力有障碍的人也能熟练运用它做计算,《梦溪笔谈》里记载了一位擅长算筹的盲人卫朴,“大乘除皆不下照位,运筹如飞,人眼不能逐。人有故移其一算者,朴自上至下手循一遍,至移算处,则检正而去”。体现出中国传统数学解决问题的“机械化”特点,即每一步骤都具有固定程序。除了四则运算,算筹还可以用来做开方、开立方,解高次方程、四元方程等,自先秦至宋代的诸多领先当时世界的数学成就,都离不开算筹的助力。作为我国古代数学的基石,它在推演历法、修建工程、计算人口和赋税等方面都发挥了重要作用。

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#我们的防疫措施是效果最好的#【人民日报:我们的防疫措施是最经济的、效果最好的】《人民日报》2022年07月14日第05版,刊发人民日报评论部的署名文章《我们的防疫措施是最经济的、效果最好的(人民观点)——毫不动摇坚持“动态清零”总方针①》,原文如下:

编者:坚持就是胜利,坚持才会胜利,坚持定能胜利。前不久,习近平总书记在湖北省武汉市考察时强调:“我们有中国共产党领导,有社区这个重要基层基础,有能力也有实力实行动态清零政策,直至取得最后胜利。”如何理解动态清零的必要性、科学性、有效性?如何统筹好疫情防控和经济社会发展?本版今起推出系列评论,与广大读者一起思考,进一步凝聚抗疫共识。

我国疫情防控有良好的成本效益比,动态清零是综合社会成本最低的抗疫策略,可持续且必须坚持

盛夏时节,大江南北一片繁忙景象:工厂车间机器轰鸣,田间地头抢抓农时,复商复市稳步推进……面对来势汹汹的奥密克戎变异株传播,在各地各部门共同努力下,尽管局部地区仍有小幅波动,但全国疫情形势整体保持平稳,国民经济出现更多积极变化,经济恢复态势持续巩固。这既是对“动态清零”总方针科学性、有效性的有力印证,也是对我们有条件、有能力实现动态清零的有力印证。

新冠肺炎疫情是一场大考。前不久,习近平总书记在湖北省武汉市考察时强调:“如果算总账,我们的防疫措施是最经济的、效果最好的。”面对世纪疫情的跌宕反复,我们坚持人民至上、生命至上,坚持外防输入、内防反弹,坚持动态清零,因时因势不断调整防控措施,最大程度保护了人民生命安全和身体健康。我国近三年的疫情防控实践充分证明,动态清零符合国情、符合科学,路子是对的、效果是好的,是现阶段我国及时控制疫情的最佳选择。

评价防疫政策的最重要标准就是保护和挽救生命的成效。我国是一个有着14亿多人口的大国,老年人口数量巨大,还有相当数量的儿童和有禁忌症无法接种疫苗的人群,疫苗接种率尚未形成足以抵抗重症和死亡的屏障,且我国地域广阔,各地医疗卫生条件存在差异。如果搞“集体免疫”、“躺平”之类的防控政策,势必会在短期内造成大量人群被感染,进而出现大量重症和死亡病例,导致医疗资源挤兑,最终将造成人民生命、财产不可承受的损失,后果不堪设想。从实践来看,正是因为坚持动态清零,我们才保证了极低的发病率、死亡率和住院率,让群众得到最大程度的保护。国家卫生健康委发布的数据显示,2021年我国居民人均预期寿命提高到78.2岁,卫生健康事业各项指标持续优化。能取得这一成绩,科学有力的疫情防控功不可没。反观一些国家今年初陆续放松防疫政策,但随之而来的后果是病例数激增、死亡病例数高企。这恰恰说明,“躺平”不可取,“躺赢”不可能,动态清零才是对人民至上、生命至上理念最好的践行。

一时的“管”是为了更好的“放”。从短期来看,对凶猛疫情采取严格防控措施,难免会对经济社会发展造成一定的暂时影响,但放眼长远,短时的管控换来的将会是更健康持久的发展。2020年,正因为我国在世界上率先控制住疫情、率先复工复产,才最终在主要经济体中率先实现经济增长由负转正,成为全球唯一实现经济正增长的主要经济体;2021年,我国经济发展保持全球领先地位,良好的疫情防控形势提供了重要保障。实践证明,动态清零不仅为我国发展创造了一个更健康、安全、稳定的环境,同时也为世界经济带来了更大确定性。

应该看到,动态清零并不是追求完全零感染,而是发现一起、扑灭一起,既不让新冠病毒在疫情发生地流行,也防止病毒传播扩散到其他区域。这也使得我们能较好地平衡疫情防控和经济社会发展之间的关系,让我们用最小的代价实现最大的防控效果,最大限度减少疫情对经济社会发展的影响。今年3月以来,我们经受住了武汉保卫战以来最为严峻的疫情防控考验,这表明我国疫情防控效果是好的,效率是高的。就此而言,我国疫情防控有良好的成本效益比,动态清零是综合社会成本最低的抗疫策略,可持续且必须坚持。

疫情越早得到控制,经济社会发展受到的影响就越小。前不久,一家国际媒体网站刊登了一篇分析“动态清零”总方针并没有削弱中国经济实力的文章,指出过去3年来,中国在亚洲的经济影响力其实是在增长,而非下降。当前,疫情还没有见底,外防输入、内防反弹压力还很大,远没有到可以松口气、歇歇脚的时候。毫不动摇坚持“动态清零”总方针,坚定信心,排除干扰,克服麻痹思想、厌战情绪、松劲心态,抓实抓细疫情防控各项工作,我们就一定能推动经济平稳健康发展,争取今年我国经济发展达到较好水平。


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