中心对称与轴对称，导函数与原函数对称性的关系原来是这样！

北京高考数学吴老师
2022-02-17 20:09 高中数学教师,吴晓林,教育领域创作者
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在上一个专题《高考数学之三次函数，你确认掌握了吗？对称中心、极值、零点……》中，我们指出：


同学们有留言询问：

三次函数f(x)= ax3+bx2+cx+d图象的对称中心为何在导函数f ′ (x)图象的对称轴上？这个结论是否具有一般性？原函数图象如果是轴对称的，与导函数的对称性有怎样的关系？

我们从简单的情形入手，先来探究，当原函数对称时，导函数的对称性如何？

1. 若函数f(x)连续且可导，且图象关于直线x=a对称，则导函数f ′ (x)图象关于点(a,0)对称．

【证明】因为，函数f(x)图象关于直线x=a对称，则f(x)=f(2a-x)．

（备注：上述作为基本结论应该掌握，详细推导为：对于f(x)图象任一点P(x,f(x))，其关于直线x=a的对称点Q(2a-x,f(x))也在f(x)图象上，于是：f(2a-x)= f(x)，即f(x)=f(2a-x)．）

根据复合函数求导法则，有：f ′ (x)= -f ′ (2a-x)，

所以，导函数f ′ (x)关于点(a,0)对称．

（备注：上述作为基本结论应该掌握，详细推导为：对于f ′(x)图象任一点P(x, f ′(x))，其关于点(a,0)的对称点为点Q(2a-x,-f ′(x))，由于f ′ (x)=- f ′ (2a-x)，即f ′ (2a-x)= -f ′ (x)，这表明点Q也在f ′(x)图象上．所以，导函数f ′ (x)图象关于点(a,0)对称．）

2. 若函数f(x)连续且可导，且图象关于点(a,f(a))对称，则导函数f ′ (x)图象关于直线x=a对称．

【证明】因为，函数f(x) 图象关于点(a,f(a))对称，则2f(a)-f(x)=f(2a-x)．

根据复合函数导数法则，有：f ′ (x)= f′ (2a-x)，

所以，导函数f ′ (x) 图象关于直线x=a对称．

接下来，我们反向探究，当导函数对称时，原函数的对称性如何？

1. 若函数f(x)连续且可导，且导函数f ′ (x)图象关于点(a,0)对称，则函数f(x)图象关于直线x=a对称．

【证明】因为，导函数f ′ (x)图象关于点(a,0)对称，则 f′ (x)= - f ′ (2a-x)．

即：f ′ (x)+f ′ (2a-x) = 0

设：F(x)= f(x)-f(2a-x)，则F ′ (x)= f ′ (x)+ f ′ (2a-x)= 0

所以，F(x)=c(c为常数)，

又因为F(a)= f(a)-f(2a-a)=0，所以，F(x)=0

所以，f(x)- f(2a-x)=0，即f(x)= f (2a-x)

所以，函数f(x)图象关于直线x=a对称．

2. 若函数f(x)连续且可导，且导函数f ′ (x)图象关于直线x=a对称，则函数f(x)图象关于点(a,f(a))对称．

这个命题的证明留给读者．

综合上述两个方向的研究，我们有：

1. 若函数f(x)连续且可导，则：f(x)图象关于直线x=a对称 <==> 导函数f ′ (x)图象关于点(a,0)对称．

2. 若函数f(x)连续且可导，则：f(x)图象关于点(a,f(a))对称 <==> 导函数f ′ (x)图象关于直线x=a对称．

以上解答了同学们的留言问题．



以上，一方面要求借助图形熟记相关结论，另一方面要知其所以然，要熟练掌握其证明过程．

生肖属兔的人，2022年运势如何呢？（1975年生的人要遇贵人）

　　这些年出生的人都属兔：

　　2011年、1999年、1987年、1975年、1963年、1951年、1939年。

　　1951年生人

　　即辛卯年出生，今年71岁，古稀之年，今年天干命犯伤官星，地支又逢劫财星，有些不妙，要注意避免口舌之争，不要与政府对抗。也容易因为兄弟、朋友、家人而破财，尤其是12月。

　　1963年生人

　　即癸卯年出生，今年59岁，近花甲之年。今年天比地和，对于八字弱的人来说，有朋友、同学、同事相助；对于八字强的人来说，今年会因为朋友、同学、同事而惹上麻烦，以至于破财，而且破财的数目不小。

　　1975年生人

　　即乙卯年出生，今年47岁，近知天命之年。今年好坏参半，一方面有贵人相助，另一方面又会破财，这大概也是好事，说明你要花点钱，贵人才会帮你，可以好好把握机会。生肖属兔的人，2022年运势如何呢？（1975年生的人要遇贵人）
生肖属兔的人，2022年运势如何呢？（1975年生的人要遇贵人）
　　1987年生人

　　即丁卯年出生，今年35岁，而立之年。今年运势好坏参半。对于未婚女性来说，今年会遇到自己心仪的对象，可以抓住机会。对于男性来说，会有晋升的机会，但也要破一定的财。

　　1999年生人

　　即己卯年出生，今年23岁。对于男生来说，今年会遇到自己喜欢的对象，也有姻缘之喜，可以好好把握机会。但也要注意控制这方面的开销。

　　2011年生人

　　即辛卯年出生，今年11岁。今年开始有些叛逆，有些调皮，不太听父母和老师的话。这是正常现象。

　　以上只是大概运势分析，要很准确地预测，就要看具体的生辰八字了。#生肖##生肖_50##生肖[超话]#

昨天回厂里了，每次回到这里就感觉自己的精神状态都跟着放松了下来。
我一直很喜欢南区这些枝叶繁茂的大树，它们在我很小的时候就生长在这里了，多年来就像家里的老人一样，安静地在原地等着我回来看看。初秋午后的阳光透过树叶的缝隙柔和地投撒在地面上，光影成了联结现在与过去的时光隧道。
对了，昨天刚一下车就碰见了留在厂里工作的同学，他说：“你变化好大啊现在又高又瘦我都不敢认了。”我翻了个白眼问他：“大哥我以前是有多胖。”
走进那家老商店买了一瓶可乐，慢慢走在厂里的路上，感觉自己又变成了那个圆圆肉肉，每天快快乐乐的小学生。